专题：解直角三角形-2026年中考数学专项（浙江专用）

专题：解直角三角形-2026年中考数学专项（浙江专用） 一、单选题 1．计算的值为（    ） A． B．1 C． D． 2．在中，，，，则的值为 （     ） A． B． C． D． 3．如图，滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．在Rt中，，，，，那么下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（   ） A． B．若，则 C．若为锐角，，则 D．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 6．如图，点、分别为正方形边和上一点，现将其沿着折叠，使点恰好为对应边的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，为的直径，弦长为，弦长为．按如下步骤尺规作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，与分别相交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长，射线与相交于点，连接．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，图，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩竖直向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，当楔子沿水平方向（如箭头所示）前进了厘米时，木桩上升了（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 9．小朱在如图所示的“赵爽弦图”中，连接．若正方形与正方形的边长之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知 (为锐角)，则 ___________ 11．已知某河堤的横截面为梯形，上底长为4m，堤高为6m，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，则河堤横截面的下底长为______． 12．在中，都是锐角，若满足，则是_____角三角形． 13．如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为_____． 14．如图，等边中，点、分别在边、上，，交于点于点．如果，且的长为，那么等边的边长为________．（结果用含的代数式表示） 15．在中，，，（如图），将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点，与边相交于点，那么的值为______． 16．如图，的直径，E是的中点，过E作交于，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）______； （2）若，则______． 三、解答题 17．计算：． 18．如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔C在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？ （参考数据：，，） 19．如图是由边长为的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，画，使点在格点上，且与相似，相似比为（只需画出一个即可）； (2)在图②中，线段上找一点，使． 20．【问题探究】 （1）如图1，在中，，，，点在上，，交于点．求的长； 【问题解决】 （2）如图2，菱形是张大爷承包的一片田地，为入口，为出口，、、是该田地的三条小路，且点、均为、的中点，与的交点处有一口灌溉水井，处有一个仓库，为了节省时间，从向边修了一条与垂直的小路（交的延长线于点）．已知，m，求入口到灌溉水井的距离．（入口、出口、灌溉水井和仓库的大小及小路的宽度均忽略不计）． 21．如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，为杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为15，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图2． （ⅰ）请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标； （ⅱ）求此时杯子内液体的最大深度． 22．已知点P是正方形的边上的动点（不与点B，C重合），连接． (1)如图1，过点P作于P，与的延长线交于点Q，与交于点E． ①若点P恰好是的中点，则_________； ②当时，试求的大小． (2)如图2，过顶点D作于H，，点M在射线上．连接，，并取的中点N，连接，试问在点P的运动过程中，是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请求出其值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：解直角三角形-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C B C C A D B A 1．A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值．解题的关键是牢记特殊角的三角函数值，然后将其代入式子进行计算． 【详解】解： 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，根据勾股定理求出斜边的长，再利用正弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：滑雪场有一坡度的滑雪道，滑雪道的水平距离的长为米， ， 则米， 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，根据直角三角形中三角函数的定义，分别计算和的三角函数值，并验证各选项. 【详解】解：如下图所示， A选项：，，，，故A选项错误； B选项：，，，，故B选项错误； C选项：，，，，故C选项正确； D选项：，，，，故D选项错误． 故选：C. 5．C 【分析】本题考查三角函数的定义和性质，需根据三角函数的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：A、三角函数的度数不能直接相加，A错误； B、α为锐角时，，所以当时，，B错误； C、，设对边为，邻边为，则斜边为，所以，C正确； D、在中，等于角A的邻边与斜边的比值，当两边都扩大5倍时，另外一条直角边也扩大了5倍，比值不变，所以不变，D错误． 故选：C． 6．A 【分析】设正方形的边长为，则，由折叠得，，则，由勾股定理得，则，，再证明，则，求得，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 由折叠得，，，， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为， 故选：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明是解题的关键． 7．D 【分析】本题主要考查圆周角定理(同圆中圆周角与圆心角的关系)、等腰三角形三线合一性质、勾股定理、平行线的判定(内错角相等，两直线平行)，同时考查了尺规作图的几何意义和直角三角形的边角关系．先通过尺规作图得出平分，结合圆周角定理推出圆心角，进而得到；再利用等腰三角形三线合一证得，结合勾股定理求出和的长度；最后通过计算角的正切值判断，得出与不平行的结论，从而确定错误选项． 【详解】解：根据尺规作图的步骤可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴，故B正确，不符合题意； ∵为的直径，，， ∴在中， ∴， ∴在中，故C正确，不符合题意； ∵，为的直径， ∴是等腰直角三角形，即， 在中， ∴， ∴， ∴与不平行，故D错误，符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，如图，由题意得，，厘米，在中，，所以，然后求出的长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，，厘米， 在中，， ∴， ∴（厘米）， ∴木桩上升了厘米， 故选：． 9．A 【分析】本题考查了正弦的定义，正方形的性质，弦图的计算；过点作于点，根据题意得出正方形与正方形的面积之比为，设正方形的面积为，则的面积为，得出每个直角三角形的面积为，进而可得，解得，进而求得，根据，求得，根据勾股定理求得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ∵正方形与正方形的边长之比为， ∴正方形与正方形的面积之比为， 设正方形的面积为，则的面积为， 又∵四个直角三角形全等， ∴每个直角三角形的面积为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 故选：A． 10． 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 11．/28米 【分析】本题考查了坡度和坡角的应用，利用梯形性质，作梯形的高和，则，，则通过坡度和坡角分别计算长度即可． 【详解】解：作梯形的高和，垂足分别为E、F， 则，， ∵斜坡坡度，即垂直高度与水平距离之比为， ∴， ∵斜坡坡角， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 12．钝 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方的非负性，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由非负数的性质可知，且，可求出的度数，再根据三角形内角和定理求，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， ∵ 都是锐角， ∴， ∴， ∵， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝． 13． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，准确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点A作于点F，结合坡度以及特殊角度，分别计算出的长度，最终得出的长度． 【详解】解：过点A作于点F，如下图： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵的坡度为， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】过点作于点，证明，则．，求出，得到，，．得到，证明，得到，得到，设，则，再根据等积法列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴．， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且的长为， ∴， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴ 解得（不合题意，舍去） ∴等边的边长为 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形是解题的关键． 15． 【分析】过作于，根据勾股定理和正切的定义得到，，根据三角形面积得到，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：过作于， ， ， 设，则， 在中，， 解得， ，， 则， 即， 解得， 则， ， 将绕点旋转后，点落在斜边上的点，点落在点， ，， ， ， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等，相似三角形的判定与性质；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 16． 【分析】（1）连接，利用等弧所对的圆周角相等得，利用垂径定理得，所以，进而可求出的值； （2）根据圆周角定理得到，设交于点H，则，得到，即，可知，根据勾股定理求出，则，根据勾股定理求出，根据圆周角定理得到，根据三角函数求出，根据勾股定理求出，，证明，得到，即，求解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵的直径， ∴，的半径 ∴． 设交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 17． 【分析】先计算零次幂和整数指数幂，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18．(1)海里 (2)南偏东 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质． （1）设处与灯塔的距离是海里，根据等腰直角三角形的性质可知海里，海里，根据可得：，根据可得方程，解方程即可求出处与灯塔的距离； （2）根据和的长度求出的正弦，根据正弦值得到的度数，即可得到灯塔与货轮的位置关系． 【详解】（1）解：设处与灯塔的距离是海里， 灯塔C在货轮的北偏东方向， ， 海里， 灯塔，相距海里， 海里， 海里， 在中，， 在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向， ， ， ， 解得：， 答：处与灯塔的距离是海里； （2）解：货轮与灯塔的距离是海里， 海里， 在中，， ， 灯塔在货轮的南偏东方向． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，相似比为，确定直角顶点和对应边，直角边按比例扩大倍，再连接两锐角顶点形成斜边即可． （2）根据，利用网格格点构造这样的直角三角形，另一个锐角顶点和点的连线与的交点即为所求． 【详解】（1）解：以为直角顶点，在网格中取点，使，，连接，得到的即为所求，如图①； （2）解：点为一个锐角顶点，构造一个直角三角形，使得对边：邻边，连接这一点与点，交于点，如图②； 20．（1）3；（2）m 【分析】（1）根据已知条件运用勾股定理得出的长，再证得，进而得出，最后，代入数据计算即可； （2）首先，根据菱形的性质及等边三角形“三线合一”的性质得出，再由在中，，得出、的长，接着，在中，，得出的长，再证得，进而有，得出的长，最后，可得出． 【详解】（1）解：，，， ． ，， ． ， ， ， ； （2）解：如图，连接． 四边形是菱形，，， ，， 和均是等边三角形   ． 点、分别是、的中点， ，，． ，， ，， ∴． 在中，， ，， ． 在中，，，， ． ，， ． ， ， ， ， ． 入口到灌溉水井的距离为． 21．(1) (2)（ⅰ）见解析，；（ⅱ）液体的最大深度为 【分析】（1）根据题意得到，，运用待定系数法即可求解； （2）（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点，则，，，，在中，，得到，则，由此即可求解； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，，根据二次函数最值得到当时，有最大值，最大值为，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，， 设杯体所在抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：（ⅰ）建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点S，与轴交于点， 根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为， ∴，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴与轴的交点坐标； （ⅱ）已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点， ∴，，， ∴， 由（ⅰ）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵轴， ∴， ∴， ∴杯子内液体的最大深度为． 22．(1)①；② (2)为定值，定值为 【分析】（1）①设，易证得和，根据相似三角形的性质得到和，进而得到，从而求出的值； ②易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，根据勾股定理得，进而得到，结合得到的值； （2）过H作于点G，连接，连接交于点Q，易得是的中位线，进而得到、，则，根据平行线的性质得到，再结合，证得，从而求出的值． 【详解】（1）解：①是BC中点， 设， ∴在正方形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， ， ； （2）解：过H作于点G，连接，连接交于点Q， ， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， 、， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $