第二十章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第二十章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：（1）先确定最长边，算出最长边的平方；（2）计算另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．∵最长边为，， ∴该组能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．∵最长边为，，， ∴， ∴该组不能构成直角三角形，故此选项符合题意． 2．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 答：水的深度为． 3．五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们能摆成两个直角三角形； 、∵，， ∴它们不能摆成两个直角三角形； 故选：． 4．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（   ） ①；    ②，，； ③；    ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理． 通过勾股定理逆定理和三角形内角和定理，逐一分析每个条件是否能判定为直角三角形即可． 【详解】解：①∵， ∴设，，（）， ∵， ∴是直角三角形． ②∵，，， ∵， ∴不满足勾股定理逆定理， ∴不是直角三角形． ③∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． ④∵，且， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 综上，能判断是直角三角形的有①③④，共3个． 故选：C． 5．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【详解】解：在中，，根据勾股定理，得． ∵分别以三边为边长向外作正方形，面积记为， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 解得，即． 观察图形，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为． 故选：A． 6．如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：在上取一点，使，连接， ∵平分， ∴，在和中， ∴， ∴，∴，∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，，∴， ∴，由勾股定理，得， ∴的最小值是5． 7．如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 8．如图，在中，，D为上一点，E为上一点，且，若， ，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点B作于点F， ∴，∵， ∴，又∵， ∴， ∴， 在与中，∴， ∴， ，∴， ∴． 9．如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】解：延长到H，使，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴，∵在和中，， ∴，∴，， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∵， ∴在中，． 10．如图，在中，为边上的高，的平分线交于点E，过点E作于与交于点G，对于下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴，， ∴；故①正确； ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， 当，即，解得时，， 此时，除此外不能得到；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故③正确； 在中，， ∴， ∵，， ∴；故④错误； 故选A． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，是的高，，，，则_____． 【答案】 【详解】解：是的高， ， 在Rt中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 的面积为：． 12．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 【答案】12尺 【详解】解：设尺，则尺， 由勾股定理得，， 解得， ∴尺， 故答案为：12尺． 13．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与勾股树，掌握好相关知识是关键． 根据直角三角形的三边关系推出、、之间的关系，然后计算即可． 【详解】解：∵在直角中，， 又∵，，， ∴． 故答案为：． 14．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：如图，以为边在x轴的上方作等边，连接，过点E作轴于点H， ∴，∵为等边三角形， ∴， ∴，∴，∴， ∴当最小时，最小， ∵点C在y轴的正半轴上， ∴当轴时， 最小， ∵点，，∴，∵，轴，∴， ∴， ∵点C在y轴上，轴， ∴点的坐标为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 由勾股定理得：， ． 17．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 【答案】着火点会受洒水影响，理由见解析 【详解】解：着火点会受洒水影响， 理由如下： 如图，过点作，垂足为点， ∵，，， ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∵， ∴着火点会受洒水影响． 18．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 【答案】2880元 【详解】解：如图，连接，   ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积， （元）， 答：完成补种共需要元． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成或．已知点，， (1)试求P，Q两点的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，试求M，N两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】(1) (2)6(3)为等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由题意知，； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ，，， ， ， ， ， 为等腰三角形． 20．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：过点A作，垂足为H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 【答案】（1）　　（2）或 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： （2）①当在上时，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点． ∵， ∴四边形是长方形． ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 由折叠得， ∴． ∴，． ∴，． 设，则，． 在中，由勾股定理，得， ∴，解得． ∴． ∴． ②当在上时，作关于对称的． 过作，交延长线于点，过作，交的延长线于点，则四边形是长方形． ∴，． 同理可证． ∴，． ∴． 设，则，． ∴． 在中，由勾股定理，得 ，即 解得 ∴． ∴． 综上所述，的面积为或． 23．如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， 动点从点出发，按的路径运动，且速度为， 出发后，，如图①：在中，，由勾股定理得：； （2）解：分情况讨论： 如图②，当点P在上时，，此时， 当时，为等腰三角形； 如图③，当点P在上时，，， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图④，当时，过点C作于点D， 的面积为：， 即， 解得， 在中，由勾股定理得：， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 如图⑤，时，， 、， ， ， ， 点P运动的路程为, ， 当时，为等腰三角形； 综上所述，当为或或或时，为等腰三角形； （3）解：设点P运动的路程为，点Q运动的路程为， 如图⑥，当P、Q相遇前， ， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得； 如图⑦，当P、Q相遇后，当点P在上，点Q在上时，，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， 解得，此时点Q已到达终点C； 综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章《勾股定理》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（　　） A． B． C． D． 3．五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（    ） A． B．   C．   D．   4．在中，三边分别为，，，下列条件中，能判断是直角三角形的个数为（   ） ①；    ②，，； ③；    ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，，若，则阴影部分面积为（   ） A．8 B．14 C．16 D．18 6．如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是（   ） A．3 B． C．5 D．6 7．如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．如图，在中，，D为上一点，E为上一点，且，若， ，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，是边上的中线，F是上一点，延长，交于点E，若，且满足，则的长为（　　） A． B．3 C． D．5 10．如图，在中，为边上的高，的平分线交于点E，过点E作于与交于点G，对于下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，是的高，，，，则_____． 12．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，竹子折断处的高度是______． 13．如图，分别以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，若，，则_____． 14．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 15．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴正半轴上有一动点，以为一边在上方作等边，连接，当的长取最小值时，点的坐标为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 17．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火灾．如图，着火点位于处，有一架救火飞机沿东西方向由点飞向点，已知点与直线上两点，的距离分别为和，且，在飞机中心周围以内可以受到洒水影响．着火点会受洒水影响吗？为什么？ 18．为了响应“绿色汉中，文明汉中”的号召，某小区要在一块四边形空地上补种草皮．如图，经测量，若补种草皮的单价是20元，求完成补种共需要多少钱． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成或．已知点，， (1)试求P，Q两点的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，试求M，N两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 20．如图，在中，，平分，，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 21．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题： 请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点在边上），点落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，为边上一点，，为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点恰好落在线段上的点处，点落在点处．求线段的长度． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，若，，则________． （2）如图2，在长方形中，，，点为上一点，，动点沿折线运动（不与点，重合），连接，将沿着翻折得到．当时，求的面积．（温馨提示：有三个角为直角的四边形是长方形） 23．如图，在中，，，，若动点从点出发，按的路径运动，且速度为，设出发的时间为，连接、． (1)出发后，求的长； (2)当为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点出发，按的路径运动，且速度为，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，连接．当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $