专题：整式的乘除与因式分解-2026年中考数学专项（浙江专用）

专题：整式的乘除与因式分解-2026年中考数学专项（浙江专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，则下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的值为（    ） A．2 B．2或 C． D．或 3．关于，的方程组的解满足，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 5．现有如图所示的甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张，小明要用若干张这些纸片拼一个长、宽分别为、的长方形（不重叠、无缝隙）．下列判断正确的是（    ） A．甲种纸片剩4张 B．丙种纸片缺4张 C．乙种纸片缺1张 D．甲种和乙种纸片都不够 6．若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 7．若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 8．用4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则之间存在的数量关系是（    ） A． B． C． D． 9．已知多项式，，（，为常数），下列说法： ①当时，无论，取何值，都有； ②若且，则，； ③若，则不存在整数，，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 10．计算__________． 11．若，则___． 12．定义新运算：．例：．若为完全平方公式，且，则的值为___________． 13．若实数x，y，m满足，，则m的值为______________． 14．已知，则_________． 15．如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______． 三、解答题 16．因式分解：． 17．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 19．完全平方公式是非常重要的公式，在整式的化简、数据运算、代数推理、最值计算等方面都有巧妙的作用，根据公式解决下列问题： (1)填空：把下列各式配成完全平方式． ，； (2)求代数式的最小值． 20．数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 21．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1阴影部分的面积能解释的乘法公式：______； (2)用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图2的正方形，请你根据阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系：______； (3)若，，求的值； (4)如图3，正方形和正方形的边长分别为m，，若，，E是的中点，求阴影部分面积的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：整式的乘除与因式分解-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C C C C D C B B 1．B 【分析】本题考查整式的运算，需根据合并同类项、积的乘方、同底数幂乘除法的法则逐一判断选项正误． 【详解】解：∵合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变， ∴，选项A运算正确； ∵积的乘方需将每个因式分别乘方，再把所得幂相乘，幂的乘方底数不变、指数相乘， ∴，选项B运算错误； ∵同底数幂相乘，底数不变、指数相加， ∴，选项C运算正确； ∵同底数幂相除，底数不变、指数相减， ∴，选项D运算正确． 故选：B 2．C 【分析】先求出的值，再根据确定的符号即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ． 3．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，幂的乘方，同底数幂的除法，得，然后由，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 得，即， ∵， ∴，解得， ∵， 所以代入得， 故选：． 4．C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 5．C 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，利用多项式乘以多项式的法则求出长方形的面积，进行判断即可． 【详解】解：， 故需用6张甲种纸片，7张乙种纸片，2张丙种纸片拼成一个长、宽分别为、的长方形， ∵甲、乙、丙三种长方形或正方形纸片各6张， ∴乙种纸片缺1张； 故选C． 6．D 【分析】平方差公式的形式为，将每个选项代入多项式，判断是否能转化为两个有理数范围内的平方项的差的形式． 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 7．C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 8．B 【分析】如下图，先求出空白部分的面积，然后求出阴影部分的面积，利用，可得出a、b之间的关系． 【详解】解：如下图： 则空白部分的面积， ， ， ， 代入化简得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴． 9．B 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，解题的关键是配方． ①通过配方结合平方的非负性判断；②通过代入条件化简方程，利用配方法求解验证；③通过配方得到表达式，分析整数解的存在性． 【详解】解：①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； ②：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，故②错误； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，即 ∴存在整数解（如 ，），使得，故③错误． 综上，只有①正确，正确个数为1． 故选：B． 10． 【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【详解】解：原式 11． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则. 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加得到，再把代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式，掌握相应的运算法则是解题的关键．根据新运算定义，计算得到表达式，令其等于完全平方公式，通过比较系数求解． 【详解】解：由定义，，， 则 ， ∵为完全平方公式， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 13．3 【分析】先把两个等式相加，再进行配方，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入求解． 【详解】解：，， 两式相加，得：， ， ， ，， ， ． 14． 【分析】利用换元法将看作，看作，两式相加可得．将方程因式分解为，由于，则，因此． 【详解】解：， 设，，则原方程组为， 将，得， ， 变形，得， ∴， ∴， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 15． 【分析】本题考查了新定义运算，根据“矩数”定义，设，，由得方程，整理为．因t和s为正整数，枚举因子对求解，得，． 【详解】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故 ；“矩数”q的最佳拆分点为s，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于t和s均为正整数，故和均为整数，且， ∴可能因子对为或， ①当，时，联立方程解得，； ②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去， 故，， ∴． 故答案为：． 16． 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ． 17．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则，分步处理系数相乘、同底数幂相乘及符号判断，避免运算顺序或符号错误； （1）利用同底数幂相乘（底数不变，指数相加），最后确定符号（异号得负）； （2）利用同底数幂相乘计算即可； （3）利用同底数幂相乘计算即可； （4）利用同底数幂相乘计算即可； （5）先根据积的乘方和同底数幂相乘计算即可； （6）先分别根据积的乘方计算，再将两个结果相乘，利用同底数幂的乘法运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 18．(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 19．(1)，；， (2) 【分析】本题考查完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式的形式是关键． （1）根据两个完全平方公式的形式，分析出与，然后进行填空即可； （2）利用完全平方公式分别对和的代数式进行配方，利用平方的非负性得出原式的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可得，在代数式中，，，则， ∴， 同理，在代数式中，套用的形式，可得，， ∴． 故答案为：，；，． （2）解：， ， ， ∵，， ∴当，时，原式取得最小值． 20．(1)， (2)图见解析， 【分析】此题考查多项式乘以多项式计算法则，多项式因式分解， （1）计算长方形的面积，即可得到所需B卡片，C卡片的数量；    （2）根据因式分解方法分解即可． 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为， ∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 21．(1) (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a、b的正方形的面积可得； （2）图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （3）利用，代入求值即可； （4）延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为，结合已知条件分别表示出阴影部分的图形和的表达式，再将二者相加，结合，，即可求得阴影部分的面积． 【详解】（1）解：在图1中，由图可知，， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． （2）解：在图2中，由图可知，，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （3）解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：如图，延长交于点K，记的面积为，矩形的面积为，的面积为，的面积为， ∵正方形边长为m，正方形边长为n，E为的中点， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， 即阴影部分面积的和为6． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $