2026年中考数学专项 专题：二次根式（浙江专用）

专题：二次根式-2026年中考数学专项（浙江专用） 一、单选题 1．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方形中，点E是的中点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知直角三角形的斜边长为，周长为，则它的面积为（   ） A．7 B．5 C．3 D． 9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．化简的结果为______． 11．比较大小：_____． 12．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______． 13．如果实数，，满足，那么我们称一元二次方程为“勾股”方程．已知①；②；③；④．上述方程是“勾股”方程的有________．(填序号) 14．计算_____． 15．如图，以的各边为直径，在斜边的同侧作半圆，形成两个月牙形，它们的面积分别用表示，若，则__． 16．已知，则的值为_________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 19．如图1，在中，点D，E分别在边上，连接，，平分． (1)求证：． (2)若，求． (3)如图2，过点A作的垂线交延长线于点F，作，垂足为G，求的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，，其中a，b，c满足关系式． (1)求a，b，c的值； (2)如果在第二象限内有一点，是否存在点P，使的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使是以为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 21．如图，和都是以O为直角顶点的等腰直角三角形，连接，． (1)如图1，试判断与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若点D恰好在上，且D为的中点，，求的面积； (3)如图3，设与的交点为点E，若，，，直接写出的长． 22．【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 《专题：二次根式-2026年中考数学专项（浙江专用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D C B C D C C D 1．C 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，解不等式，在数轴上表示不等式的解集，求得不等式的解集是解题的关键； 根据二次根式以及分式有意义的条件列出不等式，根据不等式的解集判断即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，解得， ∴解集在数轴上表示，如图， 故选：C． 2．D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 3．C 【分析】根据二次根式的性质及同类二次根式、二次根式的除法运算法则，依次计算即可判断． 【详解】解：A．，计算不正确，故此选项不符合题意； B．，计算不正确，故此选项不符合题意； C．，计算正确，故此选项符合题意； D．，计算不正确，故此选项不符合题意． 4．B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 5．C 【分析】长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ， ． 6．D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 7．C 【分析】计算，，，得出一般规律，从而得出，进而代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式．设两直角边分别为、，根据三角形周长得到，根据斜边长为可得，从而可得面积． 【详解】解：设直角三角形的两直角边为、， 则， ∴， 解得：， 所以这个直角三角形的面积为． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，二次根式混合运算，由全等三角形的性质可得，，，设，，则，，在中，根据勾股定理得出，求出，在中，根据勾股定理得出，求出，从而得出，整理即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵点为的中点， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：D． 10． 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定m的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移到根号内，进而化简式子. 【详解】解：由二次根式的被开方数为非负数且分母不为0，得， ∴ ∴原式. 11．＞ 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，掌握通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小关系是解题的关键． 【详解】解：计算 ，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 12． 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，二次根式的乘法． 先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，根据长方形的面积列式计算，即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为，， ∴余下部分的面积为． 故答案为：． 13．①②④ 【分析】本题考查新定义“勾股”方程的判断，关键是先将方程化为一元二次方程的标准形式，确定每个方程的、、的值，再验证是否满足． 【详解】解：方程①化为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故①是“勾股”方程； 方程②为标准形式，其中，，． ∵，， ∴，故②是“勾股”方程； 方程③为标准形式，其中，，． ∵，， 又，∴，故③不是“勾股”方程； 方程④整理为标准形式为，其中，，． ∵，， ∴，故④是“勾股”方程； 综上，是“勾股”方程的有①②④， 故答案为：①②④． 14． 【分析】本题主要考查了数字规律，二次根式的性质，发现数字规律并裂项是解题的关键． 通过观察一般项，发现每一项可化为 的形式，然后利用裂项法裂项，然后求和即可． 【详解】解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019， ∵ ∴原式． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是正确运用转化的思想求解． 取中点，连接，先证明为等边三角形，然后由勾股定理得，，即可求解，再由化简求解即可． 【详解】解：取中点，连接， ∵，中点为点， ∴ ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)2 (2)3 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：根据题意得，， ∴． 19．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证； （2）过点A作交于点F，通过证明，根据等腰三角形三线合一得到，进而求得，根据勾股定理依次求得和的长即可． （3）过点A作的平行线交于点M，作，通过证明，得到，根据等角对等边证得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，过点A作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点A作的平行线交于点M，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2)存在点P， (3)或或或 【分析】（1）由非负数的性质得，即可得出结论； （2）过点C作轴于点E，求出，再由面积法求出，然后由三角形面积关系得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①，时，过点P作轴于点F，证，得，当点P在第二象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为； ②，时，过点P作轴于点G，同①得，则，当点P在第一象限时，，点P的坐标为；当点P在第三象限时，，点P的坐标为． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：存在点P，使的面积与的面积相等，理由如下： 如图1，过点C作轴于点E，则轴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积的面积， ∴， 解得：， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； （3）解：分两种情况： ①，时，如图2，过点P作轴于点F， 则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当点P在第二象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； ②，时，如图3，过点P作轴于点G， 则， 同①得：， ∴， 当点P在第一象限时，， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，， ∴点P的坐标为； 综上所述，“小K点”的坐标为或或或． 21．(1)， (2) (3) 【分析】（1）证明，根据垂直的定义判断即可； （2）作于H．设，则，根据（1）证明，得到，且，利用勾股定理解答即可． （3）连接，作交的延长线于H．利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）解：如图中，设交于K． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴． （2）解：如图2中，作于H． ∵， ∴， 设， 则， 根据（1）证明，得到，且， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． （3）如图3中，连接，作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 22．问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $