2026年中考数学专项 专题：二次函数（浙江专用）

专题：二次函数-2026年中考数学专项（浙江专用） 一、单选题 1．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则该抛物线的顶点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（   ） A． B． C． D． 3．若是函数图像上的两点，且，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．在直角坐标系中，已知抛物线，则顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，则下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点为 C．对称轴为直线 D．此抛物线的图像由向下平移3个单位得到 7．二次函数的大致图象如图，下列说法错误的是（    ） A．函数有最小值 B．对称轴是直线 C．当，y随x的增大而减小 D．当时， 8．已知二次函数的图象如图所示，，是该函数图象上的两个点，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 10．请你写一个开口向上的二次函数解析式___________． 11．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 12．一球以的初速度从地面竖直向上弹起，球离地面的高度关于时间的函数表达式是，则球离地面的最大高度为_____． 13．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________． 14．如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有个；④将函数的图象向右平移个或个单位长度经过原点．其中正确的结论有________． 15．有一根直尺的短边长，长边长，还有一块等腰直角三角形纸板，它的斜边长．如图，将直尺的短边放置与等腰直角三角形纸板的斜边重合，且点与点重合．然后将直尺沿方向平移（如图），设平移的长度为，直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）．当时，与之间的函数表达式为______． 16．如图，已知抛物线 (a、b、c为常数， 且（）的对称轴是直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标是，与y轴交点坐标是且．有下列结论： ①； ②； ③ ； ④关于x的一元二次方程 必有两个不相等实根； ⑤若点， ，在抛物线上，且 当时，则n的取值范围为 其中正确的是________________．（只用填序号即可） 三、解答题 17．某服装店某种服装平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了迎接节日，商店决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件．设每件服装降价x元．据此规律，请回答： (1)每件服装降价多少元时，商店日盈利可达到1200元？ (2)如何降价，商店可获得最大利润？最大利润是多少？ 18．在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 (1)用含的式子表示； (2)点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 19．某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 20．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线：的“孪生抛物线”为，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的表达式_____； (2)若点的坐标为，求抛物线的解析式； (3)记在时的最大值为，最小值为，且，请你求出的值． 21．如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．陕北窑洞是陕北地区重要的文化符号和居住方式，具有冬暖夏凉、经济省工的特点．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形DOCB，上部近似为一条抛物线，小明以O为原点，OD所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，小明的爸爸在原有窑洞的左侧修建了一口新的窑洞如图2所示，小明发现两口窑洞关于轴对称，且两口窑洞的最高点、与点恰好构成了一个等腰直角三角形，经测量得知米，米． (1)根据以上条件求出抛物线与的表达式． (2)值此新春佳节，小明的爸爸计划在两口窑洞上挂上象征着“吉祥如意”的红灯笼，俗话说：“悬挂灯笼的线越长越好，寓意着幸福生活长长久久”，如图3，小明的爸爸在抛物线上选择一个点，过点作于点，在抛物线上取了点关于轴的对称点和关于轴的对称点，爸爸计划在线段上悬挂红灯笼，爸爸问小明，选取的点坐标为多少时，悬挂红灯笼的绳子最长（即的值最大）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：二次函数-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B A D C D D C B 1．B 【分析】本题考查了抛物线的图象与性质，先求抛物线对称轴，再根据给定区间的增减性判断a的符号，最后计算顶点横纵坐标的符号，判断顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线为， 由抛物线对称轴公式，可得对称轴， ∴抛物线顶点横坐标为． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，可得． 将代入解析式求顶点纵坐标y， ． ∵，∴，可得． ∵顶点横坐标为负，纵坐标为正， ∴顶点在第二象限， 故选：B． 2．B 【分析】把，代入，可求出，，则，分别求出，时，对应y的值，然后根据点是该函数图象与x轴的一个交点，且得出，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， 消去c得，即， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴二次函数可表示为：， 当时，， 当时，， ∵点是函数与x轴的交点，且， ∴， ∴或， 解得， 观察各选项，只有选项B符合题意． 3．A 【分析】通过作差法比较与的大小即可. 【详解】解：∵是函数图像上的两点， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， 即． 4．D 【详解】解：∵ 抛物线顶点式为 ，对应顶点坐标为 . ∴ 抛物线的顶点坐标为. 5．C 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像性质及共存问题，根据二次函数开口及顶点判断a，c的正负根据反比例函数图像判断k的正负，结合一次函数图像性质即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， ，，， ∴一次函数过一、二、四象限， 故选：C． 6．D 【分析】利用顶点式性质判断开口方向、顶点坐标、对称轴，再结合平移规则判断选项即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为顶点式，二次项系数， ∴抛物线开口向上，选项A错误， ∵顶点式的顶点坐标为，对称轴为直线，本题中，， ∴抛物线顶点为，对称轴为直线，选项B、C错误， ∵将向下平移3个单位，得到解析式，即为抛物线， ∴选项D正确． 7．D 【分析】由图象可得二次函数图象的开口向上，对称轴是直线，与轴的交点坐标为和，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由图象可得：二次函数图象的开口向上，对称轴是直线，与轴的交点坐标为和，故B正确； ∴函数有最小值，当，y随x的增大而减小，故AC正确； 故当时，，故D错误． 8．C 【分析】①根据抛物线与轴有两个交点，可得；②根据抛物线上的点到对称轴的距离即可判断；③先根据抛物线的对称轴得出，再由图象可知，当时，，最后将代入进行计算即可；④先根据二次函数的图象与性质得出，进一步得出，最后化简即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴有两个交点， 则一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 故①错误； ，是该函数图象上的两个点，且抛物线的对称轴为直线， 点和点到对称轴的距离分别为，． 又抛物线的开口向下，且， ， 故②正确； 抛物线的对称轴为直线， ，即． 由图象可知，当时，， 将代入得，， 即， 两边同时乘2得，， 故③错误； 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，， 对于任意自变量，都有成立， 两边同时减得，， 即， 故④正确， 综上，正确的结论有②④． 故选：C． 9．B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，因为抛物线开口向下，所以，因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知，因为抛物线的对称轴为，即，所以；根据函数图象可知，当时，，当时，；二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根；结合，，可求得． 【详解】因为抛物线开口向下，所以． 因为抛物线与轴的交点坐标为，根据函数图象题意可知． 因为抛物线的对称轴为，即，所以． 所以． 结论①错误． 根据函数图象可知，当时，，即． 结论②错误． 根据函数图象可知，当时，，可得，即． 结论③正确． 二次函数的图象与轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不同的实数根，即根的判别式． 结论④正确． 由上述证明可知，，可得 ，即 ． 变形，得 ． 结论⑤正确． 综上所述，结论正确的为③④⑤，共个． 故选：B 10． (本题答案不唯一) 【分析】根据二次函数的性质，开口向上的二次函数满足二次项系数大于，选取符合条件的系数即可写出满足要求的解析式． 【详解】解：二次函数的一般式为． 由二次函数的性质可知，当二次项系数时，二次函数的图象开口向上． 令，，，满足的条件， 开口向上的二次函数解析式为(本题答案不唯一)． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由抛物线开口向上及点坐标区间关系，确保函数值不等式恒成立，需满足区间包含关系及参数范围． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 12．5 【分析】本题主要考查二次函数的应用，已知是关于的二次函数，二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点纵坐标即为所求最大高度，可通过配方法变形求解即可． 【详解】解：对函数解析式配方变形得， ∵二次函数的二次项系数， ∴二次函数开口向下， ∴当时，取最大值，最大值为． 故答案为． 13．或 【分析】根据题目要求不等式的解集，先根据一次函数对称性和抛物线关于轴对称，得到直线关于轴对称的直线，从而确定抛物线与直线交于，两点，最后由函数图象关系求不等式解集的方法求解即可． 【详解】解：直线与直线关于轴对称，抛物线的对称轴为轴，且抛物线与直线交于，两点， 抛物线与直线交于，两点，如图所示： ∵， ∴， 由图象可知，当或时，抛物线在直线上方， 不等式的解集是或． 【点睛】由题目问题出发，想将要求解的不等式转化为能用函数图象关系求解，就必须利用一次函数对称性得到直线关于轴对称的直线，这是解题的关键也是难点所在． 14．②④/④② 【分析】①看图像可以判断的区间有两个；②看图像可知当，图像有最低点；③将点转化为直线，作图后计算直线与原函数图像的交点个数；④根据图像与轴交点到原点的距离分析平移方向和距离． 【详解】解：由图像可知，当时，或，故①错误； 当时，有最小值，故②正确； 已知点， 令，， 则，即点在直线上， 如图，作的图像， 可知与原函数图像有个交点，则符合要求的点有个，故③错误； 函数图像与轴交于，，，则将函数的图象向右平移个或个单位长度经过原点，故④正确． 综上，正确的结论有②④． 15． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 如图，过点作于，可得，，进而得到当平移的长度时，直尺和三角形纸板的重叠部分如图所示，又由等腰直角三角形的性质可得，，最后根据列出函数表达式即可． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴当平移的长度时，直尺和三角形纸板的重叠部分如图所示， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 16．①③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则 ∴， 又∵抛物线与轴交点坐标是，即， ∵，即， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， ∴另一个交点坐标为， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， 又∵， ∴， ∴即， ∵，即， ∴， ∴即， 当时，取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， 即， ∵ 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，且， ∴，， ∵存在， ∴，， 即，，， 解得：，故⑤正确； 故正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 17．(1)每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元 (2)每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元 【分析】本题考查了运用一元二次方程及二次函数解决销售问题，准确理解相关量之间的关系是解题的关键． （1）每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设每件服装降价x元时，商店日盈利y元，则商店平均每天可多售出件，根据题意列出y与x之间的函数关系式，根据二次函数图象性质即可求得y的最大值以及相应的x的值． 【详解】（1）解：设每件服装降价x元， ∵每件服装每降价2元，商店平均每天可多售出4件， ∴每件服装降价x元，商店平均每天可多售出件， 由题意得，， 方程化简为，， 即， 解得，，， 答：每件服装降价10元或20元时，商店日盈利可达到1200元． （2）解：设每件服装降价x元时，商店日盈利y元， 则商店平均每天可多售出件， 由题意得，， 化简为，， 即， ∵， ∴二次函数开口向下， ∴当时，y有最大值为1250， 答：每件服装降价15元时，商店可获得最大利润，最大利润是1250元． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； （2）解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 19．(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可知，，得到对称轴为直线，根据抛物线的最高点与地面的距离为3米可设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （2）根据抛物线和抛物线关于所在直线对称求出抛物线的函数表达式为，延长交抛物线于，求出，进而求出，进而可求的长． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与地面的距离为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，的顶点坐标为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称， ∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为， 则抛物线的函数表达式为， 如图，延长交抛物线于， ， ∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米， ∴， 此时， 解得：，（舍去）， ∵与之间的距离为2米， ∴． 20．(1) (2) (3)的值为或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向，最值，对称轴直线的计算是解题的关键． （1）根据“孪生抛物线”的定义求解即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数解析式得到顶点坐标，结合与对称轴直线的位置，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：根据“孪生抛物线”的定义， 可得抛物线表达式为． （2）解：将点的坐标代入 ， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （3）解：抛物线表达式为， 对称轴所在直线为， 当时，， 故顶点坐标为， ∵， ∴，， 当时，即，对、到对称轴的距离进行分类讨论： 当，即时， 时，取最大值，时，取最小值， 故，，代入， 化简得， 解得（舍去），； 当，即时， 时，取最大值，时，取最小值， 故，，代入， 化简得， 解得，（舍去）； 当时，此时、都在对称轴所在直线右边， 当时，取最小值，时，取最大值， 即，， 代入， 化简得， 解得（舍去），（舍去）， 综上，的值为或． 21．(1)最大值为， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示，然后根据二次函数的性质求出二次函数的最大值即可； （2）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得到， ， 将代入得， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； （2）解：存在； ①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于与点M， ， ， ， ， ， 此时使得， ， ， ， 设直线得解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为M点， ； 综上所述，使得，M点的坐标为或． 22．(1)抛物线的解析式为；抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）分别求出，，再运用待定系数法求出抛物线与的表达式． （2）设点的坐标为，由对称性得，分别求出，，，得到，由二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图， ∵米，米， ∴抛物线的对称轴为直线，点， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 把点代入上式得， ∴抛物线的解析式为； ∵抛物线和关于轴对称， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为；抛物线的解析式为， 设点的坐标为， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴，，， ∴ ∵， ∴函数图象开口向下， ∵， ∴当时，有最大值，此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $