第18讲 尺规作图（复习讲义，5考点11题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“尺规作图”专题，覆盖基本作图（线段、角、垂直平分线等）、圆相关作图（外接圆、切线）、特殊三角形作图及网格作图等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析与真题训练，形成“考点-方法-应用”的系统复习链，助力学生突破作图规范与几何推理难点。 亮点在于“作图+证明+计算”的融合训练，如通过“作等腰三角形并证明”培养推理意识，结合网格背景提升几何直观。分层练习（基础到新趋势）适配不同学生，真题案例解析强化应用意识，教师可依托命题预测精准把控复习节奏，高效提升学生作图规范与应考能力。

第四章 三角形 第18讲 尺规作图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 32 命题点一 基本尺规作图 题型01 尺规作线段 题型02 尺规作一个角等于已知角 题型03 作角平分线 题型04 作垂直平分线 命题点二 圆相关的尺规作图 题型01 尺规画圆 题型02 作圆心 题型03 作圆的切线 题型04 作三角形的内切圆 题型05 作三角形的外接圆 命题点三 利用尺规作图作三角形 题型01 尺规作等腰三角形 题型02 尺规作直角三角形 05·重难突破·思维进阶难 74 突破一 格点中画三角形 突破二 作等腰三角形加证明 突破三 圆的切线 突破四 作正多边形 06·优题精选·练能提分 97 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 基本尺规作图（作线段、角、垂直平分线、角平分线） T7（基本作图） T7（基本作图） / 1. 掌握尺规作图的基本工具和操作要求，无刻度直尺和圆规；2. 能完成作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作线段的垂直平分线、作角的平分线等基本作图；3. 能在图形中补全基本尺规作图的痕迹。 结合几何性质的复杂尺规作图（作等腰/直角三角形、对称轴） / T7（作已知角） / 1. 能根据等腰、直角三角形的性质，利用尺规作图构造特殊三角形；2. 能结合轴对称、全等的性质，作几何图形的对称轴或对称图形；3. 能根据实际需求选择合适的尺规作图方法解决图形构造问题。 尺规作图的依据与说理 / / / 1. 理解基本尺规作图背后的几何定理（如全等三角形、垂直平分线性质、角平分线性质）；2. 能准确书写或选择尺规作图的理论依据；3. 能结合作图步骤进行简单的几何说理。 网格背景下的尺规作图 T28（网格中作图） T28（网格中作图） T28（网格中作图） 1. 能在方格纸、坐标系网格中完成尺规作图，结合网格的边长、角度特征简化作图；2. 能结合网格的坐标或格点，对作图结果进行线段长度、角度的计算；3. 提升网格背景下的几何直观和作图应用能力。 命题预测 1. 基本尺规作图的步骤判断、痕迹补全，尤其是角平分线和线段垂直平分线的作图，为高频考点； 2. 尺规作图的几何依据辨析，常结合全等三角形、特殊线段性质考查，易出现在选择题辨析题中； 3. 网格/坐标系背景下的尺规作图，结合格点特征构造特殊图形，兼顾作图和简单计算； 4. 简单复杂作图，如作等腰、直角三角形，多与前序几何知识（等腰三角形判定、垂直平分线性质）结合。 考点一 基本尺规作图 1.定义：仅使用无刻度直尺（作直线、射线、线段）和圆规（作圆、弧、截取等长线段）的作图方式，称为尺规作图。 2.中考核心要求 作图需保留清晰痕迹（关键弧、交点、线段缺一不可，痕迹模糊会扣分）； 能阐述作图的几何依据（如全等判定、垂直平分线性质、圆的半径相等）； 能结合作图结果进行证明或计算（如求半径、角度、线段长度）。 3.这是中考必考内容，是作三角形、圆相关图形的前提。 作图类型 已知条件 作图步骤 核心依据 作一条线段等于已知线段 线段 1. 作射线；2. 以为圆心，长为半径画弧，交射线于，则 圆的半径相等 作一个角等于已知角 1. 作射线；2. 以为圆心，任意长为半径画弧，交、于、；3. 以为圆心，长为半径画弧，交于；4. 以为圆心，长为半径画弧，交前弧于；5. 作射线，则 全等判定（） 作已知角的平分线 1. 以为圆心，适当长为半径画弧，交、于、；2. 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于；3. 作射线，则平分 全等判定（） 作已知线段的垂直平分线 线段 1. 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧上下交于、两点；2. 作直线，则垂直平分 到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 过一点作已知直线的垂线 情况1：直线上一点情况2：直线外一点 1. 以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于、两点；2. 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于；3. 作直线，则 等腰三角形“三线合一” 1．（2025·北京）如图，已知点，，，．按要求画图（尺规作图，并保留作图痕迹）； (1)画线段，画直线； (2)画射线，并在射线上取点使得； (3)画点，使的值最小． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段，两点间距离，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据线段、直线的定义画出图形； （2）根据题目要求作出图形即可； （3）根据两点之间线段最短解决问题． 【详解】（1）解：（1）如图，线段、直线即为所求； （2）解：如图，射线、点即为所求； （3）解：如图，点P即为所求． 2．（2024·北京西城·二模）已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 【答案】（1）见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，， 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接，，． 点在线段的垂直平分线上， （线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）， ． ． ． ． ， ． ． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，，． 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2023·北京平谷·二模）如图，直线，是上一点，是上一点，连接，以为圆心长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．    (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形的形状； (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)作图见解析，四边形为菱形； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的判定，等角对等边，角平分线的尺规作图： （1）利用角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由题意可得，平分，再根据证明角相等，然后根据等角对等边即得，进而通过邻边相等的平行四边形证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，四边形为菱形． （2）证明： 由作图可知： ，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 4．如图，在中，，，请用尺规作图法在AC边上确定一点P，连接BP，使BP将分割成两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】答案见详解 【分析】作∠ABC的角平分线BP，交AC于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2025·北京）根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明． 已知：如图，．求作：，使． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）已知射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）作射线．则即为所求． 证明：连接，． 在与中， ， （___________）， ___________． 即． 【答案】图见解析；，，，． 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 根据题目中的语句按步骤作图即可，根据边边边的证明方法可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：即为所求，如图， 证明：连接，． 在与中， ， ， ． 即． 故答案为：，，，． 考点二 圆相关的尺规作图 圆的尺规作图常结合三角形性质考查，核心是作圆的关键元素和三角形的外接圆、内切圆。 1. 作圆的基本操作 作图类型 已知条件 作图步骤 依据 作一个圆，使它经过已知的两个点 点、 1. 作线段的垂直平分线；2. 在上任取一点为圆心，长为半径作圆，则过、 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等（） 作已知圆的直径 及圆上一点 1. 以为圆心，长为半径画弧，交于；2. 作直线，则是的直径 圆的直径定义（过圆心的弦） 2. 作三角形的外接圆（外心作图） 定义：经过三角形三个顶点的圆，圆心称为外心（三角形三边垂直平分线的交点）。 已知： 作图步骤 分别作、的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作圆，则即为的外接圆。 核心性质 外心到三角形三个顶点的距离相等（）； 直角三角形的外心在斜边中点（斜边为外接圆直径）。 易错点：遗漏作两条垂直平分线，仅作一条就确定圆心。 3. 作三角形的内切圆（内心作图） 定义：与三角形三边都相切的圆，圆心称为内心（三角形三个角平分线的交点）。 已知： 作图步骤 分别作、的角平分线，交于点； 过点作于； 以为圆心，长为半径作圆，则即为的内切圆。 核心性质：内心到三角形三边的距离相等（，、为、上的垂足）。 易错点：作半径时未作垂线，直接用作为半径。 4. 过圆上一点作圆的切线 已知：及圆上一点 作图步骤 连接； 过点作的垂线（用“过一点作已知直线垂线”的方法），则直线是的切线。 依据：圆的切线性质（切线垂直于过切点的半径）。 5. 过圆外一点作圆的切线（中考中档题常考） 已知：及圆外一点 作图步骤 连接； 作的垂直平分线，交于； 以为圆心，长为半径作圆，交于、两点； 作直线、，则、是的切线。 依据：直径所对的圆周角是直角（，故）。 1．（2024·北京通州）学习完圆的切线后，数学兴趣小组经过探究得出“过一点作圆的切线”有两种情况“过圆上一点作圆的切线”和“过圆外一点作圆的切线”以下是两种情况作图作法． 过一个已知点作圆的切线 小娟设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； （3）分别以点为圆心，大于长为半径作弧．两弧交点B； （4）作直线AB，则直线即为所求作的的切线． 小刚设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的切线． 作法：（1）连接．分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、点，作直线交于点； （2）以点为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点； （3）作直线，所以直线就是所求作的的切线．    根据小娟和小刚设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全其中一个图形（保留作图痕迹）； (2)填空：由作图可知“过圆上一点作圆的切线”可以作 条，“过圆外一点作圆的切线”可以作 条；证明所作的直线是圆的切线都用到了 （填依据）． 【答案】(1)见解析 (2)1，2，经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】（1）根据题中的步骤画图； （2）根据直径所对的圆周角等于，及切线的判定定理证明． 【详解】（1）解：如左图，直线即为所求作的的切线； 右图，直线即为所求作的的切线．   ；     （2）解：由作图可知“过圆上一点作圆的切线”可以作1条，“过圆外一点作圆的切线”可以作2条； 证明：左图， 由作图得：， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 右图，连接， 由作图得：A、O、P都在上，且为的直径， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线， 同理是的切线． 证明所作的直线是圆的切线都用到了经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 故答案为：1；2；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及切线的判定． 2．（2023·北京·模拟预测）已知：如图，．    求作：点（点与点在直线的异侧），使得，且． 作法： ①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为； ③连接，．所以点就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明．证明：连接，，， 直线垂直平分，点，都在直线上， ，． 直线垂直平分，点在直线上， ． ． 点，，都在上． 点在上， ．（ ）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)，，同弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据题目所给作图方法作图； （2）结合垂直平分线的性质与同弧所对的圆周角相等证明． 【详解】（1）解：如图所示，点就是所要求作的点．    （2）证明：连接，，， 直线垂直平分，点，都在直线上， ，． 直线垂直平分，点在直线上， ． ． 点，，都在上． 点在上， ．（同弧所对的圆周角相等）    【点睛】本题考查了用尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．如图，已知，． （1）在图中，用尺规作出的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）； （2）画出与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）70° 【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到O即为三角形ABC的三个角平分线的交点； （2）连接OD，利用内切圆的性质得到∠ODB=∠OEB=90°，从而得到∠DBE+∠DOE=180°，再根据圆周角定理求解即可得到答案. 【详解】解：（1）如图所示，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别于AB，BC交于MN，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长，BP即为∠ABC的角平分线，同理作出∠ACB的角平分线，与AP延长线交于O，以O为圆心，以OC的长为半径画弧，与BC交于点Q，再分别以Q、C为圆心，以大于QC长的一半为半径画弧，两者交于T，连接OT交BC于E，再以O为圆心，以OE的长为半径画圆，分别于AB，AC交于D、F，即为所求； （2）如图，连接OD， ∵圆O是三角形ABC的内切圆，且与边AB，BC，AC的切点D、E、F， ∴∠ODB=∠OEB=90°， ∴∠DBE+∠DOE=180°， ∵∠DBE=40°， ∴∠DOE=140°， ∴∠EFD=∠DOE=70° 【点睛】本题主要考查了三角形内切圆的作图，内切圆的性质，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握内切圆圆心是角平分线的交点. 4．如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆、用尺规作图作已知线段的垂直平分线，利用尺规作图分别作的边和的垂直平分线，两直线交于点，点即为外接圆的圆心，以点为圆心，为半径画即为所求． 【详解】解：如下图所示，分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 分别以、为圆心，大于为半径画弧， 两弧分别交于点、，连接直线， 直线和直线相交于点， 以点为圆心，为半径画， 即为所求． 考点三 利用尺规作图作三角形 已知三边作三角形（） 步骤：先作一条边，再用圆规截取另外两边长度，确定第三个顶点； 拓展：作完三角形后，可直接作其外接圆或内切圆。 已知斜边和一条直角边作直角三角形（） 步骤：先作直角，再截取直角边和斜边长度，连接端点； 拓展：直角三角形的外接圆直径即为斜边，可直接以斜边中点为圆心作外接圆。 1．（2024·北京·模拟预测）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使得． 作法：如图， ①在射线上任取一点C； ②作线段的垂直平分线， 交于点P，交于点D： ③连接； 所以即为所求作的角． 根据小华设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_______________（___________） ∴． ∵（______________） ∴． 【答案】（1）见解析 （2）；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到．然后根据三角形外角性质得到． 【详解】（1）解：补全的图形如图所示． （2）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴． ∵（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴ 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 2．（1）如图1，已知为直线外一点，利用直尺和圆规在上作点、，使得，（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，已知两条平行的直线、及点，利用直尺和圆规作，使得点、分别在直线、上，且满足，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质． （1）先作于点Q，再作，然后连接，即可解答； （2）过点P作交直线a于点C，交直线b于点D，再在直线b上作，在直线a上作，连接，即可解答． 【详解】解：（1）如图，点A，B即为所求； （2）如图，即为所求． 理由：由作法得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图，点，分别在直线同侧，如何在直线上找到一个点，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： ①画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，，根据题目需要，作点关于直线的对称点，将转化为，“化曲为直”寻找的最小值； ②设计画图步骤； ③回答结论并验证． 借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图： 已知三条线段，，，求作，使其边上的高，中线，． (1)请先画草图画出一个即可，并叙述简要的作图思路即实现目标图的大致作图步骤； (2)完成尺规作图不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可． 【答案】(1)草图见解析，作图思路：画一条直线，在直线上取一点H，过点H作垂线，在垂线上截取，以A为端点，画出交直线于点D，画交直线于点B，在直线上取． (2)图见解析 【分析】（1）根据作图思路画出草图即可； （2）先画一条直线，在直线上任意取一点H，以H为圆心，适当长度为半径画弧，得到一条线段，作线段的垂直平分线，在垂直平分线上截取，再以点A为圆心，分别以m、c的长为半径画弧，交直线于点D、B，以点D为圆心，长为半径画弧交直线于点C，连接，即可画出图形． 【详解】（1）草图如图所示， 作图思路：画一条直线，在直线上取一点H，过点H作垂线，在垂线上截取，以A为端点，画出交直线于点D，画交直线于点B，在直线上取． （2）如图，即为所求， 【点睛】本题主要考查了基本作图，解题时时注意：解决此类题目需要熟悉基本几何图形的步骤，结合几何图形的基本特点把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 4．（2024·北京东城）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程. 已知：线段，及∠O .    求作：△ABC，使得线段，及∠O分别是它的两边和一角. 作法：如图,    ①以点O为圆心，长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M ,N； ②画一条射线AP，以点A为圆心，长为半径画弧，交AP于点B； ③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D； ④画射线AD； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点C； ⑥连接BC ，则△ABC即为所求作的三角形. 请回答: （1）步骤③得到两条线段相等，即 = ； （2）∠A＝∠O的作图依据是 ； （3）小红说小明的作图不全面，原因是 . 【答案】（1）BD,MN; （2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；（3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论. 【分析】根据题意，按步骤解答即可. 【详解】（1）BD,MN; （2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等； （3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论. 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 考点四 尺规作图的综合应用 作图+证明题型 例：作的内切圆，并证明所作圆与边相切； 解题思路：先按步骤作图，再结合内心性质（内心到的距离等于半径）证明。 作图+计算题型 例：已知是边长为的等边三角形，作其外接圆并求半径； 解题思路：作两边垂直平分线找外心，再用勾股定理计算半径（等边三角形外心与重心重合，半径为的高）。 圆与三角形的综合作图 常见题型：作圆的切线、作三角形的外接圆并求切线长度、作内切圆并计算面积。 1．（2024·北京昌平）如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，． (1)①依题意补全图形； ②求度数；（用含的式子表示） (2)写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明． 【答案】(1)见解析，； (2)，证明见解析． 【分析】（1）①在ON上取，根据垂线，角平分线的画法作图即可；②求出，再证明即可； （2）证明为等腰直角三角形，再证明，得到，进一步得到，证明为等腰直角三角形，得到，即可得到． 【详解】（1）解：①作图如下： ②∵，是的平分线， ∴， ∵点A、关于对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当时，对任意的点A总有， 理由如下： ∵A、B关于OP对称，且OP平分， ∴OP垂直平分AB，即，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（1）可知：，即， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵AQ平分，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查作图，角平分线，等腰直角三角形，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及性质，垂线的作法，等腰直角三角形的判定，三角形全等的判定及性质． 2．（2024·北京房山·模拟预测）如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B，D重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点，使，连接．    (1)补全图形； (2)判断的位置关系______，证明结论； (3)若，且，直接写出______． 【答案】(1)画图见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）如图所示，延长到H，使得，连接，则是的中位线，得到，，由旋转的性质可得，可证明；再由线段之间的关系证明，即可证明，得到，则由三线合一定理可得； （3）设，由（2）得，则，证明，则，，即可得到． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求；    （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到H，使得，连接， ∵，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵是中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解：设，由（2）得， 又∵， ∴， ∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2024·北京西城·二模）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，图见解析； (2)，理由见解析，图见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．关键是添加辅助线构造全等三角形，找到线段的等量关系． （1）当点D与点B重合时，是等腰三角形，等边对等角， 可求的度数，可求的度数． （2）在的延长线上截取连接，以点B为圆心为半径作弧，交于点N，连接， 证明可得即可得到和的等量关系． 【详解】（1）解：补全图形见图： ∵点与点重合， ， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：补全图形如图： ，理由如下： 如图， 在的延长线上截取， 连接，以点为圆心为半径作弧，交于点， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2024·北京·一模）如图，是的直径，是上一点，连接． (1)使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）； (2)点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作垂线，切线的性质，相似三角形的判定与性质： （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧交和的延长线玩点为M，N，分别以M，N为圆心，大于为半径画弧，将于两点，过两点作直线，则为的切线； （2）由切线的性质得，求出，由垂径定理和勾股定理可求出，再证明，可求出，从而可求出的长 【详解】（1）解：如图，为的切线： （2）解：∵是的直径， ∴ ∴， ∵为的切线， ∴即 ∴ ∴ ∴ ∴， 又 ∴AB=10， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ 5．（2024·北京东城·二模）如图，已知及外一点．    求作：的切线，． 作法： ①连接； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，（点位于的上方）； ④作直线，； 则直线，就是所求作的直线． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)设线段交于点，连接，，．若，则 °， °． 【答案】(1)画图见解析 (2)， 【分析】（1）根据题意，画出图形即可；根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论． （2）如图，连接，，，再结合圆周角定理，切线的性质与切线长定理可得答案． 【详解】（1）解：补全图形如图：    理由如下： ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∴，． ∵，是的半径， ∴，是的切线． （2）解：如图，连接，，，    ∵， ∴， ∵，为的切线， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是画圆的切线，四边形的内角和定理的应用，圆周角定理的应用，切线的性质，切线长定理的应用，熟练的作线段 垂直平分线是解本题的关键． 6．（2024·北京·三模）已知：如图． 求作：点D（点D与点B在直线的异侧），使得点D在的角平分线上，且． 作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为D，则点D就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（______）（填推理的依据） ∵， ∴．（______）（填推理的依据） ∴．（______）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 【答案】(1)如图，点D为所作： (2)圆内接四边形对角互补；在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等；等弧所对的圆周角相等． 【分析】（1）根据 题干中的做法画图即可； （2）连接，，，，，，首先得到，然后证明出，然后由得到，即可证明出点D在的角平分线上． 【详解】（1）如图所示， （2）证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（圆内接四边形对角互补）（填推理的依据） ∵， ∴．（在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等）（填推理的依据） ∴．（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 【点睛】此题考查了尺规作图，圆内接四边形性质，等弧所对的圆周角相等以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 命题点一 基本尺规作图 ►题型01 尺规作线段 1.长度截取偏差：用圆规截取已知线段长度时，未固定好圆规两脚间距，导致新作线段与目标线段长度不一致。 2.作图痕迹遗漏：忽略尺规作图需保留辅助弧、直线的要求，擦掉截取长度的弧痕，不符合作图规范。 3.直尺违规使用：误用直尺测量线段长度后再画图，违背尺规作图“直尺仅作直线、不可度量”的规则。 【典例】（2025·北京）如图，平面内直线外有两个点C和D，请按要求完成下列问题： (1)画射线，线段； (2)尺规作图（保留作图痕迹）：反向延长线段，并在此延长线上取一点E，使； (3)画的平分线，并在此角平分线上取一点P，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作射线、线段，作一条线段等于已知线段，作已知角的平分线，两点之间线段最短．熟练掌握作直线、射线、线段，两点之间线段最短是解题的关键． （1）根据直线、射线的定义作图即可； （2）作出，即可； （3）根据作已知角的平分线的作法画出角平分线，连接交射线于点P，即可． 【详解】（1）解：如图，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，角平分线，点P即为所求． 【变式1】（2025·北京东城）如图，平面上有三个点，，． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线； (2)在射线上取一点，使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）的条件下，比较线段的大小：________（填“”“”或“”），理由是________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)，两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段、直线、射线的画法及两点之间，线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段，直线，射线的画法画图即可； （2）根据线段的尺规作图方法作图即可； （3）根据两点之间，线段最短可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，射线，直线即为所求； （2）解：如图所示，点D即为所求； （3）解：在（1）的条件下，线段，理由是两点之间，线段最短， 故答案为：，两点之间，线段最短． 【变式2】（2025·北京）如图，点，在直线上，点在直线外． (1)请用直尺和圆规按要求完成作图（要求：不写作法，保留画图痕迹）； ①作线段； ②作射线，在射线上取点，使得点为线段的中点； ③在直线上作线段，使得． (2)根据（1）中的作图，若，，则 ， ． 【答案】(1)见解析 (2)6，1 【分析】本题考查作图——直线、射线、线段，两点间的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据线段的定义画图即可． ②作射线，在射线上取点，使，则点为的中点； ③在线段上取点，使，则，在射线上取一点，使． （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ①作线段； ②作射线，在射线上取点，使，则点为的中点； ③在线段上取点，使，则，在射线上取一点，使． （2）解：由（1）中的作图得，， ，． 故答案为．6，1． 题型02 尺规作一个角等于已知角 1.半径未保持一致：画弧时两次调整圆规两脚间距，导致已知角与新作角对应的弧半径不同，角的大小出现偏差。 2.弧长截取错位：在新作射线的弧上，未准确截取与已知角弧上等弦长的交点，导致角的两边对应关系错误。 3.作图痕迹缺失：擦掉画弧的辅助痕迹，不符合作图规范，无法体现作图的逻辑依据。 【典例】已知：，（图（1）、图（2））． (1)尺规作图：在图（2）中，以为一边，在的内部作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角的计算，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）以的顶点为圆心，以任意长为半径画弧，与角的两边相交于、．以为圆心，以为半径画弧，与角的两边相交于、，然后以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，过、作射线即可得到； （2）分两种情况讨论：①当在内部时，②当在外部时；画出图形，根据角的和差代入数据计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示： 就是所求的角． （2）解：分两种情况讨论： 当在内部时，如图， ，， ； 当在外部时，如图， ，， ． 【变式】（2025·北京大兴）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)补全图形 (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作角等于已知角，作线段，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）作，，连接，即可； （2）根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）证明：∵是等边三角形， ， ∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴， ， ， 在和中， ， ． ∴． 题型03 作角平分线 1.弧半径不统一：在角两边截取弧与在角内画弧时，圆规两脚间距不一致，导致两弧交点偏离角平分线，作图结果错误。 2.角内弧未相交：在角内部画弧时，弧长过短导致两弧无交点，或交点落在角外，无法确定角平分线上的关键点。 3.作图规范缺失：未保留所有辅助弧痕迹，或直接用直尺连接顶点与非尺规交点，违背尺规作图的逻辑和规范。 【典例】（2025·北京石景山）已知：如图，，点在边上． 求作：点，使得射线平分，且． 作法：①作的角平分线； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接．点即为所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形；（保留作图痕迹） (2)判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握角平分线的尺规作图方法、等腰三角形“等边对等角”的性质及平行线的判定定理是解题的关键． （1）按照尺规作图的基本步骤，先作的角平分线，再以点为圆心、为半径画弧，交于点，最后连接即可补全图形． （2）先根据角平分线的定义得到；再由作图中，根据等腰三角形的性质得到；进而推出；最后根据“内错角相等，两直线平行”，得出与的位置关系． 【详解】（1）解：按尺规作图步骤： ①作的角平分线； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点； ③连接，得到所求图形． （2）解：结论：， 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式1】（2025·北京西城）如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（    ） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹判断作图过程是作一个角等于已知角，据此求解即可. 【详解】解：由作图可知，，， ∴判定的依据是， 故选：D． 【变式2】（2025·北京海淀）如图，在中，，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，尺规作角平分线，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，先证明，设，则，证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 根据作图可知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， 即的长为． 故答案为：． 题型04 作垂直平分线 1.半径长度不当：以线段两端为圆心画弧时，半径小于或等于线段长度的一半，导致两弧无交点，无法确定垂直平分线上的点。 2.弧的交点不全：仅在线段一侧画弧得到一个交点，未在另一侧画弧获取第二个交点，无法通过两点确定垂直平分线这条直线。 3.省略验证步骤：连接交点后未检验直线是否既垂直又平分原线段，或遗漏保留辅助弧痕迹，作图逻辑不完整。 【典例】（2025·北京）如图，在中，，．   (1)作出线段的中点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图以及等边三角形的运用，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）分别以点A、点B为圆心，再以足够长的半径画弧相交，连接弧的交点，交于点D，此时点D即为所求； （2）首先根据点D为线段的中点，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，在，由勾股定理解得，进而可得，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图所示； （2）如图，连接， 点D为线段的中点，，，， ，， ∴， 在，由勾股定理，可得， 即，整理可得， ∴（负值舍去）， ∴， ． 【变式1】（2025·北京）学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（______）（填推理的依据）， ∴（______）（填推理的依据）． ∵， ∴，， ∴， ∴（______）（填推理的依据）， ∴和都是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；等边对等角；等角对等边 【分析】本题考查了作图-尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 【详解】（1）解：补全的图形如图所示； （2）解：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∴（等边对等角）． ∵， ∴，， ∴， ∴（等角对等边）， ∴和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；等边对等角；等角对等边． 【变式2】（2025·北京西城）已知在中，． (1)如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； (2)用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； (3)在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②图见解析 (2)图见解析 (3)； 【分析】本题考查尺规作图—作线段，作角平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线的方法作图即可； （2）根据尺规作线段和角平分线的方法作图即可； （3）证明，得到，进而推出的周长为即可． 【详解】（1）解：①分析：点在线段上，则， 而要使，即需要， 因此需要点在线段的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②由题意作图如下： （2）解：由题意，作图如下： （3）解：由作图可知：，， 又∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴的周长为． 命题点二 圆相关的尺规作图 ►题型01 尺规画圆 1.圆心定位偏移：标记圆心后，画圆时圆规针尖滑动偏离标记点，导致所作圆的位置与目标位置不符。 2.半径控制失误：圆规两脚间距调整后未固定，画圆过程中间距松动或变动，造成圆的半径大小不一致。 3.作图规范缺失：未明确标记圆心点和半径线段，或画圆时未保证圆规旋转一周形成闭合图形，不符合作图要求。 【典例】已知矩形，边的垂直平分线交于E，垂足为M，用直尺和圆规作，使过B、C、E三点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】连接，作的中垂线，交于点，以为圆心，的长为半径画圆，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图—作圆．解题的关键是掌握过不在同一条直线上的三个点的圆，圆心为三点构成的线段的中垂线的交点． 【变式1】（2024·北京顺义）已知：如图，和射线PN． 求作：射线PM，使得． 作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D； ②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E； ③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M； ④作射线PM． 所以射线PM就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接CD，EM． ∵PM=PE=CD=CO，EM=OD， ∴（_________）（填推理依据）． ∴． 又∵（________）（填推理依据）． ∴． 【答案】(1)见解析 (2)SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍． 【分析】（1）根据作图过程即可补全图形； （2）根据作图过程可得PM=PE=CD=CO，EM=OD，即可证明，可得，再根据圆周角定理进而可以完成证明． 【详解】（1）如图所示， （2）证明：连接CD，EM． ∵PM=PE=CD=CO，EM=OD， ∴（__SSS__）． ∴． 又∵（同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍）． ∴． 故答案为：SSS；同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍． 【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆周角定理，灵活掌握圆周角定理是本题的关键． 【变式2】（2023·北京）如图，在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上求作一点，使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了基本作图—线段的垂直平分线与圆，一次函数，理解题意，画出图形是解决本题的关键．首先作线段垂直平分线，即可得垂直平分线与坐标轴的交点个数，再分别以点、为圆心，长为半径画圆，即可得与坐标轴的交点个数，据此即可判定． 【详解】解：如图：作线段垂直平分线，分别以点、为圆心，长为半径画圆， 点，点， ，， 与轴没有交点，与轴没有交点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设与轴的两个交点分别为、，过点作轴于点， ， ， ，， ， ， ， 在中，当时，， 在直线上，即点与点、不等构成三角形， 满足条件的点共有个， 故选：A． 题型02 作圆心 1.弦的选取不当：选择平行的两条弦作垂直平分线，导致两条垂直平分线无交点，无法确定圆心；或误将直径当作普通弦重复操作，增加无效步骤。 2.垂直平分线作图错误：作弦的垂直平分线时，圆规半径小于弦长的一半，两弧无交点，或仅画单侧弧得到不完整的垂直平分线，导致圆心定位偏差。 3.省略验证环节：找到交点后未检验该点到圆上任意三点的距离是否相等，忽略作图误差，误将非圆心点判定为圆心。 【典例】（2025·北京石景山）北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． (1)用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； (2)直接写出卡槽所在圆的半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)圆的半径的长为． 【分析】本题考查确定圆心的位置，垂径定理的应用及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，即可得； （2）利用垂径定理得出，在中，利用勾股定理求出的长，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，在上取一点，连接，作、的垂直平分线，两直线交于点，以点O为圆心，以为为半径画圆，则即为所求． （2）解：设的垂直平分线交于，交于，连接， ∴ ∵弓形高（即弧的中点到弦的距离）为，即，， ∴， ∴， 解得：， ∴圆的半径的长为． 【变式】如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点、、． (1)只用无刻度直尺，画出所在圆的圆心的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在平面直角坐标系中，圆心的坐标为 ；的半径为 ；的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)；； 【分析】本题主要考查了确定圆心，求弧长，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取，连接并延长交直线于Q，点Q即为所求；直线垂直平分，直线垂直平分，则点Q即为所求； （2）根据（1）所求可得点Q坐标，利用勾股定理可得的长，再证明，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解；如图所示，点Q即为所求； （2）解：由（1）可得点Q的坐标为， ∵， ∴，， ， ∴的半径为； ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 题型03 作圆的切线 1.性质应用疏漏：过圆上一点作切线时，未利用“切线垂直于过切点的半径”的性质，未作半径的垂线，直接连线导致所作直线不是切线。 2.辅助圆半径错误：过圆外一点作切线时，以圆心与外点连线为直径作辅助圆，圆规半径取值不当，无法找到与原圆的切点，或仅作出一条切线遗漏另一解。 3.验证环节缺失：作出直线后未检验是否与圆仅有一个公共点，或未保留辅助弧、辅助圆的作图痕迹，无法佐证切线的正确性。 【典例】（2025·北京丰台）下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点P在外． 求作：的切线，使它经过点． 作法：①作射线交于A、B两点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，； ③连接，分别交于点，； ④作直线，． 直线，为所作的切线． 根据小明设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （ ）（填推理依据）． ∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据）， 同理可证，直线是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形三线合一，关键是通过作图构造等腰三角形和三线合一． （1）根据要求即可画出图形即可； （2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题． 【详解】（1）解：（1）如图所示； （2）证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）． ∴直线是的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线） 同理可证，直线是的切线． 故答案为：在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 【变式1】（2023·北京海淀）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图2， ①连结，作线段的中点； ②以为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和，直线即为所求作的切线． 请在图2中补全图形，并完成下面的证明． 证明：连接，如图2， 由作法可知，为的直径， ∴（_____________）（填推理的依据）， ∴， ∵点在上， ∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． 【答案】见详解，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空． 【详解】解：补画图形如下， 证明：连接，如图2， 由作法可知，为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）， ∴， ∵点在上， ∴直线是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）， 同理，直线也是圆的切线． 【点睛】本题主要考查了作图—过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键． 【变式2】（2024·北京昌平）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B． 作法：如图， ①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B； ③作直线PA和直线PB. 所以直线PA和PB就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵OP是⊙Q的直径， ∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依据）． ∴PA⊥OA，PB⊥OB． ∵OA，OB为⊙O的半径， ∴PA，PB是⊙O的切线． 【答案】（1）补全图形见解析；（2）90；直径所对的圆周角是直角. 【分析】（1）根据题中得方法依次作图即可； （2）直径所对的圆周角是直角，据此填写即可. 【详解】(1)补全图形如图 （2）∵直径所对的圆周角是直角， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 故答案为：90；直径所对的圆周角是直角， 【点睛】本题主要考查了尺规作图以及圆周角性质，熟练掌握相关方法是解题关键. 题型04 作三角形的内切圆 1.内心定位偏差：作角平分线时圆规半径不统一，导致角平分线交点（内心）偏离真实位置，后续内切圆圆心错误。 2.半径确定失误：找到内心后，未作内心到三角形任意一边的垂线确定半径，直接量取任意长度画圆，导致圆与三角形边不相切。 3.作图范围疏漏：画内切圆时未控制半径大小，使圆超出三角形内部，或遗漏保留角平分线、垂线的辅助痕迹，不符合作图规范。 【典例】（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【分析】本题主要考查了尺规作三角形内切圆，切线长性质定理， 对于（1），作的平分线，再作的平分线，交于点O，过点O作，交于点D，以点O为圆心，为半径作圆，即为所求作； 对于（2），根据切线长定理得，再结合，可得答案． 【详解】解：（1）如图所示． （2）如图所示， ∵的内切圆与分别相切与点D，E，F， ∴． ∵， ∴， ∴． 则， ∴， 则， 即， 解得． 【变式1】如图，在中，． (1)的外接圆半径为 ； (2)用直尺和圆规作出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法），并求出的内切圆半径． 【答案】(1)2.5 (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出AB，即可求出答案． （2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出内切圆半径即可． 【详解】（1）解：在Rt△ACB中，， 由勾股定理得：， 即三角形的外接圆的半径长是， 故答案为：2.5． （2）解：如图所示： 连接， 设内切圆的半径长为r，则， 由 得： 解得：， 即该三角形内切圆的半径长是1． 【点睛】本题考查了勾股定理，作角的平分线，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力． 【变式2】尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查了内切圆的基本作图，内切圆半径的计算，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质． （1）利用角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图即可． （2）利用切线长定理，正方形的判定和性质计算即可． 【详解】（1）根据角的平分线的交点是内切圆的圆心，作图如下： 则即为所求． （2）如上图，设与，，的切点分别是F，E，D，设的半径为r， 连接，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为1． 题型04 作三角形的外接圆 1.外心定位错误：仅作三角形一条边的垂直平分线就确定圆心，忽略外心是三边垂直平分线交点的核心；或作垂直平分线时圆规半径不足，导致垂直平分线作图偏差。 2.半径取值失误：找到外心后，误将外心到三角形边的距离当作半径，而非外心到任意顶点的距离，导致所作圆无法经过三个顶点。 3.验证环节缺失：画完圆后未检验是否经过三角形的三个顶点，或遗漏保留垂直平分线的辅助弧痕迹，无法佐证外接圆的正确性。 【典例】填写表格：外心、内心的定义及性质 外接圆 内切圆 图形       定义 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是_________的交点 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是_________的交点 性质及位置 三角形的外心到_________相等． 锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的_________，直角三角形的外心在_________ 三角形的内心到_________相等． 三角形的内心一定在三角形的_________ 角度关系 ， 作图方法 从三角形中任意选两条边，作它们的_________，其交点即为三角形的外心 从三角形中任意选两个角，作它们的_________，其交点即为三角形的内心 作图 用尺规作三角形的外接圆    用尺规作三角形的内切圆    【答案】三角形三条边的垂直平分线；三角形三条角平分线；三个顶点的距离；内部；外部；斜边的中点处；三条边的距离；内部；2；；垂直平分线；角平分线；图见解析 【分析】根据三角形内切圆与外接圆的定义、性质及位置、角度关系及尺规作图即可求解． 【详解】解：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点； 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点； 三角形的外心到三个顶点的距离相等； 锐角三角形的外心在三角形的内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边的中点处； 三角形的内心到三条边的距离相等； 三角形的内心一定在三角形的内部； ；； 从三角形中任意选两条边，作它们的垂直平分线，其交点即为三角形的外心； 从三角形中任意选两个角，作它们的角平分线，其交点即为三角形的内心． 如图所示：即为所求．    故答案为：三角形三条边的垂直平分线；三角形三条角平分线；三个顶点的距离；内部；外部；斜边的中点处；三条边的距离；内部；2；；垂直平分线；角平分线． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与外接圆的定义、性质及位置、角度关系及作图——尺规作图，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 【变式1】在中，，，． (1)请用尺规作图作出的外接圆，并在外接圆上找一点D，使； (2)在上面得出的图形中，连接，求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明是直角三角形，且，根据直径所对圆周角等于，易得的外接圆圆心即为线段的中点，作线段的垂直平分线即可； （2）连接、，过点D作，交的延长线于点E，过点D作，交于点F，证明四边形为正方形，易证，根据即可求解． 【详解】（1）解：，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 的外接圆圆心即为线段的中点， 如图所示，，点D即为所求， （2）解：如图，连接、，过点D作，交的延长线于点E，过点D作，交于点F， 在中， ∵，，． ∴， ∴为直径． ∵， ∴，，平分， 又∵，， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， 又， ∴四边形为正方形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，三角形外接圆，垂直平分线的作法，圆周角定理，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】如图，已知I是的内心，的平分线与的外接圆相交于点． (1)用尺规作图作出的外接圆，保留作图痕迹； (2)求证：． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形的判定，圆周角定理，三角形的外角性质，圆的外接圆和内心等，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用尺规作图画出线段、线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径画圆，即为的外接圆； （2）连接，I是的内心可得为角平分线，为角平分线，利用三角形外角定理和圆周角定理可得，即可得证． 【详解】（1）解：画出线段、线段的垂直平分线，相交于点O，以O为圆心，为半径画圆，即为的外接圆， （2）证明：连接，如图所示： ∵I是的内心， ∴为角平分线，为角平分线， ∴点、、共线，， ∵， ， ∴， ∴． 命题点三 利用尺规作图作三角形 题型01 尺规作等腰三角形 1.垂直平分线作图偏差：作底边的垂直平分线时，圆规半径小于底边长度的一半，导致两弧无交点；或仅在线段单侧画弧，无法确定等腰三角形的顶点位置。 2.腰长截取混淆：以底边端点为圆心截取腰长时，误将底边长度当作腰长，或调整圆规间距时松动，导致所作两腰长度不相等，违背等腰三角形定义。 3.三点共线疏漏：未检验顶点与底边两端点是否共线，直接连接成图形，出现“三点共线无法构成三角形”的错误；或省略保留辅助弧痕迹，不符合作图规范。 【典例】阅读材料：一般地，设平面上任意两点和可以用表示A、B两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点C，则四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点O为原点，求的周长； (3)平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，当值最小时，用尺规作出点P，并求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题是阅读理解题， 主要考查了尺规作图，轴对称的性质，平面直角坐标系中两点之间的距离， 解题的关键是正确利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式． （1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算即可； （2）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式分别计算出， 即可计算出的周长． （3）尺规作点的对称点，得出当三点共线时，最小，最小值是，求解即可； 【详解】（1）解：， ∴点和点之间的距离是． （2）解：， ， ∴的周长． （3）解：如图，作点的对称点， 则，， 当三点共线时，最小，最小值是， ∴．    【变式1】如图，已知线段a、h，请用尺规作等腰，使底边长BC为a，BC边上的高为h（不写作法，保留作图痕迹）．    【答案】答案见解析 【分析】画一线段，作的垂直平分线与的交点为D，在垂直平分线上截取 ，连接，即可得答案． 【详解】解：如下图，以点B为端点画射线，以点B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C，得，再以点B、C为圆心，以大于长为半径，在线段的两侧画弧，交E、F两点，连接，交线段于点D，最后以点D为圆心，以h为半径画弧交直线于点A，连接，即为所求．    【点睛】此题考查了尺规作图，已知等腰三角形底边和高画等腰三角形，解题的关键是掌握垂直平分线的尺规作图的步骤以及等腰三角形三线合一的性质． 【变式2】如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． （1）先作，然后截取； （2）作交于F，根据平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质计算出，，则，从而得到，然后证明，从而得到结论． 【详解】（1）解：如图，点D为所作； （2）证明：作交于F，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型02 尺规作直角三角形 1.直角作图方法错误：作直角时未按尺规作垂线的标准步骤操作，如以直线上点为圆心画弧时半径过小、未在直线两侧取弧交点，导致无法作出标准直角，三角形角度不符合要求。 2.边长对应关系混淆：已知直角边和斜边作图时，误将直角边长度当作半径截取斜边，或调整圆规间距时松动，造成三边长度不满足勾股定理，无法构成直角三角形。 3.顶点定位偏差：利用“直径所对圆周角为直角”作图时，将顶点选在直径所在直线上，导致三点共线无法构成三角形；或垂线顶点位置选取错误，偏离目标边长范围。 【典例】已知线段a，b，按下列要求用直尺和圆规作直角三角形．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作，使，，． (2)作，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧交于点C，即为所求； （2）作，在的反向延长线上截取线段，使得，E为圆心，a为半径作弧交于点F，过点F作于点D，即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求． ． 【变式1】尺规作图：根据要求补全图形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，作，使． (2)在图②中，作等腰三角形，使． (3)在图③中，作直角三角形，使，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查尺规作图，中垂线的性质，全等三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为，所以作图满足即可； （2）做的中垂线交于点E，则，则作图满足即可； （3）做的中垂线交于点E，则，而使为直角的点都在以为直径的圆上，所以要满足且C在以为直径的圆上即可． 【详解】（1）解：以F为圆心为半径画弧，以E为圆心为半径画弧，两弧交点即为点D； 理由：满足 又∵， ∴； （2）解：做的中垂线交于点E，以B为圆心为半径画弧，以A为圆心为半径画弧，两弧交于点C； 理由：满足 （3）解：做的中垂线交于点E，以E为圆心为半径画弧，以B为圆心为半径画弧，两弧交于点C， 理由：满足，且 【变式2】小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）分别算出每个线段的长度，再运用勾股逆定理进行验证，即可作答． （2）以点为圆心，的长为半径，画弧交线段于一点，即，再分别以点和为圆心，画弧，交于一点D，连接，直线是的垂直平分线，即在的上方的处取一点E，使得，连接，再作的垂直平分线，与交于一点F，再以点为圆心，为半径画弧，交线段于一点，即为点，则，，在，则，所以，即可作答． （3）先设正方形C的边长为，则，因为，所以，则，整理得，结合，故，因为，所以，结合都是有理数，即正方形C的边长为有理数． 本题考查了完全平方公式以及勾股逆定理，垂直平分线的性质，第（2）问难度较大，对学生的尺规作图能力有一定的要求，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴以线段，，围成三角形，所围成的三角形是直角三角形； （2）解：依题意，使，，恰好能构成一个直角三角形，如图所示： （3）解：设正方形C的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵都是有理数， ∴也是有理数， 即正方形C的边长为有理数． 突破一 格点中画三角形 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） (1)在图1中画出以为一边，面积为6的等腰三角形． (2)在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格上的无刻度直尺作图，涉及勾股定理和等腰三角形的判定与性质，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，确定，然后取格点A，利用勾股定理和等腰三角形的性质画图即可． （2）在上取格点F，则，根据网格特点得到点O是的中点，根据勾股定理和等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，取格点A，则，，则等腰三角形即为所求作： （2）解：根据题意，得， 在上取格点F，则；取格点M、N，连接，，两线交于点O，则点O是的中点，根据等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求． 【变式1】已知，在的正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)如图，直接写出的值；画出平分交于点； (2)如图，先在边上画出中点，再在边上画出点，使直线平分的周长； (3)如图，先画线段的垂直平分线，再在直线上画出点，使． 【答案】(1)①；②见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）利用勾股定理即可求出；构造等腰，找到的中点，连接即可； （）利用矩形对角线找到中点，中点，连接即是所求直线； （）找到以为对角线的正方形，即可画出的垂直平分线，仿照()的作法画出的平分线，与的交点即是点． 【详解】（1）由图可得：，， ∴； ∵，，， ∴， ∴， 如图，构造等腰，则斜边中线为角平分线．    （2）如图：    ∵，，，， ∴， ∴平分的周长； （3）如图：    ∵， ∴，，，四点共圆时符合要求， 利用圆内接四边形对角互补， ∴． 又垂直平分，在上， ∴为等腰，CG平分， ∴为平分线与交点． 【点睛】此题考查了仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，掌握勾股定理、构造等腰直角三角形、利用矩形性质找中点是解题关键． 【变式2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，； (2)画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查网格中作等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形，作交于点E即可； （2）分类讨论：分别以为腰，以为底，三种情况进行画图分析，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 是以，为腰，以为斜边的等腰直角三角形， , 解得：， ，且点在方格纸上的格点上， 等腰直角三角形如图所示： （2）解：依题意，, ①取，连接，如图所示， ， 取的中点N，过点N作，交于点G， 根据格点的特点， 点G为的中点，连接， ， ， ， ， 故不符合题意， ②取连接，如图所示， ，， 取的中点Q，作交于点G， 根据格点的特点，， 点G为的中点，连接， ， ， ， ， 符合题意，符号题意，且点F在格点上， 连接， ， ③以为底，作的垂直平分线，如图所示， 不符合题意， 等腰三角形如图所示， ． 突破二 作等腰三角形加证明 【典例】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．以AB为斜边，在AB所在直线的右侧作一个等腰Rt△ABD． （1）用尺规作图，保留作图痕迹； （2）请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积，从而推导出sin75°＝． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）作AB的垂直平分线，垂足为O点，再截取OD＝OA，则△ABD满足条件； （2）记四边形ACBD的面积为S，作DE⊥AC，BF⊥DE，如图，先计算出AB＝2a，AC＝a，再利用△ABD为等腰直角三角形得到DA＝a，∠DAB＝45°，计算S△ABC+S△ABD得到S＝a2，接着证明△AED≌△BFD得到DE＝BF，则AE＝a﹣DE，利用S＝S△ADE+S梯形BCED得到（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2，则可计算出DE＝a，然后在Rt△ADE中利用正弦的定义求sin∠DAE. 【详解】解：（1）如图，△ABD为所作； （2）记四边形ACBD的面积为S， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a． ∴AB＝2a，AC＝a， 作DE⊥AC于E，BF⊥DE于F，如图， ∵△ABD为等腰直角三角形， ∴DA＝DB＝AB＝a，∠DAB＝45°， ∴S＝S△ABC+S△ABD＝×a×a+×a×a＝a2， ∵∠AED＝∠BFD，∠ADE＝∠DBF，AD＝DB， ∴△AED≌△BFD（AAS）， ∴DE＝BF， ∴AE＝AC﹣CE＝AC﹣DE＝a﹣DE， ∵S＝S△ADE+S梯形BCED＝•AE•DE+•（BC+DE）•CE ∴（a﹣DE）×DE+（a+DE）×DE＝a2， ∴DE＝a， 在Rt△ADE中，. 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质及作法，三角形全等的判定及性质，锐角三角函数，正确掌握各知识点并运用解题是关键. 【变式1】用无刻度直尺和圆规作图：不要求写作法，保留必要的作图痕迹． （1）如图1，已知（AC＜AB＜BC），在边BC上确定一点P，使得PA＋PC=BC；    （2）在图2中，作直角，使斜边MN落在BC上，且的周长等于线段BC的长．    【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点P，点P即为所求； （2）如图，作射线OA，过C作CD⊥OA于D，在OA上截取DO=DC，连接OC，再分别作线段BO、OC的垂直平分线，交BC于M，N，则△MNO即为所求． 【详解】（1）如图，点P即为所求．    此时，PA＋PC=PB＋PC=BC； （2）如图△MNO即为所求．    ∵CD⊥OA于D，DO=DC， ∴∠COD=45， ∵线段BO、OC的垂直平分线，交BC于M，N， ∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC，BM=MO，NC=NO， ∵∠COD=∠MBO+∠NCO=45， ∴∠MON=180-∠MOB-∠NOC-∠COD=90， △MNO的周长等于MO+MN+ NO= BM +MN+ NC=BC． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形，三角形的外角性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式2】如图，中，是边上一点，连接． （1）在的右侧用尺规作等边（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下连接当为等腰三角形时，求的度数.（本题的图不用再尺规作图） 【答案】（1）见解析；（2）∠BAD=60°或45° 【分析】（1）分别以点A、D为圆心，AD为半径画弧，两弧在AD的右侧交于一点E，连接AE、DE即可； （2）分三种情况：当CD=CE时，如图1，先利用SSS证明△ADC≌△AEC，可得∠DAC=∠DAE=30°，再利用角的和差求解；当DE=DC时，如图2，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质以及角的和差求解；当ED=EC时，如图3、图4，分别根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理推出矛盾，进而可得答案． 【详解】解：（1）等边△ADE如图所示： （2）当CD=CE时，如图1， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=AE，∠DAE=60°， ∵CD=CD，AC=AC， ∴△ADC≌△AEC（SSS）， ∴∠DAC=∠EAC=∠DAE=30°， ∴∠BAD=90°－∠DAC=60°； 当DE=DC时，如图2， ∵△ADE是等边三角形， ∴AD=ED， ∴AD=CD， ∵， ∴∠B=∠ACB=45°， ∴∠DAC=∠ACD=45°， ∴∠BAD=90°－∠DAC=45°； 当ED=EC时，如图3，当点E在△ABC的外部时， ∵EA=ED，∴EA=EC， ∴设∠EAC=∠ECA=x， ∵ED=EC， ∴∠EDC=∠ECD=45°+x，∠DAC=60°－x， 在△ADC中，∵∠DAC+∠ACD+∠ADC=60°－x+45°+60°+45°+x=210°≠180°， ∴此种情况不存在； 如图4，当点E在△ABC的内部时， ∵EA=ED=EC， ∴∠EAC=∠ECA，∠EDC=∠ECD， ∵∠ECD+∠ECA=∠ACD=45°， ∴∠EAC+∠ECA+∠EDC+∠ECD=90°， ∴∠AEC+∠DEC=360°－90°=270°， ∵∠AED=60°， ∴∠AEC+∠DEC+∠AED=270°+60°=330°≠360°， 故此种情况也不存在； 综上，∠BAD=60°或45°． 【点睛】本题考查了尺规作等边三角形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质等知识，具有一定的综合性，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键． 突破三 圆的切线 【典例】如图，经过格点的圆与网格线交于点． (1)在图1中，先画的中点，再将弦平移，得到弦； (2)在图2中，是格点，先画圆的切线和为切点，再画弦． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）连接，作线段垂直平分线，连接，作交圆于点即可得到答案； （2）取圆心，连接，作线段的垂直平分线交圆于，连接，再连接交于，连接并延长交圆于，连接即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点、弦即为所求； （2）解：如图所示： 切线和、弦即为所求． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及垂直平分线的尺规作图、相等角的尺规作图、圆的性质、平行线的判定与性质等知识，熟记垂直平分线的尺规作图、相等角的尺规作图及圆的基本性质是解决问题的关键． 【变式1】学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． (1)利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； (2)求证：为的切线； (3)连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，切线的判定，圆周角定理及相似三角形判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意作图即可； （2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论； （3）先证明，得出，再证明求出，进而求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为圆的切线； （2）证明：连接， ∵为的直径， ∴ ． ∴ ， 又∵是的半径， ∴是的切线． （3）解：设与交于点H， 由题意得即为的切线， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ， 在中，， ， ， ， ． 【变式2】尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图； （1）所求圆经过点和，且与直线相切于，关键在于意识到：圆心必须在的垂直平分线上；同时，圆心必须在过点且垂直于的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条直线的交点． （2）圆心与切点的连线垂直切线，所以与圆心角互补，已知，则，利用垂直构造，利用角平分线构造，即可构造，再作过点的切线相交于点即可． 【详解】（1） 作图步骤如下： ①以点为圆心任意画圆，与直线相交于，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，则垂直平分，所在直线为直线（圆心在此线上）； ②连接，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线为直线； ③直线与的交点即为所求圆心； ④以为圆心，为半径作圆． 故圆为符合题意的圆． （2） 作图步骤如下： ①先作直径，分别以点，点为圆心，大于画弧，交点分别为点，，连接与圆相交于，则垂直平分； ②以点，为圆心，大于为为半径画弧，交于点，连接与圆交于点，则平分，使得； ③以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在的直线即为圆切线，切点为；以点为圆心，为半径作圆，延长，与圆交于点，以点，点为圆心，大于为半径画弧，交于点，点，连接，所在直线即为圆切线，切点为；两切线交于点，则，． 故所作切线，所成． 突破四 作正方形 【典例】如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，圆周角定理，垂径定理等知识，解题的关键是： （1）连接，以为边，在上方作等边，作的外接圆交于点B，连接交于点A即可； （2）连接，以为直径作，以P为圆心，为半径画弧交于Q，连接交于点A，延长交于点B即可． 【详解】（1）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，是等边的外角圆， ∴， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图，点A、B即为所求， 理由：由作图知，， 连接， ∵是的直径， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹)    【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．    【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则； （2）证明，可得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，解方程即可求解； （3）将圆五等份，得出五边形是正五边形，进而即可求解． 【详解】（1）如图所示，作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则，    （2）∵和都是锐角黄金三角形， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 即 设，， 则 解得： ，即； （3）如图所示，先作圆的直径，作的直径的垂直平分线交于点， 作的垂直平分线交于点， 连接，，以为圆心的长为半径， 作弧交于点，则，然后以为圆心的长为半径在圆上依次画弧交于点， 连接，则即为所求    ∴五边形是正五边形，则， 则即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理，作线段，相似三角形的性质与判定，正五边形与圆，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】解题的经验可以不断迁移． (1)如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将ΔAOB绕点A旋转到ΔAPC．） (2)在图②中用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） (3)如图③，直线．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，可以证明△AOP为等边三角形，OP=OA=3，根据旋转可知，PC=OB=4，可以证明△OPC为直角三角形，得出的度数，即可得出的度数； （2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，以AB长为半径画弧，与中间圆交于一点C，连接BC、AC即可； （3）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间圆的半径长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，以AB长为半径画弧，与中间圆交于一点C，连接BC、AC即可． 【详解】（1）解：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时AB正好与AC重合，得到△ACP，连接OP，如图所示： 根据旋转可知，，，， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形， ， ， ． （2）在最小的圆上取一点A，然后以点A为圆心，OA为半径画弧，与小圆交于点P，再以P为圆心，中间的圆的半径的长为半径画弧，与最大的圆交于一点B，连接AB，以B为圆心，以AB长为半径画弧，与中间的圆交于一点C，连接BC、AC，则为所求作的三角形，如图所示： （3）在直线a上任意取一点A，过点A作AD⊥b于点D，以点A为圆心，AD的长为半径画圆，以D为圆心，AD的长为半径画弧，交于一点P，过点P作PB⊥CB，交直线c于点B，连接AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交直线b于点C，连接AC，BC，则为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了复杂的尺规作图，等边三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握基本的作图和旋转的性质是解题的关键． 1．如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（    ） A．图1的原理是同位角相等，两直线平行 B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C．图2的原理是两直线平行，内错角相等 D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意； B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意； C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意， 故选：C． 2．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 3．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图过程可知，，，可判断选项A和选项B；证明可判断选项C；由平行线分线段成比例定理可判断选项D． 【详解】解：由作图过程可知，，故A选项正确，不符合题意； 由作图过程可知，，， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴ ∵O是边的中点， ∴， ∵， ∴，故C选项不正确，符合题意， ∵， ∴， ∴，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025·北京东城·一模）如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点； ④作直线，交线段于点． 以下结论不一定成立的是（    ） A． B． C．与的相似比为 D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图过程可得，选项A正确；得到，选项D正确；得到，推出，选项B正确；得到与的相似比为，不能确定，选项C错误． 【详解】解：由作图过程可得， 故选项A正确； ， 故选项D正确； ， ， 故选项B正确； 与的相似比为， 不能确定， 故选项C错误； 故选：C． 5．（2025·北京·模拟预测）已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查作图复杂作图，等边三角形的判定及性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系．根据弦、弧、圆心角的关系判断①；连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到，再根据圆周角定理得到，即可求出，得到判断②，根据两点间线段最短判断③；连接，然后根据三角形的内角和求出，即可得到是等边三角形，判断④解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； 又∵， ∴，即，故③正确； 连接，设，则，， 在中，， 解得， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 6．（2025·北京大兴·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了复杂作图：作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半，勾股定理，由题意可得点是中点，求得即可解答，熟知是的垂直平分线是解题的关键． 【详解】解：由题意可得是的垂直平分线， 点是中点， 根据勾股定理可得， ， 故选：B． 7．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，熟练掌握根据尺规作图痕迹判断，以及勾股定理解直角三角形．连接，利用基本作图得到垂直平分，则，设，则， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作法得垂直平分，则， 点是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得 ， 即． 故选：C． 8．（2025·北京海淀·一模）如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作角平分线的相关知识，理解题目所给的作图步骤是解题关键；根据作图步骤判断即可解题． 【详解】解：根据作图的步骤和图形可知：尺规作图实际上是平分了，所以射线是的平分线， 故选：A． 9．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图中垂线的作图原理及几何性质的应用，关键在于理解每一步作图的几何意义．通过确定垂直平分线，保证对称性，明确点与直线的对称关系满足的距离和位置条件，进而确定三角形的全等． 【详解】解：步骤（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和点， ， 点是步骤（3）中以点和点为圆心．相同半径画弧的交点， ， 因点的位置由两弧交点决定，无法保证的长度等于， 故结论①错误； 步骤（3）中，以点和点为圆心．相同半径画弧， 交点必在的垂直平分线上，即是的垂直平分线， 点与点一定关于直线对称， 故结论②正确； 是垂线， ， 点的位置由作图步骤决定， 未必满足点与点到直线距离相等， 故结论③错误； （步骤2），（步骤3），为公共边， ， 故结论④正确． 故选：D． 10．（2025·北京·模拟预测）尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了作图——作垂线，菱形的判定和性质，掌握基本作图方法是解题关键．由作法可知，从而得出四边形是菱形，，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知，， 四边形是菱形， ， 小红的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直， 故选：A． 11．（2024·北京平谷·一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照题意作图即可； （2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键． 12．（2025·北京）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，A为切点． 作法： ①连接并延长到点C，如图2； ②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点点D在直线上方； ③以点D为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点B，作直线． 直线就是所求作的直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹； (2)根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明说明：括号里填推理的依据 证明：连接， ， 点C在上， 是的直径． ①______ ， 是的半径， 是的切线②______ 【答案】(1)见解析 (2)直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 【分析】本题考查作图-复杂作图，直径所对的圆周角为直角，切线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据直径所对的圆周角为直角得为直角，根据经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线可得所证结论． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：连接AD， ， 点C在上， 是的直径． ①直径所对的圆周角是直角 ， 是的半径， 是的切线．②经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线 故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线． 13．（2025·北京）已知：如图中，． 求作：点，使得点在上，且点到的距离等于． 作法： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点．则点即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接， 在和中 （ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． ，点在上， ． 作于点， 点在上， （ ）．（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)；；；全等三角形的对应角相等；角的平分线上的点到角两边的距离相等 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键． （1）按照题意作出图形即可求解； （2）连接，，证明，根据的全等三角形的性质与判定，以及角平分线的性质进行填空即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：证明：连接，， 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， ，点在上， ， 作于点， 点在上， （角的平分线上的点到角两边的距离相等）． 故答案为：；；；全等三角形的对应角相等；角的平分线上的点到角两边的距离相等． 14．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，熟练掌握尺规作线段，作垂线的方法是解题的关键，根据题干给定的作图步骤，结合尺规作垂线和作线段的方法作图即可． 【详解】解：由题意，作图如下，即为所求； 15．（2025·北京）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：如图， ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线N上， ∴．（ ① ）（填推理的依据） ∴ ② ② ． ∵， ∴， ③ ∴． ∴．（ ④ ）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图与性质以及等腰三角形的相关证明；熟练掌握等腰三角形的判定方法是本题的解题关键． （1）分别以，两点为圆心，以大于的长度作弧，分别交于，两点，然后连接交于点，作直线，直线就是所求作的直线； （2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角关系填空即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ∴．（垂直平分线上的点到线段两端距离相等） ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴．（等角对等边） ∴和都是等腰三角形． 1．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】24． 【分析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角线长即可求面积． 【详解】解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF， ∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE， ∴EF=EB， ∵AD∥BE， ∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE =∠AEB， ∴AB=BE， ∴AB=BE=EF=AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴BO=FO=4， ∴， AE=6， 菱形的面积为； 故答案为：24． 【点睛】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、勾股定理和平行四边形的性质，解题关键是明确角平分线作法，证出四边形是菱形． 2．（2024·北京海淀）如图，已知是一个锐角，以点O为圆心，分别交、于点A、B，再分别以点A、B为圆心长为半径画弧，两弧交于点C，过点作，交射线于点D，过点D作，则 ．    【答案】/ 【分析】如图，连接，过点D作于．首先证明四边形是菱形，解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接．    由作图可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的性质，角平分线的定义，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（2023·北京怀柔）已知中，，M是BC的中点．如图． （1）以M为圆心．MB为半径，作半圆M﹔ （2）分别以B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于点D； （3）连接AM，AD，CD； （4）作线段CD的中垂线，分别交线段CD于点F，半圆M于点G，连接GC； （5）以点G为圆心，线段GC为半径，作． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中： ①点A在半圆M上；②；③；④；⑤；⑥．一定正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系定理，相似三角形的判定方法，以及其他与圆有关的性质及定理即可判断． 【详解】解：由作图可知，以M为圆心，BC为直径的半圆是的外接圆， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC是直径所对的圆周角 ∴点A在半圆M上，故①正确； 由分别以B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于点D可知， CA、CD是以圆C的半径， ∴，故②正确； ∵在以M为圆心、BM为半径的圆中，在以B为圆心、BA为半径的圆中， ∴，故③错误； ∵AM＝BM，AC＝CD， ∴∠ABM＝∠BAM，∠ADC＝∠DAC 又∠BAC＝∠ABM＋∠ACB＝90°， ∠AFC＝∠CAF＋∠ACF＝90° ∴∠ABM＝∠DAC ∴∠MAB＝∠ADC，∠AMB＝∠ACD ∴△AMB∽△ADC，故④正确； 在以点M为圆心、BC为直径的圆中，BC是直径，CG是该圆的一条弦， ∴BC＞CG ，即BC≠CG，故⑤错误； ∵作线段CD的中垂线， ∴CF＝CD＝AC， ∴∠CGF＝∠ABC＝∠BAM， ∴∠CGF≠∠BAM，故⑥错误， 综上所述：①②④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系定理，中垂线的性质、相似三角形的判定方法，以及其他与圆有关的性质及定理，解题的关键是根据作图给出的条件并综合运用所学知识进行判断． 4．（2024·北京平谷）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．    （1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）； （2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系； （3）若AB=10，BC=8，求CE的长． 【答案】(1)见解析;(2) 直线DE是⊙O的切线,证明见解析;（3）2.3或4.2 【分析】（1）依据题意，利用尺规作图技巧补全图形即可； （2）由题意连结OD，交BC于F，判断并证明OD⊥DE于D以此证明直线DE与⊙O的位置关系； （3）由题意根据相关条件证明平行四边形CFDE是矩形，从而进行分析求解. 【详解】（1）如图．        （2）判断：直线DE是⊙O的切线． 证明：连结OD，交BC于F． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD．     ∴． ∴OD⊥BC于F． ∵DE∥BC， ∴OD⊥DE于D． ∴直线DE是⊙O的切线．     （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∵AB=10，BC=8， ∴AC=6．     ∵∠BOF=∠ACB=90°， ∴OD∥AC． ∵O是AB中点， ∴OF==3． ∵OD==5， ∴DF=2． ∵DE∥BC，OD∥AC，   ∴四边形CFDE是平行四边形． ∵∠ODE=90°， ∴平行四边形CFDE是矩形． ∴CE=DF=2． 【点睛】本题结合圆考查圆的尺规作图以及圆的切线定义和矩形的证明，分别掌握其方法定义进行分析. 5．按要求作图： (1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径； (2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； (4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可； （2）延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求； （3）作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可； （4）过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可． 【详解】（1）解：根据垂径定理可知，AB 的垂直平分线过圆心，连接AB，利用网格找出线段AB的垂直平分线即可，如图：EF即为直径； （2）解：延长AC交⊙O与点E，连接BO并延长交⊙O于点F，在连接EF，则即为所求； （3）解：作线段AD的垂直平分线，交AB于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆即可，如图； （4）解：过点A作圆的两条割线：ACD和AEF；连接CF，DE交于点G，延长EC和FD交于点H，连接HG交圆于点B，连接AB即可，如图： 【点睛】本题考查作图，圆周角定理，切线性质，垂直平分线，解题的关键是理解题意，综合运用所学知识，是中考中常见题型． 6．（2025·北京西城）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，． (1)请在以下证明过程中填入适当理由 证明：DE垂直平分AB （ ） （ ） 在中， ， （ ） 、是等腰三角形． (2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个互不重叠的等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)将下面的不等边三角形分割成5个互不重叠等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段） 【答案】(1)垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定填空即可求解． （2）过点作的垂线交于点，分别作、的垂直平分线分别交、于点、，连接、； （3）模仿例题，利用垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】（1）证明：垂直平分 （垂直平分线的性质） （等边对等角） 在中， ， （等角对等边） 、是等腰三角形． 故答案为：垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边 （2）解：如图所示， 过点作的垂线交于点，分别作、的垂直平分线分别交、于点、，连接、， 则、、、是等腰三角形； ； （3）解：如图所示， ． 7．（2025·北京）数学课堂中，老师带领同学们探究满足什么条件的三角形可以分割成两个等腰三角形． 探究一：小云发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小云设计的尺规作图过程． 作法：如图． ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D； ②作直线． 所以直线即为所求作的直线． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上． ∴．（______________）（填推理的依据） ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴___________， ∴和都是等腰三角形． 探究二：小红发现在中，，存在过点C的直线将分割成两个等腰三角形，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】探究一：（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；；探究二：． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），分别以点B，C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，交于点D，再作直线； 对于（2），先根据线段垂直平分线的性质定理得，再根据“等边对等角”得，然后根据“等角的余角相等”得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（3），分五种情况根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】解：（1）如图所示； （2）证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（线段垂直平分线的性质定理）， ∴. ∵， ∴，， ∴， ∴, ∴和都是等腰三角形. 故答案为：线段垂直平分线的性质定理，； （3） 当时是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴； 当时是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； 当时是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴； 当时是等腰三角形， ∴， ∴, ∴； 当时是等腰三角形， ∴， ∴, ∴. 故答案为： 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 【答案】(1)，等角的补角相等； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）设的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明是等边三角形，由等边三角形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据． （2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可，从而问题完成； （3）作一个等边三角形即可完成． 【详解】（1）解：设的交点为O，如图； ∵四边形是矩形， ∴； ∵对角线与互为双关联线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴；    故答案为：； 问题2中的依据是：等角的补角相等；                       故答案为：等角的补角相等； （2）解：是的外角，   ． 是的外角，            ．          ， ．                即线段与线段所在直线形成的夹角中有一个角是． ， 线段与线段是双关联线段． （3）解：答案不唯一，例如： 作法一：   作法二：   如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键． 4．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 5．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)；． 【分析】根据矩形的周长公式计算即可； 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求； 根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求； 过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切； 连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， ，， 矩形的周长为， 故答案为：； （2）解：如下图所示， 以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形的对角线交于点， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 直线把矩形分成周长相等的两部分； （3）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 直线是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， 把矩形分成了周长相等的两部分， 直线符合要求； （4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作， 四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分， 则点是矩形的对角线与的交点， 点是的中点， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 于点， ， 是等腰直角三角形， ，， ； 解：如下图所示，连接交于点， 把矩形分成了周长相等的两部分， 点为和的中点， ， 点在以为直径的上， 当与相切时，最大， ，， ， ， ， 过点作， ， 四边形是矩形， ， 则， ， ， ，， ， ， 是的切线， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 第18讲 尺规作图 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 基本尺规作图 题型01 尺规作线段 题型02 尺规作一个角等于已知角 题型03 作角平分线 题型04 作垂直平分线 命题点二 圆相关的尺规作图 题型01 尺规画圆 题型02 作圆心 题型03 作圆的切线 题型04 作三角形的内切圆 题型05 作三角形的外接圆 命题点三 利用尺规作图作三角形 题型01 尺规作等腰三角形 题型02 尺规作直角三角形 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一 格点中画三角形 突破二 作等腰三角形加证明 突破三 圆的切线 突破四 作正多边形 06·优题精选·练能提分 37 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 基本尺规作图（作线段、角、垂直平分线、角平分线） T7（基本作图） T7（基本作图） / 1. 掌握尺规作图的基本工具和操作要求，无刻度直尺和圆规；2. 能完成作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作线段的垂直平分线、作角的平分线等基本作图；3. 能在图形中补全基本尺规作图的痕迹。 结合几何性质的复杂尺规作图（作等腰/直角三角形、对称轴） / T7（作已知角） / 1. 能根据等腰、直角三角形的性质，利用尺规作图构造特殊三角形；2. 能结合轴对称、全等的性质，作几何图形的对称轴或对称图形；3. 能根据实际需求选择合适的尺规作图方法解决图形构造问题。 尺规作图的依据与说理 / / / 1. 理解基本尺规作图背后的几何定理（如全等三角形、垂直平分线性质、角平分线性质）；2. 能准确书写或选择尺规作图的理论依据；3. 能结合作图步骤进行简单的几何说理。 网格背景下的尺规作图 T28（网格中作图） T28（网格中作图） T28（网格中作图） 1. 能在方格纸、坐标系网格中完成尺规作图，结合网格的边长、角度特征简化作图；2. 能结合网格的坐标或格点，对作图结果进行线段长度、角度的计算；3. 提升网格背景下的几何直观和作图应用能力。 命题预测 1. 基本尺规作图的步骤判断、痕迹补全，尤其是角平分线和线段垂直平分线的作图，为高频考点； 2. 尺规作图的几何依据辨析，常结合全等三角形、特殊线段性质考查，易出现在选择题辨析题中； 3. 网格/坐标系背景下的尺规作图，结合格点特征构造特殊图形，兼顾作图和简单计算； 4. 简单复杂作图，如作等腰、直角三角形，多与前序几何知识（等腰三角形判定、垂直平分线性质）结合。 考点一 基本尺规作图 1.定义：仅使用无刻度直尺（作直线、射线、线段）和圆规（作圆、弧、截取等长线段）的作图方式，称为尺规作图。 2.中考核心要求 作图需保留清晰痕迹（关键弧、交点、线段缺一不可，痕迹模糊会扣分）； 能阐述作图的几何依据（如全等判定、垂直平分线性质、圆的半径相等）； 能结合作图结果进行证明或计算（如求半径、角度、线段长度）。 3.这是中考必考内容，是作三角形、圆相关图形的前提。 作图类型 已知条件 作图步骤 核心依据 作一条线段等于已知线段 线段 1. 作射线；2. 以为圆心，长为半径画弧，交射线于，则 圆的半径相等 作一个角等于已知角 1. 作射线；2. 以为圆心，任意长为半径画弧，交、于、；3. 以为圆心，长为半径画弧，交于；4. 以为圆心，长为半径画弧，交前弧于；5. 作射线，则 全等判定（） 作已知角的平分线 1. 以为圆心，适当长为半径画弧，交、于、；2. 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于；3. 作射线，则平分 全等判定（） 作已知线段的垂直平分线 线段 1. 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧上下交于、两点；2. 作直线，则垂直平分 到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上 过一点作已知直线的垂线 情况1：直线上一点情况2：直线外一点 1. 以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于、两点；2. 分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于；3. 作直线，则 等腰三角形“三线合一” 1．（2025·北京）如图，已知点，，，．按要求画图（尺规作图，并保留作图痕迹）； (1)画线段，画直线； (2)画射线，并在射线上取点使得； (3)画点，使的值最小． 2．（2024·北京西城·二模）已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 3．（2023·北京平谷·二模）如图，直线，是上一点，是上一点，连接，以为圆心长为半径画弧，在点的右侧交直线于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，连接．    (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形，判断四边形的形状； (2)证明（1）中的结论． 4．如图，在中，，，请用尺规作图法在AC边上确定一点P，连接BP，使BP将分割成两个等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 5．（2025·北京）根据下列语句用圆规和直尺作图，保留作图痕迹，并完成证明． 已知：如图，．求作：，使． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）已知射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）作射线．则即为所求． 证明：连接，． 在与中， ， （___________）， ___________． 即． 考点二 圆相关的尺规作图 圆的尺规作图常结合三角形性质考查，核心是作圆的关键元素和三角形的外接圆、内切圆。 1. 作圆的基本操作 作图类型 已知条件 作图步骤 依据 作一个圆，使它经过已知的两个点 点、 1. 作线段的垂直平分线；2. 在上任取一点为圆心，长为半径作圆，则过、 垂直平分线上的点到线段两端点距离相等（） 作已知圆的直径 及圆上一点 1. 以为圆心，长为半径画弧，交于；2. 作直线，则是的直径 圆的直径定义（过圆心的弦） 2. 作三角形的外接圆（外心作图） 定义：经过三角形三个顶点的圆，圆心称为外心（三角形三边垂直平分线的交点）。 已知： 作图步骤 分别作、的垂直平分线，交于点； 以为圆心，长为半径作圆，则即为的外接圆。 核心性质 外心到三角形三个顶点的距离相等（）； 直角三角形的外心在斜边中点（斜边为外接圆直径）。 易错点：遗漏作两条垂直平分线，仅作一条就确定圆心。 3. 作三角形的内切圆（内心作图） 定义：与三角形三边都相切的圆，圆心称为内心（三角形三个角平分线的交点）。 已知： 作图步骤 分别作、的角平分线，交于点； 过点作于； 以为圆心，长为半径作圆，则即为的内切圆。 核心性质：内心到三角形三边的距离相等（，、为、上的垂足）。 易错点：作半径时未作垂线，直接用作为半径。 4. 过圆上一点作圆的切线 已知：及圆上一点 作图步骤 连接； 过点作的垂线（用“过一点作已知直线垂线”的方法），则直线是的切线。 依据：圆的切线性质（切线垂直于过切点的半径）。 5. 过圆外一点作圆的切线（中考中档题常考） 已知：及圆外一点 作图步骤 连接； 作的垂直平分线，交于； 以为圆心，长为半径作圆，交于、两点； 作直线、，则、是的切线。 依据：直径所对的圆周角是直角（，故）。 1．（2024·北京通州）学习完圆的切线后，数学兴趣小组经过探究得出“过一点作圆的切线”有两种情况“过圆上一点作圆的切线”和“过圆外一点作圆的切线”以下是两种情况作图作法． 过一个已知点作圆的切线 小娟设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：点A在上． 求作：的切线． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D； （3）分别以点为圆心，大于长为半径作弧．两弧交点B； （4）作直线AB，则直线即为所求作的的切线． 小刚设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，及外一点． 求作：过点的的切线． 作法：（1）连接．分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、点，作直线交于点； （2）以点为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点； （3）作直线，所以直线就是所求作的的切线．    根据小娟和小刚设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全其中一个图形（保留作图痕迹）； (2)填空：由作图可知“过圆上一点作圆的切线”可以作 条，“过圆外一点作圆的切线”可以作 条；证明所作的直线是圆的切线都用到了 （填依据）． 2．（2023·北京·模拟预测）已知：如图，．    求作：点（点与点在直线的异侧），使得，且． 作法： ①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点； ②以点为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为； ③连接，．所以点就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明．证明：连接，，， 直线垂直平分，点，都在直线上， ，． 直线垂直平分，点在直线上， ． ． 点，，都在上． 点在上， ．（ ）（填推理的依据） 3．如图，已知，． （1）在图中，用尺规作出的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）； （2）画出与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求的度数． 4．如图，已知，请用尺规作图的方法作的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 考点三 利用尺规作图作三角形 已知三边作三角形（） 步骤：先作一条边，再用圆规截取另外两边长度，确定第三个顶点； 拓展：作完三角形后，可直接作其外接圆或内切圆。 已知斜边和一条直角边作直角三角形（） 步骤：先作直角，再截取直角边和斜边长度，连接端点； 拓展：直角三角形的外接圆直径即为斜边，可直接以斜边中点为圆心作外接圆。 1．（2024·北京·模拟预测）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，使得． 作法：如图， ①在射线上任取一点C； ②作线段的垂直平分线， 交于点P，交于点D： ③连接； 所以即为所求作的角． 根据小华设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）． 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴_______________（___________） ∴． ∵（______________） ∴． 2．（1）如图1，已知为直线外一点，利用直尺和圆规在上作点、，使得，（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，已知两条平行的直线、及点，利用直尺和圆规作，使得点、分别在直线、上，且满足，．（保留作图痕迹，不写作法） 3．阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图，点，分别在直线同侧，如何在直线上找到一个点，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： ①画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，，根据题目需要，作点关于直线的对称点，将转化为，“化曲为直”寻找的最小值； ②设计画图步骤； ③回答结论并验证． 借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图： 已知三条线段，，，求作，使其边上的高，中线，． (1)请先画草图画出一个即可，并叙述简要的作图思路即实现目标图的大致作图步骤； (2)完成尺规作图不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可． 4．（2024·北京东城）下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程. 已知：线段，及∠O .    求作：△ABC，使得线段，及∠O分别是它的两边和一角. 作法：如图,    ①以点O为圆心，长为半径画弧，分别交∠O的两边于点M ,N； ②画一条射线AP，以点A为圆心，长为半径画弧，交AP于点B； ③以点B为圆心，MN长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D； ④画射线AD； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧，交AD于点C； ⑥连接BC ，则△ABC即为所求作的三角形. 请回答: （1）步骤③得到两条线段相等，即 = ； （2）∠A＝∠O的作图依据是 ； （3）小红说小明的作图不全面，原因是 . 考点四 尺规作图的综合应用 作图+证明题型 例：作的内切圆，并证明所作圆与边相切； 解题思路：先按步骤作图，再结合内心性质（内心到的距离等于半径）证明。 作图+计算题型 例：已知是边长为的等边三角形，作其外接圆并求半径； 解题思路：作两边垂直平分线找外心，再用勾股定理计算半径（等边三角形外心与重心重合，半径为的高）。 圆与三角形的综合作图 常见题型：作圆的切线、作三角形的外接圆并求切线长度、作内切圆并计算面积。 1．（2024·北京昌平）如图，已知，是的平分线，点A是射线上一点，点A关于对称点在射线上，连接交于点，过点A作的垂线，分别交，于点，，作的平分线，射线与，分别交于点，． (1)①依题意补全图形； ②求度数；（用含的式子表示） (2)写出一个的值，使得对于射线上任意的点A总有（点A不与点重合），并证明． 2．（2024·北京房山·模拟预测）如图，在中，，，是中线．点是上的动点（不与端点B，D重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．在延长线上存在点，使，连接．    (1)补全图形； (2)判断的位置关系______，证明结论； (3)若，且，直接写出______． 3．（2024·北京西城·二模）如图，在中，，，将射线绕点顺时针旋转得到射线，射线与直线的交点为点．在直线上截取（点在点右侧），将直线绕点顺时针旋转所得直线交直线于点． (1)如图1，当点与点重合时，补全图形并求此时的度数； (2)当点不与点重合时，依题意补全图2，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 4．（2024·北京·一模）如图，是的直径，是上一点，连接． (1)使用直尺和圆规，在图中过点A作的切线，补全图形（点P在上方，保留作图痕迹）； (2)点D是弧的中点，连接并延长，分别交，于点E，F，若，，求线段的长． 5．（2024·北京东城·二模）如图，已知及外一点．    求作：的切线，． 作法： ①连接； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点； ③以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，（点位于的上方）； ④作直线，； 则直线，就是所求作的直线． (1)利用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)设线段交于点，连接，，．若，则 °， °． 6．（2024·北京·三模）已知：如图． 求作：点D（点D与点B在直线的异侧），使得点D在的角平分线上，且． 作法：①分别作线段的垂直平分线和线段的垂直平分线，直线与交于点O； ②以点O为圆心，的长为半径画圆，与在直线上方的交点为D，则点D就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，，，，，， ∵直线垂直平分，点O，D都在直线上， ∴，． ∵直线垂直平分，点O在直线上， ∴， ∴， ∴点A，B，C都在上． ∵点D在上， ∴．（______）（填推理的依据） ∵， ∴．（______）（填推理的依据） ∴．（______）（填推理的依据） ∴点D在的角平分线上． 命题点一 基本尺规作图 ►题型01 尺规作线段 1.长度截取偏差：用圆规截取已知线段长度时，未固定好圆规两脚间距，导致新作线段与目标线段长度不一致。 2.作图痕迹遗漏：忽略尺规作图需保留辅助弧、直线的要求，擦掉截取长度的弧痕，不符合作图规范。 3.直尺违规使用：误用直尺测量线段长度后再画图，违背尺规作图“直尺仅作直线、不可度量”的规则。 【典例】（2025·北京）如图，平面内直线外有两个点C和D，请按要求完成下列问题： (1)画射线，线段； (2)尺规作图（保留作图痕迹）：反向延长线段，并在此延长线上取一点E，使； (3)画的平分线，并在此角平分线上取一点P，使得最小． 【变式1】（2025·北京东城）如图，平面上有三个点，，． (1)根据下列语句画图：作出射线，直线； (2)在射线上取一点，使（尺规作图，保留作图痕迹）； (3)在（1）的条件下，比较线段的大小：________（填“”“”或“”），理由是________． 【变式2】（2025·北京）如图，点，在直线上，点在直线外． (1)请用直尺和圆规按要求完成作图（要求：不写作法，保留画图痕迹）； ①作线段； ②作射线，在射线上取点，使得点为线段的中点； ③在直线上作线段，使得． (2)根据（1）中的作图，若，，则 ， ． 题型02 尺规作一个角等于已知角 1.半径未保持一致：画弧时两次调整圆规两脚间距，导致已知角与新作角对应的弧半径不同，角的大小出现偏差。 2.弧长截取错位：在新作射线的弧上，未准确截取与已知角弧上等弦长的交点，导致角的两边对应关系错误。 3.作图痕迹缺失：擦掉画弧的辅助痕迹，不符合作图规范，无法体现作图的逻辑依据。 【典例】已知：，（图（1）、图（2））． (1)尺规作图：在图（2）中，以为一边，在的内部作（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在图（2）中过点引射线，且，，求的度数． 【变式】（2025·北京大兴）如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)补全图形 (2)求证：； 题型03 作角平分线 1.弧半径不统一：在角两边截取弧与在角内画弧时，圆规两脚间距不一致，导致两弧交点偏离角平分线，作图结果错误。 2.角内弧未相交：在角内部画弧时，弧长过短导致两弧无交点，或交点落在角外，无法确定角平分线上的关键点。 3.作图规范缺失：未保留所有辅助弧痕迹，或直接用直尺连接顶点与非尺规交点，违背尺规作图的逻辑和规范。 【典例】（2025·北京石景山）已知：如图，，点在边上． 求作：点，使得射线平分，且． 作法：①作的角平分线； ②以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接．点即为所求作的点． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形；（保留作图痕迹） (2)判断与的位置关系，并证明． 【变式1】（2025·北京西城）如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图．根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（    ） A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【变式2】（2025·北京海淀）如图，在中，，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，并延长交于点D，若，则的长为 ． 题型04 作垂直平分线 1.半径长度不当：以线段两端为圆心画弧时，半径小于或等于线段长度的一半，导致两弧无交点，无法确定垂直平分线上的点。 2.弧的交点不全：仅在线段一侧画弧得到一个交点，未在另一侧画弧获取第二个交点，无法通过两点确定垂直平分线这条直线。 3.省略验证步骤：连接交点后未检验直线是否既垂直又平分原线段，或遗漏保留辅助弧痕迹，作图逻辑不完整。 【典例】（2025·北京）如图，在中，，．   (1)作出线段的中点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式1】（2025·北京）学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴（______）（填推理的依据）， ∴（______）（填推理的依据）． ∵， ∴，， ∴， ∴（______）（填推理的依据）， ∴和都是等腰三角形． 【变式2】（2025·北京西城）已知在中，． (1)如图1，在的边上求作一点，使． ①将下面的分析过程补充完整． 分析：点在线段上，则______， 而要使，即需要____________， 因此需要点在线段______的垂直平分线上， 所以作出这条线段的垂直平分线，它与边的交点即为所求作的点． ②用直尺和圆规在图1中完成作图并保留作图痕迹； (2)用直尺和圆规在图2中完成下列作图并保留作图痕迹： 在边上取一点，使；作的平分线交于点，连接； (3)在（2）的条件下，图2中线段______与线段相等；若，，，则的周长为______（用含的式子表示）． 命题点二 圆相关的尺规作图 ►题型01 尺规画圆 1.圆心定位偏移：标记圆心后，画圆时圆规针尖滑动偏离标记点，导致所作圆的位置与目标位置不符。 2.半径控制失误：圆规两脚间距调整后未固定，画圆过程中间距松动或变动，造成圆的半径大小不一致。 3.作图规范缺失：未明确标记圆心点和半径线段，或画圆时未保证圆规旋转一周形成闭合图形，不符合作图要求。 【典例】已知矩形，边的垂直平分线交于E，垂足为M，用直尺和圆规作，使过B、C、E三点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2024·北京顺义）已知：如图，和射线PN． 求作：射线PM，使得． 作法：①在射线OB上任取一点C，以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点D； ②以点P为圆心，OC的长为半径画圆，交射线PN的反向延长线于点E； ③以点E为圆心，OD的长为半径画弧，在射线PN上方，交OP于点M； ④作射线PM． 所以射线PM就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接CD，EM． ∵PM=PE=CD=CO，EM=OD， ∴（_________）（填推理依据）． ∴． 又∵（________）（填推理依据）． ∴． 【变式2】（2023·北京）如图，在平面直角坐标系中，点，点，在坐标轴上求作一点，使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型02 作圆心 1.弦的选取不当：选择平行的两条弦作垂直平分线，导致两条垂直平分线无交点，无法确定圆心；或误将直径当作普通弦重复操作，增加无效步骤。 2.垂直平分线作图错误：作弦的垂直平分线时，圆规半径小于弦长的一半，两弧无交点，或仅画单侧弧得到不完整的垂直平分线，导致圆心定位偏差。 3.省略验证环节：找到交点后未检验该点到圆上任意三点的距离是否相等，忽略作图误差，误将非圆心点判定为圆心。 【典例】（2025·北京石景山）北京木雕小器作是国家级非物质文化遗产．某圆形摆件的底座（如图1）采用木雕工艺制作，它的卡槽是圆弧形．卡槽的示意图如图2，其跨度（弧所对的弦的长）为，弓形高（即弧的中点到弦的距离）为． (1)用尺规作出所在的圆（保留作图痕迹）； (2)直接写出卡槽所在圆的半径的长． 【变式】如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点、、． (1)只用无刻度直尺，画出所在圆的圆心的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在平面直角坐标系中，圆心的坐标为 ；的半径为 ；的长为 ． 题型03 作圆的切线 1.性质应用疏漏：过圆上一点作切线时，未利用“切线垂直于过切点的半径”的性质，未作半径的垂线，直接连线导致所作直线不是切线。 2.辅助圆半径错误：过圆外一点作切线时，以圆心与外点连线为直径作辅助圆，圆规半径取值不当，无法找到与原圆的切点，或仅作出一条切线遗漏另一解。 3.验证环节缺失：作出直线后未检验是否与圆仅有一个公共点，或未保留辅助弧、辅助圆的作图痕迹，无法佐证切线的正确性。 【典例】（2025·北京丰台）下面是小明设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，点P在外． 求作：的切线，使它经过点． 作法：①作射线交于A、B两点； ②以点为圆心，以的长为半径作弧；以点为圆心，以的长为半径作弧，两弧相交于点，； ③连接，分别交于点，； ④作直线，． 直线，为所作的切线． 根据小明设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明 证明：连接． 在中，点A，B，C在上， ， ， ． ， （ ）（填推理依据）． ∴直线是的切线（ ）（ 填推理依据）， 同理可证，直线是的切线． 【变式1】（2023·北京海淀）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，和外一点． 求作：过点的的切线． 作法：如图2， ①连结，作线段的中点； ②以为圆心，的长为半径作圆，交于点； ③作直线和，直线即为所求作的切线． 请在图2中补全图形，并完成下面的证明． 证明：连接，如图2， 由作法可知，为的直径， ∴（_____________）（填推理的依据）， ∴， ∵点在上， ∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据）， 同理，直线也是圆的切线． 【变式2】（2024·北京昌平）下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O及⊙O外一点P． 求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B． 作法：如图， ①连接OP，分别以点O和点P为圆心，大于OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M，N； ②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B； ③作直线PA和直线PB. 所以直线PA和PB就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明. 证明：∵OP是⊙Q的直径， ∴ ∠OAP＝∠OBP＝________°（ ）（填推理的依据）． ∴PA⊥OA，PB⊥OB． ∵OA，OB为⊙O的半径， ∴PA，PB是⊙O的切线． 题型04 作三角形的内切圆 1.内心定位偏差：作角平分线时圆规半径不统一，导致角平分线交点（内心）偏离真实位置，后续内切圆圆心错误。 2.半径确定失误：找到内心后，未作内心到三角形任意一边的垂线确定半径，直接量取任意长度画圆，导致圆与三角形边不相切。 3.作图范围疏漏：画内切圆时未控制半径大小，使圆超出三角形内部，或遗漏保留角平分线、垂线的辅助痕迹，不符合作图规范。 【典例】（1）尺规作图：如图，已知．求作：的内切圆．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． （2）的内切圆与分别相切于点D，E，F，且cmcm，求的长． 【变式1】如图，在中，． (1)的外接圆半径为 ； (2)用直尺和圆规作出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法），并求出的内切圆半径． 【变式2】尺规作图：已知，如图： (1)求作：的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，，则的内切圆的半径为________． 题型04 作三角形的外接圆 1.外心定位错误：仅作三角形一条边的垂直平分线就确定圆心，忽略外心是三边垂直平分线交点的核心；或作垂直平分线时圆规半径不足，导致垂直平分线作图偏差。 2.半径取值失误：找到外心后，误将外心到三角形边的距离当作半径，而非外心到任意顶点的距离，导致所作圆无法经过三个顶点。 3.验证环节缺失：画完圆后未检验是否经过三角形的三个顶点，或遗漏保留垂直平分线的辅助弧痕迹，无法佐证外接圆的正确性。 【典例】填写表格：外心、内心的定义及性质 外接圆 内切圆 图形       定义 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心是三角形的外心，它是_________的交点 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心是三角形的内心，它是_________的交点 性质及位置 三角形的外心到_________相等． 锐角三角形的外心在三角形的_________，钝角三角形的外心在三角形的_________，直角三角形的外心在_________ 三角形的内心到_________相等． 三角形的内心一定在三角形的_________ 角度关系 ， 作图方法 从三角形中任意选两条边，作它们的_________，其交点即为三角形的外心 从三角形中任意选两个角，作它们的_________，其交点即为三角形的内心 作图 用尺规作三角形的外接圆    用尺规作三角形的内切圆    【变式1】在中，，，． (1)请用尺规作图作出的外接圆，并在外接圆上找一点D，使； (2)在上面得出的图形中，连接，求出的长度． 【变式2】如图，已知I是的内心，的平分线与的外接圆相交于点． (1)用尺规作图作出的外接圆，保留作图痕迹； (2)求证：． 命题点三 利用尺规作图作三角形 题型01 尺规作等腰三角形 1.垂直平分线作图偏差：作底边的垂直平分线时，圆规半径小于底边长度的一半，导致两弧无交点；或仅在线段单侧画弧，无法确定等腰三角形的顶点位置。 2.腰长截取混淆：以底边端点为圆心截取腰长时，误将底边长度当作腰长，或调整圆规间距时松动，导致所作两腰长度不相等，违背等腰三角形定义。 3.三点共线疏漏：未检验顶点与底边两端点是否共线，直接连接成图形，出现“三点共线无法构成三角形”的错误；或省略保留辅助弧痕迹，不符合作图规范。 【典例】阅读材料：一般地，设平面上任意两点和可以用表示A、B两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点C，则四边形是矩形． ∵，， ∴． ∴． 这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式． 如：点和点之间的距离．    (1)请运用公式计算点和点之间的距离； (2)在（1）的条件下，点O为原点，求的周长； (3)平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，当值最小时，用尺规作出点P，并求出的最小值． 【变式1】如图，已知线段a、h，请用尺规作等腰，使底边长BC为a，BC边上的高为h（不写作法，保留作图痕迹）．    【变式2】如图，在中，，． (1)利用尺规作等腰，使点D，A在直线的同侧，且，．（保留作图痕迹，不写画法） (2)设（1）中所作的的边交于E点，求证：． 题型02 尺规作直角三角形 1.直角作图方法错误：作直角时未按尺规作垂线的标准步骤操作，如以直线上点为圆心画弧时半径过小、未在直线两侧取弧交点，导致无法作出标准直角，三角形角度不符合要求。 2.边长对应关系混淆：已知直角边和斜边作图时，误将直角边长度当作半径截取斜边，或调整圆规间距时松动，造成三边长度不满足勾股定理，无法构成直角三角形。 3.顶点定位偏差：利用“直径所对圆周角为直角”作图时，将顶点选在直径所在直线上，导致三点共线无法构成三角形；或垂线顶点位置选取错误，偏离目标边长范围。 【典例】已知线段a，b，按下列要求用直尺和圆规作直角三角形．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作，使，，． (2)作，使，，． 【变式1】尺规作图：根据要求补全图形．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，作，使． (2)在图②中，作等腰三角形，使． (3)在图③中，作直角三角形，使，且． 【变式2】小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图1，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图2，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，恰好能构成一个直角三角形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． 突破一 格点中画三角形 【典例】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：（①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹；③标注相关字母．） (1)在图1中画出以为一边，面积为6的等腰三角形． (2)在图2中画出的角平分线． 【变式1】已知，在的正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)如图，直接写出的值；画出平分交于点； (2)如图，先在边上画出中点，再在边上画出点，使直线平分的周长； (3)如图，先画线段的垂直平分线，再在直线上画出点，使． 【变式2】如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形． (1)画出等腰直角三角形，点在方格纸上的格点上，； (2)画出等腰三角形，点在方格纸上的格点上，的面积为6，连接，直接写出的长． 突破二 作等腰三角形加证明 【典例】Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝a．以AB为斜边，在AB所在直线的右侧作一个等腰Rt△ABD． （1）用尺规作图，保留作图痕迹； （2）请尝试用两种不同的方法计算四边形ACBD的面积，从而推导出sin75°＝． 【变式1】用无刻度直尺和圆规作图：不要求写作法，保留必要的作图痕迹． （1）如图1，已知（AC＜AB＜BC），在边BC上确定一点P，使得PA＋PC=BC；    （2）在图2中，作直角，使斜边MN落在BC上，且的周长等于线段BC的长．    【变式2】如图，中，是边上一点，连接． （1）在的右侧用尺规作等边（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下连接当为等腰三角形时，求的度数.（本题的图不用再尺规作图） 突破三 圆的切线 【典例】如图，经过格点的圆与网格线交于点． (1)在图1中，先画的中点，再将弦平移，得到弦； (2)在图2中，是格点，先画圆的切线和为切点，再画弦． 【变式1】学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及证明： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P 的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以点M为圆心，为半径画圆，交于A，B两点（点A在上方）； ③连接，直线即为的切线． (1)利用尺规作图法按上述步骤作图（保留作图痕迹）； (2)求证：为的切线； (3)连接，并延长与的延长线交于点C，若，，求的长． 【变式2】尺规作图： (1)如图，点在直线上，点C在直线外，作经过，两点且与相切． (2)已知⊙O．求作一点，过点作出的两条切线分别为，点为，．且使． 突破四 作正方形 【典例】如图，的半径为，点在外．按下列要求分别求作一条直线，使过点，并交于点，．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)； (2)． 【变式1】量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹)    【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．    【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)    【变式2】解题的经验可以不断迁移． (1)如图①，O为等边三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5．求∠AOB的度数．（提示：可将ΔAOB绕点A旋转到ΔAPC．） (2)在图②中用尺规作等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三个圆上．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） (3)如图③，直线．怎样找到等边三角形ABC，使点A，B，C分别落在三条直线上？用尺规作出该三角形.（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 1．如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（    ） A．图1的原理是同位角相等，两直线平行 B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C．图2的原理是两直线平行，内错角相等 D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 2．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．（2025·北京房山·一模）如图，在中，，O是边的中点．按下列要求作图： （1）以点B为圆心，小于长度为半径画弧，分别交，于点D，E； （2）以点O为圆心，长为半径画弧，交于点F；以点F为圆心，长为半径画弧，两弧交于点G，点G与点C在直线同侧； （3）作直线，交于点M． 根据上面作图，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京东城·一模）如图，在中，是边的中点．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交线段于点； ②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点； ④作直线，交线段于点． 以下结论不一定成立的是（    ） A． B． C．与的相似比为 D． 5．（2025·北京·模拟预测）已知锐角．如图， （1）在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接； （2）分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N； （3）连接，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论： ①；②；③；④若，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 6．（2025·北京大兴·一模）如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线交于点，连接，若，，则的长为（   ） A．2 B． C．2.5 D．3 7．（2024·北京海淀·模拟预测）如图，在中，，，，点是的中点，连接，按以下步骤作图：分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点；作直线交于点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·北京海淀·一模）如图，已知．小明按如下步骤作图： （1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点； （2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点； （3）作射线． A．射线是的平分线 B．线段平分线段 C．点和点关于直线对称 D． 9．（2025·北京通州·一模）下面是“经过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图方法． （1）任意取一点、使点和点在的两旁， （2）设点为圆心，长为半径作弧，交于点和点． （3）分别以点和点为圆心．大于的同样长为半径作弧．两弧相交于点． （4）作直线．则直线就是所求作的垂线． 根据以上尺规作图过程（如图），给出下面四个结论：①点到四点的距离一定都相等；②点与点一定关于直线对称；③点与点一定关于直线对称；④连接．，一定有． 上述结论中，正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．（2025·北京·模拟预测）尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线及其外一点，求作的垂线，使它经过点，小红的作法如下： ①在直线上任取一点，连接； ②以为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③分别以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点； ④作直线，直线即为所求（如图2）． 小红的作图依据是（   ） A．四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直 B．直径所对的圆周角是直角 C．直线外一点到这条直线上垂线段最短 D．同圆或等圆中半径相等，两点确定一条直线 11．（2024·北京平谷·一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 12．（2025·北京）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图1，及圆上一点． 求作：直线，使得为的切线，A为切点． 作法： ①连接并延长到点C，如图2； ②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点点D在直线上方； ③以点D为圆心，长为半径作； ④连接并延长，交于点B，作直线． 直线就是所求作的直线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹； (2)根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明说明：括号里填推理的依据 证明：连接， ， 点C在上， 是的直径． ①______ ， 是的半径， 是的切线②______ 13．（2025·北京）已知：如图中，． 求作：点，使得点在上，且点到的距离等于． 作法： ①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线，于点，； ②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点； ③作射线交于点．则点即为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明． 证明：连接， 在和中 （ ）（填推理的依据）． （ ）（填推理的依据）． ，点在上， ． 作于点， 点在上， （ ）．（填推理的依据）． 14．如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（2025·北京）小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：如图， ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②作直线． 所以直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线N上， ∴．（ ① ）（填推理的依据） ∴ ② ② ． ∵， ∴， ③ ∴． ∴．（ ④ ）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． 1．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；②分别以点F，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点E，交于点O，连接．若，，则四边形的面积为 ． 2．（2024·北京海淀）如图，已知是一个锐角，以点O为圆心，分别交、于点A、B，再分别以点A、B为圆心长为半径画弧，两弧交于点C，过点作，交射线于点D，过点D作，则 ．    3．（2023·北京怀柔）已知中，，M是BC的中点．如图． （1）以M为圆心．MB为半径，作半圆M﹔ （2）分别以B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于点D； （3）连接AM，AD，CD； （4）作线段CD的中垂线，分别交线段CD于点F，半圆M于点G，连接GC； （5）以点G为圆心，线段GC为半径，作． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中： ①点A在半圆M上；②；③；④；⑤；⑥．一定正确的是 ． 4．（2024·北京平谷）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．    （1）依据题意，补全图形（尺规作图，保留痕迹）； （2）判断并证明：直线DE与⊙O的位置关系； （3）若AB=10，BC=8，求CE的长． 5．按要求作图： (1)如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，利用无刻度直尺画出这个圆的一条直径； (2)如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，BAC50，利用无刻度直尺在图中画一个含有50角的直角三角形； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； (4)如图4，AB与圆相切，且切点为点B，利用无刻度直尺在网格中找出点B的位置． 6．（2025·北京西城）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，． (1)请在以下证明过程中填入适当理由 证明：DE垂直平分AB （ ） （ ） 在中， ， （ ） 、是等腰三角形． (2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个互不重叠的等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)将下面的不等边三角形分割成5个互不重叠等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段） 7．（2025·北京）数学课堂中，老师带领同学们探究满足什么条件的三角形可以分割成两个等腰三角形． 探究一：小云发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小云设计的尺规作图过程． 作法：如图． ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D； ②作直线． 所以直线即为所求作的直线． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上． ∴．（______________）（填推理的依据） ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴___________， ∴和都是等腰三角形． 探究二：小红发现在中，，存在过点C的直线将分割成两个等腰三角形，请直接写出满足条件的的度数． 1．（2025·天津·中考真题）如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·中考真题）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·中考真题）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 双关联线段 【概念理解】 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段． 例如，下列各图中的线段与所在直线形成的夹角中有一个角是，若，则下列各图中的线段都是相应线段的双关联线段．   【问题解决】 问题1：如图，在矩形中，，若对角线与互为双关联线段，则________．   问题2：如图，在等边中，点D，E分别在边的延长线上，且，连接．   求证：线段是线段的双关联线段． 证明：延长交于点F． 是等边三角形， ． ， （依据）． ， ， ； …    任务： (1)问题1中的________，问题2中的依据是________________； (2)补全问题2的证明过程； (3)如图，点C在线段上，请在图3中作线段的双关联线段． （要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）． 4．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 5．（2025·河北·中考真题）综合与实践 ［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线． ［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分． ［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． ［探究］根据以上描述，解决下列问题． ［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线． (1)图中，矩形的周长为______； (2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； (3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求． (4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接． 当时，求的值； 当最大时，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $