第28讲 概率 （复习讲义，5考点8题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 统计与概率 第28讲 概率 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 事件的分类 题型01事件的分类 命题点二 概率的意义与表示 题型01概率的意义理解 题型02判断几个事件概率 的大小关系 命题点三 等可能事件的概率公式 题型01列举法求概率 题型02列表法或树状图法求概率 命题点四 求概率的常用方法 题型01求某事件的频率 题型02用频率估计概率的综合应用 命题点五 几何概型 题型01几何概率 05·重难突破·思维进阶难 33 突破一 随机事件与概率 突破二 用列举法求概率 突破三 用频率估计概率 突破四 概率的应用 06·优题精选·练能提分 48 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 概率的基本概念与意义 / / / 1. 理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，能区分不同类型事件； 2. 理解概率的意义，知道概率是刻画随机事件发生可能性大小的量； 3. 知道概率的取值范围为，理解必然事件概率为1、不可能事件概率为0。 一步随机事件的概率计算（公式法） 北京卷T4（摸球试验，直接用概率公式计算摸出白球的概率） / / 1. 掌握古典概型的概率计算公式：事件包含的结果数所有等可能的结果总数； 2. 能确定一步随机试验的所有等可能结果数和目标事件结果数； 3. 能运用公式进行简单的一步随机事件概率计算。 两步随机事件的概率计算（树状图/列表法） / 北京卷T5（有放回摸球，用树状图法求两次取白球的概率） 北京卷T7（连续抛硬币，用树状图法求一正一反的概率） 1. 掌握树状图法、列表法的解题步骤，能清晰列举两步随机试验的所有等可能结果； 2. 能通过树状图/列表法确定目标事件的结果数，进而计算概率； 3. 理解“有放回” “无放回”试验的区别，能准确分析对应结果数。 概率的实际应用与解释 / / / 1. 能运用概率知识解释生活中的随机现象，判断事件发生的可能性大小； 2. 能结合实际情境设计简单的随机试验，计算相关概率； 3. 体会概率的实际价值，能用概率结果进行简单的决策分析。 命题预测 紧扣中考“基础扎实+生活应用”的导向，保持题型、分值、难度的稳定性，不会出现复杂综合题； 考查背景会更贴近学生生活（如校园抽奖、体育游戏、文具抽取等），强调对树状图/列表法解题步骤的规范运用，减少纯公式记忆考查，注重对“等可能结果”的理解和列举能力的考查，偶尔会融入“无放回”试验的简单分析，提升对题意的审题要求。 考点一 事件的分类 1. 必然事件：一定发生的事件，概率 。 2. 不可能事件：一定不发生的事件，概率 。 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率 。 1．（2023·北京·模拟预测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．班里的两名同学，他们的生日是同一天 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可． 【详解】A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本不符合题意； B. 班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故不符合题意； C. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故不符合题意； D. 一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义是正确判断的前提． 2．下列说法正确的是（ ） A．掷一枚硬币，正面一定朝上 B．某种彩票中奖概率为1%，是指买100张彩票一定有1张中奖 C．旅客上飞机前的安检应采用抽样调查 D．方差越大，数据的波动越大 【答案】D 【详解】解：A．掷一枚硬币，正面不一定朝上，故错误； B．某种彩票中奖概率为1%，是指买100张彩票不一定有1张中奖，故错误； C．旅客上飞机前的安检应采用全面调查，故错误； D．方差越大，数据的波动越大，正确， 故选D． 【点睛】本题考查概率的意义；全面调查与抽样调查；方差；随机事件． 3．（2024·北京通州·一模）下列说法正确的是（   ） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C．甲乙两组身高数据的方差分别为、，那么乙组的身高比较整齐 D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 【答案】D 【分析】A. 根据生活实际判断事件是否必然发生进行判断即可；B. 当调查具有破坏性或费时费力时一般采用抽样调查；C.根据方差意义，方差越小，数据越整齐，即可做出判断；D. 分别求出数据的众数，中位数，平均数即可判断． 【详解】A. 清明节有可能下雨，也可能不下雨，所以“清明时节雨纷纷”是随机事件，判断错误，不合题意； B.调查某灯管的使用寿命，具有破坏性，应采用抽样调查的方式，判断错误，不合题意； C. ∵＜，∴甲组的身高比较整齐，判断错误，不合题意； D. 将数据排序：3，4，5，5，6，7，求得众数、中位数和平均数都是5，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了必然事件和随机事件、全面调查和抽样调查、方差的意义、平均数、中位数、众数的计算．内容较多，熟知统计调查，概率的基本概念是解题关键． 考点二 概率的意义与表示 1. 概率是表示一个事件发生可能性大小的数值。 2. 记法：事件 的概率记作 。 3. 取值范围：。 1．（2024·北京石景山）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示： 种子个数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子的个数 187 282 735 624 718 814 901 发芽种子的频率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 有下面四个推断： ①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891； ②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）； ③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽． 其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】①发芽率=发芽种子数除以总种子数；②频率稳定在0.9可估计概率约是0.9；③不能用特殊值代表概率；④用概率估计总体. 【详解】①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率大约是0.891，故错误；②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1），故正确；③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率不一定是种子发芽的概率，故错误；④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽，故正确．其中正确的是②④， 故选D． 【点睛】本题考查频率与概率、频率估计概率、概率估计总体等知识，掌握相关知识是解题关键，难度容易. 2．掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的意义直接得出答案． 【详解】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上， 则他第四次抛掷这枚硬币，有两种等可能的结果：正面向上与反面向上．正面朝上的概率为：， 故选B． 【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 3．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．当抛掷的次数很大时，正面朝上的次数一定占总抛掷次数的 C．不同次数的试验，正面朝上的频率可能会不相同 D．连续抛掷11次硬币都是正面朝上，第12次抛掷出现正面朝上的概率小于 【答案】C 【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】选项A，随着抛掷次数的增加，正面向上的频率不能确定，故本选项错误； 选项B，当抛掷的次数很大时，正面向上的次数接近，故本选项错误； 选项C，不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同，故本选项正确； 选项D，连续抛掷11次硬币都是正面向上，第12次抛掷出现正面向上的概率可能是，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． 考点三 等可能事件的概率公式 若一次试验中有 种等可能的结果，事件 包含其中 种结果，则： ：所有等可能结果总数 ：事件 发生的结果数 1．（2025·北京朝阳·二模）不透明的袋子中装有个红球、个绿球，这个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，有个红球分别用表示、个绿球用表示， 共有6种等可能结果，其中相同的有2种， ∴颜色相同的概率是， 故选：C ． 2．（2024·北京海淀·模拟预测）盒中有4块巧克力，其中两块是A品牌，两块是B品牌，小明和小红各任意拿走一块，盒中恰好剩下一块A品牌、一块B品牌巧克力的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先确定小明和小红拿走两块巧克力的所有等可能情况，再找出剩下一块A品牌和一块B品牌的情况，最后用符合条件的情况除以总情况数得到概率． 【详解】解：通过列表可得：             小红 小明 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共出现12种等可能情况，其中恰好剩下一块A品牌、一块B品牌巧克力有8种情况， ∴． 故答案为：． 3．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 【答案】(1)50，72 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）利用“选A：篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数， 再利用学生选D“羽毛球”的人数除以总人数，再乘以，即可求得结果； （2）利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球的学生人数，即可补全条形统计图； （3）画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：该班的总人数为：（人）， 学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50；72； （2）解：由题意可得： 选“B：足球”的学生人数为：（人）， 选“E：乒乓球”的学生人数为：（人） 补全条形统计图如下； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种； ∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为． 【点睛】本题考查了画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键． 考点四 求概率的常用方法 1. 直接列举法：结果较少时，直接列出所有等可能结果。 2. 列表法 适用于两步试验（如摸两次球、掷两次骰子）； 清晰列出所有组合，不重不漏。 3. 树状图法 适用于两步及以上试验（如三步及以上、有先后顺序）； 先画起点，再分支，逐层列出所有结果。 4. 关键区分： 有放回：总数不变，结果可重复； 无放回：总数减少，结果不重复。 1．（2024·北京·二模）某种兰花种子的发芽率与浸泡时间有关：浸泡时间不足4小时，发芽率约为；浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到．农科院记录了同一批次该种兰花种子的发芽情况，结果如下表： 种子数量n 100 200 500 800 1000 2000 发芽数量m 88 174 436 692 864 1728 发芽率 0.88 0.87 0.872 0.865 0.864 0.864 据此推测，这批兰花种子的浸泡时间是________(填“不足4小时”，“4到8小时”或“8到12小时”)． 【答案】8到12小时 【分析】本题考查了频率估计概率，利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．理解题意是解题的关键．根据频率估计概率，结合题意即可求解． 【详解】根据表格可知，这批兰花种子的发芽率接近， 浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到． 这批兰花种子的浸泡时间是8到12小时． 故答案为：8到12小时． 2．（2024·北京丰台·二模）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球 【答案】A 【分析】本题考查了事件的概率和频数图，根据信息进行对比是解题的关键． 求出各选项的概率后跟频率进行对比即可． 【详解】解：∵A的概率为，B的概率为，C的概率为，D的概率为，且图象的频率在左右， ∴A最接近， 故选：A． 3．（2025·北京顺义·一模）某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试． 下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下： 学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13 学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905 学习后评估测试的正确率 0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800 (1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保留小数点后三位）； ②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率； ③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别． 【答案】(1)见解析 (2)①0.100；②6；③80 【分析】本题考查了由函数图象获取信息，描点法画函数图象，正确理解题意，读懂函数图象是解题的关键． （1）利用描点法即可作图； （2）①由图象找出大致所对应的点，再作差即可； ②由图象即可求解； ③由图象可得当学习后评估测试的正确率达到稳定时，正确率约为0.800，再由100乘以0.800即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：①由图象可得：差值约为， 故答案为：0.100； ②由图象可得，至少经过6次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率， 故答案为：6； ③由图象可得，， ∴当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计80幅能被正确识别， 故答案为：80． 考点五 几何概型 若试验结果在某一区域内均匀分布，则： 事件对应的面积（长度体积）总面积（总长度总体积） 1．（2023·北京海淀·模拟预测）如右图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白两种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（        ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出空白部分在整个转盘中所占的比例即可得到答案． 【详解】解：∵每个扇形大小相同， ∴灰色部分面积和空白部分的面积相等， ∴落在空白部分的概率为：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率等于相应的面积与总面积之比． 2．（2025·北京海淀）某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：因为一共有9个小正方形，其中黑色小正方形有5个，所以选手获得笔记本的概率为，故选D. 考点：简单事件的概率. 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率． 【详解】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为1，平行四边形面积为， 则点取自黑色部分的概率为：， 故选C． 【点睛】此题主要考查了概率，关键是表示图形的面积和阴影部分面积． 命题点一 事件的分类 ►题型01 事件的分类 1. 混淆必然事件、不可能事件和随机事件，把一定发生或一定不发生的事件误判为随机事件。 2. 对事件发生的条件理解不清，忽略前提背景，导致事件类型判断错误。 3. 误认为随机事件发生的概率一定是50%，不理解概率可以是0到1之间的任意数值。 【典例】下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意，选项错误； B、是必然事件，符合题意，选项正确； C、是随机事件，不符合题意，选项错误； D、是随机事件，不符合题意，选项错误； 故选：B． 【变式1】一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意；     B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 【变式2】掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 命题点二 概率的意义与表示 ►题型01 概率的意义理解 1. 把概率理解为固定次数下的必然结果，忽略概率是大量重复试验下的稳定频率。 2. 混淆可能性大小与实际结果，认为概率大就一定发生，概率小就不会出现。 3. 错误认为每次试验之间相互影响，不理解独立试验中每次发生概率保持不变。 【典例】下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 【答案】A 【分析】根据概率的意义，概率公式，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【详解】解：A、自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故A符合题意； B、成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故B不符合题意； C、襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天降雨的可能性是60%，故C不符合题意； D、若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 “小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 题型02 判断几个事件概率的大小关系 1. 仅凭直观感觉或生活经验判断概率大小，不依据等可能结果或计算结果分析。 2. 忽略事件的前提条件，仅根据表面描述直接比较，造成概率大小判断错误。 3. 未准确数清所有等可能结果与符合条件的结果，错判情况数量导致大小关系失误。 【典例】在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是______． 【答案】 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率即可． 【详解】∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 【点睛】此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1． 【变式1】在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【答案】D 【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解． 【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； ∵， ∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键． 【变式2】下列实验中，概率最大的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面 B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为偶数 C．在一副洗匀的52张扑克牌（背面朝上）中任取一张，恰好为黑桃 D．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为奇数 【答案】D 【分析】此题考查概率公式，解题关键在于利用公式进行计算． 分别计算出4个选项中的概率，再比较其大小即可． 【详解】A、抛掷一枚质地均匀的硬币,出现反面的概率是； B、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面分别刻有数字1到6)，掷出的点数为偶数的概率是； C、在一副洗匀的扑克(背面朝上)中任取一张，恰好为黑桃的概率是 ； D、三张同样的纸片，分别写有数字1、3、4，和匀后背面向上，任取一张恰好为奇数的概率为． ∵． 故选：D． 命题点三 等可能事件的概率公式 题型01 列举法求概率 1. 列举所有可能结果时没有按顺序梳理，出现重复计数或遗漏，导致结果总数错误。 2. 混淆放回试验和不放回试验，错误计算总的可能情况数。 3. 把并非等可能的结果当作等可能情况，直接套用公式计算概率。 【典例】（2023·北京朝阳）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可． 【详解】解：从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加,和有三种情况， 分别是3，4，5三种情况. 所以和为偶数的概率为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的计算，解题的关键是掌握求等可能事件的概率公式. 【变式1】（2023·北京海淀·模拟预测）一个不透明的袋子中装有红、黄小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别，从中随机同时摸出两个球，那么两个球的颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用表示两个红球，表示两个黄球，然后利用列举法确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，最后运用概率公式计算即可． 【详解】解：用表示两个红球，表示两个黄球，随机从中同时摸出两个球，共有：种等可能的结果，其中两个球颜色相同的有2种结果，则两个球的颜色相同的概率． 故选C． 【点睛】本题考查列举法求概率,正确列举出所有等可能结果是解题的关键． 【变式2】“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，， 【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率； （2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率． 【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜． 此时，比赛的所有可能对阵为： ，， ，，共四种． 其中田忌获胜的对阵有 ，，共两种， 故此时田忌获胜的概率为． （2）不是． 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是； 齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是． 综上所述，田忌获胜的所有对阵是 ，，， ，，． 齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是 ，，， ，，， 共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵， 所以，此时田忌获胜的概率． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键． 题型02 列表法或树状图法求概率 1. 未区分试验是放回还是不放回，错误列出所有可能出现的结果。 2. 绘制图表时遗漏情况或重复计数，导致总结果数统计错误。 3. 忽略所有结果需等可能的前提，直接根据图表数据计算概率。 【典例】（2025·北京海淀·一模）不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列树状图或表格求概率，概率公式．先根据题意列出树状图，再分别得出所有可能的情况数和满足摸出个红球和1个黄球的情况数，结合概率公式即可求解． 【详解】解：列树状图，如图： 有图可知，随机摸出两个小球，所有等可能的情况有种，其中满足摸出个红球和1个黄球的情况有种， ∴恰好摸出个红球和1个黄球的概率为． 故选：B． 【变式1】不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率．根据题意，列出表格，可得一共有9种等可能结果，其中两次都摸出红球的有1种，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出红球的有1种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：B． 【变式2】（2023·北京·模拟预测）如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意，画出树状图如图所示： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中经过两次移动后，点P恰好和点B重合的情况有种， ∴经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为， 故答案为：． 命题点四 求概率的常用方法 题型01 求某事件的频率 1. 混淆频率与频数，直接将事件发生的频数当作频率，忽略用频数除以试验总次数。 2. 统计试验总次数或事件发生次数时出现错误，导致代入计算的数值不准确。 3. 计算后未按要求化简分数或换算成对应形式，造成结果书写错误。 【典例】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 【变式1】一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 【变式2】一个不透明的箱子里有红球和绿球共4个，每个球除了颜色外其他都相同．将箱子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次． (1)甲同学随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是________； (2)如果箱子里有1个红球、3个绿球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次、请用画树状图或列表的方法求乙同学两次摸出的小球颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求频率，树状图法或列表法求解概率，正确理解题意是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球总次数即可得到答案； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到乙同学两次摸出的小球颜色不同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴这20次摸球中，摸出红球的频率是； （2）解：设用A表示红球，用B、C、D表示三个绿球，列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中乙同学两次摸出的小球颜色不同的结果数有6种， ∴乙同学两次摸出的小球颜色不同的概率为． 题型02 用频率估计概率的综合应用 1. 试验次数较少时，直接用频率代替概率，忽略只有大量重复试验后频率才趋于稳定。 2. 混淆频率与概率，把试验中波动的频率当作固定不变的概率。 3. 利用频率估算总体数量时，比例关系计算错误，导致结果出现偏差。 【典例】不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40 所有合理推断的序号是_____． 【答案】②③ 【分析】利用频率估计概率对各个推断进行分析判断即可得到结论． 【详解】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理； ②推断合理； ③20×0.35=7，故推断合理； ④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（2024·北京密云）某学习小组进行摸球实验，在一个暗箱里放了10个只有颜色不同的小球，将小球搅匀后任意摸出一个，记下颜色并放回暗箱，再次将球搅匀后任意摸出一个，不断重复．下表是实验过程中记录的摸到白球的相关数据： 摸球的次数m 200 300 400 500 800 1000 2000 摸到白球的次数n 115 186 246 296 476 604 1198 摸到白球的频率 0.575 0.620 0.615 0.592 0.595 0.604 0.599 请估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率为______（精确到0.01），并以此推断暗箱中白球的个数为______． 【答案】 0.60 6 【分析】根据重复试验次数越大，频率越接近概率，可用频率估计概率，观察表格可得概率，进而可求白球个数． 【详解】解：由表格可知，估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率为， 推断暗箱中白球的个数为个， 故答案为：0.60；6． 【点睛】本题考查了频率估计概率．解题的关键在于明确：重复试验次数越大，频率越接近概率，可用频率估计概率． 【变式2】（2023·北京朝阳·二模）某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（    ） A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 【答案】A 【分析】观察表格的数据可以得到击中靶心的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】解：依题意得击中靶心频率为0.90， A、该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90，该选项说法正确； B、该选手射箭80次，射中靶心的频率可能超过0.90，该选项说法错误； C、该选手射箭400次，射中靶心的次数可能超过360次，该选项说法错误； D、该选手射箭1000次，射中靶心的次数不一定为910次，该选项说法错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率,首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 命题点五 几何概型 题型01 几何概率 1. 混淆长度、面积、体积等度量方式，错误选择对应的计算依据。 2. 计算总面积或符合条件的区域面积时出现漏算、多算或公式误用。 3. 对题意理解偏差，找错符合条件的区域范围，导致概率计算错误。 【典例】如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何概率，求出阴影部分的面积是解题的关键． 根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1， 阴影部分面积为： ∴点P恰好在阴影部分的概率为:， 故选：D． 【变式1】如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，击中白色区域的概率等于白色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：随意投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是： ． 故选：D． 【变式2】如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 突破一 随机事件与概率 【典例】在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)可以用整数18作为峰值的估计值，理由见解析 (4)不是，理由见解析 【分析】本题考查了阅读理解题型、推理与论证等内容； （1）根据材料易知第一次操作后，峰值m在第三段，且，即峰值m不在第一段内，也不在第二段内，从而求出第一个分点，因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，所以第二段内数值逐渐增大，进而求出第二个分点； （2）因为第一次操作后，峰值m在第三段，且，所以第二次操作中所设置的； （3）因为第二次操作后，峰值m在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16，所以，解不等式组即可； （4）由题意得，第三次操作中所设置的，继而推出即，与题意不符，进而得解． 【详解】（1）解： 解法一： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段，且，即峰值不在第一段内，也不在第二段内． 所以第一个分点． 因为实验指标从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16， 所以第二段内数值逐渐增大． 所以第二段的最小值是，最大值是． 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． 解法二： 因为小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值的这一段，且该段的左端值大于16， 所以第一次操作后，峰值在第三段且． 所以峰值不在第一段内． 所以第一个分点． 因为峰值在第三段， 所以根据“分法”操作当中的步骤“②分段：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于”可得． 解得第二个分点． （2）解：因为第一次操作后，峰值在第三段，且， 所以第二次操作中所设置的 （3）解：解法一： 因为第二次操作后，峰值在第三段，不妨设该段为，其中为该段的左端值， 所以，解得 因为峰值为该段的最大值， 所以，解得． 因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以，解得． 所以． 所以可以用整数18作为峰值的估计值， 解法二： 因为第二次操作后，峰值在该次操作的第三段，又因为第二次操作后，该段的左端值大于16， 所以 解这个不等式组得． 所以可以用整数18作为峰值m的估计值． （4）解：解法一： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的 假设：用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值这一段． 那么，解得，与矛盾． 所以假设不成立： 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 解法二： 事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 理由如下： 由题意得，第三次操作中所设置的． 因为， 当时，，即， 所以第三次操作后，峰值不在第三段． 所以事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值的这一段”不是必然事件． 【变式1】（2024·北京）如图，中，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，在内随机取一点，落在阴影部分的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积=扇形的面积+扇形的面积-直角三角形的面积”计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴落在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【变式2】（2025·北京）某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 【答案】B 【分析】本题考查条件概率的实际应用，根据患病人群和健康人群中出现阳性的情况，求出实际发病率，再结合发病率与仪器准确率以及概率公式求解即可． 【详解】解： ， ∴甲确实患这种疾病的概率大约为万分之一， 故选：B． 突破二 用列举法求概率 【典例】为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ． （2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】（1）200  ， ；（2）1224人；（3）见解析，. 【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值； （2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）， 所以本次调查共抽取了200名学生， ， ，即； （2）， 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人； （3）画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【变式1】在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． (1)试问小球通过第二层位置的概率是多少？ (2)请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了树状图法求概率．此题难度较大，解题的关键是理解题意，然后根据题意画出树状图，然后利用树状图求得概率，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）先画树状图，可得到每一个菱形处向左或向右的概率均为，经过某点的概率为该点处的两个概率相加即可； （2）先画树状图，把每一层的菱形看作一步，经过几层就看作几步画树状图，概率为在此点可能的概率相加． 【详解】（1）解：画树状图如下： 实心小球在碰到菱形挡块时向左或向右下落是等可能性的， 经过一个菱形挡块后向左或向右下落的概率各是原概率的一半．由树状图可知，落到点位置的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图得，落到点位置的概率为； 落到点位置的概率为． 【变式2】如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． 突破三 用频率估计概率 【典例】数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案． 【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1， 可以用图中正方形区域表示， ∴， 再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形， 则需满足x2＋y2＞1， 可以用图中（3）区域表示， ∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积， ∴， 设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A， ∴根据①概率计算方法可以得到： ， 又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率． 【变式1】某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 【变式2】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）平均数76，方差44；（Ⅱ）应购进17枝，理由见解析 【分析】本题考查算术平均数和方差，概率公式，掌握算术平均数和方差的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）（Ⅰ）求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数和方差即可；（Ⅱ）先求出当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式，再求出当一天购进 17枝玫瑰花时的日利润，即可求解． 【详解】（1）解：当时，16枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； （2）解：（Ⅰ）当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴日利润的平均数为（元）； 日利润的方差为； （Ⅱ）解：应购进17枝，理由如下： 当时，17枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为（元）， 所以利润为； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝5元， 所以利润为； 综上，当一天购进 17枝玫瑰花时，利润y关于当天需求量n的函数解析式为 当时，元，共10天总利润为（元）； 当时，元，共20天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共16天总利润为（元）； 当时，元，共15天总利润为（元）； 当时，元，共13天总利润为（元）； 当时，元，共10天总利润为（元）； 这100天的总利润为（元）， ∴当一天购进 17枝玫瑰花时，日利润的平均数为（元）； ∵当一天购进 16枝玫瑰花时，日利润的平均数为76元，且， ∴应购进17枝． 突破四 概率的应用 【典例】的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【答案】A 【分析】本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键． 给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论． 【详解】解：给各区域标上字母，如图所示． 先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑． 当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）； 当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选， ∴（种）； 当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选， ∴（种）． ∴共有（种）． 故选：A ． 【变式1】设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a、b是两个任意独立的一位正整数，得出a，b取1～9，然后求出点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的所有情况，再根据概率公式，即可求出答案． 【详解】解：∵a、b是两个任意独立的一位正整数， ∴a，b取1～9， ∴代入x=a时，y=a3-ba， ∵点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方， ∴b-y=b-a3+ba＞0， 当a=1时，b-1+b＞0， ∴b＞，有9个数，b=1，2，3，4，5，6，7，8，9， 当a=2时，b-8+2b＞0， ∴b＞ ，有7个数，b=3，4，5，6，7，8，9， 当a=3时，b-27+3b＞0， ∴b＞ ，有3个数，b=7，8，9， 当a=4时，b-64+4b＞0， ∴b＞ ，有0个数，b在此以上无解， ∴共有19个，而总的可能性为9×9=81， ∴点（a，b）在抛物线y=ax2-bx的上方的概率是； 故选D． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 【变式2】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 1．（2025·北京顺义·一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶将这两张卡片分别记为A，B，列表如下： 共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种， 两次抽取的卡片正面相同的概率为． 故选∶C． 2．（2025·北京·模拟预测）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：B随机而坐的结果数共有种，其中A与B不相邻而坐的结果有种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：B． 3．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率的计算，已知6位密码的前5位，最后一位数字有10种可能（），正确密码只有一种，故概率为． 【详解】解：锁屏密码为6位数，前5位已知，最后一位数字未知，可为中的任意一个，共有10种可能，正确的密码只有其中一种情况，因此一次解锁的概率为成功情况数除以总可能数，即． 故选：B． 4．（2025·北京·模拟预测）不透明袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法与树状图法，根据题意列表得共有种等可能的结果，其中两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的结果有种，然后通过概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下， 红 绿 红 （红，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的结果有种， ∴两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是， 故选：． 5．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 16 58 【分析】此题考查了事件的可能性，首先求出魔方获得优秀奖的积分为7分，然后分两种情况讨论：华容道和数独都获得优秀奖和华容道获得参与奖，数独获得卓越奖，即可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高得分，然后按照获得卓越奖的项目分4种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖， ∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖， ∴九连环，五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖， ∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖， ∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分． 故答案为：16，58． 6．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【答案】 49 90 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 7．如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率． 先画树状图表示出9种等可能的结果，再找出第二次B接到球的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】画树状图如解图， 由树状图知，共有9种等可能的结果，其中第二次传球B同学接到球的结果有3种， P(第二次传球B同学接到球) ． 故答案为：． 8．（2025·北京·二模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小志从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． (3)老师又统计了小石所在班级的三名学生这天的脂肪摄入量，见下表．老师从这三名学生中随机选两位，则她们的脂肪摄入量均达标的概率为______． 学生 小静 小华 小畅 脂肪摄入量（克） 54 66 70 【答案】(1)小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆 (2)他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则运算的实际应用，列表或画树状图求某事件发生的概率，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设小志喝了牛奶盒，豆浆盒，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．”列方程组求解即可； （2）由（1）知小志这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． （3）画树状图得到所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：设小志喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意： ， 解得：， 答：小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆； （2）解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）知小志这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆， 则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为， 则这天小志这天共摄入脂肪， ， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． （3）解：由表格知，脂肪摄入量均达标的是小华和小畅， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中脂肪摄入量均达标的有2种， ∴她们的脂肪摄入量均达标的概率为． 9．（2024·北京海淀）今年我市举行了“交通安全进校园，文明出行护成长”的活动．某校数学课外实践小组为了调研我校学生对交通法规的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解交通法规的有________人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的A，B，C，D四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图法求A和B两名同学同时被选中的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用乘以的人数占抽取的人数的百分比，即可得扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数；根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案. （2）求出B．比较了解的人数，补全条形统计图即可. （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及和两名同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）抽取的学生人数为(人), ∴扇形统计图中所对应的扇形圆心角度数为 ； 估计全校非常了解交通法规的约有(人)， 故答案为: ，； （2）B．比较了解的人数为(人)， 补全条形统计图如图所示. 学生对交通法规了解情况条形统计图 （3）画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中和两名同学同时被选中的结果有种, ∴和两名同学同时被选中的概率为． 10．（2025·北京·一模）某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图． a．抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B C D E 人数 m 9 10 4 2 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 70，71，72，73，74，76，76，77，78，79 根据以上信息，回答下列问题： (1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）； (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ； (3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）． 【答案】(1)30、否 (2)200名 (3)， 【分析】（1）由组频数及其圆心角所占比例可得样本容量，再根据加权平均数求解即可； （2）总人数乘以样本中等级人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；依据方差的定义计算即可． 【详解】（1）解：该抽样的样本容量为， ， 抽取学生成绩的平均数， 所以抽取学生成绩的平均数可能位于，但不能确定一定位于该组， 故答案为：30、否； （2）解：全校1200名学生中，等级的人数可以估计为（名， 故答案为：200名； （3）列表如下： 70 71 72 73 74 76 6 5 4 3 2 76 6 5 4 3 2 77 7 6 5 4 3 78 8 7 6 5 4 79 9 8 7 6 5 由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有3种结果， 所以他们的分数之差不低于8分的概率为； 甲组数据为75、76、76、77、78、79， 其平均数为， 方差， 乙组数据为70、71、72、73、74、75， 其平均数为， 方差； ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查扇形统计图、加权平均数、用样本估计总体及方差，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． 11．（2025·北京海淀·三模）为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为_____；若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，写出k的一个可能取值_____； (2)若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分． ①从这20名用户任取1人，该用户对甲软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为_____； ②甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升1分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案_____（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将_____（填“增大减小”或“不变”） 【答案】(1)9，2（答案不唯一，小于18的偶数即可） (2)①；②二，减小 【分析】本题主要考查众数，中位数，平均数，方差，概率，统计图的知识； （1）根据信息处理速度得分统计图中可以得到9分人数最多，求出众数，在结合中位数求出k的一个可能取值即可； （2）①分别求出同时满足信息处理速度高分、信息识别准确度高分的最多人数和总人数，根据概率公式计算即可； ②根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可． 【详解】（1）解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到9分人数最多， ∴甲的众数为：9， ∴的值为：9， 中位数：， ∴为， 若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，则k的一个可能取值为：2（答案不唯一，小于18的偶数即可）． 故答案为：9，2（答案不唯一，小于18的偶数即可）． （2）解：①根据题意得： 同时满足信息处理速度高分、信息识别准确度高分的人数最多为：8人； 总人数为：20人， ∴， ∴该用户对甲软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为：， 故答案为：． ②为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案二， ∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数； 采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， ∵分数波动变小， ∴方差将减小． 故答案为：二，减小． 1．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 2．若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查概率，根据题意筛选出符合条件的情况数目是解题的关键．设的个位数字为，十位数字为，根据“连加进位数”的定义得到n不是进位数当且仅当且，从而得到非进位数有12个，则从0到99中进位数有个，即可求出概率． 【详解】解：设的个位数字为，十位数字为， 个位无进位需（此时个位和分别为）， ∵个位无进位时十位数字均为b， ∴个位无进位时十位数字的和为， ∴十位无进位需，即， ∴ n不是进位数当且仅当且， ∴非进位数有：时，；时，；时，；时，，共12个， ∴从0到99中进位数有个， ∴概率为， 故选：A． 3．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60；（2）见详解；（3）200人；（4）． 【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案； （2）先求出编织的人数，再补全条形图即可； （3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为： （人）； 故答案为：60； （2）选择编织的人数为：（人）， 补全条形图如下： （3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为： （人）； （4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则 列表如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果， ∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：； 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 4．阅读下列材料，回答问题如图，我们将钢琴键的12个键分别记作、、…、，设，若且，我们称、、是原位大三和弦，若且，我们称、、是原位小三和弦． (1)在一个八度内任意弹一个三和弦； ①分别求这个三和弦是原位大三和弦、原位小三和弦的概率． ②（高考母题）求这12个键可以构成的原位大三和弦和原位小三和弦的个数之和． (2)如果在三和弦的基础上再弹一个音，那么它就构成了七和弦，请回答下列问题（音准范围两个八度）． ①请求出所有七和弦中所有原位大三和弦的个数． ②求在任意七和弦中，是否存在有三个音即能组成原位大三和弦，也可以组成原位小三和弦，若有，请求概率与其个数；若没有，请说明理由． 【答案】(1)①这个三和弦是原位大三和弦的概率为，这个三和弦是原位小三和弦的概率为；② (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率； （1）①根据题意，分别求得原位大三和弦和原位小三和弦的个数，以及三和弦的总数，根据概率公式，即可求解； ②根据①的结论，即可求解； （2）①在两个八度内，根据原位大三和弦的条件找出所有组合数； ②分析是否存在满足条件的三个音，即可求解． 【详解】（1）解：当，，为原位大三和弦时，则且， ∴． ∴或或或或， ∴原位大三和弦的个数为5个． 当，，为原位小三和弦时，则且， ∴． ∴或或或或． ∴原位小三和弦的个数为个． 三和弦是从12个键中任选3个不同的键，总组合数为：（种） ①这个三和弦是原位大三和弦的概率为，这个三和弦是原位小三和弦的概率为； ②用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为． （2）七和弦是在三和弦的基础上再弹一个音，音准范围两个八度（共个键）； 三和弦是从第一个八度的个键中选取，附加音是从两个八度的个键中选取，但不能与三和弦中的音重复，因此附加音有种选择； 七和弦总数为： ①所有七和弦中所有原位大三和弦的个数 原位大三和弦要求三个音，，满足且，其中．但七和弦的三和弦部分来自第一个八度，附加音来自两个八度，因此只有起始音到的大三和弦可能被包含在七和弦中（因为对于，大三和弦至少有两个音在第二个八度，而七和弦最多只有一个音在第二个八度，无法包含）． 对于，，，，（大三和弦完全在第一个八度内）： 子情况：三和弦恰好等于大三和弦，有种选择；附加音有种选择．个七和弦． 子情况：三和弦包含的两个音但不包含第三个音，有种选择（从中选两个音，从剩余个音中选一个）；附加音必须为的第三个音，有种选择．个七和弦． 每个：个七和弦，共个七和弦． 对于，，（大三和弦有两个音在第一个八度，一个音在第二个八度）： 三和弦必须包含第一个八度的两个音，有种选择（从剩余个音中选一个）；附加音必须为第二个八度的音，有种选择．个七和弦． 共个七和弦． 总原位大三和弦个数（即七和弦中包含原位大三和弦的总次数）： ②在任意七和弦中，是否存在有三个音即能组成原位大三和弦，也可以组成原位小三和弦 对于任意三个音，，（，其音程关系固定．原位大三和弦要求且，而原位小三和弦要求且．这两个条件不能同时满足，因为和不能既为又为．因此，不存在这样的三个音． 概率为，个数为． 5．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s (2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键． （1）设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解； （2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m， 可列方程：， 解得：x＝0.6 ，                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s． （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则． 解得：． 因为a是正整数，所以． 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝． 1．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 2．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 3．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)60，频数分布直方图见详解 (2)1200人 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图． （1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可； （2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可． （3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：， 则组的人数， 将频数分布直方图补充完整如下： （2）解：（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 【答案】(1) (2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是． （2）解：列表如下： 由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为． 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)，见详解 (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 统计与概率 第28讲 概率 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 事件的分类 题型01事件的分类 命题点二 概率的意义与表示 题型01概率的意义理解 题型02判断几个事件概率 的大小关系 命题点三 等可能事件的概率公式 题型01列举法求概率 题型02列表法或树状图法求概率 命题点四 求概率的常用方法 题型01求某事件的频率 题型02用频率估计概率的综合应用 命题点五 几何概型 题型01几何概率 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 随机事件与概率 突破二 用列举法求概率 突破三 用频率估计概率 突破四 概率的应用 06·优题精选·练能提分 24 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 概率的基本概念与意义 / / / 1. 理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，能区分不同类型事件； 2. 理解概率的意义，知道概率是刻画随机事件发生可能性大小的量； 3. 知道概率的取值范围为，理解必然事件概率为1、不可能事件概率为0。 一步随机事件的概率计算（公式法） 北京卷T4（摸球试验，直接用概率公式计算摸出白球的概率） / / 1. 掌握古典概型的概率计算公式：事件包含的结果数所有等可能的结果总数； 2. 能确定一步随机试验的所有等可能结果数和目标事件结果数； 3. 能运用公式进行简单的一步随机事件概率计算。 两步随机事件的概率计算（树状图/列表法） / 北京卷T5（有放回摸球，用树状图法求两次取白球的概率） 北京卷T7（连续抛硬币，用树状图法求一正一反的概率） 1. 掌握树状图法、列表法的解题步骤，能清晰列举两步随机试验的所有等可能结果； 2. 能通过树状图/列表法确定目标事件的结果数，进而计算概率； 3. 理解“有放回” “无放回”试验的区别，能准确分析对应结果数。 概率的实际应用与解释 / / / 1. 能运用概率知识解释生活中的随机现象，判断事件发生的可能性大小； 2. 能结合实际情境设计简单的随机试验，计算相关概率； 3. 体会概率的实际价值，能用概率结果进行简单的决策分析。 命题预测 紧扣中考“基础扎实+生活应用”的导向，保持题型、分值、难度的稳定性，不会出现复杂综合题； 考查背景会更贴近学生生活（如校园抽奖、体育游戏、文具抽取等），强调对树状图/列表法解题步骤的规范运用，减少纯公式记忆考查，注重对“等可能结果”的理解和列举能力的考查，偶尔会融入“无放回”试验的简单分析，提升对题意的审题要求。 考点一 事件的分类 1. 必然事件：一定发生的事件，概率 。 2. 不可能事件：一定不发生的事件，概率 。 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率 。 1．（2023·北京·模拟预测）下列事件中，属于不可能事件的是（    ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．班里的两名同学，他们的生日是同一天 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 2．下列说法正确的是（ ） A．掷一枚硬币，正面一定朝上 B．某种彩票中奖概率为1%，是指买100张彩票一定有1张中奖 C．旅客上飞机前的安检应采用抽样调查 D．方差越大，数据的波动越大 3．（2024·北京通州·一模）下列说法正确的是（   ） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行 C．甲乙两组身高数据的方差分别为、，那么乙组的身高比较整齐 D．一组数据3，5，4，5，6，7的众数、中位数和平均数都是5 考点二 概率的意义与表示 1. 概率是表示一个事件发生可能性大小的数值。 2. 记法：事件 的概率记作 。 3. 取值范围：。 1．（2024·北京石景山）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如表所示： 种子个数 200 300 500 700 800 900 1000 发芽种子的个数 187 282 735 624 718 814 901 发芽种子的频率 0.935 0.940 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 有下面四个推断： ①种子个数是700时，发芽种子的个数是624，所以种子发芽的概率是0.891； ②随着种子数量的增加，发芽种子的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9（精确到0.1）； ③种子个数最多的那次试验得到的发芽种子的频率一定是种子发芽的概率； ④若用频率估计种子发芽的概率约为0.9，则可以估计1000kg种子大约有100kg的种子不能发芽． 其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 2．掷一枚质地均匀的硬币，连续掷四次，前三次都是正面朝上，则第四次正面朝上的概率是（    ） A．1 B． C． D． 3．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．当抛掷的次数很大时，正面朝上的次数一定占总抛掷次数的 C．不同次数的试验，正面朝上的频率可能会不相同 D．连续抛掷11次硬币都是正面朝上，第12次抛掷出现正面朝上的概率小于 考点三 等可能事件的概率公式 若一次试验中有 种等可能的结果，事件 包含其中 种结果，则： ：所有等可能结果总数 ：事件 发生的结果数 1．（2025·北京朝阳·二模）不透明的袋子中装有个红球、个绿球，这个球除颜色外无其他差别，随机一次摸出两个球，颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京海淀·模拟预测）盒中有4块巧克力，其中两块是A品牌，两块是B品牌，小明和小红各任意拿走一块，盒中恰好剩下一块A品牌、一块B品牌巧克力的概率是______．             小红 小明 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 3．某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的两幅不完整的统计图． (1)则该班的总人数为______人，其中学生选D“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是______度； (2)补全条形统计图； (3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率． 考点四 求概率的常用方法 1. 直接列举法：结果较少时，直接列出所有等可能结果。 2. 列表法 适用于两步试验（如摸两次球、掷两次骰子）； 清晰列出所有组合，不重不漏。 3. 树状图法 适用于两步及以上试验（如三步及以上、有先后顺序）； 先画起点，再分支，逐层列出所有结果。 4. 关键区分： 有放回：总数不变，结果可重复； 无放回：总数减少，结果不重复。 1．（2024·北京·二模）某种兰花种子的发芽率与浸泡时间有关：浸泡时间不足4小时，发芽率约为；浸泡时间4到8小时，发芽率会逐渐上升到；浸泡时间8到12小时，发芽率会逐渐上升到．农科院记录了同一批次该种兰花种子的发芽情况，结果如下表： 种子数量n 100 200 500 800 1000 2000 发芽数量m 88 174 436 692 864 1728 发芽率 0.88 0.87 0.872 0.865 0.864 0.864 据此推测，这批兰花种子的浸泡时间是________(填“不足4小时”，“4到8小时”或“8到12小时”)． 2．（2024·北京丰台·二模）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（　　） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃 C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球 3．（2025·北京顺义·一模）某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试． 下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下： 学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13 学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905 学习后评估测试的正确率 0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800 (1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保留小数点后三位）； ②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率； ③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别． 考点五 几何概型 若试验结果在某一区域内均匀分布，则： 事件对应的面积（长度体积）总面积（总长度总体积） 1．（2023·北京海淀·模拟预测）如右图，是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白两种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（        ） A． B． C． D．1 2．（2025·北京海淀）某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（    ）. A． B． C． D． 3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（　　） A． B． C． D． 命题点一 事件的分类 ►题型01 事件的分类 1. 混淆必然事件、不可能事件和随机事件，把一定发生或一定不发生的事件误判为随机事件。 2. 对事件发生的条件理解不清，忽略前提背景，导致事件类型判断错误。 3. 误认为随机事件发生的概率一定是50%，不理解概率可以是0到1之间的任意数值。 【典例】下列事件是必然事件的是（    ） A．打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻 B．从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一个班级 C．小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票 D．从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是《三国演义》 【变式1】一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（    ） A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球 C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球 【变式2】掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 命题点二 概率的意义与表示 ►题型01 概率的意义理解 1. 把概率理解为固定次数下的必然结果，忽略概率是大量重复试验下的稳定频率。 2. 混淆可能性大小与实际结果，认为概率大就一定发生，概率小就不会出现。 3. 错误认为每次试验之间相互影响，不理解独立试验中每次发生概率保持不变。 【典例】下列说法正确的是（    ） A．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 C．“襄阳明天降雨的概率为0.6”，表示襄阳明天一定降雨 D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 【变式2】小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（    ） A．小星定点投篮1次，不一定能投中 B．小星定点投篮1次，一定可以投中 C．小星定点投篮10次，一定投中4次 D．小星定点投篮4次，一定投中1次 题型02 判断几个事件概率的大小关系 1. 仅凭直观感觉或生活经验判断概率大小，不依据等可能结果或计算结果分析。 2. 忽略事件的前提条件，仅根据表面描述直接比较，造成概率大小判断错误。 3. 未准确数清所有等可能结果与符合条件的结果，错判情况数量导致大小关系失误。 【典例】在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是______． 【变式1】在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【变式2】下列实验中，概率最大的是（   ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面 B．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别刻有数字1到6），掷出的点数为偶数 C．在一副洗匀的52张扑克牌（背面朝上）中任取一张，恰好为黑桃 D．三张同样的纸片，分别写有数字1，3，4，和匀后背面朝上，任取一张恰好为奇数 命题点三 等可能事件的概率公式 题型01 列举法求概率 1. 列举所有可能结果时没有按顺序梳理，出现重复计数或遗漏，导致结果总数错误。 2. 混淆放回试验和不放回试验，错误计算总的可能情况数。 3. 把并非等可能的结果当作等可能情况，直接套用公式计算概率。 【典例】（2023·北京朝阳）从1，2，3这3个数中随机抽取两个数相加，和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·北京海淀·模拟预测）一个不透明的袋子中装有红、黄小球各两个，除颜色外四个小球无其他差别，从中随机同时摸出两个球，那么两个球的颜色相同的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例． 假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题： （1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率； （2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率． 题型02 列表法或树状图法求概率 1. 未区分试验是放回还是不放回，错误列出所有可能出现的结果。 2. 绘制图表时遗漏情况或重复计数，导致总结果数统计错误。 3. 忽略所有结果需等可能的前提，直接根据图表数据计算概率。 【典例】（2025·北京海淀·一模）不透明袋子中装有个红球和个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，恰好摸出个红球和1个黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】不透明袋子中仅有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，放回并摇匀、再从中随机摸出一个球，则两次摸出的都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 【变式2】（2023·北京·模拟预测）如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为_______． 命题点四 求概率的常用方法 题型01 求某事件的频率 1. 混淆频率与频数，直接将事件发生的频数当作频率，忽略用频数除以试验总次数。 2. 统计试验总次数或事件发生次数时出现错误，导致代入计算的数值不准确。 3. 计算后未按要求化简分数或换算成对应形式，造成结果书写错误。 【典例】小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 【变式1】一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【变式2】一个不透明的箱子里有红球和绿球共4个，每个球除了颜色外其他都相同．将箱子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次． (1)甲同学随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是________； (2)如果箱子里有1个红球、3个绿球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次、请用画树状图或列表的方法求乙同学两次摸出的小球颜色不同的概率． 题型02 用频率估计概率的综合应用 1. 试验次数较少时，直接用频率代替概率，忽略只有大量重复试验后频率才趋于稳定。 2. 混淆频率与概率，把试验中波动的频率当作固定不变的概率。 3. 利用频率估算总体数量时，比例关系计算错误，导致结果出现偏差。 【典例】不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40 所有合理推断的序号是_____． 【变式1】（2024·北京密云）某学习小组进行摸球实验，在一个暗箱里放了10个只有颜色不同的小球，将小球搅匀后任意摸出一个，记下颜色并放回暗箱，再次将球搅匀后任意摸出一个，不断重复．下表是实验过程中记录的摸到白球的相关数据： 摸球的次数m 200 300 400 500 800 1000 2000 摸到白球的次数n 115 186 246 296 476 604 1198 摸到白球的频率 0.575 0.620 0.615 0.592 0.595 0.604 0.599 请估计从暗箱中任意摸出一个球是白球的概率为______（精确到0.01），并以此推断暗箱中白球的个数为______． 【变式2】（2023·北京朝阳·二模）某射箭选手在同一条件下进行射箭训练，结果如下： 射箭次数n 10 20 50 100 200 350 500 射中靶心的次数m 7 17 44 92 178 315 455 射中靶心的频率 0.70 0.85 0.88 0.92 0.89 0.90 0.91 下列说法正确的是（    ） A．该选手射箭一次，估计射中靶心的概率为0.90 B．该选手射箭80次，射中靶心的频率不超过0.90 C．该选手射箭400次，射中靶心的次数不超过360次 D．该选手射箭1000次，射中靶心的次数一定为910次 命题点五 几何概型 题型01 几何概率 1. 混淆长度、面积、体积等度量方式，错误选择对应的计算依据。 2. 计算总面积或符合条件的区域面积时出现漏算、多算或公式误用。 3. 对题意理解偏差，找错符合条件的区域范围，导致概率计算错误。 【典例】如图，在的方格中间是的正方形，在这个图形内任取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 突破一 随机事件与概率 【典例】在特定的情境下，某实验指标会从0开始逐渐增大到峰值（最大值），再逐渐减小到16，称该变化过程为过程，0和16分别称为过程的左、右端值． 已知过程的峰值为，小桐对过程设计了“分法”，操作方法如下： ①设置：令； ②分段：借助将过程分三段，且各段均满足：将该段变化过程中的最大值分别减去该段左、右端值，再对所得的差求和，结果等于，举例如下： 若要将过程分三段，依次记为：，，，其中，分别为第一、第二个分点． 对于第一段，假设：，即右端值为段的最大值． （ⅰ）若，峰值不在段内（“段内”指不含端点值），则假设成立，从而过程的第一个分点的值为； （ⅱ）若，峰值在段，则假设不成立，根据②的要求，此时右端值的计算方法为，从而过程的第一个分点的值为． 对于第二段，假设：，即右端值为段的最大值．可依上述推理过程求出第二个分点的值． 这样，按“分法”将过程分三段的同时，也将峰值所在的范围按规则缩小为这三段中的某一段．若对该段按上述方式进行第二次操作（此时，上述操作中的0和16分别调整为该段的左、右端值），则峰值所在的范围可进一步缩小．重复此操作，峰值所在的范围会越来越小． 若小桐用“分法”对过程进行了两次操作后，峰值在包含过程右端值16的这一段，且该段的左端值大于16．根据小桐操作的过程与结果， (1)分别求出第一次操作中两个分点的值；（用含的式子表示） (2)求第二次操作中所设置的；（用含的式子表示） (3)请你用一个整数合理估计峰值，并说明理由； (4)请你判断事件“用‘分法’对过程进行第三次操作，峰值仍在包含过程右端值16的这一段”是否为必然事件，并说明理由． 【变式1】（2024·北京）如图，中，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，在内随机取一点，落在阴影部分的概率为_____． 【变式2】（2025·北京）某疾病由病毒引起，在人群中的发病率（患病人数与总人数的比）为十万分之一，某检测病毒的仪器的准确率为（即如果一个人患病，若使用该仪器诊断此人，则该仪器概率输出阳性，概率输出阴性；反之，如果他没患病，则该仪器概率输出阴性，概率输出阳性），若用该仪器对甲进行诊断，结果显示为阳性，甲确实患这种疾病的概率大约为（    ） A．十万分之一 B．万分之一 C．十分之一 D． 突破二 用列举法求概率 【典例】为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ． （2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【变式1】在科技馆里，小亮看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下． (1)试问小球通过第二层位置的概率是多少？ (2)请用学过的数学方法模拟试验，并具体说明小球下落到第三层B位置和第四层C位置处的概率各是多少？ 【变式2】如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，求被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率． 突破三 用频率估计概率 【典例】数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下： 第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1； 第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A； 第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率； 第四步：估算出π的值． 为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息： ①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝； ②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1． 根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ） A． B． C． D． 【变式1】某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是__________． 【变式2】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为整数）的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 （Ⅰ）假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数和方差； （Ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，请从日利润的平均数的角度说明理由． 突破四 概率的应用 【典例】的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（   ）种染色方案？ A．13230 B．27000 C．12300 D．14400 【变式1】设a,b是两个任意独立的一位正整数, 则点（a,b）在抛物线y=ax2-bx上方的概率是 ( ) A． B． C． D． 【变式2】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·北京顺义·一模）京剧作为中国戏曲的瑰宝，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱．正面印有京剧人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·模拟预测）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（   ） A． B． C． D． 3．华为手机锁屏密码是6位数，若密码的前5位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·模拟预测）不透明袋子中仅有红、绿小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸到的球中有一个绿球、一个红球的概率是（ ） A． B． C． D． 红 绿 红 （红，红） （绿，红） 绿 （红，绿） （绿，绿） 5．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 6．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 7．如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为______． 8．（2025·北京·二模）每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小志从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． (1)小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ (2)初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． (3)老师又统计了小石所在班级的三名学生这天的脂肪摄入量，见下表．老师从这三名学生中随机选两位，则她们的脂肪摄入量均达标的概率为______． 学生 小静 小华 小畅 脂肪摄入量（克） 54 66 70 9．（2024·北京海淀）今年我市举行了“交通安全进校园，文明出行护成长”的活动．某校数学课外实践小组为了调研我校学生对交通法规的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应的扇形圆心角度数为________；估计全校非常了解交通法规的有________人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的A，B，C，D四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表法或画树状图法求A和B两名同学同时被选中的概率． 10．（2025·北京·一模）某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图． a．抽取学生成绩等级人数统计表 等级 A B C D E 人数 m 9 10 4 2 其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是． c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列： 70，71，72，73，74，76，76，77，78，79 根据以上信息，回答下列问题： (1)该抽样的样本容量为 ，抽取学生成绩的平均数是否一定满足 （填“是”或“否”）； (2)全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为 ； (3)将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为： （填写或）． 70 71 72 73 74 76 6 5 4 3 2 76 6 5 4 3 2 77 7 6 5 4 3 78 8 7 6 5 4 79 9 8 7 6 5 11．（2025·北京海淀·三模）为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中m的值为_____；若从乙的信息处理速度得分中删去k个数据后中位数仍为n，写出k的一个可能取值_____； (2)若用户对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分． ①从这20名用户任取1人，该用户对甲软件的信息处理速度和信息识别准确度均评为高分的概率最大为_____； ②甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升1分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案_____（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将_____（填“增大减小”或“不变”） 1．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 2．若自然数使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称为“连加进位数”例如：不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象；是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从，，，，这个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 4．阅读下列材料，回答问题如图，我们将钢琴键的12个键分别记作、、…、，设，若且，我们称、、是原位大三和弦，若且，我们称、、是原位小三和弦． (1)在一个八度内任意弹一个三和弦； ①分别求这个三和弦是原位大三和弦、原位小三和弦的概率． ②（高考母题）求这12个键可以构成的原位大三和弦和原位小三和弦的个数之和． (2)如果在三和弦的基础上再弹一个音，那么它就构成了七和弦，请回答下列问题（音准范围两个八度）． ①请求出所有七和弦中所有原位大三和弦的个数． ②求在任意七和弦中，是否存在有三个音即能组成原位大三和弦，也可以组成原位小三和弦，若有，请求概率与其个数；若没有，请说明理由． 5．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 1．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 2．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 3．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 4．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． 5．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $