精品解析：2026年黑龙江绥化市海伦市第十中学中考一模数学试题

海伦市第十中学2025-2026学年度第二学期月考 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. “壮丽70年，数字看中国”．1952年我国国内生产总值仅为679亿元，2018年达到90万亿元，是世界第二大经济体．90万亿元这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 3. 现实世界中、对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 国 B. 家 C. 昌 D. 盛 4. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 5. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 6. 如右图所示的是由几个相同小立方体组成的几何体从上面所看到的图形，正方形中的数字表示在该位览的小立方体的个数，则从左面乔这个几何体所得到的图形是（） A. B. C. D. 7. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 众数是5 C. 平均数是5.2 D. 方差是2 8. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，连结AC、BC．若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 9. 不等式组的最小整数解是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 11. 小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分，下图是两人之间的距离（米）与小明离开家的时间（分）之间的函数图象，下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 12. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ） A. 266 B. 270 C. 271 D. 285 二、填空题（每题3分，共计30分）． 13. 函数中，自变量的取值范围是_______________． 14. 分解因式：_________． 15. 已知扇形的弧长为，该扇形的圆心角度数为，则扇形面积为 _______ ． 16. 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是______． 17. 如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为__________． 18. 若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 19. 如图，四边形内接于，，．若 ，，的长为_______． 20. 如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 _____ ． 21. 如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为_____. 22. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为位似中心作正方形、正方形、…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为_______． 三、解答题（共计54分） 23. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． （1）分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端C与塔底B的距离米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角米，且（点在同一平面内）． （1）填空：_______度，______度； （2）求信号塔的高度（结果保留根号）． 26. 已知是的弦，点C是弧的中点，连接；交于点D． （1）如图1，求证：； （2）如图2，是的弦，交于点G，交于点H，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 27. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 28. 如图1，抛物线交轴于、两点（左右），交轴于，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作//，交BC于点F，若PE＝PF，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海伦市第十中学2025-2026学年度第二学期月考 九年级数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 实数的相反数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可． 【详解】的相反数是5． 故选：A． 2. “壮丽70年，数字看中国”．1952年我国国内生产总值仅为679亿元，2018年达到90万亿元，是世界第二大经济体．90万亿元这个数据用科学记数法表示为（ ） A. 亿元 B. 亿元 C. 亿元 D. 亿元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法写出即可． 【详解】解：90万亿亿， 故选：B． 3. 现实世界中、对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. 国 B. 家 C. 昌 D. 盛 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴来逐项进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C．选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形. 故选：C． 4. 下列运算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法，利用运算法则逐项进行计算即可得． 【详解】A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，计算错误，符合题意； 故选：D． 5. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包， 依据题意得： 均为正整数， 或或或 小明共有4种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 6. 如右图所示的是由几个相同小立方体组成的几何体从上面所看到的图形，正方形中的数字表示在该位览的小立方体的个数，则从左面乔这个几何体所得到的图形是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从正面看，得到从左往右2列正方形的个数依次为3， 3；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为5，1，依此画出图形即可． 【详解】解：由题意知：该几何体为： 故从左面看为： 故选D. 【点睛】本题考查三视图，解题关键是得到每列正方形的具体的数目为这列正方体的最多数目． 7. 为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ） A. 中位数是5 B. 众数是5 C. 平均数是5.2 D. 方差是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差定义逐个计算即可． 【详解】根据条形统计图可得， 从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意； 投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意； 平均数，故选项C不符合题意； 方差，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差和条形统计图的知识，解答本题的关键在于读懂题意，从图表中筛选出可用的数据，然后整合数据进行求解即可． 8. 如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，连结AC、BC．若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是根据平行线的性质解答． 9. 不等式组的最小整数解是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，得到不等式组的公共解集，再在解集中找出最小的整数即可. 【详解】解： ， 移项得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变， 原不等式组的解集为， 因此解集中的最小整数解是. 10. 某工程队铺设一条480米的景观路，开工后，由于引进先进设备，工作效率比原计划提高50%，结果提前4天完成任务．若设原计划每天铺设x米，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】关键描述语是：“提前了4天完成任务”；等量关系为：原计划用时-实际用时=4，根据等量关系列式． 解：原计划用时，而实际工作效率提高后， 所用时间为． 方程应该表示为：-=4． 故选C． 本题主要考查由实际问题抽象出分式方程的知识点，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 11. 小明和小亮相约晨练跑步，小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮，两人沿滨江路跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分，下图是两人之间的距离（米）与小明离开家的时间（分）之间的函数图象，下列说法：①小明家与小亮家距离为540米；②相遇前小亮的速度为120米/分；③小明出发7分钟时，两人距离为80米；④若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过1分钟两人相遇．其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可以求出小明比赛前的速度为（540-440）÷1=100米/分，甲乙两家的距离为540米，根据速度×时间=路程，就可以求出小亮在比赛前的速度，根据比赛时甲乙的速度关系就可以求出比赛2分钟时甲乙的距离，先求出14分钟时小亮在小明前面的距离，再由相遇问题就可以求出结论． 【详解】解：由函数图象及题意，得 ①小明与小亮家相距：540米；故①正确； ②小亮比赛前的速度，由 得m/min；故②正确； ③小明离家7分钟时两人之间的距离为：米；故③正确； ④小亮从家出门跑了14分钟后两人之间的距离为：米， 小亮返回时与小明相遇的时间为：400÷（180+220）=1分钟，故④正确； ∴正确的个数有4个． 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据函数方程、函数图象和实际结合进行分析，解决实际问题． 12. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，则内部的格点个数是（ ） A. 266 B. 270 C. 271 D. 285 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，然后求出的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可． 【详解】如图所示， ∵，， ∴， ∵上有31个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，共10个格点， 上的格点有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共19个格点， ∴边界上的格点个数， ∵， ∴， ∴解得． ∴内部的格点个数是271． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想． 二、填空题（每题3分，共计30分）． 13. 函数中，自变量的取值范围是_______________． 【答案】x≠ 【解析】 【详解】因为分式要满足分母不能为0的条件,所以,即,故答案为:. 14. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 15. 已知扇形的弧长为，该扇形的圆心角度数为，则扇形面积为 _______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的弧长，面积的计算方法，掌握弧长公式，扇形面积公式是解题的关键 ． 扇形的弧长为，扇形的面积为，由此即可求解 ． 【详解】解：已知扇形的弧长为，圆心角度数为， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 16. 在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设四个小组分别记作A、B、C、D， 画树状图如图： 小明和小亮所有分组的情况共16种，小明和小亮被分在同一组的情况有4种，所以小明和小亮被分在同一组的概率为. 故答案为：. 考点：概率. 17. 如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题． 【详解】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 18. 若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为a，b， 由题意得：，， ∴， ∴，解得：， 经检验：是分式方程的解， 检验：， ∴符合题意， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19. 如图，四边形内接于，，．若 ，，的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握圆的知识是解题的关键． 如图所示，连接，作，根据圆周角定理可判定是等边三角形，根据垂径定理和勾股定理可求出的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设的垂足为点，作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，即， ∵，， ∴，， ∴， 在中，设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 20. 如图在 中， 为直径， 为弦，点为弧 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线交于点．若 则 _____ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理的推理，平行线分线段成比例，勾股定理的综合，掌握圆的基础知识是解题的关键． 根据垂径定理的推理可得，根据切线的性质可得，由此证得，根据平行线分线段成比例可得，设，可用含的式子表示出的长，在直角中根据勾股定理可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设，则，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为： ． 21. 如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定及性质和解一元二次方程是解决此题的关键．过点F作于H，根据等腰直角三角形的判定可得为等腰直角三角形，设，从而得出，，然后根据折叠的性质可得，再利用勾股定理求出x，即可求出结论． 【详解】解：过点F作于H， ∵四边形为矩形，平分 ∴ ∴为等腰直角三角形，设， 则，， 由折叠的性质可得， 在中， 即 解得：， ∴或 故答案为：或． 22. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点 为位似中心作正方形、正方形、…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律计算，掌握点的变换规律，有理数的计算方法是解题的关键． 根据点坐标中下标的变换规律，找到所在的位置，再根据横坐标，纵坐标的变换规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，， ∴点下标的变换规律是：，，， ∴射线上点下标的规律为：，为正整数， 当时，，不符合题意，即点不在射线上； 同理，，，，，， ∴点下标的变换规律是：，，，， ∴射线上点A下标的规律为：，为正整数， 当时，， ∴点是射线上第个点， ∴横坐标为，纵坐标为， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共计54分） 23. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】（1） 解：依题意作图如下，则即为所求作的高： （2） 【解析】 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可； （2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，是边上的高， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． （1）分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是． 【解析】 【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案； （2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可． 【小问1详解】 解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D， 则， ∵点，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． ∴， 解得， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， ∴， ∴反比例函数的解析式是， 设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得， ，解得, ∴直线所对应的一次函数的表达式为， 【小问2详解】 延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接， ∴点A与点关于x轴对称， ∴，， ∵， ∴的最小值是的长度， ∵，即是定值， ∴此时的周长为最小， 设直线的解析式是， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 当时，，解得， 即点P的坐标是， 此时， 综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 25. 如图，在某信号塔的正前方有一斜坡，坡角，斜坡的顶端C与塔底B的距离米，小明在斜坡上的点E处测得塔顶A的仰角米，且（点在同一平面内）． （1）填空：_______度，______度； （2）求信号塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2）信号塔的高度为米． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可求得，通过2个角的差即可求出； （2）延长交于点F，通过解直角三角形，分别求出、的长度即可求解． 【详解】（1） （2）如图，延长交于点F，则，过点C作，垂足为G． 则， 在中， ， 在中， ， 答：信号塔的高度为米． 【点睛】本题考查平行线的性质，解直角三角形应用，勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义与勾股定理性质是解题关键． 26. 已知是的弦，点C是弧的中点，连接；交于点D． （1）如图1，求证：； （2）如图2，是的弦，交于点G，交于点H，，连接，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点C是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：连接， ∴； ∵，， ∴， 设，， ∴， ， ∴， ∴； （3）36 【解析】 【分析】（1）连接，求得，由三线合一的性质即可证明； （2）设，，求得，推出，即可证明； （3）连接并延长交于点K，作于点R，设，易证，，，导边可得，；求得，由垂径定理得，即，可得；，，由，得，设，则，，，在中得；据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接并延长交于点K，作于点R， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，， ∵，，，， ∴四边形是平行四边形，四边形是矩形， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，即， 解得； ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了圆的有关性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作辅助线，构造出相似三角形． 27. 【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，． 请完成： （1）观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系； （2）证明（1）中的猜想； 【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，． 请完成： （3）证明是的一条三等分线． 【答案】（1） （2） 证明：由折叠的性质可得：，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，， ∵折痕，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的一条三等分线． 【解析】 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）由折叠的性质可知，，然后可得，则有是等边三角形，进而问题可求证； （3）连接，根据等腰三角形性质证明，根据平行线的性质证明，证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：由题意可知； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定及矩形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，证明，是解题的关键． 28. 如图1，抛物线交轴于、两点（左右），交轴于，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第一象限抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接BC交PA于点E，过点O作//，交BC于点F，若PE＝PF，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令a（x+2）（x-5）=0，解得x=-2或x=5，得到A（-2，0），B（5，0），即OA=2，OB=5，再根据5OA=2OC，解得a=-，从而得出抛物线的解析式； （2）点的横坐标为，则，过点作轴，垂足为，根据求得，根据即可求解； （3）设PH交BC于点G，连接GD交OF点N，先推出四边形OHGD为矩形，再证明四边形AOND为平行四边形，从而DN=OA=2，设∠APF=2α，∠PEF=∠PFE=90°-α，再证明△PGF≌△NGF，求得，根据建立方程，求得的值，进而即可求解． 【小问1详解】 在中， 当时，， ∴， ∴， 此时， ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 ∵点的横坐标为，则． 如图，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ∵，∴， 如图，设交于点，连接交点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查二次函数综合题、待定系数法、全等三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $