9.3二元一次方程组与实际问题 教案 共3课时 2025--2026学年青岛版七年级数学下册

该教案聚焦二元一次方程组解决实际问题，通过复习一元一次方程解应用题步骤导入，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有经验过渡到用方程组建模，梳理问题解决脉络。 以制作纸盒、义演售票等情境为载体，用表格梳理数量关系培养抽象能力，变式练习（纸板是否用完）发展推理意识，结合生活、几何及《九章算术》等实例强化模型意识，帮助学生掌握建模步骤，为教师提供清晰教学流程与丰富案例，提升学生应用能力与教师教学效率。

第九章 二元一次方程组 9.3二元一次方程组与实际问题 第1课时   一、教材分析 《二元一次方程组与实际问题（第1课时）》是青岛版初中数学七年级下册第九章第三节第1课时的内容.本课是在学生学习了列一元一次方程解应用题和二元一次方程组解法的基础上的一个新的内容，在实际生活中有着广泛的应用，.本节课的重点在于列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，通过列二元一次方程组建模，让学生感受方程的模型思想，培养了学生列二元一次方程组解决实际问题的基本思维，提高将实际问题转化为数学问题的能力.   二、学情分析 学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经学会了列一元一次方程解应用题，掌握了解应用题的一般步骤.在前面的学习过程中，经历了归纳、比较、交流等活动，解决了一些简单的实际问题，感受到了数学活动的重要性.然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生缺乏分析较复杂实际问题中数量关系的经验．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．   三、教学目标 1.能正确分析实际问题中的数量关系，将实际问题转化为数学问题，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题． 2.经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，增强数学的应用意识． 3.通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和体会化归的思想.   四、教学重难点 重点：让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型. 难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：回顾一下用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评. 设计意图：通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，让学生再次回忆一元一次方程解决实际问题的一般步骤. · 探究新知 活动一：探究二元一次方程组的应用 用长方形和正方形的纸板制作A型、B型两种无盖的长方体纸盒，且长方形的宽与正方形的边长相等.现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，恰好可以制成多少个A型纸盒？多少个B型纸盒？ 纸板 A型纸盒展开图 A型 B型 纸板 A型 B型纸盒展开图 问题中的等量关系是： A型、B型纸盒所用正方形纸板的数量之和等于正方形纸板总数， A型、B型纸盒所用长方形纸板的数量之和等于长方形纸板总数. 设恰好可以制成A型纸盒x个，B型纸盒y个，借助下面的表格，可以表示出问题中的等量关系. 分析:做一个A型纸盒需要几块长方形纸板和正方形纸板？做一个B型纸盒呢？请填写下表： 纸板类型 A型纸盒 B型纸盒 合计 正方形纸板/张 x 2y 140 长方形纸板/张 4x 3y 360 根据上表我们就能列出两个二元一次方程，解这个二元一次方程组得到所求的解. 解:设恰好可制成A型纸盒x个，B型纸盒y个.根据题意，得 解方程组，得 ， 答：可制成A型纸盒60个，B型纸盒40个. 变式：如果题中的条件改为现有正方形纸板500张，长方形纸板1001张，那么能否在做成两种纸盒若干个后，恰好把现有的纸板用完?说明你的理由. 纸板类型 A型纸盒 B型纸盒 合计 正方形纸板/张 x 2y 500 长方形纸板/张 4x 3y 1001 解：设制成A型纸盒x个，B型纸盒y个，根据题意，得 ①×4-②，得5y=999 y不是自然数，不合题意，所以当现有正方形纸板500张，长方形纸板1001张时不可能做成若干个纸盒后恰好将现有的纸板用完． 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：解决配套问题时，注重启发学生利用列表得到竖式、横式纸盒数与所需的正方形与长方形纸板的张数之间的数量关系，理清已知和未知有助于发现数量关系.变式练习中学生列出方程后，求解时却发现x和y的值不符合题意，强调解题形成完整思路的重要性. 活动二：探究二元一次方程组解决实际问题的步骤 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演.其中成人票每张8元，学生票每张5元，共售出1000张票，共筹得票款 6950元.问成人票与学生票各售出多少张？ 分析：两个相等关系：①学生票数+成人票数=总票数 ②学生票款+成人票款=总票款 解：设成人票x张，学生票y张， 根据题意得： 解得： 答：成人票650张，学生票350张. 想一想：上面整个思考过程中，你经历了哪些问题解决的基本步骤？ 列方程组解决实际问题的一般步骤：设未知数 二元一次方程组 实际问题 解方程组 寻等量关系 解释 解一元一次方程 实际问题的解 方程组 · 应用新知 例1：学校乐队193人准备参加文艺会演.现已预备了大客车和中巴车共8辆，其中大客车每辆可坐51人，中巴车每辆可坐8人，刚好坐满.学校预备了几辆大客车，几辆中巴车？ 分析：大客车数+中巴车数=8辆， 大客车乘坐人数+中巴车乘坐人数=193人. 解：设学校预备大客车x辆，中巴y辆，由题意得： 解得： 答：学校预备了大客车3辆，中巴车5辆. 例2：现有一个110人的旅游团入住某宾馆,恰好住满了50间客房.如果这50间客房中既有双人间,又有三人间,那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间? 分析解：设他们所住的双人间有x间，三人间有y间， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：他们所住的双人间有40间，三人间有10间. 例3.某校七年级1班为鼓励同学们积极参加锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍，购买方案如下图： 根据图中信息，求每个羽毛球拍和每个乒乓球拍的价格. 分析：设每个羽毛球拍的价格是x元，每个乒乓球拍的价格是y元，利用总价=单价×数量，结合图中信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论. 解：设每个羽毛球拍的价格是x元，每个乒乓球拍的价格是y元，依题意得： 解得： 答：每个羽毛球拍价格是80元，每个乒乓球拍价格是60元. 师生活动：学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解． 设计意图：培养学生根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题的能力，总结解题的方法. · 课堂练习 1.为绿化校园，某中学购买了杨树苗和柳树苗共100棵.杨树苗3元/棵，柳树苗7元/棵，买树苗共用460元.求该校购买两种树苗各多少棵. 解：设该校购买杨树苗x棵，买柳树苗y棵，依题意得： 解得： 答：该校购买杨树苗60棵，买柳树苗40棵. 2．如图，用8块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为60cm的长方形墙面(瓷砖间的缝隙忽略不计).求每块瓷砖的长和宽. 解：设每块瓷砖的宽为xcm，长为ycm，依题意得： 解得： 答：每块瓷砖的宽为15cm，长为45cm. 3.《九章算术》“方程”章中记载：今有牛五羊二，直金十两.牛二羊五，直金八两，问牛羊各直金几何.大意为：5头牛和2只羊，共值金10两.而2头牛和5只羊共值金8两.问1头牛、1只羊各值金几两.请列方程组求解. 解：设1头牛值x金，1只羊值y金，依题意得： 解得： 答：1头牛值金，1只羊值金. 师生活动：学生独立做题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升. 设计意图：学生独立练习，学会利用已有的知识经验探索和解决新情境中的数学问题，巩固利用二元一次方程组解决问题的思路，强化方程的模型思想. · 课堂检测 1.某工地派96人去挖土和运土.若平均每人每天挖土5m³或运土3m³则怎样分配挖土和运土的人数，才能使挖出的土刚好被运完？ 解：设x人去挖土，y人运土，由题意得： 解得： 答：有36人挖土，有60人运土，才能使挖出的土刚好被运完. 2.某县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机．已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元．问购买一块电子白板和一台投影机各需要多少元？ 解：设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元． 3.今有鸡兔同笼，上有三十五头.下有九十四足，问鸡兔各几何. 解：设鸡有x只，兔有y只. 根据题意得： 解得 答：鸡有23只，兔有12只. 4.某校参加夏令营的学生到餐厅用餐，若每张餐桌安排坐7人，则剩7人没有座位；若每张餐桌安排坐9人，则空出一张餐桌.求餐桌数和学生总人数. 解：设餐桌有x张，学生有y人，依题意得： 解方程组，得： 答：餐桌有8张，学生有63人. 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：让学生进一步巩固所学知识，鼓励学生大胆探索，能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，积累解题经验，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 二元一次方程组 9.3二元一次方程组与实际问题 第3课时   一、教材分析 《二元一次方程组与实际问题（第3课时）》是青岛版初中数学七年级下册第九章第三节第3课时的内容.本课时在教材中处于关键位置，是对二元一次方程知识的深化与应用拓展，探究如何运用二元一次方程组解决更为复杂的实际问题，如行程、工程、销售等综合场景.这些问题涵盖多个数量关系，需要学生深入分析、合理设元、准确列方程求解，旨在培养学生将实际情境数学化的能力.   二、学情分析 学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经学会了列方程组解决实际问题的一般步骤，但将实际问题转化为数学模型的能力不足，难以准确找出问题中的等量关系，分析问题的思路不够清晰、全面.因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略.   三、教学目标 1.经历根据实际问题列方程组的过程，体会画图或列表等方式在正确理解题意、分析较复杂的数量关系、顺利列出方程组中的作用． 2.经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，增强数学的应用意识． 3.通过对列二元一次方程组解决应用题的教学，体会列方程组来解应用题的优越性，同时渗透把未知转化为已知的思想.   四、教学重难点 重点：经历和体验用方程组这一模型解决实际问题的过程，并体验用画图或列表的方法分析数量关系. 难点：发现问题中隐含的未知数，寻找等量关系并列出方程组，由方程组的解释实际问题.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：列方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 设未知数 二元一次方程组 实际问题 解方程组 寻等量关系 解释 解一元一次方程 实际问题的解 具体步骤： （1）审题：弄清题意和题目中的等量关系； （2）设元：用字母表示题目中的未知量； （3）列方程组：根据2个等量关系列出方程组； （4）解方程组：利用_代入消元法或加减消元法，解出未知数的值； （5）检验作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答. 师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评. 设计意图：通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，让学生再次回忆列方程组解决实际问题的一般步骤. · 探究新知 活动：探究二元一次方程组的应用 问题2：长江上一艘游船从沙市出发，船速为17km/h，经过若干小时到达宜昌.如果船速提高1km/h，那么用同样多的时间，游船可从沙市到达宜昌上游9km处的葛洲坝.提速前，游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少？沙市到宜昌的航程是多少？ 分析：借助线段图分析它们之间的关系. 问题：题目中有哪些已知量？ 提速前后的船速：提速前船速为17km/h，提速后船速为18km/h，提速前后航程差：9km. 问题：我们应该如何设未知数？ 问题：提速前，游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少？沙市到宜昌的航程是多少？ 解：设游船提速前从沙市航行到宜昌所用的时间为xh，沙市到宜昌的航程为ykm. 根据题意，得 解方程组，得 答：提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间为9h，沙市到宜昌的航程为153km. 问题3：果园租用甲、乙两种冷柜车运送一批水果，前两次租用这两种冷柜车的信息如下表： 第一次 第二次 甲种冷柜车/辆 2 5 乙种冷柜车/辆 3 6 累计运货量/辆 15.5 35 第三次运送水果时租用了3辆甲种冷柜车和5辆乙种冷柜车.如果每吨水果的运费为280元，那么第三次运送水果应支付运费多少元？ 分析：第三次运送水果的费用与运送的吨数有关，所以需要先求出甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果的吨数. 等量关系： 3辆甲运货量+5辆乙运货量 =15.5， 5辆甲运货量+6辆乙运货量=35. 解：设甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果xt，yt. 根据题意，得 解方程组，得 第三次运送水果所需费用为(3×4+5×2.5)×280=6860(元). 所以，第三次运送水果应付运费6860元. 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：通过层层设问将问题细化，引导学生进行分析和思考，将题目中的数据用线段图、表格进行整理，使思路更清晰.学生结合线段图、图表就能顺利列出方程，要求学生写出规范的解答过程，培养学生的计算、表达等多方面的能力. · 应用新知 例1.甲、乙两人从相距36千米的两地匀速相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇.请分析题中的相等关系你会用示意图表示数量关系吗？甲、乙两人每小时各走多少千米？ 等量关系：4.5小时甲路程+2.5小时乙路程=36 3小时甲路程+5小时乙路程=36 解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，由题意得： 解得： 答：甲的速度为6千米/时，乙的速度为3.6千米/时. 例2：小刚与小玲一起去水果店买水果.小刚买了3kg苹果，2kg梨，共花了18.8元.小玲买了2kg苹果，3kg梨，共花了18.2元.你能算出1kg苹果多少元，1kg梨多少元吗？ 问题1:题中有哪些未知量，你如何设未知数？ 未知量：苹果的单价，梨的单价. 设未知数：设苹果的单价为 x 元/千克，梨的单价为 y 元/千克. 问题2：题中有哪些等量关系？ （1） 3 千克苹果和2千克梨共 18.8 元； （2） 2 千克苹果和 3 千克梨共 18.2 元. 分析：设1kg苹果x元，1kg梨y元，由题意： 苹果 梨 一共花了 小刚 3x 2y 18.8 小玲 2x 3y 18.2 解：设1kg苹果x元，1kg梨y元，由题意： 解得： 答：1kg苹果4元，1kg梨3.4元. 师生活动：学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解． 设计意图：培养学生利用线段图、图表处理信息的能力和习惯，提高解题技巧，锻炼运用二元一次方程组解决复杂的实际问题的能力. · 课堂练习 1.根据题意，列方程组： 小亮和小莹练习跑步，如果小亮让小莹先跑10m，那么小亮跑5s就能追上小莹；如果小亮让小莹先跑2s，那么小亮跑4s就能追上小莹.两人每秒各能跑多少米？ 解：设小亮每秒跑x米，小莹每秒跑y米， 依题意得： 2．商场用36000元购进甲、乙两种玩具，全部销售完后共获利6000元.甲进价为120元/个，售价为138元/个；乙进价为100元/个，售价为120元/个.该商场购进甲、乙两种玩具各多少个？ 解：设该商场购进甲种玩具x个，乙种玩具y个， 依题意得： 解方程组，得 答：该商场购进甲种玩具200个，乙种玩具120个. 3.A地至B地的航线长9750km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机的平均速度与风速. 解：设飞机的平均速度为xkm/h，风速为ykm/h. 依题意，得化简，得 ①+②，得 2x=1530.解得x=765.把x=765代入①，得y=15. 这个方程组的解为 答：飞机的平均速度为765km/h，风速为15km/h. 师生活动：学生独立做题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升. 设计意图：培养根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题的能力，引导学生发现并总结根据实际问题提炼数量关系的方法. · 课堂检测 1.A，B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度. 解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h. 依题意得 解得 答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h. 2.张明沿公路匀速前进，每隔4min就迎面开来一辆公共汽车，每隔6min就有一辆公共汽车从背后超过他.假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1200m，求张明前进的速度和公共汽车的速度. 解：设张明前进的速度是xm/min，公共汽车的速度是ym/min. 依题意得 解得 答：张明前进的速度是50m/min，公共汽车的速度是250m/min. 3.七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是： （1）一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低0.4元. （2）一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低0.6元． 这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元．这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少？ 解：设这家文具店A，B型毛笔的零售价分别为x元和y元． 根据题意，得 解方程组，得 答：这家文具店A，B型毛笔的零售价分别为5元和6元． 4.一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表所示．若制作三种产品共需25h，所获利润为975元，求这三种产品的总件数． 解：设展板x件，宣传册5x件，横幅y件． 根据题意，得解方程组，得 x+5x+y=70(件) 答：这三种产品的总件数为70件. 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：让学生明确实际问题转化为数学问题关键是找出问题中的相等关系，列出二元一次方程组，从而体会方程组的应用价值. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是什么？ 设计意图：通过归纳小结，提升对所学知识的认识和理解． · 实践作业 请你以实际生活为背景：编一道二元一次方程组应用题，在小组内与大家分享，看看谁能最快解出答案.   六、板书设计 9.3二元一次方程组与实际问题 基本步骤：设未知数 例1 寻找等量关系 列二元一次方程组　　 例2 转为一元一次方程组 实际问题的解 　 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 二元一次方程组 9.3二元一次方程组与实际问题 第2课时   一、教材分析 《二元一次方程组与实际问题（第2课时）》是青岛版初中数学七年级下册第九章第三节第2课时的内容．本课是在学生掌握二元一次方程组解决实际问题的基本步骤后，进一步让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型的一节课，让学生掌握所求的量较多时如何列二元一次方程组，感受方程的模型思想，培养学生列二元一次方程组解决实际问题的基本思维，提高将实际问题转化为数学问题的能力．   二、学情分析 学生学习本节课之前有了一定的知识储备，已经掌握了二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，由于学生之间存在个体差异，部分学生将实际问题转化为数学模型存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．   三、教学目标 1．进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型． 2．能够找出实际问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列出方程组． 3．经历用二元一次方程组解决实际问题的过程，体会数学的应用价值，感受数学文化在生活中的作用．   四、教学重难点 重点：熟练掌握利用二元一次方程组解决实际问题． 难点：在实际问题中找出已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，列出方程组．   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：列方程组解决实际问题的一般步骤是什么 设未知数 二元一次方程组 实际问题 解方程组 寻等量关系 解释 解一元一次方程 实际问题的解 师生活动：学生代表回答，如出现错误或者不完整，请其他学生修正或者补充，教师点评． 设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备． · 探究新知 活动一：探究二元一次方程组的应用 弹簧不挂物体时的长度称为弹簧的自然长度．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧增加的长度是相同的． 问题2：在弹性限度内，某弹簧所挂物体质量与弹簧长度的数据如下表： 物体质量/kg ．．． 0．5 3 ．．． 弹簧长度/cm ．．． 11 16 ．．． 当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度是多少？ ①设某弹簧的自然长度为xcm，弹性限度内所挂物体的质量每增加 1kg时，弹簧的长度增加ycm． ②依据表格寻找等量关系． ③列二元一次方程组． ④利用代入消元或者加减消元转化为一元一次方程． ⑤解方程解决实际问题． 解：设某弹簧的自然长度为xcm，弹性限度内所挂物体的质量每增加 1kg时，弹簧的长度增加ycm．根据题意，得 解方程组，得 当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度为10+5×2=20(cm)． 答：当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度为20cm． 问题3：A，B两块试验田去年共产小麦500kg．今年采用新技术实现了增产，共产小麦562kg．已知A试验田今年比去年增产16%，B试验田今年比去年增产10%．今年A，B两块试验田的产量分别是多少？ 等量关系：①A试验田产小麦+B试验田产小麦=500 ②A试验田增产16%后+B试验田增产10%后=562 解：设去年A试验田产小麦xkg，B试验田产小麦ykg． 根据题意，得 解方程组，得 (1+16%)×200=232(kg)，(1+10%)×300=330(kg)． 答：今年A试验田产小麦232kg，B试验田产小麦330kg． 活动二：探究二元一次方程组解决实际问题的具体步骤 解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的具体步骤： （1）审题：弄清题意和题目中的等量关系； （2）设元：用字母表示题目中的未知量； （3）列方程组：根据2个等量关系列出方程组； （4）解方程组：利用_代入消元法或加减消元法，解出未知数的值； （5）检验作答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答． 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：教师引导学生，帮助学生在解决实际问题时形成审题、找等量关系、设元、列方程组、解方程组的完整思路，积累做题的经验． · 应用新知 例1．某中学七年级甲、乙两班共有93人其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有的人、乙班有的人参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人． 分析：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系． 等量关系：①甲班人数+乙班人数=93 ②甲班人数的+乙班人数的 =27 解：设甲班有x人，乙班有y人． 根据题意，得 解方程组，得 答：甲班有48人，乙班有45人． 例2．通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息： ①快餐的总质量为300g； ②快餐的成分：蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质； ③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物含量占85%． 试分别求出营养快餐中蛋白质、脂肪、碳水化合物、矿物质的质量和所占百分比． 分析：本题所求量有四个，如何设未知数是解决问题的关键．根据第③条信息，蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系，所以可以考虑设它们的含量分别为x(g)和y(g)． 等量关系： 蛋白质和脂肪含量占50%； 碳水化合物和矿物质含量占50%． 解：设蛋白质有x(g)，脂肪有y(g)．则矿物质有2y(g),碳水化合物有(300×85% -x)(g)． 化简得 ①+②，得3y=45，解得y=15．所以x=150-y=150-15=135(g)， 2y=2×15=30(g)，300×85% −x=255-135=120(g)． 答：营养快餐中蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合物的质量和所占百分比如下表． 成分 蛋白质 脂肪 矿物质 碳水化合物 合计 各种成分的质量/g 135 15 30 120 300 各种成分所占百分比/% 45 5 10 40 100 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：培养学生根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题的能力，总结解题的方法． · 课堂练习 1．甲、乙两名同学各有若干零花钱．若乙把自己一半的钱给甲，则甲有50元；若甲把自己的钱给乙，则乙的钱也为50元．那么甲、乙各有多少元？ 解：设甲有x元，乙有y元，依题意得： 解方程组，得： 答：甲有37．5元，乙有25元． 2．某校七年级共有180名学生,他们的体质健康测试及格率为90%．如果男、女生的体质健康测试及格率分别为85%，94%，那么男、女生各有多少人？ 解：设男生有x人，女生有y人，依题意得： 解方程组，得： 答：男生有80人，女生有100人． 3．计划用若干节车皮装运一批货物． 如果每节装 15．5 吨，那么有 4 吨装不下，如果每节装 16．5 吨，那么还可多装 8 吨． 问有多少节车皮？多少吨货物？ 解：设有x节车皮，y吨货物， 依题意得： 解方程组，得 答：有12节车皮，190吨货物． 师生活动：学生独立做题，然后小组内交流解决问题的过程，组内互助，完善过程，学生代表板演解决问题的过程，然后给大家讲解，教师再总结提升． 设计意图：让学生通过练习巩固二元一次方程组解决问题的思路，强化方程的模型思想． · 课堂检测 1．一块锡铅合金，在空气中称得重为115kg，在水中称得重为103kg．已知在空气中15kg的锡在水中称得13kg，在空气中35kg的铅在水中称得32kg．这块合金中含锡和铅各多少千克？ 解：设这块合金中含锡x千克，含铅y千克， 依题意得： ，解得： 答：这块合金中含锡45千克，含铅70千克． 2．一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示．已知B，C两车站之间相距660千米．火车从B站出发，向C站方向匀速行驶，经过18分钟，距A站150千米；经过2小时，距A站524千米．问：火车从B站开出多少时间后可到达C站？ A C A B C 解：设火车的速度为x千米/时，A，B两站之间距离为y千米， 依题意得： ，解得： ． 火车从B站到达C站需时间： =3（小时）． 答：火车从B站开出3小时后可到达C站． 3．下表是小红制作的一份记录表，其中空格处的字迹已模糊不清，但小红记得7:508:00时段内的电动车辆数与8:008:10时段内的货车辆数之比是5:4．根据这些数据，你能把这份记录表填完整吗？ 2023年9月10日光明路7:508:10经过车辆记录表 单位:辆 车辆 电动车 公交车 货车 小汽车 合计 7:508:00 25 7 0 12 44 8:008:10 5 7 20 8 40 合计 30 14 20 20 84 解：设7:50~8:00经过的电动车有x辆，货有y辆，依题意得： ，解得： ． 所以7:50~8:00电动车有25辆，货车0辆，8:00~8:10电动车有5辆，货车20辆． 答：表格第一横排为：25，0，第二横排为：5，20，第三横排为：14，84． 4．某商场购进甲、乙两种商品后将甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少． 解：设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件． 根据题意，得 化简，得 解得 答：甲商品的进价为250元/件，乙商品的进价为200元/件． 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1．本节课你学到了什么？ 2．怎样解决一些信息量大，关系比较复杂的实际问题？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $