专题：一元二次方程-2026年中考数学专项（浙江专用）

专题：一元二次方程-2026年中考数学专项（浙江专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在解关于x的一元二次方程时，佳佳将二次项系数“”看成了“1”，得到方程有两个相等的实数根，则原方程的两根之积为（   ） A． B．1 C． D．2 5．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．《算学宝鉴》中记载了这样一个问题：“门厅一座，高广难知、长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺，两隅斜进，恰好方齐．”大意为：现有一个门，不知道它的宽度和高度，如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺，拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺，沿对角线斜着进，恰好通过，则门的高度是（    ） A．7尺 B．8尺 C．9尺 D．10尺 7．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为米，则下列方程正确的为（    ） A． B． C． D． 8．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 9．已知整式，．下列说法： ①．当时，满足条件的x的积为2； ②．当时，则存在这样的实数根、能使； ③．当时，则整式可取到最小值，最小值为0； ④．当方程与存在一组互为倒数的实数根时，符合条件的整数与一共有2组． 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_____． 11．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____． 12．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 13．定义一种新运算：，若，则的值为__________． 14．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 15．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 16．若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 三、解答题 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是原方程的两根，且满足，求m的值． 20．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元 (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． (2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 21．规定：如果实数，，满足，那么称一元二次方程为“等差”二次方程． (1)下列方程是“等差”二次方程的有______（填序号）； ①；②；③；④ (2)若“等差”二次方程的一个根为，求这个方程的另一个根； (3)若，是“等差”二次方程的两个根，请写出，的数量关系，并说明理由． 22．如图，在中，，，， 于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，速度为每秒2个单位长度，两点同时出发，当点Q运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式， (3)在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：一元二次方程-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B C A B B C D C 1．A 【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程，逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，满足所有条件，故本选项符合题意； B选项方程含有分式，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意； C选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； D选项方程含有和两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意； 2．B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 3．C 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 4．A 【分析】先根据看错系数后的方程有两个相等实数根，利用判别式求出的值，再代入原方程，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之积． 【详解】解：∵佳佳将二次项系数“”看成“”，得到方程，且该方程有两个相等实数根， ∴判别式， 即，解得， 将代入原方程，得， 设原方程的两根分别为， ∴两根之积． 5．B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据平均增长率的公式，分别表示出11月、12月的营业额，再结合第四季度总营业额的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元， ∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了勾股定理和一元二次方程，设门的高度为，门的宽度为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设门的高度为，则竹竿高为， 门的宽度比竹竿的长度少四尺， 门的宽度为：， 沿对角线斜着进，恰好通过，据此列方程： ， 即， 解得：或（舍）． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程．可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故选：C． 8．D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 9．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系根的判别式等．利用根与系数的关系可判断①；利用根与系数的关系，根的判别式判断实数根存在性可判断变形为，可求最小值，可判断③；设方程的一个根为a，则的一个根为，可得，，由，，可得到，即，再根据m，n均为整数，可判断④． 【详解】解：①当时，方程满足条件的x的积为，故①正确； ②当时，方程， 此时， ∵， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∴该方程无解， ∴当时，不存在这样的实数根、能使，故②错误． ③， ∵， ∴， ∴ ， ∴可取到最小值，最小值为0，故③正确； ④设方程的一个根为a，则的一个根为，则 ∴，， ∴， 由，，得：， ∴， 整理得：， ∴， ∵m，n均为整数， ∴或或或， 解得：（舍去）或（舍去）或或， 当时，的判别式，的判别式，满足实数根条件， 当时，的判别式，的判别式，满足实数根条件， ∴符合条件的整数与一共有2组，故④正确． 综上，正确说法为①③④，共3个． 故选：C 10． 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根1代入原方程，构造关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 整理得 ， 解得 ． 11．或 【分析】首先对因式分解得，然后可以求出x与y的关系式． 【详解】解：， ， 或 或 12．41 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：41． 13． 【分析】根据新定义将转化为一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， 即的值为． 14．14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 15．或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 16．2或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“差3方程”的概念是解题关键． 设方程的两根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，再结合“差3方程”以及完全平方公式可得关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵方程是“差3方程”， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时，符合题意； 当时，原方程为， 此时，符合题意； 综上所述，m的值为2或． 故答案为：2或 17．(1)， (2)， 【分析】（1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程可化为， 开方，得， 解得，； （2）解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【详解】（1）证明：是关于的方程的一个根， ∴， ． ． 由①+②，得， ． （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 19．(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上公式和性质． （1）利用根的判别式进行证明即可； （2）利用根与系数的关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵、是原方程的两根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，． 20．(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 (2)最多可购买电脑8台 【分析】（1）根据一月份投入经费三月份投入经费，列出方程，求解即可作答； （2）根据购买电脑和实物投影仪的总费用不超过四月份投入经费的，建立一元一次不等式，求解即可作答． 【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：四月份投入图书购置经费为（万元）， 设购买电脑m台，则购买实物投影仪台， 根据题意得：， 解得：． 答：最多可购买电脑8台． 【点睛】连续两次增长率一般用公式，列方程求解，注意结合题意与实际情况，取舍方程的解． 21．(1)①③； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）根据定义代入解题即可求解； （2）先把代入原方程得：，再由得，联立两个式子消掉，得，再根据韦达定理，即可求解； （3）先根据韦达定理得，，再由得，通过变形得，再将代入即可求解． 【详解】（1）①，，，，，，，故①是“等差”二次方程； ②，，，，，，，故②不是“等差”二次方程； ③，，，，，，，故③是“等差”二次方程； ④，a，b，c，，，，故④不是“等差”二次方程． 综上，符合条件的有①③； （2）当时，代入原方程得：， ∵由得， ∴将代入得：， ∴， ∵根据韦达定理，， ∴， ∴； （3）∵，是“等差”二次方程的两个根， ∴根据韦达定理，，， ∵由得，即， ∴， ∴，即， 整理得， ∴． 22．(1)线段的长为 (2) (3)不存在，见解析 【分析】（1）由含的直角三角形性质以及勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，由含的直角三角形性质求出，，即可得出结果； （3），，即，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ， ， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∵点P从点D出发，沿线段向点C运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，速度为每秒2个单位长度， ∴， 过点作于，如图所示： ， ， ， ， ， ； （3）解：不存在，理由如下： ∵，， ∴， 化简得到， ， ∴方程无解， 故在运动过程中不存在某一时刻t，使得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $