第27讲 统计 （复习讲义，5考点9题型2重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 统计与概率 第27讲 统计 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 14 命题点一 数据的收集与基本概念 题型01调查方式 题型02基本概念 命题点二 频数与频率 题型01根据数据描述求频数 题型02根据数据描述求频率 题型03根据数据填写频数、频率统计表 命题点三 统计量的计算与意义 题型01数据的集中趋势 题型02数据的波动程度 命题点四 四种统计图的特点与应用 题型01频数分布直方图与折线图 命题点五 用样本估计总体 题型01用样本估计总体 05·重难突破·思维进阶难 31 突破一 数据的收集与整理 突破二 数据分析 06·优题精选·练能提分 36 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 统计量的计算与应用（平均数、中位数、众数、方差） 北京卷T23（计算平均数、中位数，根据方差判断稳定性，选择学生使方差小于给定值且平均数最大） 北京卷T23（分析频数分布直方图，计算平均数、中位数、众数，根据平均数和方差排序） 北京卷T23（计算平均数、中位数、众数、方差，根据方差判断稳定性，选择学生使方差小于给定值） 1. 掌握平均数、中位数、众数的定义与计算方法，能根据数据特点选择合适的统计量描述数据集中趋势； 2. 理解方差的意义，掌握方差的计算，能通过方差判断数据的稳定性； 3. 能结合实际问题对统计量进行综合分析与应用。 用样本估计总体 北京卷T12（通过样本中正常体重指数的比例，估计2000名男生中正常人数） 北京卷T13（通过样本中一等品的频率，估计200个工件中一等品个数） 北京卷T13（通过样本中使用寿命不小于2200小时的灯泡比例，估计1000只灯泡中对应个数） 1. 理解抽样调查的意义，知道样本与总体的关系； 2. 能根据样本的频率、比例等特征，合理估计总体的相关量； 3. 体会用样本估计总体的思想，提升数据分析素养。 统计图的识别与分析（频数分布直方图、数据整理） / 北京卷T23 (1)（分析学生评委打分的频数分布直方图，确定中位数所在组） / 1. 能识别频数分布直方图、条形图等常见统计图，理解图表中数据的含义； 2. 能根据统计图提取关键信息，进行数据整理与分析； 3. 能结合统计图与统计量，综合解决实际问题。 数据收集与调查方式（抽样调查、全面调查） / / / 1. 区分全面调查与抽样调查的适用场景，能选择合适的调查方式收集数据； 2. 理解抽样调查的随机性与代表性，知道样本容量对估计结果的影响； 3. 了解数据收集、整理、分析的基本流程。 命题预测 紧扣北京中考“数据分析+生活应用”核心素养，减少纯公式计算考查，增加“统计量综合判断+实际决策”类题目； 情境会更贴近学生生活（如校园活动、体育测试、劳动实践），强调数据的实际意义与应用价值； 可能结合跨知识点考查（如统计与概率结合），但核心仍聚焦统计量计算、样本估计总体、统计图分析，难度保持稳定，注重基础能力与数据分析素养的考查。 考点一 数据的收集与基本概念 1. 调查方式 普查：对所有考察对象做调查，结果准确，但费时费力； 抽样调查：对部分考察对象做调查，省时省力，样本需具有代表性和广泛性。 2. 基本概念 总体：所要考察的全体对象； 个体：组成总体的每一个考察对象； 样本：从总体中抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（无单位）。 1．（2025·北京·模拟预测）某电子科技公司同批次生产了300台平板电脑，为有效评测其在书写方面所展现出的性能表现，确保产品质量，该公司运用智能书写评估软件对随机抽取的10台平板电脑进行测试，得到书写流畅度评分数据如下(单位：分)： 88  95  97  88  96  90  89  96  94  94 当一台平板电脑的书写流畅度评分不低于90分时，评定该平板电脑在书写性能方面为优质产品．根据以上数据，估计这300台平板电脑在书写性能方面为优质产品的台数是________台． 2．（2024·北京门头沟·一模）下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量（千瓦时/户/月） 户数（户） 6 15 11 14 4 已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有______户． 3．（2025·北京·模拟预测）为了了解某市初中生的视力情况，有关部门在全市范围内进行了抽样调查，在抽查的4500人中，视力不良的有2160人．如果该市有初中生15万人，那么全市视力不良的初中生约有 ________ 万人． 考点二 频数与频率 1. 频数：某个数据出现的次数。 2. 频率：频数与数据总数的比值 频率频数数据总数： 3. 重要结论 所有频数之和 = 数据总数； 所有频率之和 = 1。 1．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分100分．整理分析过程如下： 【收集数据】A市50名团员中，知识竞赛在组的具体数据如下： 82，82，82，82，82，84，84，85，86，86，86，86，87，88. 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下 组别 A市 2 6 a 14 13 B市 1 9 15 13 12 不完整的A市成绩频数分布直方图如图所示： A市知识竞赛频数分布直方图 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A市 80.9 82 b 118.79 B市 80.8 95 80 109.95 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）； (2)统计表中， ， ； (3)补全频数分布直方图； (4)在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是 市（选填“A”或“B”）； (5)按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于80分，估计两个城市8000名团员中，能得到了解共青团知识（不低于80分）的团员共有 人． 2．（2023·北京朝阳·二模）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下： a．每天在校体育锻炼时间分布情况： 每天在校体育锻炼时间x（） 频数（人） 百分比 14 40 m 35 n b．每天在校体育锻炼时间在这一组的是： 80  81  81  81  82  82  83  83  84  84  84  84  84  85  85  85  85  85  85  85  85  86  87  87  87  87  87  88  88  88  89  89  89  89  89 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中______，______； (2)若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数； (3)该校准备确定一个时间标准p（单位：），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则p的值可以是______． 3．（2023·北京大兴·二模）某中学为普及天文知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 频数 频率 2 0.05 4 m 10 0.25 14 0.35 10 0.25 合计 40 1.00 b．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：   c．八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89 d．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下： 中位数 七年级 81 八年级 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：________，________； (2)此次竞赛中，抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩．他是哪个年级的学生，请说明理由； (3)该校八年级有200名学生，估计八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生共有________人． 考点三 统计量的计算与意义 反映“集中趋势”的量 平均数 算术平均数： 加权平均数： 中位数：数据从小到大排列，最中间的数（偶数个取中间两数的平均数）； 众数：一组数据中出现次数最多的数（可多个、可没有）。 反映“波动大小”的量 极差：最大值 - 最小值（最简单的波动指标）； 方差：方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，越稳定。 标准差：方差的算术平方根（单位与原数据一致）。 1．（2025·北京朝阳·模拟预测）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=_______． 2．（2024·北京·模拟预测）甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 84 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）； (2)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； (3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选． 3．（2023·北京·模拟预测）“北京市气象台2022年9月28日6时发布，当日北京晴间多云，早晨南部有轻雾，紫外线强．早晚温差较大，最高气温，最低气温．”2022年北京气象观测代表站观象台站入秋时间为9月19日，常年（1991—2020年平均）入秋时间为9月13日．由于9月中旬冷空气势力偏弱，北京地区气温持续偏高，因此入秋比常年偏晚．根据中华人民共和国气象行业标准——《气候季节划分》规定：基于当年气温序列计算5天滑动平均气温构成滑动平均气温序列，当五日滑动平均气温序列连续5天小于，则以其所对应的当年气温序列中第一个小于的日期作为秋季起始日，如果初次判断的起始日期比常年偏早15天以上，需进行起始日的二次判断． 某校气象兴趣小组的同学们想预估一下北京市城区今年10月上旬（2022年10月1日—10日）的气温状况．他们在“北京日报”公众号上收集了“北京地区9月28日至10月6日气温变化趋势”图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)这9天的日平均气温的中位数为________，众数为________； (2)根据以上数据，在国庆期间，家住西安的小刘同学想在10月3日—5日来北京游玩，请你根据“北京地区9月28日至10月6日气温变化趋势”，告诉他在北京期间的温度概况以及应该准备什么衣物； (3)根据“入秋标准”，请你预测：若2023年9月中下旬（9月11日—9月30日）的日平均气温在的范围内（包含和），请预估北京市2023年的入秋时间是早于2022年的入秋时间还是晚于2022年的入秋时间． 考点四 四种统计图的特点与应用 1. 条形统计图：清楚表示每组的具体数量； 折线统计图：清楚反映数据的变化趋势； 扇形统计图：清楚表示各部分占总体的百分比 圆心角度数 = 该部分百分比； 频数分布直方图：表示数据的分布情况，矩形面积代表频数。 1．2025年2月27日，小米SU7 Ultra召开发布会，获得了广泛的关注与好评，小米的成功不仅助力国家实现能源转型与产业升级，更在全球竞争中树立了中国“智”造的新标杆.未来，其成功的经验或将成为其他行业突破高端市场的参考范式，推动中国从“制造大国”向“科技强国”加速迈进.随着人们对新能源汽车的认可，新能源汽车公共充电桩的需求量也逐渐增大.据调查：贵州省某季度“星星充电”、“云快充”、“国家电网”、“特来电”等企业投放充电桩数量的条形统计图及所占市场份额百分比的扇形统计图如图： (1)补全条形统计图和扇形统计图； (2)观察条形统计图，在各企业投放充电桩数量（万台）的数据中，众数是______万台，中位数是______万台； (3)小鹏收集了下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率. A B C D A B C D 2．某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成如图所示的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全表格： 平均数 中位数 众数 方差 甲      8和9      乙      9      丙      8      (2)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ； （选填“<”“>”或“=”） (3)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 3．为落实“首课思政”育人工作，某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： 根据以上信息回答下列问题： (1)求值，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； (3)学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 考点五 用样本估计总体 1. 核心思想：抽样调查中，用样本的特征推测总体的特征； 常用公式： 总体中某类数量总体总数样本中该类的频率 1．（2025·北京·模拟预测）某商场准备进800双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的80双滑冰鞋的鞋号，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 4 8 10 10 24 12 6 4 2 根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 2．（2024·北京·模拟预测）为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了该市200名初中学生进行调查、整理样本数据，得到下表： 视力 以下 以上 人数 39 41 33 40 47 根据调查结果，估计该市32000名初中学生视力不低于的人数是____人． 3．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ (3)根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 命题点一 数据的收集与基本概念 ►题型01 调查方式 1. 混淆普查和抽样调查，忽略普查要求全体、无破坏性、易操作，盲目选择。 2. 认为抽样调查结果一定不准确，不理解科学抽样可以很好反映总体情况。 3. 样本选取不具有代表性和广泛性，样本偏小、偏特殊，导致结论不可靠。 【典例】（2024·北京怀柔·二模）以下问题，不适合用普查方法的是（   ）． A．了解某种酸奶中钙的含量 B．了解某班学生的课外作业时间 C．公司招聘职员，对应聘人员的面试 D．旅客上飞机前的安检 【变式1】（2023·北京顺义·一模）下列采用的调查方式中，合适的是（    ） A．为了解潮白河的水质情况，采用抽样调查的方式 B．某工厂为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式 C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式 【变式2】（2024·北京通州·一模）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（　　） A．武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件 B．检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查 C．了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查 D．甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 题型02 基本概念 1. 混淆总体、个体、样本的考察对象，错把调查载体当作研究目标。 2. 误认为样本容量带单位，忽略它是无单位的数字。 3. 混淆频数与频率，错把次数当成比例，或计算频率时漏除以总数。 【典例】（2024·北京平谷）在今年的“五一”假期中，平谷假日经济繁荣活跃，消费市场稳步增长，客流显著回升，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．为了解我区中学生的假期出游情况，从全校1000名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了200名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（　　） A．1000名学生是总体 B．200名学生是样本 C．样本容量是200 D．此调查为全面调查 【变式1】2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（   ） A．本次调查的样本容量是500 B．本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10 C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间 D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 【变式2】（2025·北京石景山）要调查某校七年级学生一周的室外运动时间，选取的样本是（   ） A．选取一个班级的学生 B．选取50名男生一周的室外运动时间 C．选取50名女生 D．随机选取50名七年级学生一周的室外运动时间 命题点二 频数与频率 ►题型01 根据数据描述求频数 1. 混淆频数与频率的概念，将频率直接当作频数，忽略通过总数计算频数。 2. 审题时看错数据的范围、条件或分类标准，找错符合要求的数据数量。 3. 统计数据时出现重复计数或遗漏计数，导致频数结果不准确。 【典例】从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是 A．盖面朝下的频数是55 B．盖面朝下的频率是0.55 C．盖面朝下的概率不一定是0.55 D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次 【变式1】下列说法不正确的是(    ) A．频数与总数的比值叫做频率 B．频率与频数成正比 C．在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率 D．用样本估计总体，样本越大对总体的估计就越精确 【变式2】为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（   ） A．12 B．48 C．72 D．96 题型02 根据数据描述求频 1. 混淆频率与频数，直接将频数当作频率，忽略频率需要用频数除以数据总数。 2. 审题时找错符合条件的频数或数据总数，导致代入计算的数值出错。 3. 计算后未按要求化成小数或百分数，或是约分、换算时出现计算失误。 【典例】（2024·北京门头沟）有一组样本容量为20的数据，分别是：7、10、8、14、9、7、12、11、10、8、13、10、8、11、10、9、12、9、13、11，那么该样本数据落在范围8.5～10.5内的频率是__． 【变式1】（2023·北京·模拟预测）在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为：八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断： ①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数： ②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率； ③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率 所有合理推断的个数是__________个 【变式2】为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（　　）    A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 题型03 根据数据填写频数、频率统计表 1. 混淆频数和频率的概念，将二者填反，导致表格对应数据错误。 2. 计算频率时未用频数除以数据总数，或统计总数时出现偏差，影响结果准确性。 3. 统计频数时存在重复计数或遗漏，未核对频数总和与总数量是否一致。 【典例】下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【变式1】不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 【变式2】（2025·北京）在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； (2)试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 命题点三 统计量的计算与意义 题型01 数据的集中趋势 1. 混淆平均数、中位数、众数的适用场景，数据存在极端值时仍用平均数代表整体水平。 2. 计算中位数时没有先将数据按大小排序，直接选取中间数值导致结果错误。 3. 误以为一组数据的众数只有一个，忽略众数可能存在多个或不存在的情况。 【典例】（2025·北京大兴·二模）从某校初三年级甲、乙两班中各选取25名学生参加诗词大赛，参赛成绩的平均数、中位数、众数如下表．如果比赛得分不低于85分记为优秀，那么甲班的优秀人数___________乙班的优秀人数（填“>”“=”或“<”）． 班级 平均数 中位数 众数 甲班 86 84 85 乙班 84 86 85 【变式1】（2023·北京·一模）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，方差分别为，则______________________．（填“”，“”或“”） 【变式2】（2025·北京·模拟预测）某校随机抽取20名学生和10位老师对钉钉和腾讯会议两个软件进行打分，最高为5分． 第一部分：收集数据 20名学生的打分情况如下： 钉钉会议：5  4  5  1  4  2  5  3  4  （   ）  1  3  5  4  2  4  4  3  2  5 腾讯会议：4  1  1  3  5  5  2  4  5  2  2  5  5  5  5  1  3  2  5  2 10位老师的打分情况如下： 钉钉会议：5  4  4  3  5  5  4  4  5  5 腾讯会议：5  3  3  5  5  4  3  4  5  3 请补充完整：（   ）的分值是_________． 第二部分：整理/描述数据 根据学生的打分情况，绘制了如下频数分布直方图： 请补全上述频数分布直方图． 第三部分：分析数据 学生打分的平均数，众数，中位数如下表： 平台 平均数 众数 中位数 钉钉会议 4 腾讯会议 直接写出_________；_________；_________； 第四部分：得出结论 （1）你认为学生更喜欢哪款教学软件_________（填“钉钉”或“腾讯”），理由是：________________； （2）学校准备选用其中某一款教学软件去进行教学，规则如下：教师的打分占，学生的打分占到．请你通过样本计算分析学校可能会考虑选取哪种教学软件来进行教学． 题型02 数据的波动程度 1. 混淆方差和极差的意义，只看数值大小，错误判断数据的波动情况。 2. 计算方差时忘记先求平均数，或者步骤出错，导致结果偏差。 3. 误认为方差越大数据越稳定，忽略方差越大，波动越大、稳定性越差的规律。 【典例】（2025·北京·模拟预测）某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：），数据整理如下： ．1班  168  171  172  174  174  176  177  179    2班  168  171  175  176  176  176  177  177 ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 1班 173.875 174 174 2班 174.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）； (3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177．如果2班已经选出4位首发选手，身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别是 和 ． 【变式1】（2025·北京昌平·二模）某徒步团队由七人组成，每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17（单位：，此时七人负重数据的方差为．出发时又为每位成员补充了饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为，则______（填“>”，“=”或“<”）． 【变式2】（2025·北京海淀·二模）某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则___________，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则___________（填“>”“<”或“=”）； (2)某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： ①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组； (3)该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________． 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 组别 学生数 2 2 1 0 1 3 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 命题点四 四种统计图的特点与应用 题型01 频数分布直方图与折线图 1. 混淆组距、频数和频率，直接用组距代替频数进行画图或计算。 2. 画直方图时没有注意各组边界是否连续，出现重叠或空隙。 3. 绘制折线图时不从横轴起点开始，或忽略折线要连接每个矩形上边中点。 【典例】（2023·北京顺义·二模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图（数据分成7组：1≤x＜1.5，1.5≤x＜2，2≤x＜2.5，2.5≤x＜3，3≤x＜3.5，3.5≤x＜4，4≤x≤4.5，单位：吨）； b．各组厨余垃圾分出量平均数如下：（单位：吨） 组别 1≤x＜1.5 1.5≤x＜2 2≤x＜2.5 2.5≤x＜3 3≤x＜3.5 3.5≤x＜4 4≤x≤4.5 平均数 1.4 1.7 2.3 2.8 3.3 3.7 4.3 c．厨余垃圾分出量在2.5≤x＜3这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.97 d．30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图： e．30个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图； （2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第 ；阳光小区的其他垃圾分出量大约是 吨（结果保留一位小数）； （3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为 吨（结果保留一位小数）． 【变式1】（2024·北京石景山·二模）经过多方努力，北京市2019年在区域空气质量同步改善、气象条件较常年整体有利的情况下，大气环境中细颗粒物（）等四项主要污染物同比均明显改善对北京市空气质量的有关数据进行收集、整理、描述与分析，下面给出了部分信息： a．北京市2019年空气质量各级别分布情况如下图（全年无严重污染日）（不完整）：      b．北京市2019年大气环境中二氧化硫（）的年均浓度为4微克/立方米，稳定达到国家二级标准（60微克/立方米）；，二氧化氮（）的年均浓度分别为68微克/立方米，37微克/立方米，均首次达到国家二级标准（70微克/立方米，40微克/立方米）；的年均浓度为微克立方米，仍是北京市大气主要污染物，超过国家二级标准（35微克/立方米）的20%． c．北京市2019年大气环境中月均浓度变化情况如下： 二氧化硫（）月均浓度（单位：微克/立方米）如下（不完整）： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月均浓度 9 6 5 4 3 2 3 3 5 4 （以上数据来源于北京市生态环境局官方网站） 根据以上信，回答下列问题： （1）北京市2019年空气质量为“轻度污染”天数为（    ）． A．82                B．92                 C．102 （2）的值是______； （3）北京市2019年大气环境中月均浓度达到国家二级标准的概率为______； （4）北京市2019年大气环境中月均浓度的众数是4，则中位数是______． 【变式2】（2025·北京东城·二模）某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21  23  24  25  26  26  26  27  27  28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为_____； (2)4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； (3)根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区人夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 命题点五 用样本估计总体 题型01 用样本估计总体 1. 选取的样本不具有代表性和随机性，用片面样本推断总体，导致估计结果出现偏差。 2. 混淆样本与总体的概念，直接将样本的平均数、频率等当作总体的对应数值。 3. 样本容量过小仍进行总体估计，忽略样本容量不足会影响估计结果的可靠性。 【典例】（2025·北京朝阳·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； (3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 【变式1】（2025·北京石景山·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）： b．A课程成绩在80≤x＜90这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 【变式2】（2025·北京大兴·二模）为了解三款轮胎的最远行驶里程，分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下： b．款轮胎的最远行驶里程： c．三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如下： 轮胎 平均数 100 100 中位数 99 100 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)三款轮胎最远行驶里程的平均数越大轮胎质量越好；若最远行驶里程的平均数相同，则方差越小轮胎的质量越好．三款轮胎中质量最好的是___________；若该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有___________个． 突破一 数据的收集与整理 【典例】某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 正确题数x 人数 A 20 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息完成下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全图1； (2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______； (3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 【变式1】为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【变式2】随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 突破二 数据分析 【典例】2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲校10名志愿者的成绩（分）为：． 乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：． 甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表 甲校 乙校 平均数 87 87 中位数 87.5 b 方差 79.4 众数 c 95 (1)由上表填空：_______，_______，______________； (2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由； (3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人． 【变式1】从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【变式2】项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 1．（2025·北京西城·二模）为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（   ） A．随机抽取某个班的全体学生 B．每个年级各推荐20名学生 C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生 D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生 2．（2024·北京·模拟预测）我们学习过方差的表述意义，下列指标能刻画数据的离散程度有几个？（  ） 我们记：          A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·北京·模拟预测）下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌情况折线图（注：2022年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．    根据图中信息，有下面四个推断： ①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨； ②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌； ③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差； ④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数．上述结论中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2024·北京海淀·模拟预测）空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示． AQI数据 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 301以上 AQI类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示．    根据以上信息，下列推断不合理的是（    ） A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月 B．AQI数据在0～100之间的天数最少的是2014年1月 C．这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大 D．2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别 5．（2024·北京·模拟预测）在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币元、元、元、元和元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正确的是（   ） A．捐款金额越高，捐款的人数越少 B．捐款金额为元的人数比捐款金额为元的人数要少 C．捐款金额为元的人数最多 D．捐款金额为元的人数最少 6．（2024·北京·三模）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京朝阳·一模）图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2024·北京东城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．（2025·北京西城·一模）某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下： A：89  91  92  93  95 B：88  91  92  93  96 则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______． 58．（2025·北京·三模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校2400名学生中成绩不低于80分的人数为________人． 10．（2025·北京石景山·模拟预测）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 11．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 12．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 13．自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的开源大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入这一重磅生成式应用的巨浪．我们在选择软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两款软件信息识别准确度得分的折线统计图(图1)； b．甲、乙两款软件信息处理速度得分的条形统计图(图2)； c．甲、乙两款软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差； 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)m的值为 ，n的值为 ； (2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便．据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是 (填“甲”或“乙”)； (3)小组重新随机抽取了5名使用者，调查结果用表示(如下表)，对两个产品进行性能对比．准确度和处理速度的得分中，方差越小，则性能越好；根据使用需求，使用者对准确度的要求比处理速度要高，在计算两个产品的平均得分时，准确度占比，处理速度占比，得分越高，性能越好，综合两个产品得分的方差和平均数，性能更好的是 ． 准确度 处理速度 A B C D E A B C D E 甲 5 5 6 3 8 6 8 7 9 8 乙 4 7 5 2 5 7 6 7 8 9 14．某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85      乙      8 87      丙 8 n p      根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，______； (2)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； (3)按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 15．（2025·北京丰台·二模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． (1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79  84  85  85  88  88  88  89  90  93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； (2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 16．（2025·北京）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分． 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： b．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班五个单项得分的中位数为： ； (2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分 ； (3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是 班（填“甲”或“丙”）； (4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为 （得分为整数）． 1．在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题： (1)这组数据的中位数是__________％； (2)估计该地区150个小区中时“厨余垃圾正确投放率”达标的小区数量； (3)将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________． 2．为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 3．为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图表，已知乙学校测试班级有10人的成绩是级． 学校 平均数 中位数 众数 甲校测试班级 9 10 乙校测试班级 9 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； (2) __________， ___________， ___________； (3)从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，若新数据的中位数大于原甲校数据的中位数，则的最小值为___________． 4．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 5．为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 1．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 2．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； (3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议． 4．（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）： 根据图中信息，解答下列问题． (1)小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°； (2)补全条形统计图； (3)若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？ 6．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 统计与概率 第27讲 统计 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 23 命题点一 数据的收集与基本概念 题型01调查方式 题型02基本概念 命题点二 频数与频率 题型01根据数据描述求频数 题型02根据数据描述求频率 题型03根据数据填写频数、频率统计表 命题点三 统计量的计算与意义 题型01数据的集中趋势 题型02数据的波动程度 命题点四 四种统计图的特点与应用 题型01频数分布直方图与折线图 命题点五 用样本估计总体 题型01用样本估计总体 05·重难突破·思维进阶难 54 突破一 数据的收集与整理 突破二 数据分析 06·优题精选·练能提分 65 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 统计量的计算与应用（平均数、中位数、众数、方差） 北京卷T23（计算平均数、中位数，根据方差判断稳定性，选择学生使方差小于给定值且平均数最大） 北京卷T23（分析频数分布直方图，计算平均数、中位数、众数，根据平均数和方差排序） 北京卷T23（计算平均数、中位数、众数、方差，根据方差判断稳定性，选择学生使方差小于给定值） 1. 掌握平均数、中位数、众数的定义与计算方法，能根据数据特点选择合适的统计量描述数据集中趋势； 2. 理解方差的意义，掌握方差的计算，能通过方差判断数据的稳定性； 3. 能结合实际问题对统计量进行综合分析与应用。 用样本估计总体 北京卷T12（通过样本中正常体重指数的比例，估计2000名男生中正常人数） 北京卷T13（通过样本中一等品的频率，估计200个工件中一等品个数） 北京卷T13（通过样本中使用寿命不小于2200小时的灯泡比例，估计1000只灯泡中对应个数） 1. 理解抽样调查的意义，知道样本与总体的关系； 2. 能根据样本的频率、比例等特征，合理估计总体的相关量； 3. 体会用样本估计总体的思想，提升数据分析素养。 统计图的识别与分析（频数分布直方图、数据整理） / 北京卷T23 (1)（分析学生评委打分的频数分布直方图，确定中位数所在组） / 1. 能识别频数分布直方图、条形图等常见统计图，理解图表中数据的含义； 2. 能根据统计图提取关键信息，进行数据整理与分析； 3. 能结合统计图与统计量，综合解决实际问题。 数据收集与调查方式（抽样调查、全面调查） / / / 1. 区分全面调查与抽样调查的适用场景，能选择合适的调查方式收集数据； 2. 理解抽样调查的随机性与代表性，知道样本容量对估计结果的影响； 3. 了解数据收集、整理、分析的基本流程。 命题预测 紧扣北京中考“数据分析+生活应用”核心素养，减少纯公式计算考查，增加“统计量综合判断+实际决策”类题目； 情境会更贴近学生生活（如校园活动、体育测试、劳动实践），强调数据的实际意义与应用价值； 可能结合跨知识点考查（如统计与概率结合），但核心仍聚焦统计量计算、样本估计总体、统计图分析，难度保持稳定，注重基础能力与数据分析素养的考查。 考点一 数据的收集与基本概念 1. 调查方式 普查：对所有考察对象做调查，结果准确，但费时费力； 抽样调查：对部分考察对象做调查，省时省力，样本需具有代表性和广泛性。 2. 基本概念 总体：所要考察的全体对象； 个体：组成总体的每一个考察对象； 样本：从总体中抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（无单位）。 1．（2025·北京·模拟预测）某电子科技公司同批次生产了300台平板电脑，为有效评测其在书写方面所展现出的性能表现，确保产品质量，该公司运用智能书写评估软件对随机抽取的10台平板电脑进行测试，得到书写流畅度评分数据如下(单位：分)： 88  95  97  88  96  90  89  96  94  94 当一台平板电脑的书写流畅度评分不低于90分时，评定该平板电脑在书写性能方面为优质产品．根据以上数据，估计这300台平板电脑在书写性能方面为优质产品的台数是________台． 【答案】210 【分析】本题考查利用样本估计总体，用总数乘以样本中书写流畅度评分不低于90分的平板电脑所占的比例，进行求解即可． 【详解】解：（台）； 故答案为：210 2．（2024·北京门头沟·一模）下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量（千瓦时/户/月） 户数（户） 6 15 11 14 4 已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有______户． 【答案】400 【分析】本题考查用样本估计总体，先计算样本中月用电量第二档的百分比，再估计总体中第二档的家庭数量． 【详解】解：样本中月用电量第二档的户数为户，样本总户数为50户， 因此样本中第二档的百分比为， 由此估计全小区500户家庭中用电量在第二档的家庭有户， 故答案为：400． 3．（2025·北京·模拟预测）为了了解某市初中生的视力情况，有关部门在全市范围内进行了抽样调查，在抽查的4500人中，视力不良的有2160人．如果该市有初中生15万人，那么全市视力不良的初中生约有 ________ 万人． 【答案】 【分析】本题考查了用样本数据估计总体． 利用抽样调查中视力不良的比例，估计全市初中生视力不良的人数． 【详解】解：抽样调查中，视力不良的比例为， 全市初中生总人数为15万人，因此视力不良人数估计为万人． 故答案为：． 考点二 频数与频率 1. 频数：某个数据出现的次数。 2. 频率：频数与数据总数的比值 频率频数数据总数： 3. 重要结论 所有频数之和 = 数据总数； 所有频率之和 = 1。 1．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分100分．整理分析过程如下： 【收集数据】A市50名团员中，知识竞赛在组的具体数据如下： 82，82，82，82，82，84，84，85，86，86，86，86，87，88. 【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下 组别 A市 2 6 a 14 13 B市 1 9 15 13 12 不完整的A市成绩频数分布直方图如图所示： A市知识竞赛频数分布直方图 【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 特征数 平均数 众数 中位数 方差 A市 80.9 82 b 118.79 B市 80.8 95 80 109.95 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查是 调查（选填“抽样”或“全面”）； (2)统计表中， ， ； (3)补全频数分布直方图； (4)在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是 市（选填“A”或“B”）； (5)按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于80分，估计两个城市8000名团员中，能得到了解共青团知识（不低于80分）的团员共有 人． 【答案】(1)抽样 (2)15；82 (3)见解析 (4)B (5)4160 【分析】（1）根据题意，即可得出结论； （2）利用频数之和等于总数求出，将数据排序后，第25个数据和第26个数据的平均数即为中位数； （3）补全直方图即可； （4）根据方差小的波动小，即可得出结论； （5）用总体乘以样本中的比例进行求解即可． 【详解】（1）解：∵教育主管部门在A、B两市各抽取50名团员开展团知识竞赛， ∴采用的是抽样调查； 故答案为：抽样； （2）， 数据排序后，第25个数据和第26个数据均为， ∴； 故答案为：15，82； （3）补全直方图，如下： （4）∵市的方差小， ∴竞赛成绩波动较小的是市； 故答案为：B； （5）解：由题意可知：市成绩不低于80分的人数为：（人）， ∵市成绩的中位数为， ∴市成绩不低于80分的人数为：（人）， （人）． 答：估计两个城市了解共青团知识（不低于80分）的团员共有4160人． 故答案为：4160． 【点睛】本题考查统计图表，以及求中位数，利用方差做决策，利用样本估计总体．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键． 2．（2023·北京朝阳·二模）某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下： a．每天在校体育锻炼时间分布情况： 每天在校体育锻炼时间x（） 频数（人） 百分比 14 40 m 35 n b．每天在校体育锻炼时间在这一组的是： 80  81  81  81  82  82  83  83  84  84  84  84  84  85  85  85  85  85  85  85  85  86  87  87  87  87  87  88  88  88  89  89  89  89  89 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中______，______； (2)若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数； (3)该校准备确定一个时间标准p（单位：），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则p的值可以是______． 【答案】(1)， (2)人 (3)86（答案不唯一） 【分析】（1）根据所有组别的频率之和为1求出m即可；用组别的频数除以频率得到参与调查的学生人数，进而求出n的值即可； （2）用1000乘以样本中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数占比即可得到答案； （3）把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，找到处在第75名和第76名的锻炼时间即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 人， ∴这次参与调查的学生人数为100人， ∴， 故答案为：，； （2）解：人， ∴估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数为人； （3）解：把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，处在第75名和第76名的锻炼时间分别为， ∵要使的学生得到表扬， ∴， ∴p的值可以为86， 故答案为：86（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了频率与频数分布表，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（2023·北京大兴·二模）某中学为普及天文知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表： 成绩 频数 频率 2 0.05 4 m 10 0.25 14 0.35 10 0.25 合计 40 1.00 b．八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：   c．八年级学生竞赛成绩在这一组的数据是：80，80，82，83，83，84，86，86，87，88，88，89，89，89 d．七、八年级学生竞赛成绩的中位数如下： 中位数 七年级 81 八年级 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：________，________； (2)此次竞赛中，抽取的一名学生的成绩为83分，在他所在的年级，他的成绩超过了一半以上被抽取的学生的成绩．他是哪个年级的学生，请说明理由； (3)该校八年级有200名学生，估计八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生共有________人． 【答案】(1)0.10，85 (2)七年级，理由见解析 (3)130 【分析】（1）根据频率和中位数的概念计算即可； （2）根据七年级和八年级的中位数进行分析即可； （3）根据在抽取的40人中，八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生占抽取人数的比例乘以总人数即可． 【详解】（1）频率为： 八年级的成绩中，的人有人，的人有人，的人有人，的人有人， 故中间两个数是这组中的84和86，故中位数为： 故答案为：0.10，85． （2）七年级 理由如下：因为被抽取的七年级学生成绩的中位数是81，81<83，所以该生的成绩超过了一半以上被抽取的七年级学生的成绩；因为被抽取的八年级学生成绩的中位数是85，83<85，所以该生的成绩低于一半被抽取的八年级学生的成绩； 所以该名学生是七年级学生． （3）在抽取的40人中，八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生占抽取人数的 故估计八年级竞赛成绩80分及80分以上的学生共有人 故答案为：130． 【点睛】本题考查了频率，中位数，用样本的频率估计总体的数量等，解题的关键是熟练掌握中位数的定义． 考点三 统计量的计算与意义 反映“集中趋势”的量 平均数 算术平均数： 加权平均数： 中位数：数据从小到大排列，最中间的数（偶数个取中间两数的平均数）； 众数：一组数据中出现次数最多的数（可多个、可没有）。 反映“波动大小”的量 极差：最大值 - 最小值（最简单的波动指标）； 方差：方差越大，数据波动越大、越不稳定；方差越小，越稳定。 标准差：方差的算术平方根（单位与原数据一致）。 1．（2025·北京朝阳·模拟预测）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的标准差S=_______． 【答案】 【分析】本题主要考查标准差的计算，解题的关键是从题干得到这组数据． 根据题意可知这组数据为6，8，8，10，计算均值，再代入方差公式计算即可． 【详解】根据题意可知这组数据为6，8，8，10， ， ， ． 故答案为：． 2．（2024·北京·模拟预测）甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各400名学生进入综合素质展示环节．为了了解两所学校学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：）： b．甲学校学生成绩在这一组的是： 80 80 81 82 83 83 84 85 86 87 87 88 89 89 c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如表： 平均数 中位数 众数 优秀率 84 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是 （填“A”或“B”）； (2)根据上述信息，推断 学校综合素质展示的水平更高，理由为 （至少从两个不同的角度说明推断的合理性）； (3)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到 分的学生才可以入选． 【答案】(1)A (2)乙，理由见解析 (3)88 【分析】本题主要考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，熟练掌握定理是解题的关键． （1）求得甲校的中位数即可得到结论； （2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论； （3）求得每所学校被取了50名学生的综合素质展示的前15名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论． 【详解】（1）解：把甲学校学生成绩从小到大排列后位于第25位，26位分别为， ∴甲学校学生成绩的中位数为， ∵乙学校学生成绩的中位数为84， ∴这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A， 故答案为：A； （2）解：根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为： 与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多； 甲校的优秀率为， 与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多； 故答案为：乙与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多； （3）解：， 即50人中取前15名， 故第15名是88分， 所以预估甲学校分数至少达到88分的学生才可以入选， 故答案为：88． 3．（2023·北京·模拟预测）“北京市气象台2022年9月28日6时发布，当日北京晴间多云，早晨南部有轻雾，紫外线强．早晚温差较大，最高气温，最低气温．”2022年北京气象观测代表站观象台站入秋时间为9月19日，常年（1991—2020年平均）入秋时间为9月13日．由于9月中旬冷空气势力偏弱，北京地区气温持续偏高，因此入秋比常年偏晚．根据中华人民共和国气象行业标准——《气候季节划分》规定：基于当年气温序列计算5天滑动平均气温构成滑动平均气温序列，当五日滑动平均气温序列连续5天小于，则以其所对应的当年气温序列中第一个小于的日期作为秋季起始日，如果初次判断的起始日期比常年偏早15天以上，需进行起始日的二次判断． 某校气象兴趣小组的同学们想预估一下北京市城区今年10月上旬（2022年10月1日—10日）的气温状况．他们在“北京日报”公众号上收集了“北京地区9月28日至10月6日气温变化趋势”图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)这9天的日平均气温的中位数为________，众数为________； (2)根据以上数据，在国庆期间，家住西安的小刘同学想在10月3日—5日来北京游玩，请你根据“北京地区9月28日至10月6日气温变化趋势”，告诉他在北京期间的温度概况以及应该准备什么衣物； (3)根据“入秋标准”，请你预测：若2023年9月中下旬（9月11日—9月30日）的日平均气温在的范围内（包含和），请预估北京市2023年的入秋时间是早于2022年的入秋时间还是晚于2022年的入秋时间． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)北京市2023年的入秋时间是早于2022年的入秋时间 【分析】本题考查了中位数、众数、求平均数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出这9天的日平均气温，再根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）由10月3日—5日温度变化可得，白天温度舒适偏凉，早晚比较冷，昼夜温差较大，由此给出适当建议即可； （3）由（1）可得，月日的平均气温为，月日的平均气温为，月日的平均气温为，月日的平均气温为，月日的平均气温为，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 月日的平均气温为：， 将这9天的日平均气温按从小到大排列为：，，，，，，，，， 故这9天的日平均气温的中位数为，众数为； （2）解：月日：最高温度为，最低气温为； 月日：最高温度为，最低气温为； 月日：最高温度为，最低气温为； 由此可见，白天温度舒适偏凉，早晚比较冷，昼夜温差较大， 衣物建议：白天长袖薄外套，早晚需要厚外套或羽绒服，注意防风保暖，尤其在早晚外出游玩时； （3）解：由（1）可得，月日的平均气温为，月日的平均气温为，月日的平均气温为，月日的平均气温为，月日的平均气温为， 故北京市2023年的入秋时间是早于2022年的入秋时间． 考点四 四种统计图的特点与应用 1. 条形统计图：清楚表示每组的具体数量； 折线统计图：清楚反映数据的变化趋势； 扇形统计图：清楚表示各部分占总体的百分比 圆心角度数 = 该部分百分比； 频数分布直方图：表示数据的分布情况，矩形面积代表频数。 1．2025年2月27日，小米SU7 Ultra召开发布会，获得了广泛的关注与好评，小米的成功不仅助力国家实现能源转型与产业升级，更在全球竞争中树立了中国“智”造的新标杆.未来，其成功的经验或将成为其他行业突破高端市场的参考范式，推动中国从“制造大国”向“科技强国”加速迈进.随着人们对新能源汽车的认可，新能源汽车公共充电桩的需求量也逐渐增大.据调查：贵州省某季度“星星充电”、“云快充”、“国家电网”、“特来电”等企业投放充电桩数量的条形统计图及所占市场份额百分比的扇形统计图如图： (1)补全条形统计图和扇形统计图； (2)观察条形统计图，在各企业投放充电桩数量（万台）的数据中，众数是______万台，中位数是______万台； (3)小鹏收集了下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率. 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）用条形统计图中“云快充”的数量除以扇形统计图中“云快充”的百分比可得各企业投放充电桩总数量，进而可得“国家电网”的充电桩数量，以及扇形统计图中，“国家电网”和“星星充电”的百分比，补全条形统计图和扇形统计图即可； （2）根据众数和中位数的定义可得答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得：各企业投放充电桩总数量为（万台）， “国家电网”的充电桩数量为（万台）， 扇形统计图中，“国家电网”的百分比为，“星星充电”的百分比为， 补全条形统计图和扇形统计图如图所示： （2）解：由条形统计图可知，在各企业投放充电桩数量（万台）的数据中，众数是万台． 将5个数据按照从小到大的顺序排列，排在第位的数据为万台， 中位数是万台． 故答案为：；． （3）解：列表如下： A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的结果有：，，共种， 抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、概率公式，掌握列表法与树状图法、概率公式是解题关键． 2．某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成如图所示的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全表格： 平均数 中位数 众数 方差 甲      8和9      乙      9      丙      8      (2)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ； （选填“<”“>”或“=”） (3)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)9， 9， 8 (2) (3)选甲更合适，理由见解析 【分析】本题主要考查了中位数、平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，离散程度越大，稳定性也就越小，反之稳定性就越大． （1）直接根据中位数、平均数、众数的定义，进行计算即可得到答案； （2）先求出去掉一个最低分和一个最高分之后的平均数，再求出方差，进行比较即可得到答案； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 【详解】（1）解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， ∴甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：7，9，9，9，10， ∴乙得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，人，人， 即丙得分分别为：8，8，8，10，10， ∴8出现的次数最多， ∴丙得分的众数为8． 故答案为： 9， 9， 8； （2）解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲得分的平均数为 ， 甲得分的方差 ， ， 故答案为：； （3）解：选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人的平均得分一样，但是甲得分的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲更合适． 3．为落实“首课思政”育人工作，某校开展“读好书”育人工程，计划开展主题鲜明的读书周、读书月、读书节等多种形式的活动，鼓励学生争当“读书达人”．为了了解该校九年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该校九年级名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如下条形统计图（图一）和扇形统计图（图二）： 根据以上信息回答下列问题： (1)求值，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数； (3)学校提倡每人每周课外阅读时间不低于4小时，该校有学生3200人，请你估算该校达到学校要求标准的学生有多少人？ 【答案】(1)60，图见解析 (2) (3)800人 【分析】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键； （1）根据统计图可知课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为，然后可求m，进而可画条形统计图； （2）由（1）可直接进行求解； （3）由题意可得课外阅读时间不低于4小时的人数，然后可求所占百分比，进而问题可求解． 【详解】（1）解：课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角的度数为， 其所占的百分比为， 课外阅读时间为2小时的有15人， ， ∴课外阅读3小时的人数为：人； 补全条形统计图如图所示： （2）解：扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数为； （3）解：解：（人）； 答：估算该校达到学校要求标准的学生有800人． 考点五 用样本估计总体 1. 核心思想：抽样调查中，用样本的特征推测总体的特征； 常用公式： 总体中某类数量总体总数样本中该类的频率 1．（2025·北京·模拟预测）某商场准备进800双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的80双滑冰鞋的鞋号，数据如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 4 8 10 10 24 12 6 4 2 根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 【答案】240 【分析】根据题意得：80双滑冰鞋中39码的鞋销售量最多为24双，再用800乘以其所占的百分比，即可求解． 本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为24双，销售量最高是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：80双滑冰鞋中39码的鞋销售量最多为24双， ∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双． 故答案为：240． 2．（2024·北京·模拟预测）为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了该市200名初中学生进行调查、整理样本数据，得到下表： 视力 以下 以上 人数 39 41 33 40 47 根据调查结果，估计该市32000名初中学生视力不低于的人数是____人． 【答案】19200 【分析】本题主要考查用样本估计总体．用总人数乘以样本中视力不低于的人数所占比例即可． 【详解】解：初中学生视力不低于的人数为（人）， 故答案为：19200． 3．2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：；；；）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ (3)根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】(1)98，93，10 (2)450人 (3)男生更喜欢《哪吒2》，理由见解析 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值； （2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【详解】（1）解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则， 根据统计表可得男生满分的有人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则， 评分分数为A和B的人数和为，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， （2）解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； （3）解：男生更喜欢《哪吒2》， 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 命题点一 数据的收集与基本概念 ►题型01 调查方式 1. 混淆普查和抽样调查，忽略普查要求全体、无破坏性、易操作，盲目选择。 2. 认为抽样调查结果一定不准确，不理解科学抽样可以很好反映总体情况。 3. 样本选取不具有代表性和广泛性，样本偏小、偏特殊，导致结论不可靠。 【典例】（2024·北京怀柔·二模）以下问题，不适合用普查方法的是（   ）． A．了解某种酸奶中钙的含量 B．了解某班学生的课外作业时间 C．公司招聘职员，对应聘人员的面试 D．旅客上飞机前的安检 【答案】A 【详解】试题分析：A．了解某种酸奶中钙的含量，因为这种酸奶的量很大，也具有破坏性，所以不适合用普查方法，B．了解某班学生的课外作业时间，C．公司招聘职员，对应聘人员的面试，C．旅客上飞机前的安检，这三种情况适合用普查方法． 故选A． 考点：普查与抽样调查． 【变式1】（2023·北京顺义·一模）下列采用的调查方式中，合适的是（    ） A．为了解潮白河的水质情况，采用抽样调查的方式 B．某工厂为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式 C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式 D．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式 【答案】A 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．为了解潮白河的水质情况，采用抽样调查的方式，此选项符合题意； B．某工厂为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式，此选项不符合题意； C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式，此选项不符合题意； D．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，采用抽样调查的方式，此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征，灵活选用。一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【变式2】（2024·北京通州·一模）下列关于统计与概率的知识说法正确的是（　　） A．武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件 B．检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查 C．了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查 D．甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性的大小，可判断A，根据调查事物的特点，可判断B；根据调查事物的特点，可判断C；根据方差的性质，可判断D． 【详解】解：A、武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上可能获得获得金牌，也可能不获得金牌，是随机事件，故A说法不正确； B、灯泡的调查具有破坏性，只能适合抽样调查，故检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查，故B符合题意； C、了解北京市人均月收入的大致情况，调查范围广适合抽样调查，故C说法错误； D、甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的波动比乙组数据的波动小，不能说明平均数大于乙组数据的平均数，故D说法错误； 故选B． 【点睛】本题考查随机事件及方差，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．方差越小波动越小． 题型02 基本概念 1. 混淆总体、个体、样本的考察对象，错把调查载体当作研究目标。 2. 误认为样本容量带单位，忽略它是无单位的数字。 3. 混淆频数与频率，错把次数当成比例，或计算频率时漏除以总数。 【典例】（2024·北京平谷）在今年的“五一”假期中，平谷假日经济繁荣活跃，消费市场稳步增长，客流显著回升，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．为了解我区中学生的假期出游情况，从全校1000名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了200名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（　　） A．1000名学生是总体 B．200名学生是样本 C．样本容量是200 D．此调查为全面调查 【答案】C 【分析】本题考查统计调查的基本概念，包括总体、样本、样本容量及调查类型．需明确总体是研究对象的全部数据，样本是抽取的部分数据，样本容量为样本中的个体数量，抽样调查与全面调查的区别． 【详解】解：A. 总体是1000名学生的假期出游时间，而非学生本身，故A说法错误，不符合题意； B. 样本是200名学生的假期出游时间数据，而非学生个体，故B错误说法错误，不符合题意； C. 样本容量是抽取的样本数量，为200，故C说法正确，符合题意； D. 该调查仅抽取部分学生，属于抽样调查，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】2024年5月9日，以“完善保护体系，护佑候鸟迁飞”为主题的第43届“爱鸟周”科普宣传活动在西宁植物园拉开序幕．在此期间，某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛，为了解本次竞赛的成绩分布情况，从500名参赛学生中随机抽取了50名学生，对他们的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图，根据图中的信息，下列说法正确的是（   ） A．本次调查的样本容量是500 B．本次调查的学生成绩在70~80分之间的人数是10 C．本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分之间 D．估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布直方图、样本容量、用样本估计总体等知识，根据样本容量、中位数的定义、用样本估计总体逐一判断即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】A．本次调查的样本容量是，故选项不符合题意． B．本次调查的学生成绩在分之间的人数是，故选项不符合题意． C．把本次调查的学生成绩按从小到大的顺序排列，排在中间的两个数应在之间，所以本次调查的学生成绩的中位数落在之间，故选项符合题意． D．估计名参赛学生中成绩在分以下的人数是（人），故选项不符合题意． 故选:C． 【变式2】（2025·北京石景山）要调查某校七年级学生一周的室外运动时间，选取的样本是（   ） A．选取一个班级的学生 B．选取50名男生一周的室外运动时间 C．选取50名女生 D．随机选取50名七年级学生一周的室外运动时间 【答案】D 【分析】本题主要考查了抽样调查，选取样本应具有代表性和随机性，确保能反映总体情况． 【详解】解：调查某校七年级学生一周的室外运动时间，样本需覆盖七年级全体学生且随机抽取． A、仅选取一个班级，样本范围过小且缺乏随机性，无法代表全年级； B、仅选50名男生，忽略女生，导致性别偏差，样本不具代表性； C、仅选50名女生，同样存在性别偏差，无法反映全体学生情况； D、随机选取50名七年级学生，覆盖全年级且无特定限制，符合随机抽样要求，能有效代表总体． 故选：D． 命题点二 频数与频率 ►题型01 根据数据描述求频数 1. 混淆频数与频率的概念，将频率直接当作频数，忽略通过总数计算频数。 2. 审题时看错数据的范围、条件或分类标准，找错符合要求的数据数量。 3. 统计数据时出现重复计数或遗漏计数，导致频数结果不准确。 【典例】从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是 A．盖面朝下的频数是55 B．盖面朝下的频率是0.55 C．盖面朝下的概率不一定是0.55 D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次 【答案】D 【分析】根据频数，频率及用频率估计概率即可得到答案． 【详解】A、盖面朝下的频数是55，此项正确； B、盖面朝下的频率是=0.55，此项正确； C、盖面朝下的概率接近于0.55，但不一定是0.55，此项正确； D、同样的试验做200次，落地后盖面朝下的在110次附近，不一定必须有110次，此项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了频数，频率及用频率估计概率，掌握知识点是解题关键． 【变式1】下列说法不正确的是(    ) A．频数与总数的比值叫做频率 B．频率与频数成正比 C．在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频率 D．用样本估计总体，样本越大对总体的估计就越精确 【答案】C 【分析】根据频率、频数的概念和性质分析各个选项即可． 【详解】A. 频数与总数的比值叫做频率，是频率的概念，正确； B. 频率与频数成正比是频率的性质，正确； C. 在频数分布直方图中，小长方形的面积是该组的频数，错误； D. 用样本来估计总体，样本越大对总体的估计就越精确，正确． 故选C. 【点睛】本题主要考查频数直方图的知识，准确理解频率分布直方图中几个等量关系： ①各小组的频数之和等于数据总数； ②各小组的频率之和等于1； ③各组组距相等； ④各长方形的高与该组频数成正比； ⑤小长方形的面积之和等于各小组的频率和,即为1.在频数分布直方图,各小长方形的高即为该组的频数． 【变式2】为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（   ） A．12 B．48 C．72 D．96 【答案】C 【详解】解:根据图形， 身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：， ∴该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%＝72(人)． 故选C． 题型02 根据数据描述求频 1. 混淆频率与频数，直接将频数当作频率，忽略频率需要用频数除以数据总数。 2. 审题时找错符合条件的频数或数据总数，导致代入计算的数值出错。 3. 计算后未按要求化成小数或百分数，或是约分、换算时出现计算失误。 【典例】（2024·北京门头沟）有一组样本容量为20的数据，分别是：7、10、8、14、9、7、12、11、10、8、13、10、8、11、10、9、12、9、13、11，那么该样本数据落在范围8.5～10.5内的频率是__． 【答案】0.35 【分析】先统计样本数据落在范围8.5～10.5内的个数，再除以样本容量20即得答案 【详解】解：该样本数据落在范围8.5～10.5内的有10、9、10、10、10、9、9这7个， ∴该样本数据落在范围8.5～10.5内的频率是7÷20＝0.35， 故答案为：0.35． 【点睛】本题考查了频数与频率，属于基础题型，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 【变式1】（2023·北京·模拟预测）在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为：八年级男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断： ①七年级成绩优秀的男生人数小于八年级成绩优秀的男生人数： ②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率； ③七、八年级所有男生成绩的优秀率不一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率 所有合理推断的个数是__________个 【答案】0 【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断． 【详解】∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%， ∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率，但是由于两个年级的男生人数不确定，故两个年级的优秀人数无法确定； 故①错误，不合题意， ∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在50%与70%之间， ∴不能确定哪个年级的优秀率大， 故②错误，不合题意； ∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间． ∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率． 故③错误，不合题意． 综上所述，合理推断的个数是0个． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确理解题意优秀率的计算方法是解题关键． 【变式2】为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是（　　）    A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】∵在5.5～6.5组别的频数是8，总数是40， ∴=0.2． 故选B． 题型03 根据数据填写频数、频率统计表 1. 混淆频数和频率的概念，将二者填反，导致表格对应数据错误。 2. 计算频率时未用频数除以数据总数，或统计总数时出现偏差，影响结果准确性。 3. 统计频数时存在重复计数或遗漏，未核对频数总和与总数量是否一致。 【典例】下表记录了某纺织厂对一批衬衣进行抽检统计的结果 抽取件数n 50 100 150 200 500 800 1000 合格数m 48 93 143 189 478 759 952 合格率 a (1)______； (2)估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率为______；（精确到） (3)若从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有多少件？ 【答案】(1) (2) (3)60件 【分析】本题考查用频率估计算概率，频率计算公式，求出合格品的频率是解题的关键． （1）根据合格率，计算即可； （2）求出合格品的频率 ，由此估计出合格品的概率； （3）根据次品数，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：抽查总体件数：， 合格品数：， ∴抽合格品的频率为：， ∴估计从这批衬衣中任抽一件是合格品的概率约为， 故答案为：． （3）解：（件）， 答：从这批衬衣中抽检1200件，估计其中的次品有60件． 【变式1】不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 【变式2】（2025·北京）在一个不透明的盒子里装有若干个相同的红球，为了估计盒子里红球的数量，九(1)班学生分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入盒子中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复．如表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)①表中的 ； (结果保留三位小数)； ②根据上表估计，摸到白球的概率是 (结果保留一位小数)； (2)试估算这个不透明的盒子中红球的个数． 【答案】(1)①，；②； (2)估算这个不透明的盒子中红球有个 【分析】（1）①根据频率频数样本总数，即可求解； ②利用频率估计概率可得摸到白球的概率； （2）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【详解】（1）解：①，； 故答案为：，； ②根据上表估计，摸到白球的概率是； 故答案为：； （2）解：由题意得，摸到白球的概率为， 因此球的总个数为：个， 红球个数为：个， 所以估算这个不透明的盒子中红球有个． 命题点三 统计量的计算与意义 题型01 数据的集中趋势 1. 混淆平均数、中位数、众数的适用场景，数据存在极端值时仍用平均数代表整体水平。 2. 计算中位数时没有先将数据按大小排序，直接选取中间数值导致结果错误。 3. 误以为一组数据的众数只有一个，忽略众数可能存在多个或不存在的情况。 【典例】（2025·北京大兴·二模）从某校初三年级甲、乙两班中各选取25名学生参加诗词大赛，参赛成绩的平均数、中位数、众数如下表．如果比赛得分不低于85分记为优秀，那么甲班的优秀人数___________乙班的优秀人数（填“>”“=”或“<”）． 班级 平均数 中位数 众数 甲班 86 84 85 乙班 84 86 85 【答案】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，解题的关键是理解相应的概念，会利用中位数来决策． 【详解】解：甲班的中位数是，乙班的中位数是， 故甲班的优秀人数少于或等于人，乙班的优秀人数等于或大于人， 那么甲班的优秀人数少于乙班的优秀人数， 故答案为：． 【变式1】（2023·北京·一模）甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，方差分别为，则______________________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了平均数和方差．根据平均数和方差的计算公式分别进行解答即可． 【详解】解：， ， ∴， ， ∴；． 故答案为：； 【变式2】（2025·北京·模拟预测）某校随机抽取20名学生和10位老师对钉钉和腾讯会议两个软件进行打分，最高为5分． 第一部分：收集数据 20名学生的打分情况如下： 钉钉会议：5  4  5  1  4  2  5  3  4  （   ）  1  3  5  4  2  4  4  3  2  5 腾讯会议：4  1  1  3  5  5  2  4  5  2  2  5  5  5  5  1  3  2  5  2 10位老师的打分情况如下： 钉钉会议：5  4  4  3  5  5  4  4  5  5 腾讯会议：5  3  3  5  5  4  3  4  5  3 请补充完整：（   ）的分值是_________． 第二部分：整理/描述数据 根据学生的打分情况，绘制了如下频数分布直方图： 请补全上述频数分布直方图． 第三部分：分析数据 学生打分的平均数，众数，中位数如下表： 平台 平均数 众数 中位数 钉钉会议 4 腾讯会议 直接写出_________；_________；_________； 第四部分：得出结论 （1）你认为学生更喜欢哪款教学软件_________（填“钉钉”或“腾讯”），理由是：________________； （2）学校准备选用其中某一款教学软件去进行教学，规则如下：教师的打分占，学生的打分占到．请你通过样本计算分析学校可能会考虑选取哪种教学软件来进行教学． 【答案】第一部分：；第二部分：见详解；第三部分：；（1）腾讯，“腾讯会议”打分的众数比“钉钉会议”打分的众数要高；（2）学校可能会考虑选取钉钉教学软件来进行教学 【分析】本题考查了频数，频数分布直方图，求中位数，众数，加权平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第一部分：结合频数分布直方图的打分为的频数为，进行作答即可； 第二部分：得出钉钉会议的打分为的频数为，腾讯会议的打分为5的频数为8，进行补全频数分布直方图，即可作答． 第三部分：结合中位数，众数的定义进行分析，即可作答． （1）运用众数进行作决策，即可作答． （2）因为教师的打分占，学生的打分占到，所以算出腾讯会议和钉钉会议的加权平均数，再比较，即可作答． 【详解】解：第一部分：根据频数分布直方图的打分为的频数为， 故（   ）的分值是， 第二部分：结合题干数据，得出钉钉会议的打分为的频数为，腾讯会议的打分为5的频数为8， 补全频数分布直方图： 第三部分：共20名学生的打分，故中位数排在第和位 结合钉钉会议的数据情况，排在第和位的打分为分和分 ∴ 观察频数分布直方图：腾讯会议中打分为5的频数为8，是出现次数最多的打分， ∴， 共20名学生的打分，故中位数排在第和位 结合腾讯会议的数据情况，排在第和位的打分为3分和分 ∴ （1）依题意，学生更喜欢腾讯教学软件，理由是“腾讯会议”打分的众数比“钉钉会议”打分的众数要高． （2）根据题意得，钉钉会议教师的打分的平均数：（分）， 腾讯会议教师的打分的平均数：（分）， ∵教师的打分占，学生的打分占到． ∴钉钉会议：（分）， 腾讯会议：（分）， ∵， ∴学校可能会考虑选取钉钉教学软件来进行教学． 题型02 数据的波动程度 1. 混淆方差和极差的意义，只看数值大小，错误判断数据的波动情况。 2. 计算方差时忘记先求平均数，或者步骤出错，导致结果偏差。 3. 误认为方差越大数据越稳定，忽略方差越大，波动越大、稳定性越差的规律。 【典例】（2025·北京·模拟预测）某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：），数据整理如下： ．1班  168  171  172  174  174  176  177  179    2班  168  171  175  176  176  176  177  177 ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 1班 173.875 174 174 2班 174.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）； (3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177．如果2班已经选出4位首发选手，身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别是 和 ． 【答案】(1)176，176 (2)2 (3)171，176 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）根据中位数和众数概念，即可作答； （2）根据方差的概念，即可作答； （3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班另外两名选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高． 【详解】（1）2班数据从小到大排列为168，171，175，176，176，176，177，177， 从中可以看出一共八个数，第四个数据为176、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故； 其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故； 故答案为：176，176． （2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然． 1班的身高分布于，2班的身高分布于， 从中可以看出，2班的数据较1班的数据波动较小，更加稳定，所以2班的选手身高比较整齐， 故答案为：2． （3）（厘米） 设2班另外两名选手的身高分别为厘米，厘米， 则， ， ∵方差要尽可能小， 则2班6位首发选手的身高数据应分布于， 即：另外两名选手的身高分别是和， 故答案为：171，176． 【变式1】（2025·北京昌平·二模）某徒步团队由七人组成，每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17（单位：，此时七人负重数据的方差为．出发时又为每位成员补充了饮用水，补充饮用水后负重数据的方差为，则______（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】＝ 【分析】本题考查了方差，解题关键是理解数据整体加上相同数值时，数据间相对离散程度不变，利用方差公式及该性质判断前后方差关系． 明确方差衡量数据波动大小，依据方差性质，一组数据同时加上相同数，数据相对波动不变，每人负重都增加，符合上述情况，所以前后方差相等． 【详解】∵每个人的负重为：21，17，16，20，19，13，17，出发时又为每位成员补充了饮用水， ∴相当于每个数据都加上． 设原数据，平均数为 ，方差为； ∴新数据，新数据平均数 ． 新数据方差 ． ； ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（2025·北京海淀·二模）某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： (1)在两个年级分别抽取的名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，则___________，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则___________（填“>”“<”或“=”）； (2)某年级所抽取的名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： ①该频数分布直方图反映的是___________（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第___________组； (3)该校七年级有名学生，八年级有名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为___________． 【答案】(1)<；> (2)①八；②4 (3) 【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表，求出各自中位数、方差，再比较大小； （2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作出判断； ②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找出他所在的组别； （3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数． 【详解】（1）解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各名学生每周志愿服务时长”的统计表如下： 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 七年级名学生每周志愿服务时长的中位数为， 八年级名学生每周志愿服务时长的中位数为， 记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为， ∴， 七年级名学生的知识测评得分分别为，，，，，，，，，， 七年级名学生的知识测评得分的平均数为（分）， 七年级名学生的知识测评得分的方差为 ， 八年级名学生的知识测评得分分别为，，，，，，，，，， 八年级名学生的知识测评得分的平均数为（分）， 八年级名学生的知识测评得分的方差为， 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，， ∴>， 故答案为：<，>； （2）七年级名学生的知识测评综合得分分别为，，，，，，，，，， 组别 学生数 2 2 1 0 1 3 八年级名学生的知识测评综合得分分别为，，，，，，，，，， 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 ①表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合， ∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分是分，综合得分是分，位于第4组； 故答案为：①八，②4； （3）∵综合得分不低于分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有名学生，八年级有名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， ∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为人． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，频数分布直方图，求中位数，求方差，解题关键是将统计图转化为统计表． 命题点四 四种统计图的特点与应用 题型01 频数分布直方图与折线图 1. 混淆组距、频数和频率，直接用组距代替频数进行画图或计算。 2. 画直方图时没有注意各组边界是否连续，出现重叠或空隙。 3. 绘制折线图时不从横轴起点开始，或忽略折线要连接每个矩形上边中点。 【典例】（2023·北京顺义·二模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．现对某区30个小区某一天的厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．30个小区的厨余垃圾分出量的频数分布直方图（数据分成7组：1≤x＜1.5，1.5≤x＜2，2≤x＜2.5，2.5≤x＜3，3≤x＜3.5，3.5≤x＜4，4≤x≤4.5，单位：吨）； b．各组厨余垃圾分出量平均数如下：（单位：吨） 组别 1≤x＜1.5 1.5≤x＜2 2≤x＜2.5 2.5≤x＜3 3≤x＜3.5 3.5≤x＜4 4≤x≤4.5 平均数 1.4 1.7 2.3 2.8 3.3 3.7 4.3 c．厨余垃圾分出量在2.5≤x＜3这一组的数据是：（单位：吨）2.59；2.62；2.81；2.88；2.93；2.97 d．30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图： e．30个小区中阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全厨余垃圾分出量的频数分布直方图； （2）阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第 ；阳光小区的其他垃圾分出量大约是 吨（结果保留一位小数）； （3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为 吨（结果保留一位小数）． 【答案】（1）见解析；（2）15；8.0；（3）2.8 【分析】（1）根据30个小区厨余垃圾分出量和其他垃圾分出量情况统计图的数值即可补全直方图； （2）根据30个小区厨余垃圾分出量、表格的数值及其他垃圾分出量情况统计图即可求解； （3）根据加权平均数的求解方法即可计算． 【详解】（1）由c可知，2.5≤x＜3这一组有6个小区， 则2≤x＜2.5有30-1-5-6-9-3-2=4个小区 故补全直方图如下： （2）由e可知阳光小区的厨余垃圾分出量为2.97吨，在2.5≤x＜3这一组 从高到低排列有9+3+2=14 ∴阳光小区的厨余垃圾分出量在30个小区中由高到低排名第15 由d图可知，阳光小区的厨余垃圾量2.97为纵坐标，故横坐标约为8 故阳光小区的其他垃圾分出量大约是8.0吨 故答案为15，8.0； （3）30个小区厨余垃圾分出量平均数约为≈2.8 故答案为：2.8． 【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意找到对应的数值进行计算求解． 【变式1】（2024·北京石景山·二模）经过多方努力，北京市2019年在区域空气质量同步改善、气象条件较常年整体有利的情况下，大气环境中细颗粒物（）等四项主要污染物同比均明显改善对北京市空气质量的有关数据进行收集、整理、描述与分析，下面给出了部分信息： a．北京市2019年空气质量各级别分布情况如下图（全年无严重污染日）（不完整）：      b．北京市2019年大气环境中二氧化硫（）的年均浓度为4微克/立方米，稳定达到国家二级标准（60微克/立方米）；，二氧化氮（）的年均浓度分别为68微克/立方米，37微克/立方米，均首次达到国家二级标准（70微克/立方米，40微克/立方米）；的年均浓度为微克立方米，仍是北京市大气主要污染物，超过国家二级标准（35微克/立方米）的20%． c．北京市2019年大气环境中月均浓度变化情况如下： 二氧化硫（）月均浓度（单位：微克/立方米）如下（不完整）： 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月均浓度 9 6 5 4 3 2 3 3 5 4 （以上数据来源于北京市生态环境局官方网站） 根据以上信，回答下列问题： （1）北京市2019年空气质量为“轻度污染”天数为（    ）． A．82                B．92                 C．102 （2）的值是______； （3）北京市2019年大气环境中月均浓度达到国家二级标准的概率为______； （4）北京市2019年大气环境中月均浓度的众数是4，则中位数是______． 【答案】（1）B；（2）42；（3）；（4）4． 【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出北京市2019年空气质量为“轻度污染”天数； （2）根据折线统计图中的数据，可以得到的值； （3）根据题意和折线统计图中的数据，可以得到北京市2019年大气环境中月均浓度达到国家二级标准的概率； （4）根据北京市2019年大气环境中月均浓度的众数是4，可以得到4月份和6月份对应的二氧化硫月均浓度，从而可以得到相应的中位数． 【详解】解：（1）， 故选：； （2）， 故答案为：42； （3）北京市2019年大气环境中月均浓度达到国家二级标准的概率为， 故答案为：； （4）北京市2019年大气环境中月均浓度的众数是4， 月份和6月份对应的二氧化硫月均浓度都是4， 中位数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查列表法与图像法、众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】（2025·北京东城·二模）某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21  23  24  25  26  26  26  27  27  28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： (1)的值为_____； (2)4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； (3)根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区人夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 【答案】(1)26； (2)25.8；20； (3)D． 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，平均数，众数，方差等相关知识． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）根据平均数的定义求解即可，分别加上4月上旬气温为及以上的天数以及中下旬20天的日平均气温频数分布直方图中及以上的天数即可． （3）根据中位数，众数，平均数的，方差的定义做决策即可． 【详解】（1）解：根据排序后的数据可得： （2）解：4月份30天的日平均气温的平均数是， 气温为及以上的天数为(天) （3）解：A、平均数为25，中位数为22， 这组数据为，中位数， 平均数， ∴， 即， ∴， ∴有可能或，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故A选项不符合题意． B．平均数为23，众数为25 设这组数据为，众数是25，则至少有2个25 平均数， ∴， 假设， 即， ∴有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故B选项不符合题意． C．中位数为23，众数为25 设这组数据为，中位数，众数是25，则至少有2个25， 有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故C选项不符合题意． D．平均数为25，方差 设这组数据为， 平均数， ∴ 即， 假设， 则， ∴与 矛盾， ∴这组数据中每个数据都不低于，可以判定入夏，故D选项符合题意． 故选：D 命题点五 用样本估计总体 题型01 用样本估计总体 1. 选取的样本不具有代表性和随机性，用片面样本推断总体，导致估计结果出现偏差。 2. 混淆样本与总体的概念，直接将样本的平均数、频率等当作总体的对应数值。 3. 样本容量过小仍进行总体估计，忽略样本容量不足会影响估计结果的可靠性。 【典例】（2025·北京朝阳·二模）某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：； b.该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 12 12 15 16 17 19 20 21 21 21 23 23 24 24 27 29 32 33 42 47 56 56 56 56 56 58 59 59 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 31 34 35 36 38 38 38 39 39 39 39 39 39 39 39 43 43 44 45 46 48 c.甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 35.2 56 乙 35.2 38 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对这30天送外卖量前400名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金； (3)该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资___________乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，甲应选择方案___________，乙应选择方案___________． 【答案】(1) (2)不能 (3)①；②二，一 【分析】本题考查平均数，中位数，众数，解题的关键是熟练掌握平均数，中位数和众数的定义． （1）根据中位数、众数的定义进行解答即可； （2）根据甲的平均数进行解答即可； （3）①根据方案一分别计算出甲乙俩人这30日的工资，比较即可；②根据方案二分别计算出甲乙俩人这30日的工资，与①中方案一比较即可得出结论． 【详解】（1）解：甲在这30天的送外卖量中，排在第15和16的是27和29， 则中位数； 乙在这30天的送外卖量中，39出现的次数最多，出现了8次， 则众数； （2）解：， 由频数分布直方图可知，平均送单量在“”及“”区间的人数共人，占抽样100人的，即这部分人对应前， 而甲的平均值为35.2，落在“”区间，并不在45以上那一组中， 故估计甲不能进入前400名，得不到奖金； （3）解：甲、乙的30天的日平均送单量都是35.2单/天 ， 则这30天甲、乙的总送单量为（单）， 因而二人总工资 (元)， 所以甲的工资 =乙的工资， ②若甲按“方案二”的总收入为(元)， 大于其在“方案一”下的6780元， 因此甲应选“方案二”， 若乙按“方案二”的总收入为(元)， 小于其在“方案一”下的6780元， 因此乙应选“方案一”． 【变式1】（2025·北京石景山·二模）为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）： b．A课程成绩在80≤x＜90这一组的是： 85   85   83   85   84   81   80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； (3)在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； (4)假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 【答案】(1)82 (2)A (3)①② (4)120 【分析】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行解答即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）根据两组的平均分和最高分分别进行判断即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 【详解】（1）解：∵A课程总人数为20， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在80≤x＜90这一组， ∴中位数在80≤x＜90这一组， ∵80≤x＜90这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据， ∴A课程的中位数为 ，即； （2）∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A， 故答案为： A． （3）∵， ∴学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数；故①正确； ∵学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，均在相应的中位数之上，所以按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名， 因此②正确； 故选：①② （4）由题意可得，人， 即估计A课程成绩不低于80分的学生有人． 【变式2】（2025·北京大兴·二模）为了解三款轮胎的最远行驶里程，分别从这三款轮胎中各随机抽取了8个轮胎，在相同条件下进行最远行驶里程测试，并对测试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．两款轮胎的最远行驶里程的折线统计图如下： b．款轮胎的最远行驶里程： c．三款轮胎最远行驶里程的平均数、中位数如下： 轮胎 平均数 100 100 中位数 99 100 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，___________； (2)三款轮胎最远行驶里程的平均数越大轮胎质量越好；若最远行驶里程的平均数相同，则方差越小轮胎的质量越好．三款轮胎中质量最好的是___________；若该企业引进质量最好的这款轮胎8000个，则最远行驶里程不低于95（单位：）的轮胎约有___________个． 【答案】(1)99，99 (2)B，6000 【分析】本题考查中位数，平均数，折线统计图，方差以及用样本估计总体，掌握相关统计量的定义是解答本题的关键； （1）根据平均数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义以及利用样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：款轮胎的最远行驶里程的平均数； 款轮胎的最远行驶里程的中位数． 故答案为：99，99； （2）解：，两款轮胎最远行驶里程的平均数相同，且比款大，所以，两款轮胎质量较好，又因为款轮胎的波动比款小，即款轮胎的方差比款轮胎的方差小，所以款轮胎的质量最好； （个）， 即最远行驶里程不低于95（单位：的轮胎约有6000个． 故答案为：，6000． 突破一 数据的收集与整理 【典例】某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表． 组别 正确题数x 人数 A 20 10 B 15 C 25 D m E n 根据以上信息完成下列问题： (1)统计表中的______，______，并补全图1； (2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是______； (3)已知该校共有名学生，如果答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数． 【答案】(1)；；图见详解 (2) (3)人 【分析】本题考查了样本估计总体，画条形统计图，圆心角的计算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由组的人数为人，所占的比是，可求出参与的总人数，即样本容量，用样本容量乘以组所占的百分比即可求出的值，再让样本容量减去其他组的人数即可求出的值． （2）组所占圆心角的度数，看组所占整体的百分比，用去乘这个百分比即可． （3）用样本估计总体，样本中优秀人数所占的百分比去估计总体，总人数乘以这个百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意，抽取学生总人数为：， ∴， ∴， 故答案为：；． 故补全图1如下： （2）解：根据题意可得“C组”所对应的圆心角的度数是， 故答案为：． （3）解：根据题意可得名学生中优秀的人数有：（人）， ∴名学生中，优秀的学生人数为：（人）． 【变式1】为了激发学生对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，某初中学校组织七、八年级学生参加人工智能科普测试．为了了解活动效果，从两个年级中各抽取名学生的成绩进行整理分析，分成四组（用表示成绩分数），组：，组：，组：组：，下面是部分信息： 七年级人的得分：，，，，，，，，，； 八年级人的得分在组中的分数为：，，，； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：    年级 平均数 中位数 众数 七 77.8 84 八 77.8 b 85 (1)填空：______，______；______； (2)如果该校七年级有人参加测试，八年级有人参加测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)人 (3)八年级在此次人工智能科普测试中表现更好，理由见解析． 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （）根据七年级人的得分可求出；根据扇形统计图和组得分可得出和； （）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可； （）根据平均数，众数和中位数的意义． 【详解】（1）解：∵出现的次数最多， ∴众数 ∵八年级组人数：， 八年级组人数：， 八年级组人数：， ∴八年级组人数：， ∴， ∴. ∵八年级成绩排在第和第位的是和， ∴. ∴，，； （2）∵七年级人的得分组：的有，，， ∴组得分在七年级人数中占：， ∴七年级有人参加得分在组的有：（人）； ∵八年级组得分在七年级人数中占：， ∴八年级有人参加得分在组的有：（人）， ∴（人）， 即：七、八两个年级得分在组的共有人． （3）八年级在此次人工智能科普检测中表现更好， 理由如下：虽然两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，说明八年级学生掌握的较好； 【变式2】随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 m 7 乙 8 8 7 (1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是 ； (2)表格中的m＝ ； （填“”“=”或“”）； (3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)， (3) 【分析】（1）根据频数之和等于样本容量，计算甲快递公司在配送速度为9的人数可补全频数直方图，利用圆心角计算公式计算即可． （2）根据中位数与方差的定义即可求解； （3）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出A，B，C三家农产品种植户选择同一快递公司的结果数，然后利用概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法，方差、中位数，直方图．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析和求概率． 【详解】（1）解：根据频数之和等于样本容量， 得甲快递公司在配送速度为9的人数为：（人） 补全频数直方图如下： 根据题意，得． （2）解：甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，7，8，9，9，9，10．一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8， 故中位数， 故答案为：． 根据题意，得 ． 得 ． ， 故答案为：． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知共有8种可能结果，其中三家种植户选择同一快递公司的有2种结果， ∴三家种植户选择同一快递公司的概率为． 突破二 数据分析 【典例】2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲校10名志愿者的成绩（分）为：． 乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：． 甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表 甲校 乙校 平均数 87 87 中位数 87.5 b 方差 79.4 众数 c 95 (1)由上表填空：_______，_______，______________； (2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由； (3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人． 【答案】(1) (2)乙校较好，理由见解析 (3)甲校成绩在90分及以上的约有80人 【分析】（1）先通过扇形统计图求出各组数据的情况，即可求出a、b的值，再根据题目中给出的甲校的具体值，就可以算出c和的值； （2）可从中位数、众数和方差的角度进行分析即可； （3）算出甲校90分以上人数的占比，再用总人数200去乘即可； 【详解】（1）由扇形统计图数据可知，C组数据有三人，占比为30% A的圆心角度数为36° ∴A的占比为×100%=10% ∴B的占比=1-10%-30%-40%=20% ∴a=20 又∵乙校各档次的人数分别为1人、2人、3人、4人 ∴中位数是第五位和第六位数，分别是88和89 ∴b==88.5 根据方差的公式，可算出82.8 观察甲的数据，可发现众数c为87. （2）解：从中位数来看，乙校的中位数高于甲校的中位数，所以乙校志愿者的成绩的中等水平好于甲校； 从众数来看，乙校的众数高于甲校的众数，所以乙校大多数志愿者的成绩好于甲校大多数志愿者的成绩； 从方差来看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成绩更加稳定，所以我认为乙校较好．（可以从平均数、中位数、方差、众数等角度分析，言之有理即可） （3）解：甲校成绩在90分以上的有4人，占比为40%； ∴（人） 答：甲校成绩在90分及以上的约有80人． 【点睛】本题考查扇形统计图和表格信息的综合，求平均数、中位数、众数和方差，以及用样本的数据估计总体，理解各统计图的信息并灵活运用是解决本题的关键． 【变式1】从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】(1)，， (2) (3)甲，理由见解析 【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； （2）解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； （3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 【变式2】项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下： 【收集整理】 七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，； 八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95，； 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100， 【描述分析】 （1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 七年级 a 70 70 八年级 86 c 九年级 85 b 80 直接写出______，______，______． 【分析解决】 （2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价． 【答案】（1）77，85，90；（2）见解析 【分析】本题考查了中位数，众数，算术平均数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的计算方法是解题的关键． 根据算术平均数，众数和中位数的定义解答即可； 根据平均数，众数或中位数的意义解答即可． 【详解】由题意得：； 在八年级10名学生得分数中，90出现的次数最多，故众数； 把九年级10名学生得分数从小到大排列，排在中间的两个数分别是80，90，故中位数， 故答案为：77；85；90； 从平均数看，，八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差，建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．答案不唯一，从中位数、众数角度回答均可 1．（2025·北京西城·二模）为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（   ） A．随机抽取某个班的全体学生 B．每个年级各推荐20名学生 C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生 D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生 【答案】D 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：D． 2．（2024·北京·模拟预测）我们学习过方差的表述意义，下列指标能刻画数据的离散程度有几个？（  ） 我们记：          A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了刻画数据离散程度的量，解题的关键是根据方差的非负性的特点进行判断． 【详解】解：根据方差的非负性的特点来进行判断； 可能会出现负值的情况，故不能刻画离散程度； ，故能刻画离散程度，值越大离散程度越大； 可能会出现负值的情况，故不能刻画离散程度； ，故能刻画离散程度，值越大离散程度越大； 故有2个， 故选：B． 3．（2023·北京·模拟预测）下图是国家统计局发布的2021年2月至2022年2月北京居民消费价格涨跌情况折线图（注：2022年2月与2021年2月相比较称为同比，2022年2月与2022年1月相比较称为环比）．    根据图中信息，有下面四个推断： ①2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比均上涨； ②2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比有涨有跌； ③在北京居民消费价格同比数据中，2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差； ④在北京居民消费价格环比数据中，2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数．上述结论中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】直接利用折线图，结合环比与同比的概念，判断①②③④的结论，即可得出答案． 【详解】解：从同比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格同比数据有正数也有负数，即同比有上涨也有下跌，故①错误； 从环比来看，2021年2月至2022年2月北京居民消费价格环比数据有正数也有负数，即环比有上涨也有下跌，故②正确； 从折线统计图看，2021年4月至8月的同比数据波动小于2021年4月至8月的同比数据波动，所以2021年4月至8月的同比数据的方差小于2021年9月至2022年1月同比数据的方差，故③正确； 2021年4月至8月的环比数据的平均数为：， 2021年9月至2022年1月环比数据的平均数为：， ∴2021年4月至8月的环比数据的平均数小于2021年9月至2022年1月环比数据的平均数，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查折线统计图，方差，平均数，从统计图获取的所要的信息是解题的关键． 4．（2024·北京海淀·模拟预测）空气质量指数（简称为AQI）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示． AQI数据 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 301以上 AQI类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年1月份北京市AQI各类别天数的统计图如下图所示．    根据以上信息，下列推断不合理的是（    ） A．AQI类别为“优”的天数最多的是2018年1月 B．AQI数据在0～100之间的天数最少的是2014年1月 C．这五年的1月里，6个AQI类别中，类别“优”的天数波动最大 D．2018年1月的AQI数据的月均值会达到“中度污染”类别 【答案】D 【分析】根据折线统计图中六条折线，结合各选项逐一判断即可得． 【详解】A、AQI为“优”最多的天数是天，对应为年月，故A对； B、AQI在0~100之间天数最少的为2014年1月，故B对； C、观察折线图，类别为“优”的波动最大，故C对； D、2018年1月的AQI在“中度污染”的天数为1天，其他天AQI均在“中度污染”之上，因此D推断不合理． 故选：D． 【点睛】本题考查统计图表的认识，读懂统计图表是解题基础．属于基础题． 5．（2024·北京·模拟预测）在今年的慈善基金捐款活动中，某单位对捐款金额分别是人民币元、元、元、元和元的人数进行了统计，制成如下统计图，那么从该统计图获得的四条信息中正确的是（   ） A．捐款金额越高，捐款的人数越少 B．捐款金额为元的人数比捐款金额为元的人数要少 C．捐款金额为元的人数最多 D．捐款金额为元的人数最少 【答案】C 【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，本题主要考查了从条形统计图读取每个项目的数据，再做比较．从条形图中得出捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数，再进行判断． 【详解】解：由图知，捐款金额分别是人民币100元、200元、300元、400元和500元的人数分别是2，5，11，5，6． 选项、、是错误的，正确的是，捐款金额为300元的人数最多是11人． 故选：． 6．（2024·北京·三模）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，．若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则关于，，大小关系的表述中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象与性质，若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，取为中点，则，若连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，数形结合即可得到答案．分析出的几何意义是解答问题的关键． 【详解】解：若为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，为中点，则， 连接原点，即可转化为过原点的直线的倾斜程度，如图所示： 由过原点的直线的倾斜程度和直线与正半轴夹角大小有关， ， 关于，，大小关系是， 故选：B． 7．（2023·北京朝阳·一模）图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，方差，利用平均数和方差公式计算即可求解，掌握平均数和方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵同比的数据为， ∴， ， ∵环比的数据为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．（2024·北京东城）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了求平均数和方差，分别求出两所中学5名学生的成绩的平均数和方差，即可求解． 【详解】解：根据题意得：甲所中学名学生的成绩为，，，，， 乙所中学名学生的成绩为，，，，， ∴，， ， ， ∴，． 故选：D 9．（2025·北京西城·一模）某单位有A，B两条生产线生产同一种产品．为了解两条生产线产品质量的稳定性，要在两条生产线的产品中随机抽取一定数量的样品进行调查．在两条生产线的产品中每次各抽取100个样品，共抽取五次．已知在五次抽取中，A，B两条生产线合格产品的数量（单位：个）如下： A：89  91  92  93  95 B：88  91  92  93  96 则五次抽取的样品中产品质量更为稳定的生产线是______． 【答案】A 【分析】本题考查了方差和平均数，先求出各生产线平均数和方差，然后比较方差即可得出结论． 【详解】解：甲生产线的平均数为， 甲生产线的方差为， 乙生产线的平均数为， 乙生产线的方差为 ∵， ∴质量更为稳定的生产线是A， 故答案为：A． 58．（2025·北京·三模）某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校2400名学生中成绩不低于80分的人数为________人． 【答案】1800 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．用全校的学生总数乘以样本中成绩不低于80分所占的比例即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：1800． 10．（2025·北京石景山·模拟预测）某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对3000棵该品种树苗进行抽测．近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度（单位：），则估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好（树苗中高度不低于）的有________棵． 【答案】1410 【分析】本题考查由样本估计总体，熟练掌握由样本估计总体的计算方法是解决问题的关键．先计算出随机抽测的100棵树苗中高度不低于的占比，再乘3000棵，即可得出答案． 【详解】解：∵随机抽测的100棵树苗中高度不低于的占比为：， ∴估计此时该基地培育的3000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：（棵）， 故答案为：1410． 11．（2025·北京石景山·二模）某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了外，每个数据之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可． 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 12．（2025·北京海淀·三模）咖啡店自制了300袋黄油饼干，从中随机抽取了10袋检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下：47，46，a，50，49，49，48，50，52，49，这组数据的众数只有一个，恰好是a．则从这300袋饼干中随机抽取一袋，抽到质量为_____g的可能性最大，并估计这批饼干中质量超过的饼干有_____袋． 【答案】 49 90 【分析】本题考查了众数的定义，事件发生的可能性大小，样本估计总体，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据众数的定义即可得到，根据众数的定义即可得到抽到质量为的可能性最大，再用样本估计总体的方法求解这批饼干中质量超过的饼干的数量． 【详解】解：数据46有1个；数据47有1个；数据48有1个；数据49有3个；数据50有2个；数据52有1个， ∵数据的众数只有一个，恰好是a， ∴； ∵众数为49， ∴抽到质量为的可能性最大， 则这批饼干中质量超过的饼干有：（袋）， 故答案为：49；90． 13．自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的开源大模型横空出世之后，全球掀起部署或本地接入这一重磅生成式应用的巨浪．我们在选择软件时，可以根据具体需求如语言、场景、功能复杂度等进行权衡．为了解甲、乙两款软件的使用效果，兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两款软件信息识别准确度得分的折线统计图(图1)； b．甲、乙两款软件信息处理速度得分的条形统计图(图2)； c．甲、乙两款软件信息处理速度得分的平均数、中位数、众数及信息识别准确度得分的平均数、方差； 信息处理速度 信息识别准确度 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 m 乙 n 7 根据以上信息，回答下列问题： (1)m的值为 ，n的值为 ； (2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便．据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是 (填“甲”或“乙”)； (3)小组重新随机抽取了5名使用者，调查结果用表示(如下表)，对两个产品进行性能对比．准确度和处理速度的得分中，方差越小，则性能越好；根据使用需求，使用者对准确度的要求比处理速度要高，在计算两个产品的平均得分时，准确度占比，处理速度占比，得分越高，性能越好，综合两个产品得分的方差和平均数，性能更好的是 ． 准确度 处理速度 A B C D E A B C D E 甲 5 5 6 3 8 6 8 7 9 8 乙 4 7 5 2 5 7 6 7 8 9 【答案】(1)9，7.5 (2)甲 (3)甲 【分析】本题考查统计图，求中位数，众数，方差和加权平均数，熟练掌握各种数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）根据折线图判断方差的大小，即可得出结果； （3）利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】（1）解：由条形图可知，甲款软件信息处理速度得分出现次数最多的是9， 故； 乙款软件信息处理速度得分的数据排序后，第10个和第11个数据分别为和， 故； 故答案为：9，； （2）解：由折线图可知，甲款软件信息识别准确度得分的波动小，乙款软件信息识别准确度得分的波动较大， ∴， ∴甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是甲； （3）解：甲的准确度的平均数为， 方差为； 甲的处理速度的平均数为分， 方差为； 故甲的综合得分为； 乙的准确度的平均数为， 方差为； 乙的处理速度的平均数为分， 方差为； 故乙的综合得分为； 综上，甲的加权平均数大于乙的加权平均数，甲和乙的方差相同，故性能更好的是甲． 14．某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85      乙      8 87      丙 8 n p      根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______，______； (2)通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； (3)按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 【答案】(1)9，8，83 (2)乙 (3)综合成绩最高的是乙 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【详解】（1）解：把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：9，8，83； （2）解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； （3）解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 15．（2025·北京丰台·二模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． (1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79  84  85  85  88  88  88  89  90  93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； (2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 【答案】(1)①88，3；②平均数； (2)94 【分析】本题考查求中位数，众数和方差，直方图，熟练掌握相关数据的计算方法，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）①根据众数是出现次数最多的数据，中位数为排序后，位于中间一位或中间两位数据的平均数，进行判断即可；②根据中位数和众数，平均数的确定方法，进行判断即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，结合，，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①教师评分中出现次数最多的数据位88，故众数为88，即：； 由直方图可知，学生评分数据的第25个和第26个数据均位于第三组；故中位数位于第三组； ②学生评分的众数为87，与数据70无关，故众数不变，中位数由第25个数据和第26个数据的平均数变为第25个数据，中位数可能不变，也可能变小，平均数受极端值影响，去掉一个比平均数小的数，平均数会变大，故一定变大的是平均数； （2）；， ， ∵， ∴，解得：， 当时： ，满足题意； 当时： ，满足题意； 当时：，不满足题意； 当时，，不符合题意； 故整数的最大值为94． 16．（2025·北京）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，某校举行健美操比赛．最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛，团体决赛需要分别进行五个单项比赛．单项比赛和团体决赛的计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分． 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，最终成绩较高的班级排序靠前，若最终成绩相同，则整体发挥稳定性较好的班级排序靠前． 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： a．甲班五个单项得分和乙班四个单项得分的折线图： b．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 88 m 94 90 92 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲班五个单项得分的中位数为： ； (2)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，则丙班第二个单项的得分 ； (3)甲班与丙班相比较，排名比较靠前的是 班（填“甲”或“丙”）； (4)若最终的比赛结果乙班排名居中，则乙班第五个项目的得分可能为 （得分为整数）． 【答案】(1)92 (2)83 (3)丙 (4)95 【分析】本题考查了统计表与折线统计图，中位数，求平均数等知识，掌握这些知识，数形结合是解题的关键； （1）根据中位数的意义即可求解； （2）去掉最高分与最低分，求出三个得分的平均数即可； （3）计算两班的团体得分，即可判断； （4）由（3）的计算知，乙的第5个单项得分即可确定． 【详解】（1）解：由折线统计图知，甲班得分按由低到高排列为80，83，92，93，98，则中间位置的分数是92，即中位数为92； 故答案为：92； （2）解：在80，84，86，83，82中，去掉最高分86，去掉最低分80， 则； 故答案为：83； （3）解：甲班的团体得分为：， 丙班的团体得分为：， 则丙班更靠前； 故答案为：丙； （4）解：由（3）知，乙的团体得分为446，则， 则可能得分为95分； 故答案为：95． 1．在大力推进生态文明建设的当下，垃圾分类乃是城市绿色发展的关键之举．按照相关标准，“厨余垃圾正确投放率”不低于即为达标．为深入了解某地区垃圾分类的落实情况，相关部门在该地区开展专项调查，从150个小区中随机抽取10个小区调查“厨余垃圾正确投放率”，数据如下（单位：％）：82，75，90，68，85，78，92，8，87，73．根据以上信息，回答下列问题： (1)这组数据的中位数是__________％； (2)估计该地区150个小区中时“厨余垃圾正确投放率”达标的小区数量； (3)将抽取的10个小区作为试点，其中未达标的小区立即整改（已达标的小区无需整改），整改后全部达标，并且“厨余垃圾正确投放率”的中位数提升至，那么试点中整改小区的“厨余垃圾正确投放率”提升总和至少是__________． 【答案】(1)81； (2)90； (3)36 【分析】（1）将数据按从小到大排序，再求出中位数； （2）先求出根据达标标准求出达标比例，再乘以总小区个数即可； （3）根据整改后数据的中位数是第5和第6个数据的平均值，为了使中位数达到85%，第5和第6个数据必须满足：(第5个数据 + 第6个数据) 求解． 【详解】（1）解：将给定的10个数据按从小到大排序：68， 73， 75， 78， 80， 82， 85， 87， 90， 92 中位数是第5和第6个数据的平均值； 故答案为：81； （2）∵达标标准是“厨余垃圾正确投放率” ≥ 80%， ∴在排序后的数据中，达标的数据有：80，82，85，87，90，92共5个小区达标， ∴样本中达标比例为 ， ∴估计总体达标数量 ； （3）∵根据（2）部分，达标小区有6个，未达标小区有4个， ∴将所有未达标数据提升到80： 68提升到80，； 73提升到80，； 75提升到80，； 78提升到80，； 提长的总和：， 此时数据排序为：80， 80， 80， 80， 80， 82， 85， 87， 90， 92， 中位数：，不满足85， 进一步调整： 将第3个数据（80）提升到85，； 将第4个数据（80）提升到85，， 总和增加：， 总提升：， 数据排序：，，，，，，，，，， 中位数：，满足条件． 【点睛】本题考查了中位数的计算、求一组数据的平均数、样本估计总体以及调查收集数据的过程与方法，解题的关键是掌握中位数的计算方法、理解样本与总体的关系，以及灵活运用数据调整策略． 2．为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分共分（其中运动参与满分分，主要有平时体育课、课间体育活动等；运动技能满分分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；体质健康测试满分分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；统一体能测试满分分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）． 某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述． 下面给出了部分信息： 信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用表示，将总分数据分成如下四组：第组：，第组：，第组：，第组：，以下是总分的频数直方图和扇形统计图的部分信息． 结合信息一解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全，________，第4组所对应的圆心角的度数是________； （2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组； （3）该校八年级共有名学生，请估计体育总分不低于分的学生有多少名？ 信息二： 抽取的学生在．运动参与、．运动技能测试、．体质健康测试、．统一体能测试四部分的平均数和方差如下表： 运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试 平均分 方差 （4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成绩，提出至少两条合理化建议． 【答案】（1）；； （2）； （3）人； （4）见解析． 【分析】从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为，从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的百分比为，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的总人数，用总人数乘以扇形统计图中第组人数所占的百分比求出第组的人数，根据第组的人数补全统计图即可；是第组人数占总人数的百分比，根据第组的人数和总人数计算即可；根据第的人数和总人数求出第组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第组的圆心角即可； 共抽查了学生，根据中位数的定义可知：中位数是第、名成绩的平均数，从条形统计图中可知：第、名位于第组，所以抽取的这些学生的中位数位于第组； 利用样本估计总体，根据抽查的名学生中体育成绩不低于分的人数所占的百分比代表全校所有学生成绩不低于分人数的百分比，计算即可； 从表格中可知、两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从、两项中提高成绩． 【详解】解：从条形统计图可知：第组、组、组人数之和为， 从扇形统计图中可知：第组、组、组人数之和占总人数的， 抽取的总人数为：（人） 第组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 第组有人，占比为：， ∴， 第组有人， 第组占抽查总人数的， 扇形统计图中第组对应的圆心角的度数为：， 故答案为，； 总共抽查了人， 中位数是第、名成绩的平均数， 第1组和第2组总人数是24人， 从条形统计图中可知：第、名位于第组， 抽取的这些学生的中位数位于第组； 从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于分的学生， 利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于分的学生总人数为人； 、两项权重较大，是影响体育总分的主要因素． 建议：保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内； 加强锻炼增强肺活量； 加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可） 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息． 3．为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图表，已知乙学校测试班级有10人的成绩是级． 学校 平均数 中位数 众数 甲校测试班级 9 10 乙校测试班级 9 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)将甲校测试班级的成绩统计图补充完整； (2) __________， ___________， ___________； (3)从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，若新数据的中位数大于原甲校数据的中位数，则的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)32，9，9 (3)5 【分析】本题考查中位数、众数、条形统计图与扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． （1）先求得乙校测试班级总人数，从而得到甲校班级人数，从而算得等级人数，然后补充统计图即可； （2）根据甲校班级人数为25人，可知中位数为第13人成绩，从而求得中位数， 由扇形统计图可知，乙校等级人数占比最多，从而求得众数，并求得； （3）甲校原来的中位数为9，那么需要从乙校最少抽取5个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲校数据的中位数． 【详解】（1）解：已知乙学校测试班级有10人的成绩是级，占比， 那么乙学校抽查班级人数为：（人） 因为甲、乙两校被抽查班级人数相同，所以甲学校被抽查班级总人数为25人， 等级人数为：（人） 补充的统计图如下图，为所求： （2）解：32，9，9，理由如下： 甲校班级人数为25人，那么成绩按低到高排列后，中位数为第13人成绩，所以中位数为：9； 由扇形统计图可知，乙校等级人数占比最多，那么乙校测试班级众数为9； ，故； 故答案为：32，9，9； （3）解：5，理由如下： 甲校班级分数如下：10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，9，9，9，9，9，9，8，8，8，8，8，8，8，8，7，甲校原来的中位数为9，从乙校抽取的数据中选取个数据，与甲校抽取的全部数据组成一组新数据，那么需要从乙校最少抽取个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原甲校数据的中位数． 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为9，不符合题意； 当时，此时中位数为，符合题意； 故答案为：5． 4．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，依题意可知，丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，从而列出方程组，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②原始成绩分，报告成绩分合格，得到方程，解得，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ∵丙、丁的报告成绩分别为92分和64分， ∴丙的原始成绩合格，则丁的原始成绩不合格，即， ∴ 解得：，且符合题意， ∴的值为； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②∵①中的中位数换算成报告成绩为90分， ∴原始成绩分，报告成绩分合格， ∴，解得， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 5．为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． (2)补全下面的表格中的数据：________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 (3)若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有多少人？ 【答案】(1)见解析； (2)，，； (3)人 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得、、等于级的人数，可得获得级的人数，根据获得级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出、、的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【详解】（1）解：乙学校测试班级有人的成绩是级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： （2）解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得组的人数为(人)，获得级的有(人)， 获得级的有(人)，获得级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； （3）解：甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为级及以上的学生有人． 1．（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表： 平均数 中位数 方差 七年级 95 八年级 92.5 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由； (3)该校七年级200名学生和八年级160名学生参加了本次环保知识竞赛，得分90分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数． 【答案】(1)93.2；96.5； (2)七年级，理由见解析 (3)256人 【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答． （1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答． （2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答． （3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 把八年级的成绩从大到小排序：， 位于中间位置的数分别为， 观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差， ∴； （2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可） （3）解：依题意，， 估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人． 2．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：(1)； 故答案为：120； (2)喜爱玩偶的人数为， ； 故答案为：； (3)(人) 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人． (4)根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即． 所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)． 3．（2025·江苏无锡·中考真题）2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据） (2)若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数； (3)根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议． 【答案】(1)，画图见解析 (2)人 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用图中的数据，求出所求问题的答案． （1）由3D打印人数及其所占百分比可得样本容量，再根据各组人数之和等于总人数求出无人机社团人数即可补全图形； （2）总人数乘以样本中参加“机器人”社团的学生人数所占百分比即可； （3）根据统计图的信息提出合理建议即可． 【详解】（1）解：本次调查的样本容量为， 无人机社团人数为（人）， 补全图形如下： （2）解：（人）， 答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人. （3）解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）． 4．（2025·山东济南·中考真题）某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： (1)求随机抽取的学生人数； (2)统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； (3)抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； (4)若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】(1)50人 (2)8，144 (3)70 (4)576人 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：（人） 即随机抽取的学生人数为50人； （2）解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； （3）解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； （4）解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 5．（2025·江苏徐州·中考真题）为了解某景区外地自驾游客的分布情况，某日小桐随机调查了该景区附近部分宾馆停车场的车辆数，根据车牌号归属地的不同，绘制了如下统计图（不完整）： 根据图中信息，解答下列问题． (1)小桐共调查了_______辆车，“豫”对应扇形的圆心角为_______°； (2)补全条形统计图； (3)若该景区附近宾馆停车场当日共有450辆外地自驾游客的车辆，估计其中车牌号归属地为“皖”的车辆有多少？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)辆． 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体等知识． （1）用车牌号归属地为“苏”的车辆数除以对应的百分比即可求出调查的车辆数，再由乘以“豫”的车辆数对应的百分比即可求出圆心角度数； （2）求出车牌号归属地为“鲁”的车辆数，再补全统计图即可； （3）用所有车辆数乘以车牌号归属地为“皖”的车辆的百分比即可求出答案． 【详解】（1）解：（辆）， 即小桐共调查了辆车， ， 即“豫”对应扇形的圆心角为， 故答案为：， （2）车牌号归属地为“鲁”的车辆数为： （辆）， 补全统计图如下； （3）（辆） 答：其中车牌号归属地为“皖”的车辆有辆． 6．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】 试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm） 56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，） 组别类型 A B C D E 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 （1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 【答案】（1）不赞同，理由见解析；（2）见解析，；（3）见解析；（4）见解析 【分析】本题考查频数分布表，统计图，利用方差作决策： （1）根据分组方法，求出最大值与最小值的差，进而求出组数为5和组数为10的组距，进行判断即可； （2）根据分布表补全直方图，利用360度乘以D组所占的百分比，求出圆心角的度数即可； （3）求出试验田和对照田中长势良好的玉米株数所占的比例，进行分析即可； （4）利用相关数据进行说明即可。 【详解】解：（1）不赞同． 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．若组数为5，则组距为4，是合适的．若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律． （2）补全直方图如图： D组对应的圆心角为 （3）试验田中长势良好的玉米株数为，占比； 对照田中长势良好的玉米株数占比为； 所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田； （4）从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．综合以上信息，试验田长势好于对照田． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $