（讲义）第10章 10.1 10.1.3 两角和与差的正切-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

10.1.3　两角和与差的正切 1．会由正弦、余弦的和(差)角公式推导正切的和(差)角公式，并从推导过程中体会到化归思想的作用．(重点) 2．能用正切的和(差)角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．(重点、难点) 1．通过同角三角函数的关系，推导出两角和与差的正切公式，提升逻辑推理素养． 2．依托正切的和(差)角公式的应用，提升数学运算素养． 根据同角三角函数的商数关系tan θ＝，怎样由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式将tan(α＋β)用tan α，tan β来表示？如何将tan(α－β)用tan α，tan β来表示？ 知识点　两角和与差的正切公式 T(α＋β)：tan(α＋β)＝． T(α－β)：tan(α－β)＝． 公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？ [提示]　(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反． 1．tan 15°＝________；tan 75°＝________． 2－　2＋　[tan 15°＝tan(45°－30°) ＝ ＝＝＝2－． tan 75°＝＝＝2＋．] 2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________． 1　[tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝． tan(α＋β)＝＝1．] 类型1　条件求值问题 【例1】　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan． 2α＝α＋β＋α－β，2β＝α＋β－α－β，tan可以用tan 2α表示出来. [解]　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－， tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝ ＝＝， tan＝＝＝． 求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算. [跟进训练] 1．(1)已知α∈，sin α＝，求tan的值； (2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan(α＋β)的大小． [解]　(1)因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝＝＝－， 故tan＝＝＝． (2)由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝＝＝1． 类型2　给值求角 【例2】　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β． 利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tanα＋β的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值. [解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0， 所以tan α＜0，tan β＜0．又因为α，β∈， 所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0． 又因为tan(α＋β)＝＝＝， 所以α＋β＝－． 1．给值求角的一般步骤 (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则 (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． [跟进训练] 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，． 求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小． [解]　由已知得cos α＝，cos β＝，又α，β是锐角， 则sin α＝＝，sin β＝＝．所以tan α＝＝7，tan β＝＝． (1)tan(α＋β)＝＝＝－3． (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝＝＝－1， 又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝． 类型3　T(α±β)公式的变形及应用 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． 当一个代数式中同时出现“tan α＋tan β”及“tan α tan β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？ [解]　∵tan A＋ tan B＝tan Atan B－1， ∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1， ∴＝－，∴tan(A＋B)＝－． 又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝． ∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝， ∴tan