第十章 三角恒等变换（复习讲义，10大题型精讲）高一数学苏教版必修第二册

第十章 三角恒等变换（复习讲义） 1、推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 2、能运用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的化简、求值. 3、能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值. 4、能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系，能利用公式进行简单的应用. 5、能运用两角和与差的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 一、两角和与差的三角函数公式 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 知识点3　两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)两角和与差的正切公式的变形 ①Tα＋β的变形 tan α＋tan β＝tan_(α＋β)(1－tan_αtan_β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan_(α＋β)． tan αtan β＝1－． ②Tα－β的变形： tan α－tan β＝tan_(α－β)(1＋tan_αtan_β)． tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan_(α－β)． tan αtan β＝－1． 知识点4　辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 二、二倍角的三角函数公式 知识点1　二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 知识点2　二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 三、几个三角恒等式 知识点1　积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 知识点2　半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 题型一 利用和差公式求值 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）的值为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，则______. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）____________． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值______． 题型二 给值求值 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广西河池·期末）已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求 (1)的值； (2)． 9．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知，，，，则 （    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 题型三 给值求角 1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·河北沧州·月考）若，且，则______. 78．（23-24高一下·湖北武汉·期中）（1）已知是第二象限角，，求的值； （2）设，且，求角的值. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 5．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（1）已知均为钝角，且，求的值． （2）已知，且，求的值． 题型四 二倍角公式化简求值 1．（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）已知，则______. 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则______. 6．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 题型五 降幂公式的应用 1．（2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏淮安·月考）（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 6．（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则______． 7．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知，则___________. 题型六 辅助角公式 1．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山东·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南开封·开学考试）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．若，则 题型七 积化和差与和差化积公式 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）下列关于函数性质的叙述正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数的最大值为2 D．最小正周期为 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）函数的图象的对称轴方程不可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）_____.(用数字作答) 6．（25-26高一下·全国·课后作业）求函数的最小正周期与最值． 题型八 半角公式的应用 1．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）（   ） A． B．0 C． D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型九 三角恒等变换化简与证明 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）化简（   ） A．-1 B． C． D．1 3．（25-26高三上·山东淄博·期中）（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古包头·月考）化简求值： (1) (2)化简 5．（25-26高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）证明：． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）证明：. 题型十 三角恒等变换与三角函数 1．（2026·江苏·一模）（多选）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）（多选）已知函数，则正确的有（    ） A．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称 B．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）（多选）已知函数，则（    ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调递增区间． 5．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 3．（2026·江西上饶·一模）（多选）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．偶函数 C．图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）下列等式中正确的有（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则__________. 6．（2026高三下·重庆·专题练习）若，则_________． 7．（25-26高三下·福建·开学考试）若，，则______． 8．（25-26高一下·全国·课后作业）计算_____________． 9．（2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）____________． 11．（2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______． 12．（2026·广东佛山·二模）已知，且是第一象限角，则___________． 13．（2025高三·全国·专题练习）若为锐角且，则的最大值为_____. 14．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，均为锐角，且，求的值． 16．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 17．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知． (1)求； (2)求的值． 18．（25-26高一下·四川遂宁·开学考试）（1）已知，且是第二象限角．求，的值； （2）已知函数，化简的解析式并求对称中心． 19．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 20．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)当时，求的值域． 能力提升进阶练 1．（24-25高一下·江苏常州·月考）（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 2．（25-26高二下·陕西西安·开学考试）若，并且､均为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C． D．2 4．（24-25高一下·江苏·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西运城·一模）若函数的图象关于点对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川广安·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）（多选）已知，下列说法正确的是（   ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线轴对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 9．（25-26高一上·山东德州·期末）（多选）已知函数，，，则（   ） A．函数的一个周期为π B．函数在上单调递减 C．函数图象关于对称 D．函数与的最大值相等 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 11．（25-26高一上·江苏常州·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. (1)求函数的解析式以及对称中心； (2)当时，求的值域； (3)若，，求的值. 12．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 13．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. (1)求的解析式； (2)已知函数. （i）证明：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，证明：. 14．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若，求； (3)设.若对于任意，都有，求实数的取值范围. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 三角恒等变换（复习讲义） 1、推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式. 2、能运用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的化简、求值. 3、能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值. 4、能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系，能利用公式进行简单的应用. 5、能运用两角和与差的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 一、两角和与差的三角函数公式 知识点1　两角和与差的余弦公式 cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．(Cα＋β) cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(Cα－β) (1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角． (2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反． 知识点2　两角和与差的正弦公式 sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．(Sα＋β) sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(Sα－β) 知识点3　两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 Tα－β tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) (2)两角和与差的正切公式的变形 ①Tα＋β的变形 tan α＋tan β＝tan_(α＋β)(1－tan_αtan_β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan_(α＋β)． tan αtan β＝1－． ②Tα－β的变形： tan α－tan β＝tan_(α－β)(1＋tan_αtan_β)． tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan_(α－β)． tan αtan β＝－1． 知识点4　辅助角公式 辅助角公式：一般地，当a，b不同时为0时，a sin α＋b cos α＝， 根据Sα＋β引入辅助角φ，使得＝cos φ，＝sin φ，所以a sin α＋b cos α＝(a，b不同时为0)． 其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ和cos φ的值确定，也就是由tan φ＝来确定． 二、二倍角的三角函数公式 知识点1　二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α， (S2α) cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α， (C2α) tan2α＝．(T2α) 知识点2　二倍角公式的变形 (1)公式的逆用 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α． (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α， 1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2． 降幂公式 cos2α＝，sin2α＝ 三、几个三角恒等式 知识点1　积化和差公式与和差化积公式 积化和 差公式 sin αcos β＝[sin (α＋β)＋sin (α－β)] cos αsin β＝[sin (α＋β)－sin (α－β)] cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)] sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)] 和差化 积公式 sin θ＋sin φ＝2sin cos sin θ－sin φ＝2cos sin cos θ＋cos φ＝2cos cos cos θ－cos φ＝－2sin sin 知识点2　半角公式 (1)sin (2)cos (3)tan ＝±． 题型一 利用和差公式求值 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式及逆用余弦的和角公式求解. 【详解】 ． 故选：B 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的正切公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A 3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题可得 . 故选：D 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合两角差的余弦公式运算求解. 【详解】由题意可得： ， 所以. 故选：D. 5．（23-24高一下·辽宁·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 6．（25-26高一上·河南周口·期末）已知，，则______. 【答案】 【详解】因为，， 所以. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）____________． 【答案】/0.5 【分析】利用诱导公式及差角的余弦公式求解. 【详解】 . 故答案为： 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）求值______． 【答案】 【详解】． 题型二 给值求值 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为， 所以，， 所以. 2．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两角差的余弦公式结合题设可得答案. 【详解】因，，则. . 故选：A 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由 ， 所以. 4．（25-26高一上·山东济南·月考）已知，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式得出． 【详解】因为，， 所以，所以， 又， 所以， 故选：B． 5．（25-26高三上·广西河池·期末）已知，均为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角关系以及两角差的正弦公式计算可得结果. 【详解】由题意得, 由可得, 又， 则, 故选：A 6．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 可得 ． 7．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，求 (1)的值； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角函数的基本关系式，求得的值，得到的值，再根据，结合两角差的正切公式，即可求解； （2）根据题意，由，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且，所以， 可得，所以， 又因为， 可得. （2）解：由（1）知，且， 可得. 9．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知，，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用和角正切公式，结合同角公式求出，再利用和差角的正弦公式求解即得. 【详解】由，得，解得，而， 则，，由，解得， 由，得，而，则， 所以， ， 所以. 故选：C 10．（25-26高一上·广东广州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据和差公式可得，再变形得到，再由，得到，再联立解方程组即可． 【详解】， ， ， 即①， 又， 即②， 由①②，解得． 故选：D． 题型三 给值求角 1．（25-26高一下·江苏南京·开学考试）若，，并且为锐角,，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 2．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 3．（25-26高三下·河北沧州·月考）若，且，则______. 【答案】或 【分析】根据两角和正弦公式及特殊角三角函数值计算求解. 【详解】因为， 又因为，则， 所以，即或. 因为得或，即或. 78．（23-24高一下·湖北武汉·期中）（1）已知是第二象限角，，求的值； （2）设，且，求角的值. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得，进而求得； （2）结合角的象限，利用同角三角函数关系求得，，进而利用两角差的余弦公式求得，然后结合角的范围即可求解角. 【详解】（1）因为是第二象限角，， 所以， ； （2），且， ， 因为，， ， 又因为，所以. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）已知，， ，若，求的值． （2）已知，是方程的两根，且，，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用角的变换：，然后由正弦公式展开后求得，再根据角的范围得结论； （2）利用韦达定理求得，并确定角的范围后得结论. 【详解】（1）由，得， 则， 整理得， 由，，得，， 则，即， 所以，又，， 所以，则． （2）因为，是方程的两根，所以， ，所以，，又，， 所以，，所以． 又， 所以． 5．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（1）已知均为钝角，且，求的值． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后计算出的取值范围，利用和差角公式的余弦公式求出的值，即可得出. （2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后根据，利用和差角公式的余弦公式求出的值，即可得出. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以， 所以， 所以， （2）由得，， 所以， ， ， 所以 题型四 二倍角公式化简求值 1．（2026·四川成都·二模）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用两角和的正弦公式化简已知条件，求出，然后结合角的范围求出余弦值，最后根据二倍角公式求解. 【详解】因为， 化简得， 即，又，， 所以. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）若为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数的商关系和二倍角公式进行化简可求得，然后根据同角三角函数的关系求出. 【详解】由题意得，，化简得， 整理得，,， 因为为第二象限角，所以. 故选：A 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 4．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）已知，则______. 【答案】/ 【详解】由题可得， ， 所以. 5．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则______. 【答案】 【分析】借助二倍角的余弦公式，诱导公式，计算即可. 【详解】， 解得或（舍去），则. 6．（25-26高一上·江苏常州·期末）（多选）下列等式不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据两角和余弦和正切公式分别判断AC，再根据二倍角的正弦和余弦公式分别判断BD. 【详解】对于A，，故A不成立； 对于B，，故B不成立； 对于C，，故C成立； 对于D，，故D不成立. 题型五 降幂公式的应用 1．（2026·新疆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知角满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：由二倍角余弦公式有，即可得；法二：由及二倍角余弦公式，即可得. 【详解】法一：由，则， 法二：由，则， . 故选：A． 4．（24-25高一下·江苏淮安·月考）（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角函数的二倍角公式、和差公式、降幂公式以及半角公式，可得答案. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高一下·江西宜春·期末）计算______． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 6．（2025·浙江·三模）已知，且满足，则，则______． 【答案】/ 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 7．（24-25高三上·河北邯郸·月考）已知，则___________. 【答案】/ 【分析】利用诱导公式，以及二倍角的余数公式，化简等式，再利用两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】根据题意，，即， 即，即，所以， 所以， 因为，所以，， 又，所以， 则. 故答案为： 题型六 辅助角公式 1．（2025·广东·三模）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 2．（25-26高三下·山东·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把条件两边平方，利用二倍角公式和辅助角公式可求的值. 【详解】由， 所以 ， 所以. 3．（25-26高三上·福建福州·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知条件，利用辅助角公式化简可得，利用二倍角公式可求得，再利用诱导公式计算即可求得结果. 【详解】由化简可得：，即，即， 所以， . 故选：D 4．（2026·安徽宿州·一模）已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值. 【详解】由， 根据二倍角公式得， 当时，所以，结合正弦函数图像可知， 时，的最小值为, 最大值为，故， 因此，所以的最小值为. 故选：B. 5．（25-26高一下·河南开封·开学考试）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式，可得解析式，根据周期公式，可判断A的正误；将代入，根据正弦函数的性质，可判断B的正误；根据x的范围，可得的范围，根据正弦函数的性质，可判断C的正误；根据条件可得，根据的范围及函数值的大小，可得的范围，进而可得的值，根据两角差的正弦公式，即可得答案. 【详解】由题意， 则的最小正周期，故A正确； 令，则，为函数的最大值， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时， ，故C错误； 因为，所以， 由题意，得， 所以，所以， 则 ，故D正确. 题型七 积化和差与和差化积公式 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可. 【详解】由半角公式可知，， 又， 所以，所以. 故选：B 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）下列关于函数性质的叙述正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．函数为奇函数 C．函数的最大值为2 D．最小正周期为 【答案】AD 【分析】利用积化和差公式化简函数，再利用余弦函数的性质逐项判断. 【详解】依题意，． 因此函数为偶函数，且其最大值为1，最小正周期为. 故选：AD 4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）函数的图象的对称轴方程不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用诱导公式及和差化积公式，得，根据余弦曲线的对称轴可得图象的对称轴方程，由此逐项判断即可. 【详解】 . 令，，得，，所以图象的对称轴方程为. 当时，； 当时，； 当时，； 当时，, 因此和不可能是图象的对称轴． 故选：CD. 5．（2025高三·全国·专题练习）_____.(用数字作答) 【答案】0 【分析】首先将原式加上，再乘以，再根据积化和差公式，化简求值. 【详解】 （）① 因为，， ，，，， ， 所以①式为， 原式. 故答案为：0 6．（25-26高一下·全国·课后作业）求函数的最小正周期与最值． 【答案】最小正周期，最大值为，最小值为 【分析】利用和差化积公式与积化和差公式将函数化为，利用正弦型函数的周期公式及有界性可得函数的最小正周期及最值. 【详解】解： ． 的最小正周期． ， ， 的最大值为，最小值为． 题型八 半角公式的应用 1．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【详解】因为，， 所以. 根据半角公式， 所以. 故选：D. 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 4．（24-25高一下·江苏南京·月考）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换，进行化简，根据三角函数单调性，判断大小. 【详解】因为，所以， 根据正切两角和的公式得， 根据二倍角公式可知， 根据余弦函数在上单调递减，且值域为，所以， 正切函数在上单调递增，所以， 所以， 故选：D. 题型九 三角恒等变换化简与证明 1．（25-26高一上·湖北武汉·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 2．（25-26高三上·云南昆明·月考）化简（   ） A．-1 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据同角三角函数商的关系，诱导公式，辅助角公式，二倍角公式化简可得. 【详解】解析： 故选：A 3．（25-26高三上·山东淄博·期中）（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用两角差的正切公式可判断A，利用两角差的余弦公式可判断B，利用二倍角公式及两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式及诱导公式判断D. 【详解】对于A：因为， 则， 所以，故A正确； 对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD 4．（23-24高一下·内蒙古包头·月考）化简求值： (1) (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和将整理得到，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式得解. （2）利用和将整理即可得解. 【详解】（1） ； （2） 5．（25-26高一下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （2）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （3）利用同角三角函数的基本关系进行化简； 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式 . 6．（25-26高一下·全国·课后作业）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】由平方差公式结合正弦、余弦二倍角公式从左向右证明即可. 【详解】证明：左边 右边． 得证. 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）证明：. 【答案】证明见解析 【分析】将所证等式的右边中的角转化为，角转化为，利用两角和差的正余弦公式求解，再利用公式得到证明. 【详解】右边 左边.所以等式成立. 题型十 三角恒等变换与三角函数 1．（2026·江苏·一模）（多选）已知函数，，则下列结论正确的有（   ） A．曲线与曲线存在相同的对称中心 B．曲线与曲线存在相同的对称轴 C．曲线向左平移个单位得到曲线 D．曲线与曲线关于轴对称 【答案】AC 【详解】选项A，因为， 令，得，所以的对称中心为. 因为，令，得，所以的对称中心为. 假设存在相同对称中心，则， 化简得，当时，，所以存在相同对称中心，A正确. 选项B，：令，得，对称轴为. ：令，得，对称轴为. 假设存在相同对称轴，则，化简得， 左边为偶数，右边为奇数，无整数解，所以曲线无相同对称轴，B错误. 选项C，，平移个单位，得： ，C正确. 选项D，若与关于轴对称，则需满足. 因为，而， 显然与不能恒相等，所以两曲线不关于轴对称，D错误. 2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）（多选）已知函数，则正确的有（    ） A．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称 B．将曲线上的各点向左平移个单位长度得到的曲线关于原点对称 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【分析】首先应用辅助角公式化简函数式，再根据图象平移写出对应解析式并化简判断A、B，由正弦函数的单调性判断C、D. 【详解】由， A：为偶函数，对， B：为非奇非偶函数，错， C：，则，显然在区间上单调递增，对， D：，，则，显然在区间上单调递增，对. 3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）（多选）已知函数，则（    ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A错误，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由图象法可求得值域. 【详解】易知函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A错误； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C正确； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调递增区间． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简，再由正弦函数的最小正周期公式即可求出，从而得出的解析式； （2）根据正弦函数的单调增区间，即可求出的单调增区间，再令，即可求出在上的单调增区间. 【详解】（1） ， 因为，，所以，所以. （2）令， 得， 当时，； 又，所以， 当k取其它值时对应的区间均不在该范围内. 所以在上的单调增区间为. 5．（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知函数． (1)若，求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)已知函数在区间上的值域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据条件，结合诱导公式，化简计算，即可得答案. （2）由（1）得解析式，根据正弦函数的单调减区间，代入求解，即可得答案. （3）根据x的范围，可得，根据值域，分析可得的范围，即可得答案. 【详解】（1）由题意， 若，则， 则. （2）由（1）得， 令， 解得，即的单调递减区间为. （3）因为，所以， 因为的值域为， 所以，解得，则实数的取值范围为. 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·山东菏泽·期末）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由两角差正弦公式结合题意可得答案. 【详解】. 故选：A 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）的值为（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由两角和正弦公式计算. 【详解】， 故选：B. 3．（2026·江西上饶·一模）（多选）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．偶函数 C．图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【分析】化简函数的解析式，可得出，再利用余弦函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，， 所以函数， 所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确． 函数的图象关于点中心对称，C正确， 函数在区间上不单调，D错误． 故选：BC． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选）下列等式中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由结合诱导公式、商数公式即可判断A；由两角差的正弦公式化简计算即可判断B；由诱导公式结合两角和的余弦公式即可计算判断C；由结合两角差的正切公式即可计算判断D. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； 因为， 所以，D正确. 故选：AD 5．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知，则__________. 【答案】 【详解】由，得，即 ① ， 又因为 ②， 由①②得：， 所以. 6．（2026高三下·重庆·专题练习）若，则_________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用两角和的余弦公式化简可得的值，平方可得的值，继而化简，代入求值，即得答案. 【详解】由，得， 即，则，化简得， 故. 7．（25-26高三下·福建·开学考试）若，，则______． 【答案】/0.125 【详解】． 8．（25-26高一下·全国·课后作业）计算_____________． 【答案】0 【分析】逆用和差公式即可求解. 【详解】原式 ． 故答案为： 9．（2026·四川成都·二模）已知，，则__________ 【答案】/ 【分析】对已知的两个式子左右两边平方，相加后利用同角三角函数基本关系，再结合两角差的正弦定理的逆用，代入即可求解. 【详解】由题知①， ②， 得， 即， 所以，所以. 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）____________． 【答案】/ 【分析】根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 11．（2026·陕西榆林·一模）函数的最大值为_______． 【答案】 【分析】由辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】 ， 其中，故的最大值为． 12．（2026·广东佛山·二模）已知，且是第一象限角，则___________． 【答案】/ 【详解】由，得，又是第一象限角，解得， 所以. 13．（2025高三·全国·专题练习）若为锐角且，则的最大值为_____. 【答案】/ 【分析】通过对转化，可用的三角函数表示，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】因, 由可得：， 因为锐角，两边同除以,可得， 即，则 设，则,即,其中, 因，则上述关于 的方程有解的充要条件为， 即 ，整理得，解得，等号成立时． 所以的最大值为. 故答案为：． 14．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知均为锐角，且. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 又为锐角，，则. （2）由题意知： . 15．（25-26高一下·全国·课后作业）已知，均为锐角，且，求的值． 【答案】 【分析】先借助于题设化弦为切，求得，再将利用和的正切公式展开，将前式代入化简计算即得. 【详解】因为, 所以． 16．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知，且， (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两边同时平方，结合同角关系即可解得的值； （2）联立，结合，可解得，使用和差公式可得，使用二倍角公式分别求即可求解； （3）原式化简变形得，由（2）可得的值，进而可求得的值. 【详解】（1），两边同时平方得， 解得. （2）, 则有， 联立，且，解得， 所以， 则. （3）由题意，， 分式上下同时除以得， 由（2）得， 将，代入得， 即, 17．（25-26高一下·河北保定·开学考试）已知． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式，求得，结合余弦的倍角公式，即可求解； （2）利用三角函数的基本关系式，求得，得到的值，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）由，可得， 因为，所以，则，所以， 所以. （2）因为，所以， 可得，， 所以. 18．（25-26高一下·四川遂宁·开学考试）（1）已知，且是第二象限角．求，的值； （2）已知函数，化简的解析式并求对称中心． 【答案】（1）， ；（2），对称中心为， ． 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式化简计算可得； （2）利用三角恒等变换公式将函数化简，结合余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且是第二象限角， 所以，； ； ． （2）， 所以的对称中心为， 19．（25-26高一下·云南玉溪·开学考试）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【详解】（1）由题可得，，， ∴，， 又 ． （2）． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 20．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）设函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数图象的对称中心； (3)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再求最小正周期即可； （2）根据正弦函数的性质整体代换求解即可； （3）由题知，再结合正弦函数的图象性质求解即可. 【详解】（1）解： ， 所以函数的最小正周期为 （2）解：由（1）得， 令，解得， 所以函数图象的对称中心 （3）解：由（1）得， 当，， 所以，即， 所以，即时，的值域为. 能力提升进阶练 1．（24-25高一下·江苏常州·月考）（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【详解】， 因， 则， 故. 2．（25-26高二下·陕西西安·开学考试）若，并且､均为钝角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由均为钝角，且，得， 而， 则， 所以 . 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，则（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】，， ①， ②， ①+②化简得：， ①-②化简得：， 两式相除得． 4．（24-25高一下·江苏·月考）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解. 【详解】因为， 解得或，又，则， 所以，则． 5．（2026·山西运城·一模）若函数的图象关于点对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二倍角公式化简函数的表达式，然后根据余弦函数的对称中心计算即可. 【详解】. 因为，所以. 令，得，所以函数的对称中心为. 因为函数的图象关于点对称， 所以，解得，取最大的整数. 此时，所以的最大值为. 6．（24-25高一下·四川广安·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且为正三角形，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先将函数解析式进行化简，根据为正三角形，可求得的长，根据正弦型函数的图象与性质，可求得周期，进而可求得的值，即可得的解析式，代入数据，即可求得答案. 【详解】函数 ， ， ， ，所以， 故选：A 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． 8．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）（多选）已知，下列说法正确的是（   ） A．若，在区间上单调 B．若关于直线轴对称，则 C．若，且为的一个对称中心，则 D．若，在区间上的最大值与最小值的差的取值范围是 【答案】BCD 【分析】先化简函数解析式，再结合函数的单调性可判断A的真假；利用函数在处取得最值求，可判断B的真假；先根据函数的对称性求的值，再利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系求的值，可判断C的真假；分情况讨论函数，在区间上的最大值与最小值，可求它们差的取值范围. 【详解】对A：当时，，因为，所以， 因为函数在上不单调，所以函数在区间上不单调.故A错误； 对B：若关于直线轴对称，则或， 由；方程无解.所以.故B正确； 对C：时，为的一个对称中心，所以， 所以.故C正确； 对D：当时，， 当与关于某条对称轴对称时，在区间上的最大值与最小值的差取得最小值； 当与都在的某一个单调区间内时， ， 其中，且. 当，时，.故D正确. 故选：BCD 9．（25-26高一上·山东德州·期末）（多选）已知函数，，，则（   ） A．函数的一个周期为π B．函数在上单调递减 C．函数图象关于对称 D．函数与的最大值相等 【答案】ACD 【分析】由判断A；由在上单调递增，结合复合函数的单调性可判断B；利用可判断C；求得函数与函数的最大值可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数的一个周期为，故A正确； 对于B，，当时，，又因为在上单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递增，故B错误； 对于C，， 所以曲线关于对称，故C正确； 对于D，，所以， 当时，，所以函数的最大值为， 又，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为，所以函数与函数的最大值相等，故D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知，则_________. 【答案】 【分析】由和差公式得，再由平方关系可求得，再由倍角公式即可求解. 【详解】由得，即， 又，所以，. 故答案为： 11．（25-26高一上·江苏常州·期末）函数（其中，，）的部分图象如图所示，先把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），把得到的曲线向左平移个单位长度，再向上平移一个单位，得到的图象. (1)求函数的解析式以及对称中心； (2)当时，求的值域； (3)若，，求的值. 【答案】(1)，对称中心为，； (2)； (3) 【分析】（1）根据图象求函数的解析式，结合函数图象变换可得函数的解析式，再根据余弦函数的性质求函数的对称中心. （2）结合余弦函数的图象求函数的值域. （3）先根据的取值范围，判断的符号，再根据二倍角公式求的值. 【详解】（1）由的图象得，，，， 由， 又，，，而，. ， 把函数的图象上的各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象， 再把得到的曲线向左平移个单位长度，可得， 再向上平移一个单位，得. 令，，解得，，则的对称中心为，. （2）∵，， ， 则的值域为； （3），，，所以. ∵，即， 解得：. 12．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据周期，求得值； （2）利用函数的平移变换求出，按的正负分情况讨论的取值范围，结合题意利用集合的包含关系列式求解即可. （3）分和讨论，再结合零点存在性定理证明即可；利用换元法转化为证明，对右边不等式转化为证明，结合即可证明. 【详解】（1） ， 因为的最小正周期为， 所以，解得； （2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得， 再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数， 当时，，则， 当，，则， 因为，使得成立， 当时，符合题意； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，． （3）由题意设，其定义域为． ①当时，单调递增， 且，， 故存在，使得； ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立，即此时函数无零点. 综上，存在唯一的，使得，且． 由题意可知，，因， 要证成立，只需证（*）， 令，则， 则（*）为，即证：， 又因，显然成立， 故（*）成立，也即得证. 13．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数. (1)求的解析式； (2)已知函数. （i）证明：函数有且只有一个零点； （ii）记函数的零点为，证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义得到，根据奇函数的定义得到，这两个等式相加计算得到. （2）（i）求出，分类讨论，和范围内的零点个数，结合单调性和零点存在性定理求解.（ii）由题意知，且，整理得到，令，由的范围结合二次函数的图像和性质得到证明. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 所以， 又是奇函数， 所以，所以， 所以，即. （2）（i）由题意知 ， 当，则， 此时在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以在上有 唯一零点； 当，所以， 所以在上没有零点； 当时，，所以，所以， 所以在上没有零点. 综上，有且只有一个零点. （ii）由题意知，且， 所以， 所以， 令， 因为，所以，又， 则， 所以 ， 即. 14．（25-26高一上·安徽淮北·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若，求； (3)设.若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为函数图象的最值已知，可利用公式计算得到的值，由函数图象可得周期，再由求出，再把点代入函数式，结合求出，进而得到解析式； （2）先将代入（1）的解析式，结合已知求出的值，因为，所以利用同角三角函数的平方关系求出和因为，所以利用两角差的正弦公式计算； （3）利用二倍角公式，将转化为关于的二次函数，设，由得，将问题转化为二次函数在闭区间上的最大值问题，对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，求出不同情况下的最大值，再结合最大值小于的最小值求解的范围. 【详解】（1）由图象可知，函数最大值为，最小值为，因此：振幅， 由图象可知，半个周期为，故周期，； 因此，代入最高点得： ， 结合得. 故函数的解析式为：. （2）， 解得：， 由得， 又，， 得， 由正弦差角式，得： ， . （3）当，得，所以，故， 因此只需即可. ， 令，当，得， ，开口向下，对称轴为， 当时，在上单调递减， 所以当时，， 解得， 故； 当时，恒成立，故满足； 当时，在上单调递增， 当时，， 故得：； 综上： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $