第12讲反比例函数（练习）【2大考点10大题型】 2026年山东省济南市中考数学一轮复习【一题多练】

第12讲  反比例函数【2大考点10大题型】 【题型1  反比例函数的图象与性质】 （2025·湖北宜昌·中考真题） 1．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． （2025·浙江温州·中考真题） 2．如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． （2025·广西·中考真题） 3．反比例函数（为常数，）的图像位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 （2025·江苏连云港·中考真题） 4．已知某反比例函数的图象经过点，则它一定也经过点（ ） A． B． C． D． 【题型2  反比例函数图象的对称性】 （2025·江苏常州·中考真题） 5．已知正比例函数 与反比例函数图像的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为____________． （2025·北京·中考真题） 6．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______. （2025·福建·中考真题） 7．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 【题型3  反比例函数中比例系数k的几何意义】 （2025·江苏盐城·中考真题） 8．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接.若，的面积是，则的值为_________.    （2025·辽宁锦州·中考真题） 9．如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为______________．      （2025·湖北襄阳·中考真题） 10．如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． （1）_________，_________； （2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围； （3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为_________． （2025·山东威海·中考真题） 11．如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（    ） A． B． C． D． （2025·辽宁营口·中考真题） 12．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（　　）    A．3 B． C．2 D．1 【题型4  反比例函数解析式的确定】 （2025·四川资阳·中考真题） 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．直线经过点与轴交于点，连结． (1)求k、b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大． （2025·山东青岛·中考真题） 14．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式为______． （2025·陕西·中考真题） 15．如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． （2025·北京·中考真题） 16．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【题型5  与反比例函数有关的面积问题】 （2025·浙江绍兴·中考真题） 17．如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是________． （2025·山东淄博·中考真题） 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． (1)分别求这两个函数的表达式； (2)以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； (3)根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． （2025·江苏泰州·中考真题） 19．在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．    (1)，，求函数的表达式及的面积； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； (3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由． 【题型6  反比例函数与网格作图结合】 （2025·河南·中考真题） 20．如图，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，平面直角坐标系中，有A，B，C，D，E，O六个格点． (1)若一个反比例函数的图象恰好经过A，B两点，求这个反比例函数的解析式； (2)请在图1，图2中，在六个格点中任选四个，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）； (3)求出你所画出的平行四边形的面积． （2025·安徽芜湖·中考真题） 21．已知：反比例函数的图像与一次函数（x≥0）的图像交于点A． (1)在同一个平面直角坐标系中，请画出函数y1与函数的图像；并观察图像，直接写出不等式≤在第一象限成立时x的取值范围； (2)已知点P（n，0）（n＞0），过点P作垂直于x轴的直线，与反比例函数图像交于点B，与直线交于点C．记反比例函数图像在点A，B之间的部分与线段AC，BC围成的区域（不含边界）为W． ①当n＝5时，区域W内的格点个数为 ；（格点即横、纵坐标都是整数的点） ②若区域W内的格点恰好为2个，请结合函数图像，直接写出n的取值范围． （2025·四川成都·中考） 22．如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点是该双曲线第一象限上的一点，且， 填空：①直线的解析式为_______；②点的坐标为______．    （2025·河南周口·中考真题） 23．周长与面积数值相等的图形叫做“等量图形”．小月在学习《正多边形》这一节时发现正三角形、正方形、矩形中存在“等量图形”，并进行了如下探究： 【探究一】正方形中的“等量图形” 设正方形的边长为a，周长为C，面积为S，则 当 时，可以求出a，所以当正方形的边长为 ① 时，它是“等量图形”． 【探究二】等边三角形中的“等量图形” 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则② ，③ ，当时，可以求出b，所以，当等边三角形的边长为 ④ 时，它是“等量图形”． 【探究三】矩形中的“等量图形” 设矩形的长为x，宽为y，周长为C，面积为S，则 ． (1)根据题意，完成上面的填空：① ，② ，③ ，④ ； (2)请你用图象法（可在网格上画图表示）与代数法分别研究：当时，是否存在一个矩形是“等量图形”，如果存在，它的长和宽分别为何值；如果不存在，请说明理由； (3)若，请你直接写出当m满足什么样的条件时，能使矩形是“等量图形”． 【题型7  反比例函数的实际应用】 （2025·山东德州·中考真题） 24．已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示．      (1)请求出这个反比例函数的解析式； (2)蓄电池的电压是多少？ (3)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？ （2025·河北·中考真题） 25．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． （2025·浙江丽水·中考真题） 26．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 （2025·辽宁大连·中考真题） 27．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，． (1)求密度关于体积V的函数解析式； (2)若，求二氧化碳密度的变化范围． 【题型8  反比例函数与一次函数的实际应用】 （2025·云南昆明·中考真题） 28．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min． （1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？ （2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明． （2025·四川乐山·中考真题） 29．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； (2)求恒温系统设定的恒定温度； (3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【题型9  反比例函数与其他函数的综合应用】 （2025·山东济南·中考真题） 30．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． （2025·湖北·中考真题） 31．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． (1)求m，n，k的值； (2)若C是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点C的横坐标a的取值范围． （2025·江苏宿迁·中考真题） 32．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； (2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； (3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． （2025·四川巴中·中考真题） 33．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． （2025·湖北鄂州·中考真题） 34．已知反比例函数的图象与二次函数的图象相交于点    (1)求反比例函数与二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若反比例函数图象上有一点，点的横坐标为，求的面积． 【题型10 反比例函数与几何图形的实际应用】 （2025·河南·中考真题） 35．小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． （2025·江苏苏州·中考真题） 36．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? （2025·贵州安顺·中考真题） 37．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点． (1)求该反比例函数的解析式及的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． （2025·黑龙江牡丹江·中考真题） 38．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分，交AO于点E，交AC于点F，．若OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根，且． 请解答下列问题： (1)求点B，C的坐标； (2)若反比例函数图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式； (3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第12讲 反比例函数（练习）【2大考点10大题型】》参考答案： 1．C 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 2．B 【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论． 【详解】解：如图， 设OD=m， ∵ ∴OC= ∵轴于点，轴于点， ∴四边形BEOD是矩形 ∴BD=OE=1 ∴B(m，1) 设反比例函数解析式为， ∴k=m×1=m 设AC=n ∵轴 ∴A（，n） ∴，解得，n=，即AC= ∵AC=AE ∴AE= 在Rt△AEF中，， 由勾股定理得， 解得，（负值舍去） ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 3．A 【分析】根据及反比例函数（为常数，）的性质即可解答． 【详解】解：∵且， ∴， ∴反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．B 【分析】根据反比函数图象上各点的坐标符合对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：设反比例函数解析式为， 反比例函数的图象经过点， ． 、，此点不在函数图象上，故本选项错误； 、，此点在函数图象上，故本选项正确； 、，此点不在函数图象上，故本选项错误； 、，此点不在函数图象上，故本选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中，为定值是解答此题的关键． 5．（1，1）． 【分析】根据反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵根据反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点（﹣1，﹣1）关于原点对称， ∴该点的坐标为（1，1）． 故答案为（1，1） 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题的关键． 6．0. 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 7．A 【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，    ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．6 【分析】过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出k的值. 【详解】解：过点B作于点F，连接，设点A的坐标为，点B的坐标为，则， ∵， ∴，    ∵轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的面积是， ∴， ∴， ∴， 则， 即， 解得， 故答案为：6 【点睛】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键. 9．4 【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解． 【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，    ∴， ∴， ∴， 设B点坐标为，则， ∵点B为的中点， ∴， ∴， ∴C点坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴A点坐标为， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质． 10．（1）4，2；（2）y=-2x+6，1＜x＜2；（3）2 【分析】（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值； （2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围； （3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可． 【详解】解：（1）把x=1,y=4代入得， 4=， 解得m=4 ∴ 当y=2时，2= 解得，n=2 （2）把A(1,4)，B(2,2)分别代入得 解得 ∴y2=-2x+6 当y1＜y2时，从图象看得出：1<x<2 （3）设P点横坐标为a,则纵坐标为， ∴OM=a，PM=, ∴S△POM= 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积． 11．C 【分析】过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（−2，−2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3． 【详解】解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝的图象上， ∴m×1＝−2n＝4， ∴m＝4，n＝−2， ∵P（4，1），Q（−2，−2）， ∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N， ∴S1＝4， 作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3， ∴S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3， ∴S1：S2＝4：3， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，分别求得S1、S2的值是解题的关键． 12．C 【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（）•（m﹣m）＝，即可求得k＝＝2． 【详解】解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（，）， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C， ∴k＝＝， ∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m， ∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D的纵坐标为， 作CE⊥x轴于E，    ∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝， ∴（AD+CE）•AE＝，即（）•（m﹣m）＝， ∴＝1， ∴k＝＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义，根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE-S△AOD=S梯形ADCE，得到关于m的方程是解题的关键． 13．(1)的值为，的值为1 (2)3 (3)经过点的一次函数解析式为（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． （1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可； （2）利用、、三点的坐标和面积公式计算即可； （3）求出点的坐标，然后写出解析式即可． 【详解】（1）解：把点、代入得，， 解得，， ，， 把，代入中得： ， 解得， 即的值为，的值为1； （2）解：直线与轴交于点， ， 的面积为：； （3）解：当时，， ， 则设经过点的一次函数解析式为， 随的增大而增大， ， 经过点的一次函数解析式为（答案不唯一）． 14． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，列出关于m的方程解出即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标之积是常数是解题的关键． 15． 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 16．3 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 17．2 【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，    故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 18．(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 19．(1)函数的表达式为，的面积为 (2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析 【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可； （2）求解过程同（1）； （3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，，， ∴， 当，，则； 当，，解得，则； 当，，解得，则； 设一次函数的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，，则， ∴； ∴函数的表达式为，的面积为； （2）解：的面积不变，理由如下： ∵，，，， ∴， 当，，则； 当，，解得，则； 当，，解得，则； 设一次函数的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，，则， ∴； ∴的面积不变； （3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下： 设直线的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，， ∴直线与边的交点坐标为， 当，， ∴直线与边的交点在函数的图像上． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．(1) (2)见解析 (3)面积均为6 【分析】（1）观察图形写出A，B的坐标，利用待定系数法求反比例函数的解析式； （2）根据平行四边形性质（对边平行且相等）作图即可； （3）根据平行四边形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：（1）由图可知A，B的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣2，2） 设这个反比例函数的解析式为y， ∵反比例函数的图象经过A，B， ∴1， ∴k＝﹣4， ∴这个反比例函数的解析式为：y； （2）解：如图所示，四边形BEOC和四边形AEDC即为所求； （3）解：根据平行四边形面积公式， 图1中所画的平行四边形BEOC的面积为：3×2＝6； 观察图形，图2中所画的平行四边形AEDC的面积等于包围平行四边形AEDC的最小矩形的面积减去四个小三角形的面积， 故平行四边形AEDC的面积为：6×2﹣（5×15×11×11×1）＝6． 【点睛】本题考查反比例函数解析式、平行四边形作图及面积计算；需要注意第3问中第2个平行四边形不能直接观察出底长和高，需要通过矩形的面积减去4个三角形的面积求解． 21．(1)见解析 (2)①2；②或 【分析】（1）先根据函数关系式找到函数图像上几个点的坐标，然后再进行连线得到两个函数的图像，根据函数图像写出≤在第一象限成立时x的取值范围即可； （2）①直接根据图像找出区域W内的格点个数即可； ②根据图像得出结论即可． 【详解】（1）作图如下： ≤在第一象限成立时x的取值范围为x≥2． （2）①当时，在W区域内有2个格点． 【说明：点，，故在W区域内有2个格点（3，2），（4，2）】； ②由图可知，若区域W内的格点恰好为2个，当P点在A点的右方时，则； 当P点在A点的左方时，则． 综上所述，若区域W内恰有2个格点，n的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键． 22．（1）；（2）①，② 【分析】（1）把格点A（1，3）代入解析式即可得到答案．（2）①过O作OA的垂线构造出两组全等三角形，得到B（3，-1）及AC=BC，求出点C的横坐标为3，用AC=BC建立方程求解即可得出结论； ②联立直线OP和双曲线解析式，解得即可得出结论． 【详解】解：（1）反比例函数的图象过格点，， 反比例函数的解析式为； （2）①如图，过点O作OA的垂线OE，取轴上点（3，0）， 记D，则D（3，0），过A作轴与，而，，     过点D作BD⊥轴，交OE于B，OP于C，， ， ， ，≌，， ， ， ∴≌， ∴， 设，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， 设直线OP的解析式为， ∴ ， ∴， ∴直线OP的解析式为， 故答案为：； ②由①知，直线OP的解析式为， 由（1）知，反比例函数解析式为， 所以， 解得： 或 （由于点P在第一象限内，所以，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，方程组的解法，构造出全等三角形是解本题的关键． 23．(1)①4；②；③；④ (2)不存在，见解析 (3) 【分析】（1）令，可求满足要求的解为； 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S，则，如图，等边三角形，过作于，则，，令，可求满足要求的解为； （2）由题意知，，即，，即，建立平面直角坐标系，然后作图象，根据图象无交点，判断作答即可； 令，整理得，，由，可知方程无解，然后判断作答即可； （3）由，可得，，令，整理得，，由矩形是“等量图形”，可知，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 解得，或（舍去）， ∴当正方形的边长为4时，它是“等量图形”． 设等边三角形的边长为b，周长为C，面积为S， ∴， 如图，等边三角形，过作于， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴当等边三角形的边长为时，它是“等量图形”． 故答案为：4；；；； （2）解：由题意知，，即， ，即， 作图象如下： 由图象可知，当时，不存在一个矩形是“等量图形”； ∵，即，，即， 令，整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在一个矩形是“等量图形”； （3）解：∵， ∴，， 令，整理得，， ∵矩形是“等量图形”， ∴， 令， 解得，或， ∵， ∴或（舍去）， ∴当时，能使矩形是“等量图形”． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，一次函数与反比例函数综合，等边三角形的性质，正弦等知识．熟练掌握解一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，一次函数与反比例函数综合，等边三角形的性质，正弦是解题的关键． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）先由电流是电阻的反比例函数，可设，将点带入表达式，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式即可得到答案； （2）根据电压电流电阻即可求解； （3）将代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，设， 由图像可知，过点，则， 这个反比例函数的解析式为； （2）解：根据题意，电压为定值，即（1）中， 蓄电池的电压是； （3）解：由（1）知， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，则，解得， 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在范围． 【点睛】本题考查反比例函数解实际应用题，读懂题意，正确理解反比例函数模型，并利用函数知识解实际问题是解决本题的关键． 25．C 【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解． 【详解】解：依题意， ， ，且为整数． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键． 26．B 【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解． 【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小， 根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键． 27．(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法即可完成； （2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围． 【详解】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴密度关于体积V的函数解析式为：； （2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时， 即二氧化碳密度的变化范围是． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 28．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析． 【分析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，再根据题干信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得； （2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出时，y的值，与1进行比较即可得． 【详解】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和 则 解得 答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和； （2）一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要 当时， 则点A的坐标为 设反比例函数表达式为 将点代入得：，解得 则反比例函数表达式为 当时， 故一班学生能安全进入教室． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键． 29．(1)y关于x的函数解析式为； (2)恒温系统设定恒温为20°C； (3)恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式； （2）观察图象可得； （3）代入临界值y=10即可． 【详解】（1）解：设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14）， 代入得， 解得， ∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）． ∵B在线段AB上当x=5时，y=20， ∴B坐标为（5，20）， ∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）， 设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）， ∵C（10，20）， ∴k2=200． ∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）， ∴y关于x的函数解析式为：； （2）解：由（1）恒温系统设定恒温为20°C； （3）解：把y=10代入y=中，解得x=20， ∴20-10=10． 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 【点睛】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用． 30．(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 31．(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 32．(1)② (2)；、 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：    与图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则，解得； ②联立，即， 是其中一个解， 因式分解得，则，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是、； （3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：    联立 ，即， ①当时，，即，当时，； ②当时，，即，由①中，则，； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且， ，，， ， 由得到，即． 【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键． 33．(1)， (2) 【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标； （2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1． ∴， ∴, ∴， ∴反比例函数为：； ∴， 解得：，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，, ∴， ∴，， 如图，当时，最短； ∴； 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键. 34．(1)反比例函数的解析式为：，二次函数的解析式为： (2)点在反比例函数的图象上，理由见解析 (3)的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图像的顶点的求法，三角形的面积等知识，解题的关键是求出函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据（1）中求出的二次函数求出点的坐标，从而判断点是否在反比例函数上； （3）先求出点的坐标，再根据面积的和差即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与二次函数的图象相交于点， 将点分别代入和 中， 解得：，， 反比例函数的解析式为：，二次函数的解析式为： ； （2）二次函数的图象的顶点为， 在 中，当时，， 顶点在反比例函数的图象上； （3）过点作轴于点，轴于点，过点作于点， 点在 的图象上，且点的横坐标为， ， ． 35．(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 36．(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 37．(1)， (2)点在该反比例函数的图象上，理由见解答 【分析】（1）因为点在双曲线上，所以代入点坐标即可求出双曲线的函数关系式，又因为点在双曲线上，代入即可求出的值； （2）先求出点的坐标，判断即可得出结论． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 反比例函数的解析式为， 将点代入中， 得； （2）解：因为四边形是菱形，，， ，， ， 由（1）知双曲线的解析式为； ， 点在双曲线上． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，解题的关键是用表示出点的坐标． 38．(1)，C（2，0） (2) (3)存在，或或． 【分析】（1）解方程得出方程的解，即可确定点B，C的坐标； （2）首先证明∠AFB＝∠AOB＝90°，再证明AB=BC=5，由得，从而得，即可得到AB=AD=5，再由勾股定理求出AO=4，得出点D的坐标即可求出反比例函数解析式； （3）如图，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：由解得，． ∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB>OC， ∴，． ∴，C（2，0）． （2）解：∵AO⊥BC， ∴∠AOB＝90°． ∵∠CAO＝∠DBC，， ∴∠AFB＝∠AOB＝90°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC． ∵∠AFB＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵在Rt△ABO中，． ∴D（5，4）． ∴反比例函数解析式为． （3）解：如下图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点作轴于点， ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点（，）， 同理可求出N2（-9，12），N3（，），， ②如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点WT 于点F，设与x轴交于点G， ∴ 又 ∴ ∵BD是圆的直径， ∴点E在圆上， ∴ ∴ ∴ ∵DE=4，BE=3+5=8， ∴ 又， 设 由勾股定理得， ∴，解得， ∴ 设GE=x，则BG=8-x，代入比例式得， ∴ 在Rt中， ∴ 解得，（舍去） ∴BG= ∵ ∴ 由勾股定理可得，BF= ∴ ∴ 同理可得， 只需要写出在第四象限内点N的坐标； ，，满足， 综上，点N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $