精品解析：2026年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考一模数学试题

2026年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考一模数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 有理数的相反数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移到②的正前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图和俯视图不变 B. 左视图和俯视图不变 C. 主视图和左视图不变 D. 三种视图都不改变 3. 宿鸭湖位于河南省汝南县，是亚洲面积最大的平原人工湖，其库区总面积约为239平方千米，常年水面面积达11万亩．数据“11万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，处在处的南偏西 方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 如图，正方形的对角线与相交于点，点在上，且，连接并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 河南豫剧是中国五大戏曲剧种之一．某校开展“豫剧文化进校园”活动，设置了“唱腔、身段、念白、脸谱”四种学习项目，每名学生只能选择参加一种项目，则甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，，点是对角线的中点，点，分别在，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时， 的长是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 10. 兰考葡萄酒依托黄河故道沙质土与适宜气候，以白羽、白丰等本地葡萄为原料，经低温发酵等工艺制成，酒液透亮、果香清新、酸甜适口，曾获部省级优质产品奖．某社会实践小组去兰考某葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法错误的是（ ） A. 在发酵前期的内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加 B. 在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖 C. 在发酵后期，葡萄糖浓度的减少助长了酵母菌的生长繁殖 D. 随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数表达式__________． 12. 小刚统计了本班50名学生寒假的阅读量，绘制了下面的条形统计图，则该班学生阅读量的中位数是___________本． 13. 已知整数满足下列条件： ，依此类推，则的值为___________ 14. 如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为_____________．（结果保留根号） 15. 如图，将边长为6的等边三角形沿射线平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接， ．当 为直角三角形时，__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. 消防器材实操演练是提升中学生应急避险能力与消防安全素养的关键举措．通过规范操作灭火器、消防栓等器材，学生能够在突发火情时快速响应、科学处置，有效保护自身及他人生命财产安全．为检验中学生消防器材实操演练效果，某学校组织了以熟用消防器材，筑牢安全防线为主题的器材实操比赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的器材实操比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的器材实操比赛成绩是 ， ， ，，，，， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，，； 九年级名学生的器材实操比赛成绩在组的数据是，， ， ，， ． 九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩扇形统计图 八、九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 优秀率 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问 （1）上述图表中的___________， ___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生的器材实操比赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积． 19. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 20. 河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元． （1）求，两种幼苗的单价； （2）该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 21. 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的D处 天气预警 受冷空气影响，今天 到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（结果精确到） （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． （参考数据： ， ， ） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段． （1）直接写出点的坐标__________； （2）若抛物线经过点O，A，B，求此抛物线的表达式； （3）如图2，设的中点为，抛物线与的形状相同，且经过点（抛物线的顶点）．若点是抛物线上两点，当时，求的取值范围． 23. 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在中，于点，交于点，若为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，是垂三等分点．若 ，则 ___________，___________． （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中，是垂三等分点，且满足 ，若 ，试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点，交于点 ，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考一模数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 有理数的相反数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：有理数的相反数为． 2. 如图，这是由5个同样大小的正方体摆成的几何体．若将正方体①移到②的正前方，则从三个方向看所得几何体的视图中，下列叙述正确的是（ ） A. 主视图和俯视图不变 B. 左视图和俯视图不变 C. 主视图和左视图不变 D. 三种视图都不改变 【答案】C 【解析】 【分析】分别得到将正方体①移到②的正前方后的三视图，依此即可作出判断． 【详解】解：将正方体①移到②的正前方，主视图和左视图不变，俯视图改变． 3. 宿鸭湖位于河南省汝南县，是亚洲面积最大的平原人工湖，其库区总面积约为239平方千米，常年水面面积达11万亩．数据“11万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将“11万”转化为普通整数，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）写出正确结果即可． 【详解】解：∵11万， ∴． 4. 如图，处在处的南偏西 方向， 处在处的南偏东方向， 处在处的北偏东方向，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，三角形内角和定理，熟练掌握方位角的定义是解题的关键．根据题意得到，，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：处在处的南偏西 方向， 处在处的南偏东方向， 处在处的北偏东方向， 由题意得：， ，，， ， ，， ． 故选D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用完全平方公式，同底数幂乘法法则，二次根式减法运算，合并同类项法则判断各选项即可． 【详解】解：A：∵根据完全平方公式可得 ，与选项结果不同，∴A错误； B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得 ，与选项结果不同，∴B错误； C：∵，∴，与选项结果不同，∴C错误； D：∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，可得 ，计算正确，∴D正确． 6. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式即可判断根的情况． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得 ． ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 7. 如图，正方形的对角线与相交于点，点 在上，且，连接 并延长，交于点，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 河南豫剧是中国五大戏曲剧种之一．某校开展“豫剧文化进校园”活动，设置了“唱腔、身段、念白、脸谱”四种学习项目，每名学生只能选择参加一种项目，则甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画树状图，然后再根据概率公式即可求得． 【详解】解：分别用A、B、C、D表示“唱腔、身段、念白、脸谱”四种学习项目， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能情况，其中甲、乙两名学生参加同种学习项目的情况有种， 即甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是． 9. 如图，菱形中， ，点是对角线的中点，点 ，分别在 ，上，将沿翻折，得到，当点与点重合时， 的长是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的性质，结合翻折的特点，找出线段之间的关系来求解 的长度． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ． ∵点是对角线的中点， ∴是对角线，的交点． 由于沿翻折得到，点与点重合， ∴ ， ． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 兰考葡萄酒依托黄河故道沙质土与适宜气候，以白羽、白丰等本地葡萄为原料，经低温发酵等工艺制成，酒液透亮、果香清新、酸甜适口，曾获部省级优质产品奖．某社会实践小组去兰考某葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法错误的是（ ） A. 在发酵前期的内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加 B. 在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖 C. 在发酵后期，葡萄糖浓度的减少助长了酵母菌的生长繁殖 D. 随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感 【答案】C 【解析】 【分析】理解函数图象中的数据含义及变化趋势，再逐一分析判断即可． 【详解】A、在发酵前期的内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加，故选项A中的说法正确，不符合题意； B、在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖，故选项B中的说法正确，不符合题意； C、在发酵后期，葡萄糖浓度的减少抑制了酵母菌的生长繁殖，故选项C中的说法错误，符合题意； D、随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐降低，增加了葡萄酒的口感，故选项D中的说法正确，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数经过点可得截距，由随的增大而增大可得斜率，取满足条件的即可得到符合要求的一次函数表达式． 【详解】解：设符合题意的一次函数表达式为. ∵函数图象经过点， ∴，即. 又∵随的增大而增大， ∴. ∴当时满足题意，则函数表达式为. 12. 小刚统计了本班50名学生寒假的阅读量，绘制了下面的条形统计图，则该班学生阅读量的中位数是___________本． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义、条形统计图的应用，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键．先确定总人数为50，根据中位数定义，需找出排序后第25和第26个数据的平均值；再通过累计人数确定这两个数据对应的阅读量，最后计算中位数． 【详解】解：总人数， 累计人数：（本），  （1本和本）， （1本、2本和3本）， 第个数据均为本， 中位数（本）， 故答案为：3． 13. 已知整数满足下列条件： ，依此类推，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了找规律问题，正确掌握找规律的方法是解题的关键． 先根据题意，计算出前几项，发现规律为当时，且是偶数时，，当是奇数时，，根据规律代入计算即可求解． 【详解】解：当 时，，，，，，，，， 观察可知，当时，且是偶数时，，当是奇数时，， 则﹒ 故答案为：﹒ 14. 如图，菱形的边长为6，，是以点A为圆心，长为半径的弧，是以点B为圆心， 长为半径的弧，则阴影部分的面积为_____________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，是解题的关键．连接，过点作垂直于 ，易得阴影部分的面积等于的面积，勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：连接，过点作垂直于 ， ∵菱形的边长为6，， ∴，， ∴均为等边三角形，且面积相等均等于菱形面积的一半， ∴， ∴， 由题意，得：弓形，弓形， ∴弓形 弓形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，将边长为6的等边三角形沿射线 平移得到，点P，Q分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当 为直角三角形时，__________． 【答案】6或12 【解析】 【分析】先由平移得出，， ，，当 为直角三角形时，需分情况讨论：当时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进行计算即可；当时，先根据平行线的性质得出，进一步得出 ，再利用含角的直角三角形的性质，得出，最后利用线段中点的性质，进行计算即可． 【详解】解：①当时，如图1． 等边三角形沿射线 平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，． ，点 为的中点， ． 点是线段的中点， ， ． ②当时，如图2． 等边三角形沿射线 平移得到，点P，Q分别为，的中点， ，， ，． ， ， ． 点 为的中点，， ． 在中， ， ， ． 点是线段的中点， ， ． 综上所述，当 为直角三角形时，的长为6或12． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1）11；（2） 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零次幂的运算，以及分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数运算的运算法则，以及分式通分、因式分解、约分等化简技巧． （1） 先分别计算绝对值、负整数指数幂、零次幂，再进行整体的加减运算； （2） 先对括号内分式通分，将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后整体约分完成化简． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 消防器材实操演练是提升中学生应急避险能力与消防安全素养的关键举措．通过规范操作灭火器、消防栓等器材，学生能够在突发火情时快速响应、科学处置，有效保护自身及他人生命财产安全．为检验中学生消防器材实操演练效果，某学校组织了以熟用消防器材，筑牢安全防线为主题的器材实操比赛活动．现从八、九年级学生中各随机抽取名学生的器材实操比赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分为四组：．，．，．，．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级名学生的器材实操比赛成绩是 ， ， ，，，，， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，，； 九年级名学生的器材实操比赛成绩在组的数据是，， ， ，， ． 九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩扇形统计图 八、九年级抽取的学生的器材实操比赛成绩统计表 年级 平均数 众数 方差 优秀率 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问 （1）上述图表中的___________， ___________，___________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生的器材实操比赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1） ， ，； （2） 九年级的学生的器材实操比赛成绩更好，理由如下： ∵九年级方差八年级方差 ，平均数相等， ∴九年级学生的器材实操比赛成绩更稳定，成绩更好． 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、百分比、优秀率的计算，以及利用统计量（众数、方差、优秀率）分析数据的能力，熟练掌握众数的定义、百分比的计算方法和统计量的意义是解题的关键． （1）重新统计八年级成绩数据中各数的出现次数，找出出现次数最多的数求 ．先算出九年级组人数，再用优秀人数除以总人数得到优秀率求．确定九年级组人数，再用组人数除以总人数并转化为百分比，得到扇形统计图中组的百分比 ． （2）对比八、九年级成绩的统计量（众数、方差、优秀率等），选择一个统计量作为依据，说明哪个年级成绩更好． 【小问1详解】 解：∵八年级成绩： ， ， ，，，，， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，，， 其中 出现次，出现次数最多， ∴， ∵九年级总人数为，组占 ， ∴九年级组人数， ∵九年级成绩优秀（组）人数为， ∴优秀率， ∵九年级组数据有，， ， ，， ，共人， ∴， ∴ ， 故答案为： ， ，； 【小问2详解】 略 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． （1）求的值及反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先把点代入求出，然后再把点代入即可求解； （2）根据平行四边形的面积求解即可． 【小问1详解】 解： 点在直线的图象上， ， ． 点在的图象上， ， ， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴令，得，解得， ∴， ． ， ． 19. 如图，为的内接三角形，为的直径，请用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． （1）过点作的切线，交的延长线于点 （保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图，直线即为所求作的切线． （2） 证明： 是的直径， ， ． 是的切线， ，即， ． ， ， ． 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点作即可：作射线，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于两点，以该两交点为圆心，大于两交点线段长的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该交点作射线交的延长线于点 即可； （2）证明即可，已知公共角，由直径所对的圆周角为直角得到，是的切线得到，根据同角的余角相等，再结合，等边对等角得到，等量代换证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元． （1）求，两种幼苗的单价； （2）该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元 （2）当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元 【解析】 【分析】（1）设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设采购种幼苗 株，则种幼苗株，总费用为元，得出，根据购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，得出，根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株， ∵购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元， ∴， 解得：， ∴种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元． 【小问2详解】 解：设总费用为元，采购种幼苗 株，则种幼苗株， ∴， ∵购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随 的增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元． 【点睛】本题是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确得出方程组及不等式，掌握一次函数的性质是解题关键． 21. 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头在灯塔北偏西方向 时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 时，渔船航行至灯塔东北方向的D处 天气预警 受冷空气影响，今天 到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；（结果精确到） （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头． （参考数据： ， ， ） 【答案】（1） 海里 （2）能，理由： 在中， ， ， ， （小时） （分钟） 从 ，经过 分钟是 ，在 之前能到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 【解析】 【分析】（1）过点作于点 ，设 ，根据题意得出 ，解 ，由建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点 ． 设 ． 由题意可知，， ， ， ． 在 中， ， 解得 ， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离约为 海里； 【小问2详解】 略 22. 如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段． （1）直接写出点的坐标__________； （2）若抛物线经过点O，A，B，求此抛物线的表达式； （3）如图2，设的中点为，抛物线与的形状相同，且经过点（抛物线的顶点）．若点是抛物线上两点，当时，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 利用平面直角坐标系内点绕原点逆时针旋转 的坐标变换规律（），直接确定点的坐标； （2） 设抛物线的解析式为一般式，代入、、三点坐标，列方程组求解系数，得到解析式； （3） 先求中点的坐标，结合抛物线与形状相同确定的解析式，再利用二次函数的对称性与开口方向，结合列不等式求解 的取值范围． 【小问1详解】 解：点绕点逆时针旋转 ，根据坐标变换规律，得的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设抛物线的表达式为（ ）． ∵ 抛物线过、、， ∴ ． 将 代入后两个方程，得． 两式相加得，解得； 两式相减得，解得． ∴抛物线的表达式为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴的中点的坐标为，即． ∵ 抛物线与形状相同， ∴ 设的表达式为． ∵是的顶点， ∴，，即的表达式为． ∵点、在上，且， ∴，即， 解得． 故 的取值范围为． 23. 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做垂对三等分平行四边形，垂足叫做垂三等分点． （1）【理解应用】如图1，在中，于点 ，交于点 ，若 为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形， 是垂三等分点．若 ，则 ___________，___________． （2）【问题探究】如图2，在垂对三等分平行四边形中， 是垂三等分点，且满足 ，若 ，试猜想与 的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】如图3，已知四边形是矩形，过点作于点 ，交于点 ，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出 的长． 【答案】（1）；； （2） 解： ；理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由得到，得到 ，根据相似三角形的性质即可求出 ．根据勾股定理在 中，求出，进而在 中求出； （2）由得到，得到 ，因此，设 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理求得 ，进而有 ， ，即可得到 ； （3）分两种情况讨论：①若 ，则由 ，得到，设 ，则 ， ，证明 ，得到，求得，即 ，在 中，根据勾股定理即可求出；②若 ，同①思路即可求解． 【小问1详解】 解： ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ， 在 中，由勾股定理得：， 在 中，由勾股定理得：． 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长为或．理由如下： 分两种情况讨论： 如图3，若 ， 在矩形中， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 在矩形中， ， ， ， ， ，即， 解得或 （舍去）， ， 在 中，由勾股定理得：． ②如图， ， 在矩形中， ， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， 在矩形中， ， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， ， 在 中，由勾股定理得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查平行四边形与矩形的性质，平行四边形的性质，垂线定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $