第02讲 整式与因式分解（复习讲义，5考点20题型4重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与因式分解”专题，覆盖代数式概念、整式运算、化简求值、因式分解等中考核心考点，结合北京近三年中考考情构建知识网络，通过“考点解析-命题洞悉-重难突破-优题精选”流程，帮助学生系统梳理知识联系，突破幂的运算、乘法公式应用等难点。 亮点在于融入核心素养培养，如通过“利用代数式表示图形变化规律”提升抽象能力，借助“整体代入法化简求值”强化运算能力。设计基础巩固、能力提升、全国新趋势分层练习，配套真题变式训练，助力教师精准把控复习节奏，学生在有限时间内高效掌握解题方法，提升中考应考能力。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 代数式的有关概念 题型01列代数式 题型02代数式表示的实际意义 命题点二 整式的有关概念 题型01 单项式的系数与次数 题型02利用单项式的系数与次数求值 题型03多项式的项、项数与次数 题型04利用多项式的相关概念求值 命题点三 整式的运算 题型01 同类项 题型02去（添）括号 题型03整式的加减运算 题型04幂的运算 题型05整式乘除运算 题型06完全平方公式与平方差公式 题型07利用乘法公式的变形求值 命题点四 整式的化简求值 题型01 直接代入法 题型02整体代入法 题型03挖掘条件代入法 题型04利用“无关”求值 命题点五 因式分解 题型01 识别因式分解 题型02利用因式分解的性质求字母的值 题型03用合适的方法进行因式分解 05·重难突破·思维进阶难 29 突破一 利用代数式表示图形的变化规律 突破二 整式运算中错解、整除问题 突破三 乘法公式的验证 突破四 利用因式分解进行巧算 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 化简求值 北京卷 T19 北京卷 T19 北京卷 T19 能运用运算法则解题，掌握化简的方法，能进行分式、求方程根、乘法公式结合的题的化简。 因式分解 北京卷 T10 北京卷 T10 北京卷 T10 熟练掌握因式分解的方法。 1.提公因式法：ab+ac+ad=a(b+c+d) 2.公式法 （1）平方差公式法：a2−b2=(a+b)(a−b) （2）完全平方公式法：a2±2ab+b2=(a±b)2 命题预测 结合一次方程、二次方程的解，找到未知量或代数式的值，在式子的化简中，重点与分式的性质和整式化简密切相联系，最后采用整体法或直接代入法去求值。因式分解主要考察提公因式法和公式法。、因式分解和化简求值等情境考查题型一般以填空和计算题为主。注重计算过程和准确性。 考点一 代数式的有关概念 1.用字母表示数 用字母表示数：用字母或含有字母的式子表示数或数量关系. 【特别说明】用字母表示数具有的特征：任意性、限制性、确定性、一般性. 2. 代数式 代数式的定义：用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式.单个数或字母也是代数式. 3. 代数式书写规范 书写规范 举例 在代数式中如果出现乘号，通常将乘号写作“.”或省略不写，并且数字写在字母前面 写作或, 写作或 数字与数字相乘时，只能用“×”，不能省略或写成“.” 不能 写成35或 数字因数为带分数时，要化为假分数 要写成 除法运算一般写成的形式 写成或 数字因数为“1”或“”时，常省略“1” 写成 写成 若式子后面有单位且式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来 岁，千克等 4. 列代数式 列代数式：把问题中与数量有关的语句用含数字、字母和运算符号的式子表示出来. 1．（2025·北京西城·一模）某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是 ； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为 元（用含a的式子表示）． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 3．（2025·北京朝阳·模拟预测）有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为，较大一块的底面边长比大，较小一块的底面边长比小．已知金块的密度为，两金块的质量相差多少?若呢? 考点二 整式的有关概念 1. 单项式 单项式：由数和字母的积组成的代数式叫作单项式.单个字母或数也是单项式. 单项式的系数和次数 系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数. 【特别提醒】（1）单项式的系数只与数字因数有关，次数只与字母的指数有关. （2） 确定一个单项式的次数时，要注意： ①没有写指数的字母，实际上其指数是"1"，计算时不要将其遗漏； ②不要把系数的指数当作字母的指数一同计算. 2. 多项式 多项式：几个单项式的和叫作多项式。一个式子是多项式需具备两个条件：(1)式子中含有运算符号"+"或"-"；(2)分母中不含有字母. 多项式的项：在多项式里，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。一个多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式。 多项式的次数；一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。 3. 整式 整式：单项式与多项式统称为整式。 代数式、整式、单项式、多项式的关系：代数式包含整式，整式又分为单项式和多项式，其包含关系如图： 4. 代数式的值 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值。 求代数式值的步骤： （1）代入：将指定的数值代替代数式中的字母。 代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原。 （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果。 代数式的值是由所含字母的取值确定的，一般随着代数式中字母取值的变化而变化，所以求代数式的值时，在代入前必须写出"当......时"，表示代数式的值是在这种情况下求得的。 1．（2025·北京大兴·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组 ； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有 堆． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 考点三 整式的运算 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项。常数项与常数项是同类项。 判断同类项的方法： （1）同类项必须同时满足"两个相同": ①所含字母相同； ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可。 （2）是不是同类项有"两个无关": ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关。如3mn与-nm是同类项。 （3）同类项可以有两项，也可以有三项，四项或更多项，但至少有两项。 2. 合并同类项 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结合并同类项果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的一般步骤： (1)找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记); (2)运用加法交换律，加法结合律将多项式中的同类项结合； (3)利用合并同类项法则合并同类项； (4)写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 3. 去括号法则 (1)如果括号前面是"+"号，去括号时把括号连同它前面的"+"号去掉，括号内的各项都不改变符号。 (2)如果括号前面是"-"号，去括号时把括号连同它前面的"_"号去掉，括号内的各项都改变符号。 【补充】去多层括号的方法：先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号。有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号。 4. 添括号法则 (1)所添括号前面是"+"号，括到括号内的各项都不改变符号： (2)所添括号前面是"-"号，括到括号内的各项都改变符号。 5. 整式加减 （1）整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （2）整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简。 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子。三计算：依据有理数的运算法则进行计算。 （3）降(升)幂排列 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列。若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列。 6. 幂的运算 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加.（（都是正整数）） （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘.（（都是正整数）） （3）积的乘方：等于各因式乘方的积.（（为正整数）） （4）同底数幂相除：底数不变，底数相减.（（都是正整数，并且）） （5）零指数幂：，故 7. 整式乘法 （1） 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式. （2） 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式. （3） 单项式与多项式相乘：用单项式和多项式每一项分别相乘，再把所得的积相加. （4） 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. （5） 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 8. 完全平方公式 完全平方公式：. 几种常见的变形公式： 9. 平方差公式 平方差公式： 几种常见的变化： 1．（2025·北京昌平·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025北京通州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025北京石景山·期末）以下运算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点四 整式的化简求值 1. 直接代入法 用直接代入法求代数式的值可分三步： （1）当……时，即指出字母的值；（2）原式=……，即代入所给字母的值；（3）计算 2. 间接代入法 用间接代入法求代数式的值，要先计算出相关字母的值，再把求得的值代入代数式，计算出结果. 3. 整体代入法 给出一个含字母的代数式的值，当单个字母的值不能或不容易求出时，一般对给出的代数式或要求值的代数式进行适当变形，通过整体代入，实现快速求值。 1．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 2．（2025·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 3．（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 考点五 因式分解 1. 提公因式法 2. 公式法 （1） 平方差公式法： （2） 完全平方公式法： 1．（2025·北京·中考真题）分解因式： ． 2．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 3．（2023·北京·中考真题）分解因式：= . 命题点一 代数式的有关概念 ►题型01 列代数式 / 【典例】1．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【变式】1．（2025·甘肃天水·一模）在音乐中，一个音符的时长可以用整式来表示．全音符的时长设为，二分音符的时长是全音符时长的二分之一，即，四分音符的时长是全音符时长的四分之一，八分音符的时长是全音符时长的八分之一．若一首曲子中有m个四分音符和n个八分音符，那么这些音符的总时长T用整式表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． ►题型02 代数式表示的实际意义 / 【典例】1．（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【变式】1．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 2．（2025·河北邢台·模拟预测）关于代数式，下列选项中表述正确的是（    ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与的和 D．表示与的乘积 3．（2025·河北唐山·二模）关于代数式，下列表述正确的是（   ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与x的和 D．表示与x的乘积 命题点二 整式的有关概念 ►题型01 单项式的系数与次数 / 【典例】1．（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2026·江西·模拟预测）单项式的系数为 ． 2．（2025·河北邯郸·二模）在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 3．（2025·吉林白山·模拟预测）单项式的次数是 ． 题型02 利用单项式的系数与次数求值 / 【典例】1．（2025·甘肃定西·三模）若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 2．（2025·江苏）若单项式的系数为，次数为，则 ． 【变式】1．（2025·山东）已知单项式与的次数相同，则的值为 ． 2．20205·陕西）已知、是正整数，是含有字母和的五次单项式，则的最大值为 ． 3．（2025·全国）已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 题型03 多项式的项、项数与次数 / 【典例】1．（25-26·北京·期中）现有以下说法：①表示负数；②单项式的系数为，次数为；③多项式的常数项是；④多项式是四次三项式；⑤由，可得．其中正确的个数是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26·北京朝阳·期中）下列判断中正确的是（    ）． A．单项式的系数为 B．与是同类项，则a的值为2 C．多项式是三次三项式 D．多项式的常数项为5 【变式】1．（24-25·北京·期中）下列说法中正确的是（） A．单项式3的系数是，次数是4 B．的次数是2 C．32是二次三项式 D．单项式的系数是 2．（25-26·北京西城·期中）多项式是 次 项式，它的最高次项的系数为 ，常数项为 ． 3．（25-26·北京·期中）多项式是 次 项式，其中二次项系数是 ． 题型04 利用多项式的相关概念求值 / 【典例】1．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 2．（2025·陕西）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【变式】1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 2．（25-26七年级上·北京昌平·期中）已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 3．（2025·江苏无锡·期末）已知是关于，的七次三项式，则的值为 ． 命题点三 整式的运算 ►题型01 同类项 / 【典例】1．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）单项式和是同类项，则的值是（   ） A．13 B．3 C．9 D． 【变式】1．（24-25广东潮州·期中）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点在第 象限． 2．（2025·湖南张家界·一模）已知和是同类项，那么 ． 3．（24-25九年级下·湖南株洲·开学考试）若单项式与是同类项，则 ． 题型02 去（添）括号 / 【典例】1．（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 2．（2025·河北·模拟预测）下列各式从左向右变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西大同·三模）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 题型03 整式的加减运算 / 【典例】1．（2025·陕西咸阳·二模）计算： 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知多项式 ， (1)求； (2)求． 【变式】1．（23-24·海南省直辖县级单位·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 2．（25-26北京·期中）化简： (1)； (2)． 3．（25-26·河南许昌·期中）化简： (1)． (2)． 题型04 幂的运算 / 【典例】1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式】1．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型05 整式乘除运算 / 【典例】1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）计算： (1) (2) 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算． (1)； 【变式】1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2) 2．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)请你帮小明求出多项式； (2)小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 题型06 完全平方公式与平方差公式 / 【典例】1．（2025·江苏无锡·一模）若是一个完全平方式，则 ． 2．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【变式】1．（2025·吉林松原·模拟预测）若，则 ． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知代数式可以写成的形式，则 ． 3．（2025·福建三明·开学考试）观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 题型07 利用乘法公式的变形求值 / 【典例】1．（24-25八年级下·吉林延边·期末）已知，，求的值． 2．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值： (1)； (2) (3) 【变式】1．（2023·山东枣庄·三模）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即 可得：， 所以：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步尝试 已知，，分别计算和的值； (2)拓展应用 ， ． 请利用上述结论，结合阅读材料解答下题． 已知，，求的值． 命题点四 整式的化简求值 ►题型01 直接代入法 / 【典例】1．（24-25七年级上·河南郑州·期中）化简并求值：，其中，． 2．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 【变式】1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）化简求值：，其中 3．（2024·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 题型02 整体代入法 / 【典例】1．（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（2024·河北石家庄·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·安徽·模拟预测）若，则多项式的值为(   ) A．9 B． C．15 D． 2．（2025·广东肇庆·一模）已知，那么的值为 ． 3．（2025·江苏泰州·一模）已知，则代数式的值为 ． 题型03 挖掘条件代入法 / 【典例】1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）先化简再求值： ，其中． 2．（22-23七年级上·四川广安·期中）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 【变式】1．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）先化简，再求值：，其中． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）已知代数式，代数式，代数式． (1)求代数式； (2)当时，求代数式的值． 3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）先化简，再求值：的值，其中． 题型04 利用“无关”求值 / 【典例】1．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）若代数式的值与字母x所取的值无关， (1)求a、b的值； (2)求代数式的值． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式】1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简代数式M． (2)当，时，求代数式M的值． (3)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 2．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与y无关，求此时的值？ 3．（25-26七年级上·福建莆田·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出A的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 命题点五 因式分解 ►题型01 识别因式分解 / 【典例】1．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列多项式能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． ►题型02 利用因式分解的性质求字母的值 / 【典例】1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【变式】1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·一模）若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 3．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． ►题型03 用合适的方法进行因式分解 / 【典例】1．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) (4)． 2．（25-26七年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式】1．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．（25-26八年级上·北京·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 突破一 利用代数式表示图形的变化规律 【典例】1．（2024·北京·模拟预测）有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字 2．（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 【变式】1．（2024·北京·模拟预测）下表是周五下午班四节待排的选修课课程表，其中排课需满足以下两点要求：①每班不能3节连续安排选修课；②同一节课最多安排3个班级上选修课．根据以上要求，该课程表最多可排的选修课节数为（    ） 班级/课程 1班 2班 3班 4班 第1节 第2节 第3节 第4节 A．12 B．11 C．10 D．9 2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 突破二 整式运算中错解、整除问题 【典例】1．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 2．（2025·河北唐山·三模）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” (1)嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ (2)小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 【变式】1．（2025·河北唐山·二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除． 例：，9能被3整除，能被3整除． 尝试 试说明537是否能被3整除； 验证 设是一个三位数，若能被3整除，则也能被3整除； 应用 直接写出三位数能被3整除的概率． 2．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 突破三 乘法公式的验证 【典例】1．（2025·陕西西）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 2．（2025·福建泉州）按要求解决下面问题． (1)比较与的大小．（“<”、“>”、“=”） ①当，时，________ ②当，时，________ (2)根据（1）中计算结果，猜想与的大小关系，并加以证明． (3)如图，点在线段上，以，为边长，在线段的两侧分别作正方形与正方形，并连结．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2，求的最小值． 【变式】1．（2025·四川）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 2．（2025·安徽·模拟预测）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？ 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法： 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________． 突破四 利用因式分解进行巧算 【典例】1．（2025·全国）计算：． 2．（2025·上海）简便计算： 【变式】1．（2025·上海）简便计算： 2．（2025·吉林长春）利用公式简便运算： (1)； (2)． 1．（2024·北京·模拟预测）已知方程组，则代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·北京东城·二模）在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 4．（2025·北京·模拟预测）如图是一个由五个图形拼成的平行四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，其中两个等腰直角三角形的面积为，另两个直角三角形的面积都为，中间正方形的面积为，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 6．（2023·北京顺义·二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ． 7．（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值． 8．（2025·北京丰台·一模）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 1．（2024·北京大兴·一模）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 3．（2025·北京大兴·一模）已知边长为a的正方形，过点B的直线分别交的延长线于点D，E，设，，，，正方形的面积分别为，，．给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．（2025·北京·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为方程的一个根，求代数式的值． 5．（2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 1．（2025·广西·一模）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 5．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 6．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 7．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 8．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 16 命题点一 代数式的有关概念 题型01列代数式 题型02代数式表示的实际意义 命题点二 整式的有关概念 题型01 单项式的系数与次数 题型02利用单项式的系数与次数求值 题型03多项式的项、项数与次数 题型04利用多项式的相关概念求值 命题点三 整式的运算 题型01 同类项 题型02去（添）括号 题型03整式的加减运算 题型04幂的运算 题型05整式乘除运算 题型06完全平方公式与平方差公式 题型07利用乘法公式的变形求值 命题点四 整式的化简求值 题型01 直接代入法 题型02整体代入法 题型03挖掘条件代入法 题型04利用“无关”求值 命题点五 因式分解 题型01 识别因式分解 题型02利用因式分解的性质求字母的值 题型03用合适的方法进行因式分解 05·重难突破·思维进阶难 70 突破一 利用代数式表示图形的变化规律 突破二 整式运算中错解、整除问题 突破三 乘法公式的验证 突破四 利用因式分解进行巧算 06·优题精选·练能提分 86 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 化简求值 北京卷 T19 北京卷 T19 北京卷 T19 能运用运算法则解题，掌握化简的方法，能进行分式、求方程根、乘法公式结合的题的化简。 因式分解 北京卷 T10 北京卷 T10 北京卷 T10 熟练掌握因式分解的方法。 1.提公因式法：ab+ac+ad=a(b+c+d) 2.公式法 （1）平方差公式法：a2−b2=(a+b)(a−b) （2）完全平方公式法：a2±2ab+b2=(a±b)2 命题预测 结合一次方程、二次方程的解，找到未知量或代数式的值，在式子的化简中，重点与分式的性质和整式化简密切相联系，最后采用整体法或直接代入法去求值。因式分解主要考察提公因式法和公式法。、因式分解和化简求值等情境考查题型一般以填空和计算题为主。注重计算过程和准确性。 考点一 代数式的有关概念 1.用字母表示数 用字母表示数：用字母或含有字母的式子表示数或数量关系. 【特别说明】用字母表示数具有的特征：任意性、限制性、确定性、一般性. 2. 代数式 代数式的定义：用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式.单个数或字母也是代数式. 3. 代数式书写规范 书写规范 举例 在代数式中如果出现乘号，通常将乘号写作“.”或省略不写，并且数字写在字母前面 写作或, 写作或 数字与数字相乘时，只能用“×”，不能省略或写成“.” 不能 写成35或 数字因数为带分数时，要化为假分数 要写成 除法运算一般写成的形式 写成或 数字因数为“1”或“”时，常省略“1” 写成 写成 若式子后面有单位且式子是和或差的形式，应把式子用括号括起来 岁，千克等 4. 列代数式 列代数式：把问题中与数量有关的语句用含数字、字母和运算符号的式子表示出来. 1．（2025·北京西城·一模）某公园有四处景点需要修复，修复每个景点需要一定数量的工人连续数天完成（每名工人每天的工作量相同）．修复每个景点所需的工人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 景点 A B C D 工人数 4 3 2 5 天数 3 4 5 2 公园计划聘用m人，用n天的时间完成所有修复工作． （1）若，则n的最小值是 ； （2）假设每名工人每天的工资为a元，且一旦聘用，在完成所有景点修复工作前，每天无论是否工作都要支付工资，不得中途辞退，则支付给工人的工资总额最少为 元（用含a的式子表示）． 【答案】 8 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据工作总量计算即可； （2）列代数式，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：景点D：第1-2天，使用5人， 景点C：第1-5天，使用2人， 景点B：第3-6天，使用3人， 景点A：第6-8天，使用4人， 每天的人数安排如下： 第1-2天，D（5人）+C（2人）=7人， 第3-5天，B（3人）+C（2人）=5人， 第6天，B（3人）+A（4人）=7人， 第7-8天，A（4人）=4人， 所有景点在第8天完成，因此 的最小值为8天， 故答案为：8 （2）为了找到支付给工人的工资总额的最小值，需要安排四个景点的修复工作，使得在n天内完成，并且每天所需的工人数m尽可能小，从而使得最小． 每个景点的修复需求如下： 景点A：4人，3天 景点B：3人，4天 景点C：2人，5天 景点D：5人，2天 通过分析，我们可以找到一种最优的安排方式： 景点D在第1-2天进行，需要5人； 景点B在第1-4天进行，需要3人； 景点C在第1-5天进行，需要2人； 景点A在第3-5天进行，需要4人． 这样安排后，每天的工人需求如下： 第1-2天：5（D） + 3（B） + 2（C） = 10人； 第3-4天：3（B） + 4（A） + 2（C） = 9人； 第5天：4（A） + 2（C） = 6人． 总天数n=5天，最大工人数m=10人．因此，工资总额为元． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）临近端午，某超市准备购进小枣粽、豆沙粽、肉粽共200袋（每袋均为同一品种的粽子），其中小枣粽每袋6个，豆沙粽每袋4个，肉粽每袋2个．设购进的小枣粽袋，豆沙粽袋． (1)购进的肉粽的个数为________个（用含，的代数式表示）； (2)为了促销，超市计划将所购200袋粽子组合包装，使得其恰好全部制成，两种套装销售，套装为每袋小枣粽4个，豆沙粽2个；套装为每袋小枣粽2个，肉粽2个． ①用等式表示，的数量关系为________； ②若肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的，则豆沙粽最多购进多少袋？ 【答案】(1) (2)①；②豆沙粽最多购进40袋 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是正确的表示各种粽子的袋数，个数，根据肉粽的进货数量的要求列出不等式求解验证． （1）用200减去小枣粽和豆沙粽的袋数得到肉粽的袋数，再乘以2即可得到答案； （2）根据题意可得购进的小枣粽的个数为个，豆沙粽的个数为个，从而得到套装为套，套装为套，再由套装每袋小枣粽4个，B套装每袋小枣粽2个，可得；②根据题意可得购进的肉粽袋数为袋，然后根据肉粽的进货袋数不少于三种粽子进货总袋数的建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，购进的肉粽的个数为； （2）解：①由题意得， ∴； ②由题意可知，， 由①可知，即， ∴， 解得 答：豆沙粽最多购进40袋． 3．（2025·北京朝阳·模拟预测）有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为，较大一块的底面边长比大，较小一块的底面边长比小．已知金块的密度为，两金块的质量相差多少?若呢? 【答案】两金块的质量相差，当时，两金块的质量相差 【分析】考查列代数式及完全平方公式，根据数量关系正确计算是解答的关键． 先用代数式分别表示出长方体的体积和质量，再求差即可，把，代入求值即可． 【详解】较大一块长方体金块的体积是， 较小一块长方体金块的体积是． 由题意知，两金块相差的质量为． 当时，． 故两金块的质量相差． 考点二 整式的有关概念 1. 单项式 单项式：由数和字母的积组成的代数式叫作单项式.单个字母或数也是单项式. 单项式的系数和次数 系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数. 次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫作这个单项式的次数. 【特别提醒】（1）单项式的系数只与数字因数有关，次数只与字母的指数有关. （2） 确定一个单项式的次数时，要注意： ①没有写指数的字母，实际上其指数是"1"，计算时不要将其遗漏； ②不要把系数的指数当作字母的指数一同计算. 2. 多项式 多项式：几个单项式的和叫作多项式。一个式子是多项式需具备两个条件：(1)式子中含有运算符号"+"或"-"；(2)分母中不含有字母. 多项式的项：在多项式里，每个单项式叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项。一个多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式。 多项式的次数；一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数。 3. 整式 整式：单项式与多项式统称为整式。 代数式、整式、单项式、多项式的关系：代数式包含整式，整式又分为单项式和多项式，其包含关系如图： 4. 代数式的值 代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中字母的运算关系计算得出的结果叫作代数式的值。 求代数式值的步骤： （1）代入：将指定的数值代替代数式中的字母。 代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原。 （2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果。 代数式的值是由所含字母的取值确定的，一般随着代数式中字母取值的变化而变化，所以求代数式的值时，在代入前必须写出"当......时"，表示代数式的值是在这种情况下求得的。 1．（2025·北京大兴·一模）小瑞同学打开一盒全新的扑克牌，里面有54张普通牌和一张广告牌．他要用这些牌玩一个游戏，先将所有的牌随机分成五堆，清点后分别为6张，11张，16张，13张，9张，将每堆牌的张数由小到大排序后用有序数组记为（6，9，11，13，16）．接下来开始进行第一次操作：从每堆牌中分别抽取一张，抽出的牌组成新的一堆牌，这时将每堆牌的张数由小到大进行排序，记录下新的有序数组（若在某次操作中某一堆牌抽取后剩余牌的张数为0时，此时0不写入该有序数组，该堆自动消失）．重复上述方法进行第二次操作，第三次操作…… （1）写出第二次操作后记录的有序数组 ； （2）经过若干次这样的操作后，小瑞同学发现记录的有序数组不再发生变化，这时的牌有 堆． 【答案】 （4，4，6，7，9，11，14） 10 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给操作方式依次写出所得有序数组并发现规律是解题的关键． （1）根据所给操作方法，写出第二次操作后的记录即可解决问题． （2）根据所给操作方法，依次写出所得有序数组，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第一次操作后的有序数组为（5，5，8，10，12，15）； 第二次操作后的有序数组为（4，4，6，7，9，11，14）； 第三次操作后的有序数组为（3，3，5，6，7，8，10，13）； 第四次操作后的有序数组为（2，2，4，5，6，7，8，9，12）； 第五次操作后的有序数组为（1，1，3，4，5，6，7，8，9，11）； 第六次操作后的有序数组为（2，3，4，5，6，7，8，10，10）； ， （2，3，4，5，6，7，8，9，11）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； （1，2，3，4，5，6，7，8，9，10）； ， 所以当有序数组不再变化时，这时牌有10堆． 故答案为：（4，4，6，7，9，11，14）；10． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 考点三 整式的运算 1. 同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫作同类项。常数项与常数项是同类项。 判断同类项的方法： （1）同类项必须同时满足"两个相同": ①所含字母相同； ②相同字母的指数也分别相同，两者缺一不可。 （2）是不是同类项有"两个无关": ①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关。如3mn与-nm是同类项。 （3）同类项可以有两项，也可以有三项，四项或更多项，但至少有两项。 2. 合并同类项 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结合并同类项果作为系数，字母和字母的指数不变。 合并同类项的一般步骤： (1)找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记); (2)运用加法交换律，加法结合律将多项式中的同类项结合； (3)利用合并同类项法则合并同类项； (4)写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式). 3. 去括号法则 (1)如果括号前面是"+"号，去括号时把括号连同它前面的"+"号去掉，括号内的各项都不改变符号。 (2)如果括号前面是"-"号，去括号时把括号连同它前面的"_"号去掉，括号内的各项都改变符号。 【补充】去多层括号的方法：先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号。有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号。 4. 添括号法则 (1)所添括号前面是"+"号，括到括号内的各项都不改变符号： (2)所添括号前面是"-"号，括到括号内的各项都改变符号。 5. 整式加减 （1）整式加减的运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 （2）整式的化简求值的步骤 一化：利用整式加减的运算法则将整式化简。 二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子。三计算：依据有理数的运算法则进行计算。 （3）降(升)幂排列 我们常常把一个多项式各项的位置按照其中某一字母指数的大小顺序来排列。若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的降幂排列；若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式关于这个字母的升幂排列。 6. 幂的运算 （1）同底数幂相乘：底数不变，指数相加.（（都是正整数）） （2）幂的乘方：底数不变，指数相乘.（（都是正整数）） （3）积的乘方：等于各因式乘方的积.（（为正整数）） （4）同底数幂相除：底数不变，底数相减.（（都是正整数，并且）） （5）零指数幂：，故 7. 整式乘法 （1） 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式. （2） 单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式. （3） 单项式与多项式相乘：用单项式和多项式每一项分别相乘，再把所得的积相加. （4） 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. （5） 多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加. 8. 完全平方公式 完全平方公式：. 几种常见的变形公式： 9. 平方差公式 平方差公式： 几种常见的变化： 1．（2025·北京昌平·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的除法的运算法则计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025北京通州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂相除，根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025北京石景山·期末）以下运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方计算即可． 【详解】解：A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. ，错误，不符合题意； D. ，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关键． 考点四 整式的化简求值 1. 直接代入法 用直接代入法求代数式的值可分三步： （1）当……时，即指出字母的值；（2）原式=……，即代入所给字母的值；（3）计算 2. 间接代入法 用间接代入法求代数式的值，要先计算出相关字母的值，再把求得的值代入代数式，计算出结果. 3. 整体代入法 给出一个含字母的代数式的值，当单个字母的值不能或不容易求出时，一般对给出的代数式或要求值的代数式进行适当变形，通过整体代入，实现快速求值。 1．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 2．（2025·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了代数式求值，先把代数式按乘法公式展开，然后合并同类项，再分组后根据完全平方式变形出，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2025·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方差公式，提公因式法因式分解等知识点，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先整理，利用完全平方差公式和提公因式法因式分解化简原分式为，整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 考点五 因式分解 1. 提公因式法 2. 公式法 （1） 平方差公式法： （2） 完全平方公式法： 1．（2025·北京·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．（2024·北京·中考真题）分解因式： . 【答案】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 3．（2023·北京·中考真题）分解因式：= . 【答案】 【详解】试题分析：原式提公因式得：y（x2-y2）= 考点：分解因式 点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式提公因式分解因式等知识点的掌握．需要运用平方差公式． 命题点一 代数式的有关概念 ►题型01 列代数式 / 【典例】1．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 2．（2024·北京门头沟·一模）“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为a米，则该门洞的通过面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积，代数式表示式，正方形面积，由门洞的通过面积等于正方形的面积加两个圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：该门洞的通过面积为 (平方米)， 故答案为：． 【变式】1．（2025·甘肃天水·一模）在音乐中，一个音符的时长可以用整式来表示．全音符的时长设为，二分音符的时长是全音符时长的二分之一，即，四分音符的时长是全音符时长的四分之一，八分音符的时长是全音符时长的八分之一．若一首曲子中有m个四分音符和n个八分音符，那么这些音符的总时长T用整式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据一首曲子中有m个四分音符和n个八分音符，总时长为T列代数式即可，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：依题意，得：， 故选：A． 2．（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为，十位上的数字是百位上的数字的倍，个位上的数字比百位上的数字少，这个三位数用含有的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，根据题意，分别用表示三位数的各个位上的数字，再按数位组合成代数式并化简即可，依据题意，正确得出十位上和个位上的数字是解题关键． 【详解】解：∵百位数字为，对应数值为，十位数字是百位的倍，即，对应数值为，个位数字比百位少，即，对应数值为， ∴这个三位数为， 故选：． 3．（2025·安徽滁州·三模）某省2024年上半年的总值为a万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长，预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长．若2025年上半年该省的总值为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是理解增长率的含义进行推导．先利用2024年上半年的总值将2024年下半年的总值表示出来，再表示出2025年上半年的总值即可得到与的关系式． 【详解】解：年上半年的总值为万亿元人民币，2024年下半年的总值比2024年上半年增长， 年下半年的总值为万亿元人民币， 预计2025年上半年的总值比2024年下半年增长， 预计2025年上半年的总值为万亿元人民币， 年上半年该省的总值为万亿元人民币， ． 故选：． ►题型02 代数式表示的实际意义 / 【典例】1．（2024·四川广安·中考真题）下列选项中，可以用代数式“”表示的是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义．根据代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略． 【详解】解：代数式可以表述为：与的积，或者3与的积的相反数．故A、B、D选项错误，C选项正确． 故选：C． 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（   ） A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，分别表示两天的销售量并求和，确定代数式“”的实际意义． 【详解】解： 第一天销售量为件．第二天销售量为件． 将两天的销售量相加，即 ∴因此，代数式“”表示两天共售出吉祥物的数量， 故选：C． 【变式】1．（2025·新疆·模拟预测）随着新疆旅游业的持续升温，喀什景区凭借其独特的人文风情与壮丽景色，成为了国内外游客心驰神往的热门打卡点．国庆假期第一天网络预约游客人，第二天网络预约游客人数比第一天的2倍多100人，则代数式“”的实际意义是（   ） A．第一天比第二天多预约的游客人数 B．第二天比第一天多预约的游客人数 C．两天网络预约游客的总人数 D．第二天网络预约的游客人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据第一天网络预约游客a人，得到第二天网络预约游客人，从而确定答案，准确用代数式表示相关数量是解决问题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客人，第二天人数为第一天的2倍加100，即． A：第一天比第二天多的人数应为，与代数式不符． B：第二天比第一天多的人数为，符合代数式． C：两天总人数为，不符． D：第二天人数为，不符． 故选：B． 2．（2025·河北邢台·模拟预测）关于代数式，下列选项中表述正确的是（    ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与的和 D．表示与的乘积 【答案】B 【分析】本题考查代数式的意义．根据代数式意义判断即可． 【详解】解：表示与的乘积， 故选：B． 3．（2025·河北唐山·二模）关于代数式，下列表述正确的是（   ） A．表示与的和 B．表示与的乘积 C．表示与x的和 D．表示与x的乘积 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，分别列出各选项中的代数式，进行判断即可． 【详解】解：A、可列代数式为：，不符合题意； B、可列代数式为：，不符合题意； C、可列代数式为：，不符合题意； D、可列代数式为：，符合题意； 故选D． 命题点二 整式的有关概念 ►题型01 单项式的系数与次数 / 【典例】1．（2025·上海静安·二模）单项式的系数是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式的系数的概念求解即可． 【详解】解：单项式的系数是， 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）单项式的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，单项式的系数是除了字母以外的所有数字因素，据此即可解答． 【详解】解：单项式中除了字母以外的数字因素是， ∴它的系数为， 故选：C． 【变式】1．（2026·江西·模拟预测）单项式的系数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式的系数，单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，据此进行解答即可． 【详解】解：单项式的系数为． 故答案为： 2．（2025·河北邯郸·二模）在式子中，所有单项式的系数的积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义，单项式的系数的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，由此可确定单项式和单项式的系数，进而可得答案． 【详解】解：在所给的式子中，是单项式的为和，其系数分别为2和， ∴所有单项式的系数的积为， 故答案为：． 3．（2025·吉林白山·模拟预测）单项式的次数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的次数，根据单项式的次数的定义：所有字母的指数和，即可得出答案． 【详解】解：单项式的次数为：， 故答案为：5． 题型02 利用单项式的系数与次数求值 / 【典例】1．（2025·甘肃定西·三模）若单项式的系数是m，次数是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式、代数式求值，熟知单项式的系数、次数是解题的关键．数字与字母的积叫做单项式，其中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，单独的一个数或字母也是单项式，据此求得m，n值即可求解． 【详解】解：由题意，单项式的系数，次数是， ∴， 2．（2025·江苏）若单项式的系数为，次数为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数和次数，熟练掌握单项式系数和次数的定义是解题的关键．根据项式系数和次数的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东）已知单项式与的次数相同，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查单项式，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据单项式的次数的定义求得m的值后代入中计算即可． 【详解】解：单项式与的次数相同， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 2．20205·陕西）已知、是正整数，是含有字母和的五次单项式，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】根据单项式的次数的概念可得，结合、是正整数可确定、的四种可能结果，然后分别代入求解即可获得答案． 【详解】解：∵是含有字母和的五次单项式， ∴， 又∵、是正整数， ∴或或或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了单项式的次数、代数式求值等知识，理解并掌握单项式的相关概念是解题关键． 3．（2025·全国）已知单项式与的次数相同． (1)求的值． (2)当时，求单项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式的次数的定义，即可得到一个关于 m的方程，解方程即可求得m的值； （2）首先根据（1）的结果求得代数式，然后把x，y的值代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：因为，所以． 当，时，原式． 【点睛】本题考查了单项式的次数的定义，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据定义求得m的值是解题关键． 题型03 多项式的项、项数与次数 / 【典例】1．（25-26·北京·期中）现有以下说法：①表示负数；②单项式的系数为，次数为；③多项式的常数项是；④多项式是四次三项式；⑤由，可得．其中正确的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的概念，包括负数的表示、单项式的系数和次数、多项式的常数项和次数、等式的性质．单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指一个单项式中，所有字母的指数的和．多项式的项数是指在多项式中单项式的个数，多项式的次数是指次数最高的项的次数．通过逐一分析每个说法的正确性即可得出答案． 【详解】①当为正数时，表示负数；但当为负数时，表示正数，故①错误； ②单项式 的系数为 ，次数为 ，故②正确； ③多项式 ，常数项为 ，不是，故③错误； ④多项式 中，各项次数分别为、、，最高次项为次，故是五次三项式，故④错误； ⑤由 ，移项得 ，故⑤正确； 正确的有②和⑤，共2个． 故答案为B． 2．（25-26·北京朝阳·期中）下列判断中正确的是（    ）． A．单项式的系数为 B．与是同类项，则a的值为2 C．多项式是三次三项式 D．多项式的常数项为5 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，单项式的定义以及系数定义，多项式的项和次数的定义，熟练掌握相关知识点是解题关键．根据同类项的定义，单项式的定义以及系数定义，多项式的项和次数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数应包括常数π，应为，而非，故本选项不符合题意； B、与是同类项，则相同字母指数需相等，即，而非2，故本选项不符合题意； C、多项式是三次三项式，正确，故本选项符合题意； D、多项式 的常数项为，而非5，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式】1．（24-25·北京·期中）下列说法中正确的是（） A．单项式3的系数是，次数是4 B．的次数是2 C．32是二次三项式 D．单项式的系数是 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项数的概念． 根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵单项式的系数是数字因数（包括符号），次数是所有字母指数的和；多项式的次数是最高次项的次数，项数是单项式的个数． 对于A：单项式，系数为，次数为，正确； 对于B：单项式，次数为，错误； 对于C：多项式，项次数为，次数为2，次数为1，故为三次三项式，不是二次三项式，错误； 对于D：单项式，系数为，错误． 故选A． 2．（25-26·北京西城·期中）多项式是 次 项式，它的最高次项的系数为 ，常数项为 ． 【答案】 四 四 2 【分析】本题考查多项式的次数、项数、最高次项的系数和常数项的概念，根据多项式的定义逐一确定． 【详解】解：多项式是四次四项式，它的最高次项的系数为，常数项为2． 故答案为：四，四，，2． 3．（25-26·北京·期中）多项式是 次 项式，其中二次项系数是 ． 【答案】 五 三 【分析】本题考查了多项式的项、次数等问题．根据多项式的次数、项数和系数的定义求解即可． 【详解】解：多项式中，最高次项的次数为，因此是五次式；共有三个单项式，因此是三项式；二次项是，其系数为． 故答案为：①五；②三；③． 题型04 利用多项式的相关概念求值 / 【典例】1．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y的多项式是七次四项式，求m和n的值； （2）关于x，y的多项式不含三次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括多项式的次数、项数以及不含特定项的条件，解决此类问题的关键是理解多项式中每一项的次数，并根据题目给出的条件建立方程． （1）多项式为七次四项式，这意味着多项式中次数最高的项的次数是7，且多项式有四项，由此可得出的次数是，的次数是3，的次数是5，的次数是2，的次数是0，由多项式的次数是7可得 ，得出m的值，同时为保证多项式是四项式可得，得出n的值即可； （2）根据题意，多项式中含有三次项有和，为了使多项式不含三次项，需满足：，，由此可得a和b的值，进而求得的值． 【详解】解：（1）根据题意可得：， 解得． （2）根据题意可得：， 解得， ∴． 2．（2025·陕西）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于x，y的七次五项式， ∴， 即， 故该多项式为， ∴该多项式的三次项是． 【变式】1．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）已知多项式是关于x、y的四次四项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的概念，代数式求值． 根据多项式的概念求出，进而代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x、y的四次四项式， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26七年级上·北京昌平·期中）已知多项式是五次三项式，是该多项式二次项的系数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，根据多项式为五次三项式，确定第二项的次数为，求出，再识别二次项及其系数，求出，最后代入计算． 【详解】解：多项式 是五次三项式， 因此最高次项的次数为， 第一项 的次数为， 第三项 的次数为， 故第二项 的次数必须为， 即 ， 解得， 二次项是次数为的项，即第三项，其系数为 ， 故， 因此，． 故答案为：． 3．（2025·江苏无锡·期末）已知是关于，的七次三项式，则的值为 ． 【答案】或/36或16 【分析】本题考查了多项式的定义，代数式求值；熟练掌握“多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，多项式中单项式的个数叫做多项式的项数”是解题的关键． 根据多项式的定义可列出关系式，求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于，的七次三项式， ∴，， 解得：或， 当时，代入可得：原式； 当时，代入可得：原式； 故答案为：或． 命题点三 整式的运算 ►题型01 同类项 / 【典例】1．（2025·广东佛山·三模）若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）单项式和是同类项，则的值是（   ） A．13 B．3 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 【变式】1．（24-25广东潮州·期中）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中，点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可． 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 2．（2025·湖南张家界·一模）已知和是同类项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，解二元一次方程组，代数式求值，由同类项的定义可得，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·湖南株洲·开学考试）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ∴，， ∴． 故答案为：． 题型02 去（添）括号 / 【典例】1．（2025·上海·模拟预测）化简： = ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意去括号时变号即可； 【详解】解：原式， 故答案为： 2．（2025·河北·模拟预测）下列各式从左向右变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号与添括号，完全平方公式与算术平方根，根据去括号与添括号法则以及完全平方公式，算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式】1．（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 2．（2025·山西大同·三模）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，单项式乘以多项式，多项式除以单项式以及平方差公式，根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，符合题意； C. ，故该选项正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）与的结果相等的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减运算，根据加法交换律和添括号法则，进行判断即可． 【详解】解：； 故选B． 题型03 整式的加减运算 / 【典例】1．（2025·陕西咸阳·二模）计算： 【答案】 【分析】先去括号，后合并同类项解答即可. 本题考查了整式的加减，去括号，合并同类项，熟练掌握去括号法则是解题的关键. 【详解】解：                                          2．（2024·贵州贵阳·一模）已知多项式 ， (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加法运算法则计算即可． （2）根据整式的减法法则计算即可． 【详解】（1）                  ； （2）    ． 【变式】1．（23-24·海南省直辖县级单位·期末）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意计算的准确性即可. （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 2．（25-26北京·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）合并同类项即可； （）先去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26·河南许昌·期中）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的化简求值问题．注意计算的准确性． （1）利用整式的加减混合运算法则即可求解； （2）利用整式的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型04 幂的运算 / 【典例】1．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． （1）先算乘方，后算加减； （2）先算乘方，再算除法，最后算加法； （3）先算平方，再算乘法，最后算减法； （4）利用积的乘方公式，计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； ； （4）解： ． 【变式】1．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查幂的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，乘法公式的运用，掌握相关的运算法则正确计算是解题的关键． （1）先算积的乘方，再算单项式的除法，然后合并同类项即可； （2）先变形，然后根据完全平方公式计算即可； （3）利用积的乘方的逆运算进行简便计算，然后按照先乘方，再乘法，最后加减法计算即可； （4）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）按要求计算下面各题： (1)已知，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值． 【答案】(1)64 (2)56 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用幂的乘方，同底数幂的乘法法则，整理，再将整体代入运算即可； （2）利用积的乘方，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解： 当， 则原式． （2）解： 当， 则原式． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了幂的运算法则、因式分解、分式的加减等知识，根据运算法则进行计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 题型05 整式乘除运算 / 【典例】1．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用单项式除以单项式、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则即可求解； （2）首先计算括号内的多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并同类项，然后计算多项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级上·上海·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式先根据单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式混合运算、幂的乘方、积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方、幂的乘方化简，然后再算乘除，最后合并同类项即可； （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（22-23七年级下·河南郑州·阶段练习）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【答案】需要杯子个 【分析】本题主要考查整式的混合运算．要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【详解】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）， 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)请你帮小明求出多项式； (2)小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ； （2）解：根据题意得， ， 所以，． 题型06 完全平方公式与平方差公式 / 【典例】1．（2025·江苏无锡·一模）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并灵活应用． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 或 解得或， 故答案为：11或． 2．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【变式】1．（2025·吉林松原·模拟预测）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是关键． 根据，，由得，即可求解． 【详解】解：∵，， 由得， ∴ 故答案为：1． 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知代数式可以写成的形式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵代数式可以写成的形式， ∴， 解得，或， 故答案为：10或． 3．（2025·福建三明·开学考试）观察：已知． … （1）猜想： ； （2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值： ① ； ② ； （3）拓广：① ； ②判断的值的个位数是几？并说明你的理由． 【答案】（1）；（2）①  ；② ；（3）① ；② 个位上数字是7，理由见解析． 【分析】（1）根据一系列等式总结出规律即可； （2）① 令，代入上面规律计算即可； （2）② 将式子变形为：，计算即可； （3）① 提取，将原式变形为：，按照规律计算即可； （3）② 由，…结果是以2、4、8、6，，的个位数字为8，进一步得到结果． 【详解】解：（1） （2）① = = ② = = （3）① = = = ② = = ∵…结果是以2、4、8、6循环 ∴ ∴的个位数字为8， ∴的个位数字为7 【点睛】本题考查整式混合运算的应用，找出本题的规律是解题关键． 题型07 利用乘法公式的变形求值 / 【典例】1．（24-25八年级下·吉林延边·期末）已知，，求的值． 【答案】10 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的乘法，二次根式的加减混合运算，完全平方公式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先根据a，b的值，根据二次根式的乘法以及加法计算出和，再进行异分母分式加法，最后代入求值计算即可． 【详解】解：， ，． ． 2．（2025·江苏无锡·一模）已知．求下列各式的值： (1)； (2) (3) 【答案】(1)7 (2)8 (3)47 【分析】本题主要考查了完全平方公式，利用配方法对整式进行整理，解题的关键是熟练掌握配方法，并灵活应用． （1）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （2）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可； （3）利用配方法对原式进行整理，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， 将代入上式得： 原式； （2）解：， 将代入上式得： 原式； （3）解： ， 将代入上式得： 原式． 【变式】1．（2023·山东枣庄·三模）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)47 【分析】（1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）∵ ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键． 2．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下面的解题过程： (1)感知：已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为__________． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (2)应用：求，求的值； (3)拓展：若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路． （1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案； （3）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴； ∴． （3）解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下列材料：关于x的方程两边同时乘以得：，即 可得：， 所以：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)初步尝试 已知，，分别计算和的值； (2)拓展应用 ， ． 请利用上述结论，结合阅读材料解答下题． 已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、求代数式，掌握完全平方公式是关键． （1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值； （2）根据题意给出的公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴． 命题点四 整式的化简求值 ►题型01 直接代入法 / 【典例】1．（24-25七年级上·河南郑州·期中）化简并求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减的化简求值，先去括号，再合并同类项，然后代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式 ． 2．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运算． 先根据整式的运算法则进行化简，再将，代入即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 当，时， 原式． 【变式】1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简，先用完全平方公式展开，算多项式除以单项式，再合并同类项，化简后将，y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．（2024七年级下·江苏·专题练习）化简求值：，其中 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 3．（2024·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合计算以及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键，根据平方差公式进行计算，化简求值即可得到答案。先根据平方差公式和多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可。 【详解】解： ， 当，时，原式． 题型02 整体代入法 / 【典例】1．（2024·山东济南·二模）已知a是方程 的解，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，将代数式整体代入求解是解题的关键．由题意得，移项得，将化简为，再将代入计算，即得答案． 【详解】是方程 的解， ， ， ． 故选B． 2．（2024·河北石家庄·二模）已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 【变式】1．（2025·安徽·模拟预测）若，则多项式的值为(   ) A．9 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的加减，解题的关键在于把已知条件进行整理．将已知条件进行整理变形，代入计算即可． 【详解】解：解法1：， ． ， ， ， ． 解法2： ①，②， ①+②得． 故选：． 2．（2025·广东肇庆·一模）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】将变形的，再将变形得，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴变形得，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查整体代入求值，掌握整体代入求值的方法，对代数式的合理变形是解题的关键． 3．（2025·江苏泰州·一模）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先将变形，化为再计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型03 挖掘条件代入法 / 【典例】1．（25-26七年级上·江苏南京·期中）先化简再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． 先利用整式的加减运算法则化简，再由平方式和绝对值的非负性求出的值，然后代入求解． 【详解】解：原式 ， ∵， ，， ，， 则原式 ． 2．（22-23七年级上·四川广安·期中）已知，． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代数式的化简求值，涉及整式的运算、去括号、合并同类项、非负性的应用及解方程，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意把已知中的、代入，再按照去括号合并同类项的步骤计算即可得到答案，关键要注意去括号时符号的变化． （2）根据非负式和为零的条件，得出方程求出、的值，把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， 解得：， 【变式】1．（25-26七年级上·辽宁铁岭·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】根据去括号，合并同类项，正确化简，后转化为代数式的值计算即可． 本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴，； ∴， 当，时， 原式． 2．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）已知代数式，代数式，代数式． (1)求代数式； (2)当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减化简求值、非负数的性质：绝对值、偶次方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项求出代数式的最简结果； （2）根据非负数的性质可求出，的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解：， ， 可得，， 代入可得原式． 3．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）先化简，再求值：的值，其中． 【答案】，12 【分析】此题考查了整式的加减中的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后计算出，的值，再将，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， 解得：，， ， 当，时，原式． 题型04 利用“无关”求值 / 【典例】1．（25-26七年级上·湖南株洲·期中）若代数式的值与字母x所取的值无关， (1)求a、b的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)54 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减计算法则把所给多项式化简，再根据代数式的值与字母x所取的值无关可知化简结果中含x的项的系数为0，据此求解即可； （2）先把所求式子去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与字母x所取的值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）已知代数式．． (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先化简表达式，得到，再代入和的表达式计算； （2）先计算，得到，由于其值与无关，令的系数为零，即，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 【变式】1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简代数式M． (2)当，时，求代数式M的值． (3)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的化简、求值及代数式与变量取值无关的条件，解题的关键是正确代入A与B的表达式化简M，理解与变量无关即该变量的系数为0． （1）将代数式A与2B代入M的表达式，展开后合并同类项化简M； （2）把x、y的值代入化简后的M计算其值； （3）整理M为关于x的式子，令x的系数为0，求解y的值． 【详解】（1）解： （2）解：当，时， （3）解：， ∵M的值与x的取值无关， ∴， 解得． 2．（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）已知多项式，． (1)求； (2)若的值与y无关，求此时的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，代数式的值与某个字母无关，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将的代数式代入，去括号合并同类项即可； （2）将化简后的的代数式变形为，代数式的值与y无关，即，求出的值，即可解得题目所求． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ∵代数式的值与无关， ∴， ， ∴． 3．（25-26七年级上·福建莆田·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出A的值； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）首先根据结果是，，求得A即可； （2）先根据（1）中A，B的值，求出，将含x的项合并，并使x的系数等于0，即可求出答案； 【详解】（1）解：根据题意可知， ， ； （2）解： ， ∵的值与x的取值无关， ∴， ∴． 命题点五 因式分解 ►题型01 识别因式分解 / 【典例】1．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解． 根据因式分解的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．的左边不是多项式，故不是因式分解； B．的右边不是整式的积，故不是因式分解； C．是因式分解； D．的右边不是积的形式，故不是因式分解； 故选C． 2．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列多项式能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解的意义，如果多项式能够变形为几个因式的乘积的形式，则该多项式可以进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、不能写成几个因式的乘积形式，故该式不能因式分解； B、不能写成几个因式的乘积形式，故该式不能因式分解； C、，因此该式能因式分解； D、不能写成几个因式的乘积形式，故该式不能因式分解． 故选：C． 【变式】1．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为整式的积的形式叫作因式分解．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：①是乘法运算，则①不是因式分解； ②符合因式分解的定义，则②是因式分解； ③是乘法运算，则③不是因式分解． 综上，是因式分解的有1个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后求解． 【详解】A. ，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； B. ，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合平方差公式，属于因式分解，故B符合题意； C. ，右边通过加法拆分，未形成乘积形式，不属于因式分解，故C不符合题意； D. ，展开右边得，与左边不相等，分解错误，故D不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级下·重庆南岸·期末）下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，即可求解． 【详解】解：A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意． C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． 故选：A． ►题型02 利用因式分解的性质求字母的值 / 【典例】1．（24-25八年级下·广西贺州·期末）已知多项式可因式分解为，则的值为（   ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解： ， 多项式可因式分解为， ，， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式】1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如果把二次三项式因式分解得，那么常数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．将因式分解的结果用多项式乘法公式展开，其结果与二次三项式比较即可求解． 【详解】解：， ． 故选：D ． 2．（2025·全国·一模）若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 3．（2025·贵州·模拟预测）如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么m的值为（    ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法．根据题意可将变为的形式，再根据题意进行判断即可． 【详解】解：由题意得， 二次三项式在整数范围内可因式分解为， ， ， 故选：C． ►题型03 用合适的方法进行因式分解 / 【典例】1．（25-26八年级上·北京·期中）因式分解 (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解等知识，因式分解的一般步骤是“一提二套三检查”，注意分解要彻底． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （3）先分组进行提公因式，再进行提公因式即可； （4）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 2．（25-26七年级上·北京·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解； （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）利用分组分解法分解因式即可； （4）把看成一个整体，再利用十字相乘法分解因式即可； （5）先以为主元重新排列，再利用十字相乘法分解因式即可； （6）设，求出对应字母的值求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：设， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式】1．（24-25八年级下·甘肃张掖·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解： （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、分组分解法），解题的关键是根据多项式的结构特征，选择合适的分解方法． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解； （2）将看作整体，用完全平方公式，再用平方差公式分解； （3）先提公因式，再用平方差公式分解； （4）先提公因式，再用完全平方公式分解； （5）用十字相乘法分解； （6）用分组分解法分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式； （6）解：原式 ． 3．（25-26八年级上·北京·月考）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）完全平方公式法进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式法进行因式分解即可； （4）平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式 ． 突破一 利用代数式表示图形的变化规律 【典例】1．（2024·北京·模拟预测）有黑、白各张卡片，分别写有数字至；把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下： ①左至右，按数字从小到大的顺序排列； ②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边． 将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字摆在了标注字母 的位置，标注字母的卡片写有数字 【答案】 B 【分析】本题考查图形及数字类的规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定白，白，白，白的位置． 【详解】解：第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则左边不可能有张黑卡片， ∴白卡片数字摆在了标注字母的位置， ∴黑卡片数字摆在了标注字母的位置； ∴第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第二行中为白，则，只能是黑，黑， 而∵为黑，矛盾， ∴第一行中为白； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，此时黑在白右边，与规则②矛盾， ∴第二行中为白， ∴第二行中为黑，为黑； 第一行中与第二行中肯定有一张为白， 若第一行中为白，则，只能是黑，黑，与为黑矛盾， ∴第二行中为． 故答案为：B；． 2．（2024·北京东城·一模）简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在一定的数量关系，称为欧拉公式． （1）四种简单多面体的顶点数、面数、棱数如下表： 名称 图形 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 三棱锥 4 4 6 长方体 8 6 12 五棱柱 10 7 15 正八面体 6 8 12 在简单多面体中，V，F，E之间的数量关系是 ； （2）数学节期间，老师布置了让同学们自制手工艺品进行展示的任务，小张同学计划做一个如图所示的简单多面体作品．该多面体满足以下两个条件：①每个面的形状是正三角形或正五边形；②每条棱都是正三角形和正五边形的公共边． 小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共 个． 【答案】 32 【分析】本题主要考查了几何体中点，面，棱之间的数量关系，数字类的规律探索： （1）观察表格中的数据可知，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，据此规律求解即可； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个，则一共有个顶点，一共有条棱，根据（1）的结论可得，则，再由每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻，得到，据此列出方程求解即可． 【详解】解（1）， ， ， ， ……， 以此类推可得， 故答案为：； （2）设小张同学需要准备正三角形和正五边形材料各x个，y个， ∵每个顶点有4条棱，且每个顶点在四个面里面， ∴一共有个顶点， ∴一共有条棱， ∵， ∴， ∴； ∵每个正三角形与三个五边形相邻，而每个五边形与五个正三角形相邻， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小张同学需要准备正三角形和正五边形的材料共32个， 故答案为：32． 【变式】1．（2024·北京·模拟预测）下表是周五下午班四节待排的选修课课程表，其中排课需满足以下两点要求：①每班不能3节连续安排选修课；②同一节课最多安排3个班级上选修课．根据以上要求，该课程表最多可排的选修课节数为（    ） 班级/课程 1班 2班 3班 4班 第1节 第2节 第3节 第4节 A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了规律探索的知识，正确理解题意是解题关键．根据题目中排课需满足的要求完成选修课程安排即可． 【详解】解：根据题意，该课程表可能为： 班级/课程 1班 2班 3班 4班 第1节 选修 选修 选修 第2节 选修 选修 选修 第3节 选修 选修 第4节 选修 选修 选修 所以，课程表最多可排的选修课11节数． 故选：B． 2．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量， 进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 突破二 整式运算中错解、整除问题 【典例】1．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查因式分解、数的整除、整式除法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题意知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 【详解】（1）解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以，， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 2．（2025·河北唐山·三模）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” (1)嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ (2)小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 【答案】(1) (2)小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式的求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设淇淇把式中的一次项系数看成了，由题意可得，整理可得，再代入计算即可得解； （2）先求出的值，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：设淇淇把式中的一次项系数看成了， 根据题意，淇淇的计算结果为， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， 淇淇把式中的一次项系数看成了． （2）解：，， 当时，原式， 与互为相反数， 小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数． 【变式】1．（2025·河北唐山·二模）我们知道，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就能被3整除． 例：，9能被3整除，能被3整除． 尝试 试说明537是否能被3整除； 验证 设是一个三位数，若能被3整除，则也能被3整除； 应用 直接写出三位数能被3整除的概率． 【答案】尝试：能被3整除 验证：见解析 应用： 【分析】本题考查了有理数运算和整式的加减，简单概率的计算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 尝试：利用给出的法则进行判断即可； 验证：利用给出的法则对整式进行整理，然后进行判断验证即可； 应用：借助树状图可求出概率． 【详解】解：尝试，15能被3整除， 能被3整除． 验证 能被3整除．是整数， 可以被3整除． 又可以被3整除（已知）， 这个三位数可以被3整除． 应用，如图所示，的取值共有10种等可能的情况，符合条件的情况有4种， 所以概率为． 2．（2025·河北邯郸·二模）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了． (1)被污染的整式________；________； (2)已知，判断整式与的和与1的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)与的和大于1，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可得解； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：，； （2）解：与的和大于1 与的和大于1． 突破三 乘法公式的验证 【典例】1．（2025·陕西西）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． (1)如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式_______，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想_______． A．数形结合　B．分类讨论　C．类比推理　D．转化 利用上述公式解决问题： (2)根据上面得到的公式，若，则_______． (3)如图②，在线段上取一点D，分别以、为边作正方形、，连接、、，若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度． 【答案】(1)，A (2)21 (3)8 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景． （1）从“整体”和“部分”分别用代数式表示图形的面积即可； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：如图①大大正方形的边长为，因此面积为，拼成大正方形的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：，A； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：21； （3）解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∵阴影部分的面积和为11，的面积为7， ∴，， 即，， ∴， 即， ∴（取正值）， 即． 2．（2025·福建泉州）按要求解决下面问题． (1)比较与的大小．（“<”、“>”、“=”） ①当，时，________ ②当，时，________ (2)根据（1）中计算结果，猜想与的大小关系，并加以证明． (3)如图，点在线段上，以，为边长，在线段的两侧分别作正方形与正方形，并连结．设两个正方形的面积分别为，．若的面积为2，求的最小值． 【答案】(1)①=，② (2)，详见解析 (3)的最小值为 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． （1）依据题意，将，代入，，进而可以判断得解；②依据题意，将，代入，，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，进而可以判断得解； （3）依据题意，根据（2）得，从而的面积，，，则，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：=； ，， ， 故答案为：>； （2）解：， 证明：， ； （3）解：由题意，根据（2）得， 又的面积，，， ， 的最小值为8． 【变式】1．（2025·四川）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）； 图1表示：　　　　　　；图2表示：　　　　　　； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (2)若，，则　　　　　　；　　　　　　； (3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)16；12 (3)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图1中由两个长与宽分别为、的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为，的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）根据，，求出的值，然后根据完全平方公式的变形进行计算即可； （3），，，，可以利用代入求值即可． 【详解】（1）解：图1中，由图可知， ， 由题意得，， 即， 故答案为：． 图2中，由图可知，，， 由题图可知，， 即， 故答案为：． （2）解：， ，， ， ∴． 故答案为：16；12． （3）解：由题意得， ， ， ， ， ， ， ∴． 即图中阴影部分的面积为． 2．（2025·安徽·模拟预测）很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式等． 【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算：？ 【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法： 【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出______=______（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】根据以上结论，计算：的结果为________． 【答案】规律探究；解决问题；；拓展应用或． 【分析】规律探究：计算=36=大正方形面积，然后直接求大正方形面积即可； 解决问题：转化为大正方形面积，其边长为1+2+3+…+n，再求面积化简即可； 拓展应用：提公因式8转化为8（），再用规律计算即可 【详解】解：规律探究：=1+8+27=36=大正方形面积=； 故答案为：62 解决问题：由上面表示几何图形的面积探究知，， 又， ； 故答案为：； 拓展应用：， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查实践探索问题，仔细观察图形与算式的关系，发现规律为立方数的和等于最大正方形面积，再利用面积公式求是解题关键． 突破四 利用因式分解进行巧算 【典例】1．（2025·全国）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确利用平方差公式进行因式分解． 利用平方差公式进行因式分解，再进行有理数的混合运算． 【详解】解： ． 2．（2025·上海）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式，先把原式整理得，再运用平方差公式进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·上海）简便计算： 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解： 2．（2025·吉林长春）利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 1．（2024·北京·模拟预测）已知方程组，则代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相加，可得，据此求出代数式的值即可； 此题主要考查了解二元一次方程组的方法，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系． 【详解】解： ，得 故选：D． 2．（2024·北京东城·二模）在下列各式中，从左到右计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，算术平方根，完全平方公式的应用，分式的加减运算，正确的计算是解题的关键．分别根据以上知识逐一计算即可． 【详解】解：A． ，不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意；     C． ，故该选项不正确，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选D 3．（2024·云南昭通·一模）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从符号、系数与指数三个方面找规律，再计算即可． 【详解】解：解：∵， ， ， ， ， …… 由上可知，第n个单项式是：． 故选：C． 4．（2025·北京·模拟预测）如图是一个由五个图形拼成的平行四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，其中两个等腰直角三角形的面积为，另两个直角三角形的面积都为，中间正方形的面积为，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形的面积、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 依题意设，，表示出，根据，以及，进而求解． 【详解】解：如图所示： 依题意得：和是等腰直角三角形，且面积为，四边形是正方形， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积一定可以表示为． 故选：A ． 5．（2025·北京东城·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 6．（2023·北京顺义·二模）在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是 ，丙的三张牌上的数字是 ． 【答案】 【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可． 【详解】解：已知红桃有数字共计张牌 甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合， 张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数， 甲最多只能有一个奇数，只有符合， 乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同， 乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为， 故答案为：； 【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键． 7．（2025·北京丰台·二模）已知，求代数式的值． 【答案】7 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键． 先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案． 【详解】解：原式 ∵， ∴． ∴原式． 8．（2025·北京丰台·一模）鲁班锁是我国古代传统建筑物的固定结合器，也是一种广泛流传的益智玩具，如图．其中六根鲁班锁中一个构件的一个面的尺寸如图所示．已知，求这个面的面积． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式混合运算的实际应用，由已知可设，，，进而根据得，即得，即可得，，，再根据图形列式计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， 可设，，， 由图可得，， ∴， 解得， ∴，，， ∴这个面的面积． 1．（2024·北京大兴·一模）如图，在中，，于点，设，，，给出下面三个结论：①；②；③若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由，，得到，，将，，代入，即可判断①正确，由，，将代入，整理后即可判断②正确，将，代入，即可判断③正确， 本题考查了，相似三角形的性质与判定，完全平方公式的应用，解不等式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式的变形及应用． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴即：，整理得：，故①正确， ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∵、、， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确， 综上所述，①②③正确， 故选：． 2．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 3．（2025·北京大兴·一模）已知边长为a的正方形，过点B的直线分别交的延长线于点D，E，设，，，，正方形的面积分别为，，．给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，完全平方公式变形公式，先证明，可得，再用完全平方公式变形公式构建不等式判断剩下两个选项，熟练运用完全平方公式变形公式构建不等式是解题的关键． 【详解】解：四边形为正方形， ， ，即， ， ，即， ，故①正确； ，当且仅当时，取等号， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，即， 故③错误； 则正确结论为①②， 故选：A． 4．（2025·北京·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的根、整式的化简求值，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据题意，由列不等式求解即可； （2）根据方程的解的意义得到，然后化简所求代数式，进而代值求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 5．（2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式： 方式一：每天打卡可领取听书时长； 方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍． (1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二： 表一每天领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 60 60 60 ··· 60 方式二 5 ··· 表二累计领取听书时长 天数 1 2 3 4 ··· n 方式一 60 120 180 240 ··· 方式二 ··· (2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； (3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)，7 (3) 【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案； （2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案； （3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案． 【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 对于方式二，第1天累计领取听书时长为， 第2天累计领取听书时长为， 第3天累计领取听书时长为， 依次规律，第n天累计领取听书时长为； 故答案为：，． （2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标， 即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一； 故答案为：，7． （3）该有声读物的听书时长不超过， 选择方式一只需打卡1天， 选择方式二需打卡3天， t的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键． 1．（2025·广西·一模）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m，宽为n）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式．先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是， 故选：A． 2．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 3．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 5．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【分析】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 6．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 7．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）直接按照新定义计算即可； （2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可； （3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 8．（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 主题 探究月历与幻方的奥秘 活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． （1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则是______，是______； （2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则是______，是______； （注：用含的代数式表示和．） 活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． （3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则是______，是______； （4）若方框选取的数中最小的数是，调整后，部分数的位置如图6所示，则是______（用含的代数式表示）． 【答案】（1）（2）（3）11，3（4） 【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键： （1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可； （3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可； （4）先根据是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为：； （2）由图可知：； 故答案为：； （3）由题意，得：，； 故答案为：11，3； （4）∵最小的数为，则剩余的数为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $