第三章 图形的平移与旋转（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学讲义以“图形的平移与旋转”为核心，通过“基础巩固-能力提升-思维拓展”三级架构系统梳理知识体系，涵盖平移/旋转的概念、性质、作图及综合应用等19类题型，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如“平移概念辨析”结合生活实例培养数学眼光，能力题如“旋转性质证明”发展推理思维，思维拓展题如“图案设计与规律探究”提升创新意识。例题与变式题适配不同学生，助力教师实施精准分层教学。

第三章 图形的平移与旋转（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 平移的概念】 1 【题型2 利用平移的性质作图】 3 【题型3 根据平移前的点求平移后的点】 7 【题型4 根据平移后的点求平移前的点】 10 【题型5 根据平移前后关系求值】 14 【题型6 根据平移确定点的位置】 15 【题型7 旋转的相关概念】 18 【题型8 中心对称图形】 20 【题型9 利用旋转的性质作图】 22 【能力提升】 27 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 27 【题型11 利用旋转的性质判断结论正误】 29 【题型12 利用旋转的性质求解】 33 【题型13 利用旋转的性质证明】 35 【题型14 利用中心对称的性质解决问题】 38 【思维拓展】 41 【题型15 分析图案的形成过程】 41 【题型16 利用图形变换构建图案】 43 【题型17 平移、轴对称、旋转之间的关系】 47 【题型18 设计美丽的图案】 52 【题型19 与旋转有关规律问题】 56 【基础巩固】 【题型1 平移的概念】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平移的概念，正确掌握平移的概念是解题的关键． 根据平移的概念逐一判断即可求解． 【详解】解：根据平移的概念可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到． 故答案为：①②④． 【变式1-2】（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可． 【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置， 由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案， 故答案为：． 【题型2 利用平移的性质作图】 【例2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】（1）根据点的坐标 画出点A，C，再根据点B的位置写出坐标； （2）画出，利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点，即可． 【详解】（1）解：如图，点A，C即为所求，． （2）解：如图，，即为所求． 【变式2-1】如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 【变式2-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查作图平移变换，平移变换的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）设，结合三角形面积公式建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为， 则点的坐标为：； （3）解：设点． 则有， ， 点的坐标为或． 【变式2-3】如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为） 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，先根据题意画出平移后的图形，然后根据图形即可得出正方形与重叠部分面积，正确理解图形经过或覆盖的区域的形状是解题的关键． 【详解】解：∵正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形， ∴如图， 根据图形可得正方形与重叠部分面积为， 故答案为：． 【题型3 根据平移前的点求平移后的点】 【例3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、用坐标表示表示位置及平面直角坐标系中点的平移，由题意，建立平面直角坐标系，求出“马”位于点，再由点的平移即可得到答案，熟记平面直角坐标系坐标表示位置及点的平移是解决问题的关键． 【详解】解：根据“帅”位于点，“炮”位于点，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”位于点， ∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点，则点在 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．根据平移的性质，向左平移，则横坐标减；向上平移，则纵坐标加． 【详解】解： 先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点， ，， 点的坐标是， 点在二象限 故答案为：二． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形变化－平移，先画出平行四边形，得出，然后根据平移的性质可得点的坐标． 【详解】解：如图， 由图可知，， ∴将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【答案】(1)①见解析；②； (2)； (3)或． 【分析】本题考查作图-平移变换，涉及到三角形面积公式以及方程的应用，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）①根据平移的性质作图即可； ②由题意知三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形，结合平移的性质可得答案； （2）直接利用割补法求三角形的面积即可； （3）设点的坐标为，根据题意可列方程为，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①如图，三角形即为所求； ②由题意知，三角形向左平移3个单位长度，向下平移5个单位长度得到三角形， ∴ 三角形上一点平移后对应点的坐标为； 故答案为：； （2）三角形的面积为； （3）设点的坐标为， ∵ 三角形与三角形的面积相等， ∴， 解得或， ∴ 点的坐标为或． 【题型4 根据平移后的点求平移前的点】 【例4】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移变换以及点的坐标，根据题意得出，进而根据平移得出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点， ∴ 故选：A． 【变式4-1】（24-25七年级下·贵州·期末）在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移3个单位,再向上平移2个单位长度后与点Q(-1,2)重合,则点P的坐标为 . 【答案】（-4，0） 【分析】逆向思考，把点（-1，2）先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后可得到P点坐标． 【详解】在坐标系中，点Q（-1，2）先向左平移3个单位得（-4，2），再把（-4，2）向下平移2个单位后的坐标为（-4，0），则P点的坐标为（-4，0）． 故答案为（-4，0）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【变式4-2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见详解，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换， （1）先得出，再结合，可知是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，据此画出，即可求解； （2）根据是由先向右平移4个单位，再下平移3个单位得到的，即可求解； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）如图可知：， ∵， ∴将先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求；   ， 由图可知：，； （2）解：解：根据题意得：是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． 故答案为：； （3）解：的面积 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据平移得到关于的方程，求出的值即可解题． 【详解】将点平移后点的坐标为， 由题可得：，解得：， ∴点B的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平移，二元一次方程组，掌握平移规律是解题的关键． 【题型5 根据平移前后关系求值】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置后坐标为，则m，n，a，b之间存在的关系是 ； （2）将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点，则 ． 【答案】 ， 【分析】（1）根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，得到等量关系即可求解； （2）根据点平移的规律，得到平移后点的坐标，又因为已知平移后点坐标，得到等量关系即可求解x，y值，即可求解的值； 【详解】解：（1）∵点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，得到点坐标为, 为平移后点的坐标； ∴,； 故答案为：，． （2）∵将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点坐标为，为平移后的点坐标， ∴解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加，左减；纵坐标上加，下减． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·专题练习）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林通化·阶段练习）将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，掌握点的坐标平移特点“左减右加，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由平移可得：，， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，新定义，根据卫星点的定义列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等）， ∴， 解得，， 故答案为：． 【题型6 根据平移确定点的位置】 【例6】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点，，各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ． 【答案】 6 【分析】根据网格的特点求解即可． 【详解】如图所示，    当点P的坐标为时， 点A先向上走1步，再向右走1， 点B向下走3步，点C向左走1步， ∴此时三个点的步数和最小，为6步． 故答案为：，6． 【点睛】此题考查了坐标与图形，点的平移，解题的关键是熟练掌握网格的特点． 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的平移，点在坐标轴上的特点，根据将点向上平移1个单位得到点Q，点Q在x轴上，可得出，进而可求出m的值，进一步即可求出点P的坐标． 【详解】解：将点向上平移1个单位得到点Q， 则 ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故选：D． 【变式6-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P（m+2，2m+1）在第 象限． 【答案】三 【分析】根据向右平移横坐标加，y轴上的横坐标为0列方程求解出m的值，可得出点P的坐标，根据象限的特征即可得出结果． 【详解】点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上， ， ， ， 点P的坐标为（-1，-5）， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【变式6-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或． 【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ， ， 点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 【题型7 旋转的相关概念】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式7-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式7-3】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【题型8 中心对称图形】 【例8】（25-26九年级上·山东德州·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键是掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义逐项进行判断即可，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A.该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B. 该选项图形是中心对称图形，符合题意； C. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； D. 该选项图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式8-1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式8-2】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 【变式8-3】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有 ． 是中心对称图形的有 ． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有 ． 【答案】 （2）、（3）、（5）、（6） （1）、（3）、（4） （3） （7）、（8） 【分析】考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是掌握相关概念．轴对称图形：把图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形：把一个图形绕着某个点旋转后能够与原图形重合，则这个图形称为中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：是轴对称图形的有（2）、（3）、（5）、（6）； 是中心对称图形的有（1）、（3）、（4）； 既是轴对称图形又是中心对称图形的有（3）； 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有（7）、（8）；． 故答案为：（2）、（3）、（5）、（6）；（1）、（3）、（4）；（3）；（7）、（8） 【题型9 利用旋转的性质作图】 【例9】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请在图中画出： (2)画出关于原点成中心对称的； (3)将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (4)将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了平移作图、作中心对称图形以及旋转作图，解题关键是掌握作图的关键步骤，即描点与连线．本题先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （1）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （2）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （3）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． （4）先确定对应点的坐标，再描点连线即可作图． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： （4）如图所示： 【变式9-1】如图，绕点O旋转后，点G是点B的对应点，画出旋转后的三角形． 【答案】见解析 【分析】根据旋转变换的性质画出图形即可． 【详解】解：连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转一个等于的角度，得到线段，连接，便得到旋转后的． 如图， 即为所求三角形， 【点睛】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转的性质，并根据旋转的性质找到对应点的位置是解题的关键． 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点中心对称的图形． (2)将绕原点顺时针旋转90°得到，画出，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；点的坐标为 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了中心对称变换． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点的坐标，然后顺次连接即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质分别画出点A、B、C的对应点，从而得到． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作；点的坐标为． 【变式9-3】（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查图形的旋转与中心对称作图，核心是掌握“旋转时对应点到旋转中心的距离相等、夹角等于旋转角”以及“中心对称时对应点的连线经过对称中心且被对称中心平分”的性质． （1）根据旋转的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形； （2）根据中心对称的性质作出图形，如图所示，即为所求作的三角形． 【详解】（1）解：作出绕点顺时针旋转得到的如图所示； （2）解：作出关于点的中心对称的图形如图所示； 【能力提升】 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示是由两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移线段的长度得到的图形，试求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移、梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质推出，进而求解． 【详解】解：∵， ， ， ∴； 由题意知， ∴， ． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关键． 根据平移的性质，得到与相等，与等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长． 【详解】解：∵将线段平移得到线段 ∴， ∵ ∴ ∵平移的距离为 ∴， ∴四边形的周长为： 故选：B． 【变式10-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 所以从入口A到出口B步行的路线（图中虚线）的长为， 故选：C． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移解决最短路径问题，解题的关键是通过平移将折线路程转化为直线距离，利用“两点之间线段最短”的原理确定最短路径． 将点M沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点将点N沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点连接使其与河岸分别交于D、F两点；过D、F分别作垂直于对应河岸的线段、即为所求的桥的位置，此时M到N的路程最短． 【详解】解：如图，作，且河宽，作，且河宽，连结与河岸相交于D，F两点，作，，即为所求造的桥使得M到N路程最短． 【题型11 利用旋转的性质判断结论正误】 【例11】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， 根据现有条件无法得到， 故选：B． 【变式11-1】如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点，，恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=α，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α， ∴AB=AD，∠BAD=α， ∴∠B= 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 【变式11-2】（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【变式11-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③；其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】B 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 利用旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理逐项判定即可． 【详解】解：①根据题意得，与是对应边， 为等腰三角形，故①正确，符合题意； ②由①证得为等腰三角形， ， ， ， ∴旋转角度为，故②错误，不符合题意； ③根据题意得， 由②得， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 故③正确，符合题意， 故选：B． 【题型12 利用旋转的性质求解】 【例12】（25-26七年级上·河北承德·期末）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到．若点落在线段的延长线上，且，则大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后两图形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转一个角度得到，， ∴； 故选B． 【变式12-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质和正方形的性质可得． 【详解】解：正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴， 故选：B． 【变式12-2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，把边绕点顺时针旋转角得到，点A的对应点恰好落在边上，则________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．由旋转得，，则，根据三角形内角和得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵把边绕点顺时针旋转角得到，点A的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】（25-26七年级上·云南昆明·期末）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 【答案】/15度 【分析】本题考查了旋转的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握三角板中角度的计算方法是解题关键．根据题意知，，又知，即可得出的度数． 【详解】解：根据题意知，，由旋转知， ∴． 故答案为：． 【题型13 利用旋转的性质证明】 【例13】在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 【变式13-1】如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，根据旋转的性质得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明结论． 【详解】证明：将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到， ． ， ． 【变式13-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，将绕点B旋转得到，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：平分 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转得，则，，故，所以，即可作答． 【详解】证明：∵将绕点B旋转得到， ∴ ∴，， ∴． ∴． ∴平分． 【变式13-3】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．    (1)若，则______ (2)求证：平分； (3)连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由题意得，根据旋转得，则即可求得； （2）由旋转可得和，则有，得到，即可证明结论； （3）由旋转得和，则有和，进一步求得，结合，即可求得，故． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据旋转得，则， ∴． 故答案为：； （2）解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴平分 （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义以及垂直定义，解题的关键是熟悉旋转的性质和等腰三角形的性质． 【题型14 利用中心对称的性质解决问题】 【例14】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式14-1】（2025七年级上·全国·专题练习）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式14-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，因为曲线关于点成中心对称，则①和②的面积相等，因为，所以. 【详解】解：如图，连接， 点O是曲线的对称中心， ①和②的面积相等， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称，解题的关键是正确推理运算． 【变式14-3】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则 ， ， ， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【思维拓展】 【题型15 分析图案的形成过程】 【例15】如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何变换的几个类型的特征分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、图形只能通过旋转变换得到，所以A选项错误； B、图形通过平移、旋转或轴对称变换都能得到，所以B选项正确； C、图形不能通过平移、旋转或轴对称变换得到，所以C选项错误； D、图形只能通过平移变换得到，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了几何变换的类型：平移变换；轴对称变换；旋转变换． 【变式15-1】如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】旋转 【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点顺时针旋转得到， 故答案为：旋转． 【变式15-2】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 【变式15-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转变换、轴对称变换设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 【详解】解：①如图1，将阴影部分三角形沿着翻折，得到； ②如图2，将分别绕着的中点和的中点旋转，得到，； ③如图3，将四边形沿着翻折，即可得到四边形； ④将图3绕着点旋转，即可得到图4． 【题型16 利用图形变换构建图案】 【例16】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【答案】D 【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键． 【详解】解：把型号4逆时针旋转，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠； 故选D 【变式16-1】（25-26七年级上·上海普陀·期末）以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变换方式（如：平移、旋转、轴对称等）重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样． (1)下列单位纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的纹样是________． (2)已知图2的二方连续纹样是由图1的一个单位纹样连续排列形成的，那么这个单位纹样的变换方式是_______和______． (3)如图3，在网格中有一个单位纹样，将这个单位纹样通过两种变换方式排列，形成一个二方连续纹样．（使得整个网格有四个单位纹样） 【答案】(1)柿蒂纹 (2)轴对称；平移 (3)见解析 【分析】本题考查图形的平移，轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键， （1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案； （2）根据“连续纹样”的定义并结合图1和图2可得到答案； （3）根据（2）中的图形的变换规律即画出图形． 【详解】（1）解：如意纹：是轴对称图形，不是中心对称图形； 柿蒂纹：是轴对称图形，也是中心对称图形； 梅花纹：是轴对称图形； 回字纹：是中心对称图形； 故答案为：柿蒂纹． （2）解：由图可得：图1变换到图2的过程为： 第一单位图先轴对称得到第二单位图，再将第一单位和第二单位图整个平移， 故答案为：轴对称；平移． （3）解：由（2）的规律可得图，如下： 【变式16-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）观察图案． (1)请说说由图案（）到图案（）的变化过程； (2)请利用图案（）再设计一个图案． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】此题主要考查了轴对称图形的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）找出基本图形（）与图形（）之间的关系，再找出图形（）与图案（）之间的关系即可得出答案； （）根据基本图形（），利用旋转的性质即可得出所设计的图案（答案不唯一）. 【详解】（1）解：过基本图形（）的点构造水平直线，如图形（）所示； 作基本图形关于直线的对称图形，如图形（）所示： 在图形（）中，作直线，以为对称轴作图形（）关于直线的对称图形，如图形（）所示； 在图形（）中，作直线，以为对称轴作图形（）关于直线的对称图形，如图形（） 所示； 所以图形（）就是所求的图案； （2）解：如图所示即为利用基本图形（）所设计的图案（答案不唯一）． 【变式16-3】如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题． (1)图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）． (2)请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求： ①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影； ②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)中心 (2)见解析 【分析】（1）利用中心对称图形的意义得到答案即可； （2）①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形不重叠，是轴对称图形； ②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形． 【详解】（1）图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是中心对称图形， 故答案为：中心； （2）如图2是轴对称图形而不是中心对称图形； 图3既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【点睛】本题考查利用旋转或轴对称设计方案，关键是理解旋转和轴对称的概念，按要求作图即可． 【题型17 平移、轴对称、旋转之间的关系】 【例17】如图所示，在正方形网格上有一个． 画出关于直线MN的对称图形； 画出关于点O的对称图形； 若网格上的最小正方形边长为1，求的面积； 能否由平移得到？能否由旋转得到？这两个三角形指与存在什么样的图形变换关系？ 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（4）见解析 【分析】根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； 根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； 利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后计算即可得解； 根据图形和几何变换的定义解答． 【详解】如图所示； 如图所示； 的面积， ， ； 不能由平移得到， 不能由旋转得到， 与可以轴对称得到． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点位置是解题的关键． 【变式17-1】如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC先向右平移5个单位，得到△A1 B1C1，再作△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2， （1）请在网格上作出△A1B1C1与△A2B2C2(不写作法)； （2）根据图形可知，△AA1B的面积为 　；△AA1B1的面积 　；若P为直线BB1上任一点，则△PAA1的面积为　． 【答案】（1）见解析；（2）；；． 【分析】（1）利用平移的性质先画出△A1B1C1，然后利用网格特点中心对称的性质画出△A2B2C2； （2）根据平移的性质得到AB∥B1A1，A A1∥B B1，推出，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所作； （2）根据平移的性质，知AB∥B1A1，A A1∥B B1， ∴， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了作图：平移变换和中心对称，等底等高的两个三角形面积相等．得出对应点位置是解题关键． 【变式17-2】如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【答案】(1)射线、2厘米 (2)O、120 (3) (4)与（答案不唯一） 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】（1）解：∵经过平移得到， ∴平移的方向是沿着射线方向，点A与点F是一组对应点， ∴平移的距离为， ∵是边长为2厘米的等边三角形， ∴厘米， 故三角形沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形重合， 故答案为：射线、2厘米； （2）解：三角形绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形重合； 故答案为：O、120； （3）解：三角形沿着所在直线翻折后能与重合； 故答案为：； （4）解：与是中心对称的两个三角形． 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，关键是掌握几种变换的定义和特点． 【变式17-3】如图， (1)请在下面方格纸中画出关于直线的对称图形，再画出关于直线的对称图形． (2)观察你所画的图形，发现与之间有什么关系？（可以看作是由经过一次什么变换得到的） (3)通过做这个题你会发现，一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次什么变换？ 【答案】(1)见解析 (2)可由向右平移6个单位长度得到 (3)一个图形关于平行的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换 【分析】本题考查了画轴对称图形，平移与轴对称的关系；掌握轴对称的性质是关键． （1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再依次连接即得到；再分别作出三个顶点关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）根据所画图形即可作出判断； （3）由前两问即可发现规律． 【详解】（1）解：所作的及如下图： （2）解：观察所画的图形，发现可由向右平移6个单位长度得到； （3）解：一个图形关于平行的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次平移变换． 【题型18 设计美丽的图案】 【例18】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义． （1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形； （2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可． 【详解】（1）（1）特征1：都是轴对称图形； 特征2：都是中心对称图形； 故答案为：是轴对称图形；是中心对称图形； （2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示： 【变式18-1】阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照轴对称的意义得出答案即可； （2）按照轴对称的定义和中心对称的定义设计，所设计的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【详解】（1）解：（1）参考图案，如图所示： （2）（2）参考图案，如图所示： 【点睛】本题考查利用轴对称或中心对称设计图案，关键是理解轴对称和中心对称的定义． 【变式18-2】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【答案】见解析. 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的概念作图即可得． 【详解】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示： 【点睛】本题主要考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握轴对称图形和旋转对称图形的概念． 【变式18-3】思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转） 例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图． 【答案】见解析 【分析】由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称等方法变换出一些图案．利用翻折或旋转变换，即可得到图案． 【详解】解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一. 【点睛】本题主要考查了利用翻折或旋转变换设计图案，由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复杂图案． 【题型19 与旋转有关规律问题】 【例19】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 【变式19-1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，直接利用已知图案得出旋转规律进而得出答案． 【详解】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 【变式19-2】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 【变式19-3】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的平移与旋转（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材北师大版】 【基础巩固】 1 【题型1 平移的概念】 1 【题型2 利用平移的性质作图】 2 【题型3 根据平移前的点求平移后的点】 4 【题型4 根据平移后的点求平移前的点】 4 【题型5 根据平移前后关系求值】 5 【题型6 根据平移确定点的位置】 6 【题型7 旋转的相关概念】 6 【题型8 中心对称图形】 7 【题型9 利用旋转的性质作图】 8 【能力提升】 9 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 9 【题型11 利用旋转的性质判断结论正误】 10 【题型12 利用旋转的性质求解】 12 【题型13 利用旋转的性质证明】 13 【题型14 利用中心对称的性质解决问题】 14 【思维拓展】 15 【题型15 分析图案的形成过程】 15 【题型16 利用图形变换构建图案】 16 【题型17 平移、轴对称、旋转之间的关系】 17 【题型18 设计美丽的图案】 19 【题型19 与旋转有关规律问题】 21 【基础巩固】 【题型1 平移的概念】 【例1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【变式1-1】（25-26七年级上·浙江·假期作业）在下列四幅图中，哪几幅图是可以经过平移变换得来的 ． 【变式1-2】（24-25七年级下·甘肃平凉·月考）下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【题型2 利用平移的性质作图】 【例2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，已知点A坐标为，点C坐标为，点，B在格点上． (1)描出A，C两点的位置，写出点B的坐标； (2)连结，将平移，使点A平移到点，画出平移后所得的． 【变式2-1】如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【变式2-2】（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，三角形的顶点坐标分别为，，．若将三角形向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，其中点，，分别是点，，的对应点． (1)画出三角形； (2)若三角形内有一点经过上述平移后的对应点为，直接写出点的坐标； (3)若点在轴上且三角形的面积为4，直接写出点的坐标． 【变式2-3】如图所示的方格纸中，正方形要向右平移格，再向下平移格，得到正方形，则正方形与重叠部分面积为 ．（每小方格的边长为） 【题型3 根据平移前的点求平移后的点】 【例3】（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【变式3-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到点，则点在 象限． 【变式3-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形顶点、、的坐标分别是，，，将平行四边形沿轴向右平移3个单位长度，则顶点的对应点的坐标是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·北京·期中）如图所示，已知，，三点坐标．将三角形平移至三角形处，点A，B，C的对应点分别为点，，，其中点的坐标为． (1)①在图中画出平移后的三角形； ②其中三角形上一点平移后对应点的坐标为______； (2)求三角形的面积； (3)设点Q在y轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点Q的坐标． 【题型4 根据平移后的点求平移前的点】 【例4】（24-25七年级下·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限有一点，将点水平向右平移3个单位长度得到点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为．若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·贵州·期末）在平面直角坐标系中,将点P(x,y)向右平移3个单位,再向上平移2个单位长度后与点Q(-1,2)重合,则点P的坐标为 . 【变式4-2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）将点先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点B的坐标是 ． 【题型5 根据平移前后关系求值】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）把点向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置后坐标为，则m，n，a，b之间存在的关系是 ； （2）将点向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点，则 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·专题练习）将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·吉林通化·阶段练习）将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到点，，则 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【题型6 根据平移确定点的位置】 【例6】（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，将一个横、纵坐标都是整数的点，沿平行（或垂直）于坐标轴的直线平移1个单位长度，称为该点走了1步．点，，各走了若干步后到达同一点P，当点P的坐标为 时，三个点的步数和最小，为 ． 【变式6-1】（24-25八年级下·全国·期中）将点向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则P（m+2，2m+1）在第 象限． 【变式6-3】（24-25七年级下·湖北随州·期末）如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【题型7 旋转的相关概念】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式7-1】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式7-2】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8 中心对称图形】 【例8】（25-26九年级上·山东德州·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式8-2】（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【变式8-3】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 是轴对称图形的有 ． 是中心对称图形的有 ． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 ． 既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有 ． 【题型9 利用旋转的性质作图】 【例9】（25-26八年级上·山东烟台·期末）在直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)请在图中画出： (2)画出关于原点成中心对称的； (3)将向上平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (4)将绕原点按逆时针方向旋转后得到，请在图中画出． 【变式9-1】如图，绕点O旋转后，点G是点B的对应点，画出旋转后的三角形． 【变式9-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点中心对称的图形． (2)将绕原点顺时针旋转90°得到，画出，并写出点B的对应点的坐标． 【变式9-3】（25-26九年级上·湖北·月考）已知的顶点，，在格点上，按下列要求在网格中画图． (1)将绕点顺时针旋转得到(点的对应点是点)，画出； (2)若与关于点中心对称，其中，分别为点，的对应点，画出． 【能力提升】 【题型10 利用平移的基本性质解决问题】 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示是由两个完全重叠的直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移线段的长度得到的图形，试求图中阴影部分的面积． 【变式10-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段．若，则四边形的周长为（    ） A．8cm B．14cm C．16cm D．20cm 【变式10-2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是公园某一段步行区的示意图，可抽象成长方形，长，宽．为方便观赏，公园特意修建了如图所示的步行小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，若沿着小路的正中间步行，从入口到出口步行的路线（图中虚线）的长为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【题型11 利用旋转的性质判断结论正误】 【例11】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，把绕点O逆时针旋转一定角度，得到，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点，，恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2024·天津·中考真题）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③；其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【题型12 利用旋转的性质求解】 【例12】（25-26七年级上·河北承德·期末）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到．若点落在线段的延长线上，且，则大小为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，把边绕点顺时针旋转角得到，点A的对应点恰好落在边上，则________． 【变式12-3】（25-26七年级上·云南昆明·期末）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 【题型13 利用旋转的性质证明】 【例13】在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【变式13-1】如图，将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，过点作，交的延长线于点，求证：．    【变式13-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，将绕点B旋转得到，且A，D，C三点在同一条直线上．求证：平分 【变式13-3】如图，在中，，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．    (1)若，则______ (2)求证：平分； (3)连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【题型14 利用中心对称的性质解决问题】 【例14】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式14-1】（2025七年级上·全国·专题练习）八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式14-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是一个滑梯的侧面示意图，现要在滑梯侧面设计一张安全标语海报（阴影部分）．已知点O是曲线的对称中心，点A的对称点是C．若，则海报的面积为 ． 【变式14-3】（25-26七年级上·上海·期末）如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发 秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【思维拓展】 【题型15 分析图案的形成过程】 【例15】如图的四个图形中，由基础图形通过平移、旋转或轴对称这三种变换都能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【变式15-2】以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【变式15-3】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图是由14个全等的三角形组成的图案，是由阴影部分的三角形通过平移、轴对称或旋转而得到的，试分析这个图案形成的过程． 【题型16 利用图形变换构建图案】 【例16】（2024·上海黄浦·二模）如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（    ） A．型号1 B．型号2 C．型号3 D．型号4 【变式16-1】（25-26七年级上·上海普陀·期末）以基本（单位）纹样（图案）为基础，根据一定的变换方式（如：平移、旋转、轴对称等）重复排列所构成的不间断图案称为连续纹样． (1)下列单位纹样中既是轴对称图形又是中心对称图形的纹样是________． (2)已知图2的二方连续纹样是由图1的一个单位纹样连续排列形成的，那么这个单位纹样的变换方式是_______和______． (3)如图3，在网格中有一个单位纹样，将这个单位纹样通过两种变换方式排列，形成一个二方连续纹样．（使得整个网格有四个单位纹样） 【变式16-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）观察图案． (1)请说说由图案（）到图案（）的变化过程； (2)请利用图案（）再设计一个图案． 【变式16-3】如图1，图2，图3的网格均由边长为1的小正方形组成，图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”，它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成，赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明，是中国古代数学的一项重要成就，请根据下列要求解答问题． (1)图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是　 　对称图形（填“轴”或“中心”）． (2)请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在图2，3的方格纸中设计另外两个不同的图案，画图要求： ①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠，不必涂阴影； ②图2中所设计的图案（不含方格纸）必须是轴对称图形而不是中心对称图形；图3中所设计的图案（不含方格纸）必须既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【题型17 平移、轴对称、旋转之间的关系】 【例17】如图所示，在正方形网格上有一个． 画出关于直线MN的对称图形； 画出关于点O的对称图形； 若网格上的最小正方形边长为1，求的面积； 能否由平移得到？能否由旋转得到？这两个三角形指与存在什么样的图形变换关系？ 【变式17-1】如图，在正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上，将△ABC先向右平移5个单位，得到△A1 B1C1，再作△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2， （1）请在网格上作出△A1B1C1与△A2B2C2(不写作法)； （2）根据图形可知，△AA1B的面积为 　；△AA1B1的面积 　；若P为直线BB1上任一点，则△PAA1的面积为　． 【变式17-2】如图，正六边形是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，那么图中 (1)三角形沿着___________方向平移_________厘米能与三角形重合； (2)三角形绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形重合； (3)三角形沿着BE所在直线翻折后能与________重合； (4)写一对中心对称的三角形：_________． 【变式17-3】如图， (1)请在下面方格纸中画出关于直线的对称图形，再画出关于直线的对称图形． (2)观察你所画的图形，发现与之间有什么关系？（可以看作是由经过一次什么变换得到的） (3)通过做这个题你会发现，一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称，就相当于做一次什么变换？ 【题型18 设计美丽的图案】 【例18】认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： (1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：________、________； (2)请在图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 【变式18-1】阅读理解，并解答问题： 观察发现： 如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴． 问题解决： 用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法． (1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【变式18-2】在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分） 请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外） 【变式18-3】思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转） 例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图． 【题型19 与旋转有关规律问题】 【例19】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【变式19-1】（24-25九年级上·广西河池·期中）下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第______个箭头方向相同（填序号）． 【变式19-2】如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【变式19-3】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $