专题：反比例函数-2026年中考数学专项（浙江专用）

专题：反比例函数-2026年中考数学专项（浙江专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．已知点，点，点在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．在反比例函数中，当时，随的增大而减小，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为（    ） A．7 B．6 C．5 D．3 5．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的两个顶点坐标分别为，，若反比例函数的图象经过边的中点，则（    ） A．10 B．12 C．24 D．30 8．如图，在中，，已知点在反比例函数上，点B在轴上，点在上且，连接并延长交轴于点，连接，若的面积为8，的面积为3，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数与交于点，如图所示．已知为正三角形，且，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可以是________． 11．已知点、都在反比例函数的图象上．当时，有．符合题意的一个值是______． 12．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 13．如图，点、分别在反比例函数（）和（）的图象上，连接并延长交轴于点，点、在轴上，连接、，若四边形是矩形，则它的面积为______． 14．如图，直线与x轴相交于点，与函数的图象交于两点B、C，点B的坐标是．点C的纵坐标是2，则不等式组的解集是___________ ． 15．某同学用自制柱形密度计测量液体的密度，此密度计漂浮在不同的液体中时，浸在液体中的深度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：）的反比例函数．此密度计漂浮在密度为的甲液体中时，浸在液体中的深度为，此密度计漂浮在乙液体中时，浸在液体中的深度为，则乙液体的密度为______． 16．如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高______． 三、解答题 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴相交于点．已知点的坐标分别为和． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点为轴上任意一点，若，求点的坐标． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，求的面积 19．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．已知为反比例函数图象上一点，且在直线下方． (1)求的值； (2)过点作于点，若，求点的坐标； (3)在（2）问的条件下，为轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点(异于点)，连接，若的面积等于的面积的，求直线的解析式． 21．如图，某数学小组在劳动教育中接管了一块面积为的矩形地块种植番茄，该地块一边靠墙，另外三边用木栅栏围住，木栅栏总长为．为了节约原料，该小组需计算木栅栏的最小总长．他们尝试从“函数图象”的角度进行探究： 设为，BC为ym．由面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限的坐标；木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．请利用题2图完成以下问题： (1)若，能否围出矩形地块？答： （填“能”或“不能”）； (2)若，画出的图象，并写出此时的长； (3)当木栅栏总长最小时，画出的图象，并写出木栅栏总长的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：反比例函数-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B B D D C C B 1．B 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般形式为（为常数，且），只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：是正比例函数， 不符合反比例函数定义， 故A不合题意． 符合（）的形式， 是反比例函数， 故B符合题意． 的分母是，不是单独的， 不符合反比例函数定义， 故C不合题意． 是二次函数， 不符合反比例函数定义， 故D不合题意． 2．D 【分析】反比例函数图象上的点满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入函数解析式，计算得到的值和点的纵坐标对比，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解∶∵ 反比例函数解析式为 ， ∴ 当 时，， 和A选项纵坐标不相等， A不符合题意． 当 时，， 和B选项纵坐标不相等， B不符合题意． 当 时，， 和C选项纵坐标不相等， C不符合题意． 当 时，， 和D选项纵坐标相等， D符合题意． 3．B 【分析】本题考查的知识点是比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质． 将点，点，点分别代入反比例函数，求出，，的值，再比较大小即可． 【详解】解：点，点，点在反比例函数的图象上， ，，， ， ． 故选：． 4．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式．结合反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式确定的取值范围，再找出符合条件的整数并求和，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，随的增大而减小 ∴ ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 ∴ 又∵为整数 ∴可取1，2，3 ∴满足条件的整数的值之和为 故选：B． 5．D 【分析】要解决不等式的解集，需先确定直线与双曲线的表达式，求出交点的坐标，再根据函数图像的上下位置关系分析的取值范围（此时需关注直线的图像在双曲线图像下方时的取值）． 【详解】解：已知点在直线和双曲线上， 将代入直线方程：， 解得， 因此直线表达式为． 将代入双曲线方程：， 解得， 因此双曲线表达式为． 联立直线与双曲线的方程， 解得或． 当时，， 因此交点的坐标为． 不等式表示直线的图像在双曲线图像下方时的取值范围． 结合图像，分区域讨论： 当时，直线在第二象限到第三象限的部分位于双曲线下方； 当时，直线在第四象限的部分位于双曲线下方； 当或时，直线位于双曲线上方． 因此，不等式的解集是或． 6．D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数所在的象限判断的取值范围，再根据的取值范围判断直线的走向、与坐标轴的交点与图形中直线的走向是否符合． 【详解】解：反比例函数在一、三象限， ， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故A选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故B选项错误； 反比例函数在二、四象限， ， 一次函数中随的增大而减小， 故C选项错误； 反比例函数在一、三象限， ， 一次函数中随的增大而增大， 当时，， 直线与轴的交点坐标是， 直线与轴的交点在轴的正半轴， 故D选项正确． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，函数图象和性质，正方形的性质，中点坐标公式，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 根据正方形的性质和点的坐标，可得，，从而求出的中点坐标，再根据待定系数法，代入即可求解． 【详解】解：正方形的两个顶点坐标分别为，， ， ，， 的中点坐标为， 反比例函数的图象经过边的中点， ． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据，的面积为3，求得与，再根据的面积为8， 求得，从而可求得，再利用，求得，从而可得出，根据，求得． 【详解】解：连接、， ∵，的面积为3， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故选：C． 9．B 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的图象性质，正三角形的性质以及直角三角形的边角关系，关键是利用的垂直关系，结合正三角形“三线合一”的性质建立边长与坐标的联系，通过函数解析式与直角三角形知识求解点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，过点作于点，则，． ∵点在与的图象上， ∴，， ∴，整理得． 又∵， ∴，则． ∵点在第一象限， ∴，即． ∵为正三角形，且， ∴为的中点， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即． ∴点的坐标为． 故选：B． 10．（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的图象与性质，当反比例函数图象位于第二、四象限时，比例系数，列一元一次不等式求解得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵对于反比例函数，当图象位于第二、四象限时，比例系数， ∴本题中反比例函数为，可得比例系数， ∴， 解得：， ∴任意满足的实数都符合题意，例如， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查的是反比例函数的单调性，灵活运用反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数（）的性质得出，即可写出符合题意的一个值． 【详解】解：反比例函数（）的图象，当时，在区间单调递减；当时，在区间单调递增．本题中，已知且，即当增大时也增大，因此函数在区间单调递增，故．符合题意的一个值为负数，例如． 故答案为：． 12．丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 13． 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意可得矩形面积为矩形的面积减去矩形的面积，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形的面积为，矩形的面积为 ∴矩形的面积为， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的下方、函数图象的上方， 不等式组的解是． 故答案为：． 15．1.2 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设h关于ρ的函数解析式为，将，代入求出解析式，把代入解析式即可得到结论． 【详解】解：设h关于ρ的函数解析式为， 将，代入解析式，得， ∴h关于ρ的函数解析式为， 将代入，得， 解得：， 即乙液体的密度为， 故答案为：1.2． 16．3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征是解题的关键． 先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点、、的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 故答案为：． 17．(1)反比例函数解析式为；一次函数解析式为 (2)或 【分析】（1）由待定系数法分别代值求解即可得到答案； （2）先求出，结合题中，利用平面直角坐标系中三角形的求法得到，代值解方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， 反比例函数解析式为； 把代入中得，解得， ， 把和分别代入中得，解得， 一次函数解析式为； （2）解：如图所示： 在中，当时，， ， 则， ， ， 在中，当时，， ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 18．(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围； （3）求出C点的坐标，从而求出的面积． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ， 将点，代入直线中得， ， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或； （3）解：设与x轴交于点C， 令，得， 解得， ， ， ． 19．(1) (2)能，见解析 【分析】（1）根据函数图像，分类讨论①当时，设线段对应的函数表达式为，代入A，B坐标计算即可；②当时，设，代入B坐标计算即可； （2）令，则，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时，设线段对应的函数表达式为， 把代入，得：，解得， ， ②当时，设， 把代入，得， ， 综上所述，； （2）能，理由如下： 在函数中，令，则， ， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内（含15天）不超过最高允许的． 20．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积的割补计算以及一元二次方程的求解等知识点，关键在于将几何条件(如垂直、角度、面积)转化为代数方程，利用函数图象上点的坐标特征建立等式求解． （1）先利用一次函数解析式求出点的纵坐标，得到点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数解析式，通过待定系数法求出的值； （2）先根据一次函数与坐标轴的交点、的坐标，得出是等腰直角三角形，进而得到，结合构造出等腰直角三角形，用参数表示出点的坐标，再根据等腰直角三角形的边长关系得到点的坐标表达式，最后将点的坐标代入反比例函数解析式，解方程求出参数，从而得到点的坐标； （3）先通过割补法求出的面积，再根据题意得到的面积，设出直线的解析式，求出其与轴交点的坐标，联立直线与反比例函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系求出交点的坐标，最后根据的面积列出方程，解出直线解析式中的参数，进而得到直线的解析式． 【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得； （2）解：∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， ∴令，得，即；令，得，即， ∴，． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 过点作轴于，过点作交的延长线于， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴由等腰直角三角形的性质，得． 设点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，整理为 解得或(不满足点在第一象限，舍去)， ∴，， ∴点的坐标为； （3）解：过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴． ∵的面积等于的面积的， ∴． 设直线的解析式为， ∵为轴正半轴上一点， ∴，且． 联立直线与反比例函数的解析式， 消去，得 整理得． ∵点是直线与反比例函数的交点， ∴是方程的一个根， 设另一个根为，由一元二次方程根与系数的关系，得， ∴． ∵点点在第一象限， ∴， 将代入，得，即， ∴， 解得， 此时直线的解析式为． 21．(1)不能 (2)或 (3)木栅栏总长的最小值是 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，一元二次方程的解等知识，数形结合是解题的关键． （1）联立函数解析式得到一元二次方程，根据方程根的判别式进行判断即可； （2）画出函数图象，联立函数解析式求出交点的坐标即可得到答案； （3）联立函数解析式得到一元二次方程，根据方程根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）解：将反比例函数与直线联立得， ∴， ∴， ∵， ∴方程无解， ∴若，不能围出矩形地块． 故答案为：不能； （2）若，则的图象，如图所示： 联立反比例函数与直线联立得： ， 解得：或， ∴交点坐标为或， ∵设为，BC为ym． ∴或； （3）∵a是直线与y轴交点的纵坐标， ∴当直线与相切时，a最小， 如图： 此时联立方程组， 整理得：， ∴， 解得或（舍去）， ∴木栅栏总长的最小值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $