专题：一次函数-2026年中考数学专项（浙江专用）

专题：一次函数-2026年中考数学专项（浙江专用） 一、单选题 1．下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 2．已知直线经过点A，则A点坐标不可能是（　　） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象经过三个点，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于，的二元一次方程组的解为，如图，若直线（，为常数，且）与直线相交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（    ） 方程组的解为；；；当的值最小时，点P的坐标为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．若函数的图象上存在两点，则___________． 11．若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 12．如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________． 13．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 14．如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别相交于点，，点在该函数图象上．若点到轴，轴的距离之和为，则点的坐标是______． 15．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 16．定义：如图，在平面直角坐标系中任意两点，满足，若点到两条坐标轴的距离之和等于点到两条坐标轴的距离之和，则称，两点互为轴距等点．已知，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与轴交于点，与轴交于点，是平面内一点，且，两点互为轴距等点，连接，，当时，则点坐标为________ ． 三、解答题 17．已知一次函数． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求的面积． 18．已知一次函数的图象经过点和点，且点在正比例函数的图象上． (1)求该一次函数的表达式． (2)若，是该一次函数图象上的两点，当时，求函数值的取值范围． 19．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少； (2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润． 20．在平面直角坐标系中，点的“衍生点”的坐标定义如下：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“衍生点”坐标为________，点的“衍生点”坐标为________． (2)已知点在一次函数的图象上，且点的“衍生点”为点D． ①若点的坐标为，求的值． ②设所有的点的“衍生点”组成的新图形记为图形． （i）请求出图形的函数表达式，并注明对应的自变量的取值范围； （ii）当满足什么条件时，一次函数的图象与图形有且仅有一个公共点，请直接写出答案． 21．如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．设链条长度为，链条节数为x． (1)观察图形，填写下表： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … (2)上表的两个变量中，自变量是_______； (3)请写出y与x之间的函数解析式； (4)如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？ 22．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：一次函数-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B A B B C C A C 1．A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 2．B 【分析】本题利用一次函数图象上点的坐标特征解题，若点在直线上，则点的横纵坐标满足直线的解析式，将各选项的横坐标代入解析式计算y值，对比即可得到不可能的坐标. 【详解】解： 当时，，直线经过该点，不符合题干要求； 当时，，直线不经过该点，符合题干要求； 当时，，直线经过该点，不符合题干要求； 当时，，直线经过该点，不符合题干要求. 3．A 【分析】已知时，y随x的增大而减小，只需比较三个点的纵坐标大小，即可推得横坐标的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小． ∵三个点的纵坐标满足，对应点分别为，，， ∴横坐标满足，即． 4．B 【分析】先根据一次函数的性质，再根据最大值对应的自变量取值代入计算即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取最小值时，取得最大值， 将，代入函数得：， 解得． 5．B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 6．C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 7．C 【分析】A、分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可；B、当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可；C、二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可；D、当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：大龙的速度为米/分，小磊的速度为米/分， 米， ，故A正确； 米， ，故B正确； 根据题意，得， 解得，故C错误； 根据题意，得， 解得，故D正确． 8．A 【分析】根据方程组的解就是交点坐标即可求解． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴，的二元一次方程组的解为， 二元一次方程组的解就是两个一次函数和图象的交点坐标， ∴点的坐标为：． 故选：A． 9．C 【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意． 【详解】解：①直线：与直线：都经过点， 方程组的解为，故①正确； ②把，点代入得， ， 直线：， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线：， 解得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故②正确； ③令，解得：， ， ，， ，故③错误；； ④直线交y轴于点C， ， 作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，故④正确；； 结论中正确的个数有3个， 故选：C． 10． 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴． 11． > 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 12． 【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围． 【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方， ∴不等式的解集为 13．/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 14．， 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一元一次方程的解法．首先用待定系数法求出一次函数的解析式，设点的坐标为，根据点到轴，轴的距离之和为，可列方程，再根据的取值范围分情况求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：一次函数的图象经过点，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是， 设点的坐标为， 点到轴，轴的距离之和为， ， 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：， ， 点的坐标是； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 综上所述，点的坐标是或． 15．24 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 16．或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时要能熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．依据题意，由直线经过点，利用待定系数法可求得的值，从而可得直线的解析式，进而可得，两点的坐标，又，则直线与直线垂直，故可设直线为，又过，从而求出直线的解析式，故可设，结合，两点互为轴距等点，且，可得，进而计算可以得解． 【详解】解：直线经过点， ， ． ， 令，得， 令，即，得， ，． ， 直线与直线垂直，故可设直线为． 又过， ． 直线为． 可设． ，两点互为轴距等点，且， ， 或， 或． 故答案为：或． 17．(1)图见解析 (2)4 【分析】（1）先列表，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （2）根据（1）可得点A和点B的坐标，进而得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 … … 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由（1）可知点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】（1）先把点代入正比例函数，求出的值，得到点的坐标，再根据待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）先根据的取值范围求出的取值范围，再根据函数增减性求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， 则该一次函数的表达式为． （2）∵，是一次函数图象上的两点， ∴，， 又， ∴， 解得， ∴， 又， 则函数值的取值范围为． 19．(1)每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元 (2)共3种方案；购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元 【分析】（1）设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元，根据购进数量列出方程解答即可； （2）设购进电冰箱x台，则购进空调台，根据数量关系和总利润列出不等式组，结合x整数，得到方案数量，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为a元，则每台电冰箱的进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原方程的解； ； 答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元； （2）解：设购进电冰箱x台，则购进空调台， 由题意，得： 解得， x为整数， ，共3种方案； ， y随x的增大而减小， 当时，购进空调台，y有最大值为13300元， 答：购买电冰箱34台，购进空调66台，利润最大，为13300元． 20．(1)； (2)①； ②（i）当时，；当时，； （ii）且或或 【分析】本题结合平面直角坐标系中新定义问题考查一次函数的图象与性质、分类讨论思想的应用．关键是理解“衍生点”的定义，分情况讨论点的坐标关系，结合一次函数的性质求解． （1）根据“衍生点”的定义，分别计算两点的的正负，代入对应公式求解即可； （2）①设点的坐标为，根据“衍生点”的定义分和两种情况，结合点纵坐标为列方程求解，舍去不符合条件的解； ②（i）设点的坐标为，分和两种情况，将衍生点的坐标用表示，消去参数得到函数表达式，并确定自变量的取值范围； （ii）先分析一次函数过定点，再分直线与图形的两段的交点情况，结合一次函数的平行、交点位置等条件，确定的取值范围． 【详解】（1）解：对于点，， 其“衍生点”坐标为； 对于点，， 其“衍生点”坐标为； 故答案为：；． （2）①设点的坐标为，分两种情况讨论： 情况1：当时，即，解得， 此时点的坐标为． ，解得(满足)， ； 情况2：当时，即， 此时点的坐标为． ，解得(不满足，舍去)； 综上，的值为； ②（i）设点的坐标为，分两种情况： 情况1：当时，即，此时点． 由得，代入得：， ，，即当时，； 情况2：当时，即，此时点． 将代入得：， ，，即当时，； 综上，图形的函数表达式为：； （ii）对于图形：， 当，，当时， 而一次函数，其图象过定点，分情况讨论： 情况1：如图，当直线与第二段的图象有一个交点，且与第一段的图象无交点时， 需要且， 或，即； 情况2：如图，当直线与第一段的图象有一个交点，且与第二段的图象无交点时， 需要，解得； 综上，的取值范围是且或或． 21．(1)， (2)链条节数x (3) (4)这根链条安装到自行车上后，总长度为 【分析】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出y与x之间的函数解析式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【详解】（1）解：每增加一节链条长度增加：， ， ， 填表如下： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … （2）解：上表的两个变量中，自变量是链条节数x； （3）解：根据题意得：y与x之间的函数解析式为： ． （4）解：， 答：这根链条安装到自行车上后，总长度为． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $