第03讲 向量基本定理及坐标表示（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（苏教版）

第03讲 向量基本定理及坐标表示 【苏教版】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【解答过程】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【解答过程】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据基底的定义结合平面向量共线定理判断各个选项中两向量是否共线即可. 【解答过程】对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意； 对于B，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意； 对于C，假设，则存在唯一实数，使得，即， 所以，无解， 所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意； 对于D，因为，所以， 所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意. 故选：C. 【变式1.3】（2025高一下·全国·专题练习）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可. 【解答过程】、是不共线的两个非零向量， 对于A，和中，，和不共线，可作基底，A不是； 对于B，与中，，与不共线，可作基底，B不是； 对于C，与中，，与共线，不能作基底，C是； 对于D，与中，，与不共线，可作基底，D不是. 故选：C. 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由为中点，则，根据平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】由， 所以， 故选：A. 【变式2.1】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据平面向量基本定理得到答案. 【解答过程】点是的中点，， ． 故选：D． 【变式2.2】（24-25高一下·湖南·期中）在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面向量的线性运算用基底表示即可. 【解答过程】由题意可得，其中， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一下·北京顺义·月考）如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【解答过程】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解． 【解答过程】在平行四边形中，，， 所以 ， 若，则，所以． 故选：A． 【变式3.1】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【解答过程】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 【变式3.3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【解题思路】由得，进而，最后利用平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】由四边形为平行四边形，为的中点，知，且， 所以，则． 因为， 所以，，所以． 故选：C． 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【解答过程】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解答过程】（1）点是的中点，， 故， ； （2）由（1）知， ． 【变式4.3】（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【解答过程】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 模块二 向量坐标表示与运算 1．向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (2)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . (3)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (4)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断. 【解答过程】由，，，得， 所以. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算坐标表示即可求得结果. 【解答过程】因为向量，，所以， 故选：C. 【变式5.2】（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【解答过程】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高一下·海南儋州·月考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，可得答案. 【解答过程】由题意可得. 故选：C. 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】由向量的数量积坐标运算公式和线性运算公式计算即得. 【解答过程】由，可得， 则. 故选：D. 【变式6.1】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量夹角公式的坐标表示即可得解. 【解答过程】因为，， 所以，，， 所以， 又，所以. 故选：D. 【变式6.2】（24-25高一下·广西柳州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可； （2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）若，则，，所以 所以. （2）向量，， 若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 故，所以的取值范围为. 【变式6.3】（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求出m，即可求得，即可求解答案； （2）根据向量平行的坐标表示求出m，再利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由于向量，，故，， 由，得， 即，解得，则， 故， （2）由于向量，，，则， 则，故， 故与夹角的余弦值为. 模块三 向量平行的坐标表示 1．向量平行的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·江苏淮安·月考）平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】应用向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】由题设，则，可得. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【解答过程】由题意可得，， 由与共线可得， 解得， 故选：C. 【变式7.2】（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【解题思路】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 【变式7.3】（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 【答案】(1) (2)0 (3) 【解题思路】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解； （3）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可； 【解答过程】（1）解：因为，，所以，， 又与平行， 所以，解得； （2），， 因为与垂直， 所以， 解得：； （3）因为，， 所以， 因为与夹角为，所以， 即， 解得． 【题型8 向量坐标运算的几何应用】 【例8】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 【变式8.1】（2025·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，若 ，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解. 【解答过程】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为 ，所以 所以，解得，所以. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高一下·河南周口·月考）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为.    (1)写出向量的坐标; (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1)，， (2) 【解题思路】(1) 由向量的坐标运算即可求解； (2) 由平行四边形的性质结合向量相等即可求出D的坐标. 【解答过程】（1）， ， . （2）设，由，可得， 所以，故. 【变式8.3】（24-25高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，利用，可求点的坐标； （2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标. 【解答过程】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 一、单选题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解答过程】由图知， . 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【解题思路】利用向量的坐标表示求解即得. 【解答过程】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知向量，，若，则等于（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用的坐标表示求出参数，计算的坐标，再用向量模的坐标表示即可. 【解答过程】因为向量，，且， 所以，解得， 即， 所以. 所以， 故选：C. 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得的值. 【解答过程】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 6．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【解答过程】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 7．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案. 【解答过程】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 8．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】如图建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，当点P与点E或点F重合时，可得最小值，当点P与点G或点H重合时，可得最大值. 【解答过程】如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 所以，由于， 所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为， 当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据给定条件，利用向量基底的定义，共线向量的坐标表示逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，不共线，可作基底，A是； 对于B，，，不能作基底，B不是； 对于C，，不共线，可作基底，C是； 对于D，不能作基底，D不是. 故选：AC. 10．（25-26高三上·福建泉州·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解题思路】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分析. 【解答过程】对于A，，则，A错误； 对于B，因， 则，，B正确； 对于C，因，， 则与夹角的余弦值为，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 【答案】BCD 【解题思路】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【解答过程】对于A,B,C,设，将，代入， 得，因为E、G、C三点共线，且B、G、D三点共线， 所以，得， 即．所以A错，B，C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， ， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，，，则点的坐标为 . 【答案】 【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【解答过程】设点， 则，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，，若，，三点共线，则 ． 【答案】 【解题思路】利用共线向量的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，，三点共线，所以， 又，，所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 . 【答案】1 【解题思路】根据平面向量共线定理将变形为，即可根据平面向量基本定理得，即可求出的值. 【解答过程】因为，且不共线， 所以，整理可得. 又因为， 所以由平面向量基本定理可得， 所以. 故答案为：1. 四、解答题 15．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3)2 【解题思路】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解； （2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可； （3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 16．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【解答过程】（1）. （2），， 与共线， ，解得：. 17．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【解答过程】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 18．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （3）两个向量的数量积大于零且两向量不共线，求出范围即可. 【解答过程】（1）因为且， 所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得， 由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）首先建立平面直角坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积； （2）设出点的坐标，利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解答过程】（1） 如图，以A为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则,因为， 所以. （2）如图，设，则， 因为，所以，解得或， 故或. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 向量基本定理及坐标表示 【苏教版】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1.2】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1.3】（2025高一下·全国·专题练习）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（24-25高一下·贵州六盘水·月考）如图，为的边上的中线，且，那么为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在中，点是的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·湖南·期中）在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高一下·北京顺义·月考）如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形中，，，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3.2】（24-25高一下·广西南宁·期末）在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（   ） A．0 B． C． D．1 【变式3.3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点．若，则（    ） A． B．0 C． D．1 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【变式4.1】（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一下·云南保山·期末）如图，在中，点是的中点，，设，． (1)用，表示，； (2)若，，，求． 【变式4.3】（24-25高一上·云南昆明·期末）如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 模块二 向量坐标表示与运算 1．向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. (2)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . (3)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (4)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，，,则（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一下·浙江台州·期末）已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一下·海南儋州·月考）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·广东深圳·期中）已知向量，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6.1】（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一下·广西柳州·期末）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【变式6.3】（24-25高一下·山东青岛·期末）已知向量， (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 模块三 向量平行的坐标表示 1．向量平行的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·江苏淮安·月考）平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D．1 【变式7.1】（25-26高三上·河北沧州·月考）已知平面向量，，且与共线，则（   ） A．1 B．-1 C． D． 【变式7.2】（2025·天津河北·模拟预测）已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【变式7.3】（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 【题型8 向量坐标运算的几何应用】 【例8】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【变式8.1】（2025·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，若 ，则（　　） A． B．2 C． D． 【变式8.2】（24-25高一下·河南周口·月考）如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为.    (1)写出向量的坐标; (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点的坐标. 【变式8.3】（24-25高三上·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 一、单选题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 4．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知向量，，若，则等于（    ） A．3 B． C． D． 5．（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·福建泉州·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 11．（24-25高一下·河北·期中）如图，在中，BD与EC交于点G，E是AB的靠近B的三等分点，D是AC的中点，且有，，则下列命题正确的是（    ）    A． B． C． D．过G作直线MN分别交线段AB，AC于点M，N，设，（，），则的最小值为2． 三、填空题 12．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知，，，则点的坐标为 . 13．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，，若，，三点共线，则 ． 14．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知不共线，且，则 . 四、解答题 15．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，求： (1)； (2)； (3)． 16．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 17．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 18．（24-25高一下·江西九江·月考）已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在直角梯形中，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $