第10讲 一次函数的图像与性质（复习讲义，5考点12题型5重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的图像与性质”专题，覆盖定义、图像性质、解析式求法、平移及与方程不等式综合等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析等模块梳理知识内在联系，设计“考点梳理-方法指导-真题训练”流程突破难点。 亮点是结合新课标核心素养，如用待定系数法培养抽象能力，几何综合题发展几何直观，“命题洞悉”模块针对高频题型设计典例变式，分层练习适配不同学生，助力教师把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第四章 函数及其图象 第10讲 一次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 一次函数的定义与解析式 题型01求一次函数自变量或函数值 题型02列一次函数解析式并求值 命题点二 一次函数的图像与性质 题型01判断一次函数的图象 题型02根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型03一次函数图象与对称问题 命题点三 一次函数解析式的求法 题型01 求一次函数解析式 命题点四 一次函数的图像平移 题型01一次函数图象平移问题 命题点五 一次函数与方程、不等式 题型01一次函数与一元一次不等式 题型02 一次函数与二元一次方程组 05·重难突破·思维进阶难 25 突破一 一次函数与坐标轴交点问题 突破二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 突破三 一次函数图像平移问题 突破四 一次函数的规律探究问题 突破五 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 31 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的概念与解析式 / / 北京卷T22（求一次函数解析式） 理解一次函数的概念，能根据已知条件确定一次函数的解析式 一次函数的图像与性质 北京卷T21（函数图像交点与性质） / / 能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；理解正比例函数 一次函数与方程、不等式的关系 北京卷T26（函数值比较与不等式） / 北京卷T22（一次函数与不等式结合） 体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系；能用一次函数解决简单实际问题 一次函数的应用 / / 能运用一次函数的图像和性质解决简单的实际问题，如行程问题、利润问题等 命题预测 1. 一次函数解析式的求解（待定系数法）与图像性质（增减性、与坐标轴交点）；2. 一次函数与不等式结合，比较函数值大小或求解参数范围；3. 实际应用题中结合图像分析数量关系，强调建模思想 考点一 一次函数的定义与解析式 1. 一次函数的定义 一般地，形如 （， 为常数，且 ） 的函数，叫做一次函数。 自变量 的次数为 1，且系数 不能为 0； 常数项 可以为任意实数（包括 0）。 2. 正比例函数（一次函数的特殊形式） 当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数； 正比例函数的图像必过 原点 。 3. 解析式的三种形式 一般式：（） 点斜式：（已知斜率 和点 ，中考常用待定系数法替代） 截距式：（，， 为x轴截距， 为y轴截距，了解即可） 易错点提示 忽略 的条件，如误将 或 当作一次函数； 混淆一次函数与正比例函数的包含关系，认为“一次函数都是正比例函数”。 1．（2025北京平谷）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的图象和性质，不等式的性质，掌握一次函数的图象和性质是正确解答的前提． 根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的增减性逐项进行判断即可． 【详解】解：①当时，，当时，， 而一次函数，y随x的增大而减小，所以，所以①正确； ②一次函数，y随x的增大而增大， ∴当时，，因此②不正确； ③解方程组，解得，则函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 当时，，，此时交点在第一象限，所以③不正确； ④若点点在函数的图象上，点在函数的图象上， 则， ， ∴，， 当时，，即，因此④正确． 综上所述，正确的结论有①④． 故答案为：①④ 2．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于4， 所以如图所示，当过点时满足题意， 代入得：， 解得：．      【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想是解题的关键． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出a的值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出的值即可． 【详解】（1）把点和代入得：， 解得， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为， 当时， 解得：， ∴点的坐标为； （2）由（1）知：当时，， 因为当时，的值小于函数的值且大于， 所以当过点时满足题意， ∴， 解得：． 考点二 一次函数的图像与性质 1. 图像形状 一次函数 （）的图像是一条 直线，因此一次函数的图像也称为 直线 。 画一次函数图像的简便方法：两点法 找与x轴的交点：令 ，解得 ，交点为 ； 找与y轴的交点：令 ，解得 ，交点为 ； 连接两点即可得到直线。 正比例函数 （）的图像：过原点 和点 的直线，只需找这两个点即可画出。 2. 系数 和 的几何意义与作用 （1）系数 的作用（决定直线的倾斜程度和增减性） 倾斜程度： 越大，直线越 陡峭； 越小，直线越 平缓； 增减性（必考）： 当 时，y 随 x 的增大而 增大； 当 时，y 随 x 的增大而 减小。 平行关系：若两条直线的斜率分别为 和 ，则两直线平行 且 。 （2）系数 的作用（决定直线与y轴的交点位置） 时，直线与y轴交于 正半轴（原点上方）； 时，直线过 原点（正比例函数）； 时，直线与y轴交于 负半轴（原点下方）。 3. 一次函数图像的象限分布（由 和 共同决定，北京中考高频选择考点） 的符号 的符号 直线经过的象限 示例（） 一、二、三象限 一、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 易错点提示 仅根据 或 单一系数判断象限，忽略两者的共同作用； 混淆“ 时y随x增大而增大”与“ 时y随x增大而减小”的规律； 画图像时未用两点法，或找错与坐标轴的交点坐标。 1．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方， ∴要大于， ∴． 2．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析； (3)或，或； 【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据当时，，当时，，与是正比例函数，求出解析式即可； （）根据画函数图象方法步骤即可； （）根据题意将图象向上平移个单位，然后观察图象即可； 观察图象即可． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴与是正比例函数， 设， ∴，解得：， ∴， 当时，， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：∵装置比装置早启动了，如图， 根据图象可知，装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或， 故答案为：或，或； 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取实验物质， 故答案为：． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 【答案】A 【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误． 【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， 当时，，则；当时，，则； A、、， ，且，则为等腰直角三角形， 故该选项正确，符合题意； B、， 点坐标为错误，不符合题意； C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， ，且、，则图象经过第一、二、四象限， 故该选项错误，不符合题意； D、过点作于点，如图所示： 是等腰直角三角形，， 由勾股定理可得， ， 由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线， ，即点到的图象距离为， 故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 考点三 一次函数解析式的求法 1. 核心方法：待定系数法 步骤： （1） 设：根据题意设出函数解析式（若已知是正比例函数，设 ；若只知是一次函数，设 ）； （2） 代：将已知的点的坐标（或其他条件）代入解析式，得到关于 、 的方程（组）； （3） 解：解这个方程（组），求出 、 的值； （4） 写：将 、 的值代入所设解析式，写出最终的函数解析式。 2. 常见已知条件类型 已知 两个点的坐标（最基础类型，北京中考必考）； 已知 一个点的坐标和斜率 ； 已知 直线与x轴、y轴的交点坐标（即已知截距）； 已知 直线平行于另一条一次函数的图像（即斜率 相等）。 易错点提示 设解析式时，未根据题意选择正确形式（如已知是正比例函数，却设为 ）； 代入点的坐标时，横、纵坐标颠倒（如将点 代入为 ）； 解方程组时计算错误，导致 、 的值出错。 1．（2025北京专题）某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间为（单位：）时，小组成员分别记录了下的发酵速率下的发酵速率，部分数据如下： 1 5 9 10 11 14 17 19 23 26 29 32 36 (1)当时，下的发酵速率每小时增加（a为常数）的值为___________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出了函数的图象，描出了与各对对应值为坐标的点，补全函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当发酵时间为___________h时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②若发酵速率不低于，葡萄酒的发酵效果较好，下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），则的值为___________，的值约为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)0.05 (2)见解析 (3)①11；②25；2.2 【分析】（1）根据表格中的数据求出a的值即可； （2）根据描出的点，连线即可； （3）①根据图象得出时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②根据表格中的数据求出的值，根据函数图象求出函数解析式，然后分别求出时，的值，然后求出的值，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，下的发酵速率每小时增加： ． 故答案为：0.05. （2）解：如图所示： （3）解：①根据图象得出时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②下的发酵速率不低于的持续时间为， 根据函数图象可知：当时或时，下的发酵速率是时间的一次函数， ∴设当时，下的发酵速率的函数解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 设当时，下的发酵速率的函数解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， 下的发酵速率不低于的持续时间为： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了从函数图象中获得信息，画函数图象，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 2．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）由函数解析式可得直线与直线都经过点，由直线经过点，可知当直线经过点或时，有，求出的值再结合函数图象解答即可求解； 两种情况解答即可； 本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，理解题意并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 将点代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴直线与直线都经过点， 当时，， ∴直线经过点， 当直线经过点或时，有，画图如下： 当直线经过点时，， 解得； 当直线经过点时，， 解得； ∵当时，对于的每一个值，， ∴或． 3．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 考点四 一次函数的图像平移 1. 平移规律（核心口诀：“左加右减，上加下减”） 针对 自变量 的平移（左右平移）： 直线 向右平移 个单位（）：； 直线 向左平移 个单位（）：； （规律：左右平移时，对 进行“左加右减”， 和 不变） 针对 函数值 的平移（上下平移）： 直线 向上平移 个单位（）：； 直线 向下平移 个单位（）：； （规律：上下平移时，对 进行“上加下减”， 不变） 2. 平移的性质 一次函数图像平移后，斜率 不变（即直线的倾斜程度和增减性不变），仅 截距 或与x轴的交点 发生变化。 易错点提示 左右平移时，误对整个函数式进行“左加右减”（如向左平移2个单位，误写成 ）； 混淆“点的平移”与“函数图像的平移”规律（点的平移是“左减右加”，与函数图像相反）。 1．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析，平移的性质是关键． （1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， 对于，当时，时，的值小于， 对于， ∵的值越大，越靠近轴，若的值大于， ∴， ∴，且， 综上所述，，且． 2．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． （1）先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入,求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）结合图象即可求得． 【详解】（1）解：一次函数的图象是由的图象平移得到， ， 把点代入可得， 解得， 所以一次函数的表达式为 （2）解：设， 当时，， 把代入，可得，解得， 当时，对于的每一个值都有， 即当时，对于的每一个值都有， 结合图象可得且． 3．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数平移，待定系数法求解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集； （1）根据一次函数的平移可得函数过点，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据当时，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于等于1，即可求解． 【详解】（1）.解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数过点，            ∴， 解得： ∴函数解析式为 （2）解：时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数之差的绝对值差大于1， ∴ ∴或 解得：或 考点五 一次函数与方程、不等式、几何的综合应用 1. 一次函数与一元一次方程 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解； 几何意义：求直线与x轴交点的横坐标。 2. 一次函数与一元一次不等式 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 3. 一次函数与二元一次方程组 两个一次函数 和 的图像 交点坐标，就是方程组 的解； 反之，方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标。 4. 一次函数与几何图形的综合 求直线与几何图形（三角形、四边形）的交点坐标； 利用一次函数的性质求几何图形的面积（如直线与坐标轴围成的三角形面积，公式：）； 结合几何图形的平移、旋转、对称，求平移后直线的解析式。 易错点提示 利用一次函数解不等式时，忽略直线的增减性，导致解集方向错误； 求直线与坐标轴围成的三角形面积时，忽略距离的绝对值（如截距为负数时，未取绝对值导致面积为负）。 1．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能结合函数图象进行分析是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）依据题意，在同一坐标系中画出直线，，又当时，，故；当时，，可得令，故，结合结合题意，即可判断得解． 【详解】（1）解：把点，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线，如下． 由题意，当时，， 则，故． 又∵当时，， ∴令，则，故． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值， ∴． 2．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若两个函数的图象相交于点A，当时，求点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为； (2)． 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）先求得点，代入求得，根据题意画出草图，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：当时，， ∵当，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1， ∴， 解得， ∴． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； （2）当时，不符合题意；当，恒成立；当时，，解答即可． 本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． 【详解】（1）解：由函数和，得， 故， 当时，， 由， 故， 故点一定不在直线上． （2）解：由为函数和交点的横坐标，且当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值， 故， 解得， 当时，不符合题意； 当，恒成立； 当时，， 解得， 故． 命题点一 一次函数的定义与解析式 ►题型01 求一次函数自变量或函数值 1. 变量对应混淆：搞反自变量x与函数值y，或点坐标(x,y)代入时横纵颠倒 2. 解方程错误：移项忘变号、负系数化1时不等号方向未调整 3. 含括号/绝对值代入：去括号漏乘、绝对值处理忽略正负解 4. 忽略取值范围：未考虑实际问题中自变量的限制，导致结果无效 【典例】已知一次函数，它的图象经过两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法，把把代入，建立方程组再解方程，即可作答． （2）根据一次函数的性质：，一次函数的随的增大而减小，然后分别算出当，时，所对应的函数值，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把代入 得 解得 ∴； （2）解：∵ ∴ 故一次函数的随的增大而减小 则当时，则； 当时，则； ∴当时，函数值y的取值范围为． 【变式1】如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大． （1）将点和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值即可； （2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数与过点的一次函数交于点， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； （2）解：根据函数的图象，可得不等式的解集为：． 【变式2】（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数与不等式之间的关系： （1）先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出当时，，即可求出点C的坐标； （2）解不等式组得到，再根据不等式组有解，以及当时，不等式组一定成立可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：当时， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3， ∴， ∴． 题型02 列一次函数解析式并求值 1. 混淆函数类型：漏看正比例函数（b=0）条件，或忽略一次函数k≠0的限制 2. 待定系数法错误：点坐标代入解析式时横纵颠倒，或仅用1个点求2个参数 3. 计算失误：求k、b时移项、系数化1出错，或代入求值时算术错误 4. 忽略限制条件：实际问题中未考虑自变量取值范围，或解析式与实际意义不符 【典例】（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式1】（2025北京朝阳）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差．若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点，点，点，则A、B、C三点的“横长”，，A、B、C三点的“纵长”．因为，所以A、B、C三点为正方点． （1）在点，，中，与点A、B为正方点的是 ； （2）点为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为 ； （3）已知点． ①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形； ②若直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） ；（2）-2或3；（3）①见解析；② 或． 【分析】（1）求出点A、B与点，，的横长和纵长，再分析即可； （2）分和 两种情况分析，求出t的值即可； （3）①设点 的坐标为 ，分当 时；当 时；当 时，三种情况分析得出关系式，再画出函数图象即可； ②根据可得直线l：与①中的图象有交点，然后根据当直线l：经过图中 时；当直线l：经过图中 时，可得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ， ， ∴，，三点的横长与纵长相等， ∴与点A、B为正方点； ∵ ， ， ∴，，三点的横长与纵长不相等， ∴与点A、B不为正方点； ∵ ， ， ∴，，三点的横长与纵长不相等， ∴与点A、B不为正方点； ∴与点A、B为正方点的是； （2）∵点为y轴上一动点， A，B，P三点为正方点， ∴当 时，有 ，解得： ， 当 时，有 ，解得： ， ∴点为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为-2或3； （3）①设点 的坐标为 ，因为点A，D，E三点为正方点， 当 时，有 ，即 或 ； 当 时，有 ，即 ； 当 时，有 ，即 或 ； 所以 与 的关系式是 ， 画出如图所示： ②∵直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点， ∴直线l：与①中的图象有交点， 如图，当直线l：与①中的图象有交点时满足条件： 当直线l：经过图中 时， ，解得：； 当直线l：经过图中 时， ，解得： ， 观察图象可知：当 或 时，当直线l：与①中的图象有交点， 即若直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点， m的取值范围为 或． 【点睛】本题主要考查了函数图象，以及点的坐标的确定，根据题意，理解题目给出的新定义是解题的关键． 【变式2】如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A． (1)求A点坐标； (2)求△OAC的面积； (3)如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标； (4)在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A点坐标是(2,3)；（2）=；（3）P点坐标是(0, )；（4）点Q是坐标是(,)或(,-). 【分析】解析 联立方程,解方程即可求得; C点位直线y=﹣2x+7与x轴交点，可得C点坐标为（，0）,由（1）得A点坐标，可得的值； (3)设P点坐标是(0,y),根据勾股定理列出方程,解方程即可求得; (4)分两种情况:①当Q点在线段AB上:作QD⊥y轴于点D,则QD=x,根据 =-列出关于x的方程解方程求得即可;②当Q点在AC的延长线上时,作QD⊥x轴于点D,则QD=-y,根据=- 列出关于y的方程解方程求得即可. 【详解】解(1)解方程组:得：， A点坐标是(2,3); (2) C点位直线y=﹣2x+7与x轴交点，可得C点坐标为（，0） == (3)设P点坐标是(0,y ), △OAP是以OA为底边的等腰三角形, OP=PA, , 解得y=， P点坐标是(0, ), 故答案为(0, ); (4)存在; 由直线y=-2x+7可知B(0,7),C(,0), ==＜6, ==7＞6, Q点有两个位置:Q在线段AB上和AC的延长线上,设点Q的坐标是(x,y), 当Q点在线段AB上:作QD⊥y轴于点D,如图1, 则QD=x,=-=7-6=1, OBQD=1,即: 7x=1, x=， 把x=代入y=-2x+7,得y=， Q的坐标是(,), 当Q点在AC的延长线上时,作QD⊥x轴于点D,如图2 则QD=-y, =- =6-=, OCQD=,即:， y=-, 把y=-代入y=-2x+7,解得x= Q的坐标是(,-), 综上所述:点Q是坐标是(,)或(,-). 【点睛】本题是一次函数的综合题,考查了交点的求法,勾股定理的应用,三角形面积的求法等,分类讨论思想的运用是解题的关键. 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 判断一次函数的图象 1. k与b符号混淆：错判k正负对倾斜方向、b正负对y轴交点位置的影响 2. 正比例函数漏记：忘记b=0时图象过原点，误判象限 3. 象限分析不全：未结合k、b符号综合判断直线经过的象限 4. 函数类型误判：将k=0的常数函数（y=b）当作一次函数 【典例】（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由图象可得， 当时，或，故①错误； 当时，y随x的增大而增大；故②正确； ∵ ∴点M在一次函数的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点 ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点 ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：C． 【变式1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解. 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称， ∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称， ∴， 故答案为：0. 【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题. 题型02 根据一次函数解析式判断其经过的象限 1. k和b符号对应错：混淆k正负（倾斜方向）、b正负（y轴截距）与象限的关联 2. 正比例函数漏判：忘记b=0时，图象过原点，象限仅由k的符号决定 3. 象限分析不全：仅单看k或b的符号，未综合两者判断直线经过的所有象限 4. 忽略k≠0前提：将k=0的常数函数误当作一次函数判断象限 【典例】（2025北京通州）关于一次函数．下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象向下平移6个单位经过原点 C．图象与轴交于点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、平移及与坐标轴的交点，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解∶A、一次函数中， ，图象经过第一、二、四象限，选项说法错误，不符合题意； B、一次函数图象与y轴交于点，向下平移6个单位经过原点，选项说法正确，符合题意； C、一次函数中，当时， ，与x轴交于点，选项说法错误，不符合题意； D、一次函数中，y随x的增大而减小，选项说法错误，不符合题意； 故选∶B． 【变式1】（2025北京石景山）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与轴交点坐标为 C．随的增大而增大 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】选项A：∵中，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故A正确． 选项B：当时，， ∴函数图象与轴交点坐标为，故B错误． 选项C：∵， ∴随的增大而增大，故C正确． 选项D：当时， ∵随的增大而增大 ∴当时，，故D正确． 故选：B． 【变式2】（2024北京平谷）如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，掌握一次函数的图象分布规律是解题的关键．根据一次函数的性质可判断图象过一、三、四象限，不经过第二象限，再结合点M在第二象限，即可解答． 【详解】解：因为，， 所以的图象过一、三、四象限，不经过第二象限， 由图可得，点M在第二象限， 所以一次函数图象不可能经过点M． 故选：A． 题型03 一次函数图象与对称问题 1. 对称规律记混：混淆关于x轴、y轴、原点对称的解析式变换规则 2. k和b符号错：对称后斜率k、截距b的符号变化判断失误 3. 正比例漏判：忘记b=0时，对称图象仍过原点，误求截距 4. 点与图象混淆：未通过图象上点的对称推导解析式，直接套错规律 【典例】（2025北京模拟）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 【答案】(1)全体实数 (2)2 (3)见解析 (4)当时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，求自变量的取值范围，求函数值等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； （2）把代入中求出y的值即可得到答案； （3）先描点，再连线即可得到答案； （4）根据所画的函数图象写出其对应的性质即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，自变量的取值范围为全体实数； 故答案为：全体实数； （2）解：在中，当时，， ∴； 故答案为：2； （3）解：如图所示， （4）由函数图象可知，当时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 【变式1】（2024北京模拟）对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】结论①：当时，方程的解为或，存在两个解，故①错误． 结论②：点A在点B上方仅表示，不保证，故②错误． 结论③：代入和求解即可判断③错误． 结论④：根据得到，则，然后得到，，代入求出，进而求解即可． 【详解】①当时， 当时，得 解得得或，结论错误； ②点A在点B上方仅说明，但无法确定与的大小关系，结论错误； ③将和代入， 得，， ∴，结论错误； ④若对于，，都有， 则， ， 整理得：， ，， ，， ， ，即， 满足条件的最大整数值为0．故④错误． 综上，正确结论的个数是0． 故选A． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解不等式组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】（2025北京西城）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，如图1， ， 关于直线的对称点， 连接交于点，此时取最小值等于， 又， 轴， ， 故①正确，②错误； 连接并延长交直线于，如图2， 此时，取最大值等于， 设直线为， ， ， ， 直线为， 联立方程组， ， 此时， 故③错误； 由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3， ， 取得最小值为， 在的垂直平分线上， ， 的中点为， 直线为， 的垂直平分线为， 联立方程组， ， ，此时取得最小值， 故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：B． 命题点三 一次函数解析式的求法 题型01 求一次函数解析式 1. 忽略参数限制：忘记一次函数k≠0，或正比例函数（过原点）需满足b=0 2. 点坐标代入错误：横纵坐标颠倒，或代入y=kx+b时计算失误 3. 待定条件不足：仅用1个点求2个参数（k、b），或漏用平行（k相等）、垂直等隐含条件 4. 特殊点误判：与x轴/y轴交点坐标记反（x轴交点纵为0，y轴交点横为0） 【典例】（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 【答案】(1)函数的解析式为， (2)1 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为3，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出n的值即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为3， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 因为当时，函数的值大于函数的值且小于3， 所以当过点时满足题意， 代入得：， 解得：． 【变式1】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点和代入一次函数求解即可得； （2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，， ∴随的增大而增大， 当时，， ∴当时，， 要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6， 则随的增大而增大，且当时，，即， ∴． 【变式2】如图，八个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线经过点时， ；若直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形面积，先把点代入得，，即可求出，过作于点，如图所示，根据题意可得，由经过原点的直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则有，从而求出，然后利用待定系数法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∴， 过作于点，如图所示： ∵正方形的边长为， ∴， ∵经过原点的直线将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边的面积都是， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 解得， 故答案为：，． 命题点四 一次函数的图像平移 题型01 一次函数图象平移问题 1.平移规律记混：颠倒“左加右减（自变量）”“上加下减（常数项）”的适用对象 2. 符号处理失误：左加右减时，自变量未加括号，直接与常数项运算 3. 平移对象混淆：将函数图象平移与点的平移规律（左减右加）弄反 4. 正比例漏处理：忽略b=0时，平移仍需遵循“左加右减自变量”规则 【典例】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，为，然后在同一坐标系中画出，的图象，又当时，，则，且当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，函数的图象由函数的图象平移得到， ． 函数为． 又函数过， ． ； （2）解：由题意，结合（1）可得为，为， 在同一坐标系中画出，的图象如下． 当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值， 那么， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 则， 结合图象可得，． 【变式1】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键． （1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可； （2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴． （2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值， ∴函数的图象在的图象和的图象之间， ∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0， ∴，． 【变式2】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移和函数性质，熟练掌握函数图象平移的技巧和结合图像分析函数值大小是解题的关键． （1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则进行求解即可； （2）从函数位置关系入手，根据的图象和的图象平行即可确定m的值，再结合与y轴交点即可确定n的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴． （2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值， ∴函数的图象在的图象和的图象之间， ∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0， ∴，． 命题点五 一次函数与方程、不等式 题型01 一次函数与一元一次不等式 1. 图象与不等号对应错：混淆y>0（x轴上方）、y<0（x轴下方）的图象位置 2. 临界点漏处理：忽略不等式等号对应图象与x轴交点，漏判是否包含解 3. 解析式变形失误：化不等式时，k为负系数化1未变号 4. 多函数比较漏判：两函数比较大小时，误判交点两侧的函数值大小关系 【典例】（2025·北京·二模）下面关于函数的说法，正确的是 ．（填序号） （1）如图，直线：与轴交于，直线与直线：交于，则关于的不等式的解集是； （2）已知反比例函数的图象与直线交于两点、，则； （3）已知反比例函数图象上有两点，，且，则的取值范围是． 【答案】（2）（3） 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理等知识； （1）由条件可求得直线a的解析式，从而求得点P的坐标，结合函数图象即可判断； （2）解方程组可求得A、B两点的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）由反比例函数的图象与性质知，求得m的范围即可判断； 综上即可作出判断． 【详解】解：（1）∵直线：与轴交于， ∴，即， ∴； ∵直线与直线：交于， ∴， 解得：，即； 观察图象知，关于的不等式解集为； 故错误； （2）由得：，解得：，从而有， ∴， 由勾股定理得：； 故正确； （3）由题意知，当时，有， 则，即； 故正确； 综上，正确的有（2）（3）； 故答案为：（2）（3）． 【变式】（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换、一次函数图像与系数的关系，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质． （1）依据题意，由函数的图像由函数的图像平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合 （1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，根据题意，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：∵函数的图像由函数的图像平移得到 ∴， 又∵平移后的直线经过点， ∴将点代入直线， 可得，解得； （2）由题意，结合（1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，如下图所示， 对于直线，令，可得，即， 对于直线，令，可得，即， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故；同时需满足． 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故． ∴结合图像可知，的取值范围为． 【变式】（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可判断出在中，y随x增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可． 【详解】（1）解：把和代入到中得， 解得； （2）解：由（1）得函数的解析式为 ∵在中，， ∴在中，y随x增大而减小， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于， ∴当时，， ∴； 当时，解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， 综上所述，． 题型02 一次函数与二元一次方程组 1. 关系混淆：误将方程组的解与函数图象交点横纵坐标对应颠倒（解为交点横纵坐标） 2. 特殊情况漏判：忽略方程组无解（两直线平行，k相等b不等）、无数解（两直线重合，k、b均相等）的图象特征 3. 计算失误：求交点坐标时代入解析式错误，或解方程组移项、系数化1出错 4. 实际限制忽略：未考虑实际问题中自变量取值范围，导致交点坐标非有效解 【典例】（2024北京海淀）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【变式1】（2025北京大兴）如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标是由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴关于x，y的方程组的解是； 故答案为： 【变式2】（2025北京朝阳）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． (1)当时，求点的坐标； (2)已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了二元一次方程组求函数交点，一元一次不等式，一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将代入两个函数表达式，然后联立，解方程组即可得到答案； （2）先联立两个函数，求得点坐标，然后判断出点在上，将其代入，求得，然后分在函数的图象与函数上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，函数表达式分别为，. 根据题意，得， 解得， . （2）解：联立，解得， 那么， 由题意可知，时，在上，那么有： 当时，代入，得到. 当在上时，代入，. ， ， ； 当在上时，代入，． ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 突破一 一次函数与坐标轴交点问题 【典例】（2025北京模拟）在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②当代入，得到，当代入，得到，如图所示： 所以一次函数的图象与线段没有公共点，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点； 故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点． 故④错误； 故答案为：①③； 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可． 【详解】解：如图， 当时，， 则， 当时，， 解得：， 则， ∵将沿轴向左平移2个单位得到， ∴直线向左平移2个单位得到直线，且， 则直线的解析式为， 时，， 则， ∴． 故答案为： 突破二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例】（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式后令时，，得到点坐标即可； （2）当直线过点时，，当直线与直线平行时，，观察图象，即可得到满足条件的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点和， ， 解得：， ∴直线解析式为：， ∵函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点C，且当时，， ． （2）解：如图， 当时，， 当直线过点时，， 当直线与直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于的值， ． 【变式1】（2025北京模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出A，B两点的坐标； (2)画出该函数图象； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、画一次函数图象、一次函数的性质，利用数形结合思想是解答的关键． （1）分别令、求解即可； （2）利用描点、连线即可画出图象； （3）先分别求得和对应的x值，再根据一次函数的增减性可得答案； （4）先求得，再根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：当时，，则； 当时，由得，则； （2）解：描点、连线可得函数图象如图： （3）解：当时，由得， 当时，由得， 由图象得当时，x的取值范围为； （4）解：将代入，得， 将代入中，得，解得， ∴直线和直线相交于点， 又直线过点， 如图， 由图象得：当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，即当时，直线一直位于直线上方， 则m的取值范围为． 【变式2】（2025北京西城）在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数且）． (1)若， ①当时，的取值范围是_____________； ②当时，的取值范围是_____________； (2)若，点为，点为，直线与线段有交点：则的取值范围是_____________． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）①根据k的值可得增减性，再求出和时的函数值即可得到答案；②求出时的函数值，再根据增减性即可得到答案； （2）分别求出直线恰好经过点A和点B时k的值即可得到答案． 【详解】（1）解：①由题意得，一次函数的解析式为， ∵， ∴y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是； ②当时， ， ∵y随x增大而减小， ∴当时，的取值范围是； （2）解：当直线恰好经过点A时，则，解得， 当直线恰好经过点B时，则，解得， ∴当时，直线与线段有交点． 突破三 一次函数图像平移问题 【典例】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)且． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可； （2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可． 【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数， 当时，， 即函数与函数的图象交于点， 将点代入函数， 则， 解得：； （2）解：由（1）得：， 根据题意得：当时，且， ， 当时，，最大值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； ， 当时，，最小值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； 综上可得：且． 【变式1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 【变式2】（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由函数的图象由函数的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）可得为，当时，有函数，，，由当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，可得，进而解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象由函数的图象平移得到， ∴ 将点、代入，得 解得 答：的值为1，的值为． （2）由（1）得， 当时，，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值， ∴，解得． 故答案为：． 突破四 一次函数的规律探究问题 【典例】如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ，解得， ，即点的横坐标为， 同理，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在直线上， 点的横坐标为． 故选：D． 【变式1】如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的规律探索，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，作轴于，则，，即可得出，求出，，…，得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， 则，， ∴， ∵过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∵以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，解直角三角形等知识，先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ， 在中，， ∴， 由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上，且在第二象限， ∴， ， ， …， ∴， ∴ 设点的坐标为， 在中，， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍正）， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 突破五 一次函数与几何综合 【典例】（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． (1)求点的坐标； (2)当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； (3)若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点B作轴于点D，由点A的坐标及等腰直角三角形的性质，可得出点B的坐标为，结合点B在直线上，即可求出a的值，进而可得出点A的坐标； （2）求出直线的解析式，再根据直线在直线l和上方的条件，结合函数图象的性质确定m的取值范围； （3）由（1）可得出点B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式为，由的面积等于的面积，可得出点C在直线或上，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值． 【详解】（1）解∶过点B作轴于点D，如图所示． 点A的坐标为， ． 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 又∵点B在直线上， ，解得∶， ∴点A的坐标为； （2）解：由（1）知， 设直线的解析式为，把)代入，解得， ∵当时，直线即在直线：的上方，又在直线的上方， ∴结合函数图象可知m的取值范围是； （3）解：由（1）可得出点B的坐标为， 设直线AB的解析式为， 将，代入得∶ 解得∶ ∴直线的解析式为． ∵的面积等于的面积， 点C在直线或上， ∵点C的坐标为或， 或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式1】（2023·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，且与函数的图象交于点． (1)求a的值及函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入中，即可确定点，把点，代入中，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意得：，再由当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴ ∴， 把点，代入中， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）根据题意得：，即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 【变式2】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． (1)已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； (2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)或． 【分析】本题考查了几何新定义，勾股定理，圆内接四边形对角互补，切线的性质，坐标与图形，理解新定义是解题的关键； （1）先进行定义分析，得出，的长度临界值为四点共圆， ①根据定义即可求解； ②根据定义得出点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点，进而将点和分别代入一次函数解析式，即可求解； （2）根据定义得出点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部，找出范围，进而将正方形从左到右移动找到临界值，即可求解． 【详解】（1）解：定义分析，如图，满足点与点在直线的异侧，过点分别作的垂线，垂足分别为 根据勾股定理可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即重合， ∴符合条件的四边形，，如图， 又∵， ∴，即的长度临界值为四点共圆，且包括圆上的点， ①∵点，，，，， ∴只有点使得，，且 ∴点是点关于线段的“平衡点” ②作的外接圆，则圆心为的垂直平分线的交点，如图， 由定义可得，点关于线段的“平衡点”，在上，且在以的圆的内部，包括圆上，即上的点， 当经过和时，即 将代入，解得， 将代入，解得： ∴； （2）解：∵半径为2，是的弦，且， ∴是等边三角形， 如图，点关于线段的“平衡点”在的右侧，在的垂直平分线上，且在的外接圆的内部， 设的中点为，，则在的外接圆上，此时为直径， ∵是的弦， ∴点关于线段的“平衡点”在以，为半径的圆弧内部，不包括为半径的圆上部分，包括为半径的圆上部分， ∵， ∴，， ∵点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”， 如图，当正方形与为半径的圆在轴的负半轴外切时， ∴ 解得：， 如图，当正方形的一个顶点在以为半径的圆上时， 解得：或（舍去） ∴ 继续移动正方形，如图，当在以为半径的圆上时， ∴ 解得：（舍去）或 当正方形与为半径的圆在轴的正半轴外切时， ∴ ∴ 综上所述，或． 1．（2025·北京模拟）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】先根据一次函数中y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数中y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选C． 2．（2025北京昌平）在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（    ）． A．坐标原点不在此函数图象上 B．点M在第二象限 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质及点与函数图象的关系，解题的关键是根据一次函数的表达式分析函数的性质以及点的坐标特征． 根据一次函数的性质，结合各选项逐一分析判断． 【详解】A、当时，，故坐标原点不在函数图象上，A正确； B、点的横坐标，纵坐标．当时，，点在第二象限；当时，，点在第三象限．由于中可能小于，故点的位置不一定在第二象限，B不一定正确； C、函数的，随增大而增大．由可知，C正确； D、当时，，故恒成立，D正确． 综上，不一定正确的是B． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 5．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：C． 6．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点， ∴轴，轴，， ， ， ， ， ∴， ， 和是等边三角形， ∴，， ∴第1步，作点关于的对称点落在轴上， 第2步，作关于的对称点落在轴上， 第3步，作关于的对称点，和轴的夹角， 第4步，作关于的对称点，和轴的夹角， 继续作关于的对称点，和轴的夹角，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键． 7．（2025北京海淀）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用等知识，学会数形结合的思想是解题的关键．由菱形的性质得出，，，当时，直线与菱形的交点E、F，画出图形结合图形可知，根据题意画出图2，证明四边形，，都是平行四边形，可得出，即可判断②，结合图2可得出③． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ①当时，直线与菱形的交点E、F如图1所示． 过点E作垂直y轴，垂足为M． 很显然，， ∵， ∴， ∴．故结论①错误． ②如图2所示，、、互相平行， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形，，都是平行四边形， ∴， ∴当d取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误． ③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到的位置之前的长度(也就是d的大小)会从0逐渐增大，在到达的位置之后，的长度保持不变，直至到达的位置，然后的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性，因此函数d的图象也会是一个轴对称图形． 故结论③正确． 故选：B 8．（2025北京大兴）某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是从函数图象中获取信息并进行分析计算． 通过观察函数图象的横、纵坐标含义，结合一次函数的性质，对四个结论逐一分析判断． 【详解】当时，，此时过滤时间为0，即初始状态，所以初始污水总量为5升，结论①正确； 从图象中可以看到，当时，对应的，这表示当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升，结论②正确； 根据图象，2分钟内过滤的污水量是初始污水量5升减去2分钟时剩余的4升，即升．根据“速度过滤的污水量时间“，可得污水过滤速度为升/分钟，结论③正确； 已知初始污水总量为5升，污水过滤速度为0.5升／分钟．根据“时间总量速度“，可得过滤全部污水需要的时间为分钟，结论④正确． 故选：D． 9．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该函数的解析式为，点； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）把代入，得，把点代入，得，解得，再结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得， ， 解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：把代入，得， ∴把点代入，得， 解得， ∴， 如图， 当时，函数的值大于的值， ∴的取值范围为． 10．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 【答案】(1) (2)共10种方案，A种车皮9节，B种车皮21节，最低费用为85500元 (3)或或或或或，所以共6种租车方案． 【分析】本题考查了一次函数的应用和解不等式组、二元一次方程的解等知识点，解题关键在于正确建立函数模型并求解． （1）根据关系，列出函数关系式，化简即可； （2）根据题意列出不等式组，计算出x的取值范围，即可知有10种方案且计算出最低费用； （3）列出方程式，解得其整数解即可． 【详解】（1）解：， 和x之间的函数关系式为； （2）解：， 解得， ∵， ∴ x的可能取值为的整数，共10种方案， 费用函数中，y随x增大而减小， 当时，费用最低， 此时元， 对应方案为A种车皮9节，B 种车皮21节， 故答案为：共10种方案，最低费用为85500元； （3）解：解方程， 化简为，满足，， 整数解有：或或或或或，所以共6种租车方案． 11．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 【答案】(1)； (2)画图象见解析； (3)； 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，从函数图象中获取信息，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）根据表格数据与为正比例函数关系，求得，然后将代入即可求解； （）通过函数图象方法即可求解； （）根据表格数据和函数图象观察即可得解； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天，则，分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为，然后相减即可． 【详解】（1）解：通过分析数据可得，与为正比例函数关系， 设， 将代入可得， 解得， ∴， 将代入可得， 故答案为：； （2）解：画出图象如图， （3）解：根据图象可知当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为天， 故答案为：； 由（）可得，冷藏储存时鸡蛋的失重率增长速度是天， ∴， 分析图象可得，第天常温储存时鸡蛋的失重率约为， ∴， 故答案为：． 12（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 【答案】(1)① (2)30，10 (3)， (4)0.35 【分析】本题考查一次函数的应用．根据甲箱至最低水位时1号管启动，判断出甲的函数图象是解决本题的关键；难点是判断出需要加热的时间；易错点是得到消耗电量的相等关系． （1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得图中表示甲的函数图象的是①； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值；前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降，第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同，可得乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟，那么； （3）分别设出一次函数解析式，表示出当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式和当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，把直线上的两点代入后求得一次项系数和常数项，即可求得所求的函数解析式； （4）求出当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式，分别算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量=加热的时间+乙水箱水管工作的8分钟的用电量+外部自来水水管10分钟的用电量． 【详解】（1）解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴图中表示甲的函数图象的是①． 故答案为：①； （2）解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． ∵前2分钟，乙水箱向甲水箱注水，乙水箱水面2分钟下降．第8分钟开始，甲水箱已注满，仅剩外部自来水匀速注入乙箱，并且自来水管和乙水箱的注水速度相同， ∴乙水箱中的水上升从至，也需要2分钟． ∴． 故答案为：30，10； （3）解：当时，设甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点，， ∴． 解得：． ∴当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 故答案为：，； （4）解：①当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热， ∴． 解得：． ②当时，． 解得：． ③当时，， 解得． ∴需要加热的时间为：． ∴消耗的电量为：（度）． 故答案为：0.35． 1．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、； (2)； (3)． 【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合． （1）根据定义验证可得结果； （2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果； （3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，是的“倍弦线”， 与不相交，， 和不是的“倍弦线”， 故答案为：、； （2）解：如图2， 以为圆心，3 为半径画圆交直线于和， ， ； （3）解：如图3， 以为圆心，2为半径画圆，直线与相切， 此时， 以为圆心，1为半径作，直线与相切， 此时， ． 2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． (1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； (3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)的最大值为， 【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键； （1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解； （2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解； （3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解． 【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位， 则平移后经过点，则是弦的“伴随点” 故答案为：； （2）解：的弦，的半径为． ∴是等边三角形， 设 则 ∴在的圆环内 如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于， 则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合）， 由于与轴的夹角为 ∴的横坐标为，的横坐标为， 同理可得的横坐标为，的横坐标为 ∴或 （3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦， 线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦， 当经过的的切点时，取得最小值， 当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值， ∵点在上， ∴的最大值为 ∴, ∴的最大值为 ∴， ∵，, 即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号， ∴ 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”． 　　　　 (1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________； (2)求点的“隐圆线段”长的最大值； (3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)和 (2)3 (3) 【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解； （2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答； （3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1， ∴或． ①当点C为时， ∵点绕点旋转后得到点， ∴点D是线段的中点， ∵， ∵线段轴于点， ∴， ∴． ②当点C为时， ∵点绕点旋转后得到点， ∴点D是线段的中点， ∵， ∵线段轴于点， ∴， ∴． 综上所述，点A的“隐圆线段”长为或． （2）解：连接，取的中点，连接， ∵， ∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴， ∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动， ∴， ∴的最大值为， 即点的“隐圆线段”长的最大值为3． （3）解：由（2）可知点D在上运动， 又点的“隐圆线段”所在直线为， ∴直线过点B， ∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴． ①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G， 由（2）有，， ∴在中，， ∵，轴， 轴， ∴， 设，则， ∵轴， ∴， ∵与相切于点M ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴把点，代入直线的解析式，得 ，解得． ②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K， ∴，，， ∵，是的切线， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴把点，代入直线的解析式，得 ，解得． 综上，． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，两点间的距离公式，三角形中位线的性质，圆的定义，圆外一点到圆上的点的最短距离，相似三角形的判定及性质，切线的性质，待定系数法等，综合运用相关知识是解题的关键． 1．（2025·广东深圳·三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验．水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图（a），小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得．（图中点，，，在同一直线上；点，，，，在同一直线上） 【问题初探】 （1）如图（a），，分别为入射角、折射角，则________，________． 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，请求出增加的水面高度的值． ②小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请求出下降高度的值． 【问题拓展】 （3）小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点，请求出与之间的函数关系． 【答案】（1），（2）①为②（3） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，一次函数的实际应用： （1）利用正切的定义，进行求解即可； （2）①作，设，解直角三角形，求出的长，根据，列出方程进行求解即可；②，求出，的长，设为，解直角三角形，求出的值即可； （3）设下降后的光线为，水面上升至，延长交于点，分别求出，，利用正切值，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形，为水槽水面的中点，为水槽底部的中点， ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，； 在中，； （2）解：①作，则：，， 设，则，， 由（1）知：， 在图2中，， ， ∵， ∴，解得 答：为 ②作，则：，，由题意，得，； ∴， ∴， 如图，设为，则， ∴． 解得． ∴； （3）如图，设下降后的光线为，水面上升至，延长交于点，由题意，得：为，， 则，，，， ∴， 解得：． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 3．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 4．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图1，轴，轴，________； （2）如图2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 【答案】（1）4；（2）是定值，且；（3）；（4）32 【分析】（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； （4）设，由题意得到的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，据此求解即可． 【详解】解：（1）设， ∵、，且轴，轴， ∴，，即， ∴，， 根据题意：； 故答案为：4； （2）是定值， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴，， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）设，根据定义得， 令，则，令，则， ①当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ②当时， ∴，， 则，解得：， ∴，； ③当时， ∴，， 则，解得：（舍去）； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长， 长度为； （4）设， ∵， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， ∴的点构成以为中心的正方形，顶点为，，，，如图， 则对角线长为8， ∴，即满足的所有点R围成图形的面积为32． 【点睛】本题考查了一次函数综合，一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 函数及其图象 第10讲 一次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 一次函数的定义与解析式 题型01求一次函数自变量或函数值 题型02列一次函数解析式并求值 命题点二 一次函数的图像与性质 题型01判断一次函数的图象 题型02根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型03一次函数图象与对称问题 命题点三 一次函数解析式的求法 题型01 求一次函数解析式 命题点四 一次函数的图像平移 题型01一次函数图象平移问题 命题点五 一次函数与方程、不等式 题型01一次函数与一元一次不等式 题型02 一次函数与二元一次方程组 05·重难突破·思维进阶难 23 突破一 一次函数与坐标轴交点问题 突破二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 突破三 一次函数图像平移问题 突破四 一次函数的规律探究问题 突破五 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的概念与解析式 / / 北京卷T22（求一次函数解析式） 理解一次函数的概念，能根据已知条件确定一次函数的解析式 一次函数的图像与性质 北京卷T21（函数图像交点与性质） / / 能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况；理解正比例函数 一次函数与方程、不等式的关系 北京卷T26（函数值比较与不等式） / 北京卷T22（一次函数与不等式结合） 体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系；能用一次函数解决简单实际问题 一次函数的应用 / / 能运用一次函数的图像和性质解决简单的实际问题，如行程问题、利润问题等 命题预测 1. 一次函数解析式的求解（待定系数法）与图像性质（增减性、与坐标轴交点）；2. 一次函数与不等式结合，比较函数值大小或求解参数范围；3. 实际应用题中结合图像分析数量关系，强调建模思想 考点一 一次函数的定义与解析式 1. 一次函数的定义 一般地，形如 （， 为常数，且 ） 的函数，叫做一次函数。 自变量 的次数为 1，且系数 不能为 0； 常数项 可以为任意实数（包括 0）。 2. 正比例函数（一次函数的特殊形式） 当 时，一次函数变为 （），叫做正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数； 正比例函数的图像必过 原点 。 3. 解析式的三种形式 一般式：（） 点斜式：（已知斜率 和点 ，中考常用待定系数法替代） 截距式：（，， 为x轴截距， 为y轴截距，了解即可） 易错点提示 忽略 的条件，如误将 或 当作一次函数； 混淆一次函数与正比例函数的包含关系，认为“一次函数都是正比例函数”。 1．（2025北京平谷）关于函数和函数，有以下结论： ①当时，的取值范围是； ②函数上的两点，若，则； ③函数的图象和函数的图象的交点在第四象限； ④若点在函数的图象上，点在函数的图象上，则． 其中所有正确的结论的序号是 ． 2．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出n的值． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出a的值． 考点二 一次函数的图像与性质 1. 图像形状 一次函数 （）的图像是一条 直线，因此一次函数的图像也称为 直线 。 画一次函数图像的简便方法：两点法 找与x轴的交点：令 ，解得 ，交点为 ； 找与y轴的交点：令 ，解得 ，交点为 ； 连接两点即可得到直线。 正比例函数 （）的图像：过原点 和点 的直线，只需找这两个点即可画出。 2. 系数 和 的几何意义与作用 （1）系数 的作用（决定直线的倾斜程度和增减性） 倾斜程度： 越大，直线越 陡峭； 越小，直线越 平缓； 增减性（必考）： 当 时，y 随 x 的增大而 增大； 当 时，y 随 x 的增大而 减小。 平行关系：若两条直线的斜率分别为 和 ，则两直线平行 且 。 （2）系数 的作用（决定直线与y轴的交点位置） 时，直线与y轴交于 正半轴（原点上方）； 时，直线过 原点（正比例函数）； 时，直线与y轴交于 负半轴（原点下方）。 3. 一次函数图像的象限分布（由 和 共同决定，北京中考高频选择考点） 的符号 的符号 直线经过的象限 示例（） 一、二、三象限 一、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 二、四象限 二、三、四象限 易错点提示 仅根据 或 单一系数判断象限，忽略两者的共同作用； 混淆“ 时y随x增大而增大”与“ 时y随x增大而减小”的规律； 画图像时未用两点法，或找错与坐标轴的交点坐标。 1．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 2．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 考点三 一次函数解析式的求法 1. 核心方法：待定系数法 步骤： （1） 设：根据题意设出函数解析式（若已知是正比例函数，设 ；若只知是一次函数，设 ）； （2） 代：将已知的点的坐标（或其他条件）代入解析式，得到关于 、 的方程（组）； （3） 解：解这个方程（组），求出 、 的值； （4） 写：将 、 的值代入所设解析式，写出最终的函数解析式。 2. 常见已知条件类型 已知 两个点的坐标（最基础类型，北京中考必考）； 已知 一个点的坐标和斜率 ； 已知 直线与x轴、y轴的交点坐标（即已知截距）； 已知 直线平行于另一条一次函数的图像（即斜率 相等）。 易错点提示 设解析式时，未根据题意选择正确形式（如已知是正比例函数，却设为 ）； 代入点的坐标时，横、纵坐标颠倒（如将点 代入为 ）； 解方程组时计算错误，导致 、 的值出错。 1．（2025北京专题）某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间为（单位：）时，小组成员分别记录了下的发酵速率下的发酵速率，部分数据如下： 1 5 9 10 11 14 17 19 23 26 29 32 36 (1)当时，下的发酵速率每小时增加（a为常数）的值为___________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出了函数的图象，描出了与各对对应值为坐标的点，补全函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当发酵时间为___________h时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②若发酵速率不低于，葡萄酒的发酵效果较好，下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），则的值为___________，的值约为___________（结果保留小数点后一位）． 2．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围． 3．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 考点四 一次函数的图像平移 1. 平移规律（核心口诀：“左加右减，上加下减”） 针对 自变量 的平移（左右平移）： 直线 向右平移 个单位（）：； 直线 向左平移 个单位（）：； （规律：左右平移时，对 进行“左加右减”， 和 不变） 针对 函数值 的平移（上下平移）： 直线 向上平移 个单位（）：； 直线 向下平移 个单位（）：； （规律：上下平移时，对 进行“上加下减”， 不变） 2. 平移的性质 一次函数图像平移后，斜率 不变（即直线的倾斜程度和增减性不变），仅 截距 或与x轴的交点 发生变化。 易错点提示 左右平移时，误对整个函数式进行“左加右减”（如向左平移2个单位，误写成 ）； 混淆“点的平移”与“函数图像的平移”规律（点的平移是“左减右加”，与函数图像相反）。 1．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 2．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 3．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值之差的绝对值大于1，直接写出的取值范围． 考点五 一次函数与方程、不等式、几何的综合应用 1. 一次函数与一元一次方程 直线 （）与x轴的交点横坐标，就是方程 的解； 几何意义：求直线与x轴交点的横坐标。 2. 一次函数与一元一次不等式 不等式 的解集：直线 在x轴 上方 部分对应的x的取值范围； 不等式 的解集：直线 在x轴 下方 部分对应的x的取值范围； 若两个一次函数 ，，则 的解集是直线 在 上方 部分对应的x的取值范围。 3. 一次函数与二元一次方程组 两个一次函数 和 的图像 交点坐标，就是方程组 的解； 反之，方程组的解就是两个一次函数图像的交点坐标。 4. 一次函数与几何图形的综合 求直线与几何图形（三角形、四边形）的交点坐标； 利用一次函数的性质求几何图形的面积（如直线与坐标轴围成的三角形面积，公式：）； 结合几何图形的平移、旋转、对称，求平移后直线的解析式。 易错点提示 利用一次函数解不等式时，忽略直线的增减性，导致解集方向错误； 求直线与坐标轴围成的三角形面积时，忽略距离的绝对值（如截距为负数时，未取绝对值导致面积为负）。 1．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 2．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若两个函数的图象相交于点A，当时，求点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值也小于1，直接写出m的取值范围． 3．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，直接写出的取值范围． 命题点一 一次函数的定义与解析式 ►题型01 求一次函数自变量或函数值 1. 变量对应混淆：搞反自变量x与函数值y，或点坐标(x,y)代入时横纵颠倒 2. 解方程错误：移项忘变号、负系数化1时不等号方向未调整 3. 含括号/绝对值代入：去括号漏乘、绝对值处理忽略正负解 4. 忽略取值范围：未考虑实际问题中自变量的限制，导致结果无效 【典例】已知一次函数，它的图象经过两点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【变式1】如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点． (1)求的值； (2)请直接写出不等式组的解集． 【变式2】（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 题型02 列一次函数解析式并求值 1. 混淆函数类型：漏看正比例函数（b=0）条件，或忽略一次函数k≠0的限制 2. 待定系数法错误：点坐标代入解析式时横纵颠倒，或仅用1个点求2个参数 3. 计算失误：求k、b时移项、系数化1出错，或代入求值时算术错误 4. 忽略限制条件：实际问题中未考虑自变量取值范围，或解析式与实际意义不符 【典例】（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【变式1】（2025北京朝阳）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差．若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点，点，点，则A、B、C三点的“横长”，，A、B、C三点的“纵长”．因为，所以A、B、C三点为正方点． （1）在点，，中，与点A、B为正方点的是 ； （2）点为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为 ； （3）已知点． ①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形； ②若直线l：上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围． 【变式2】如图，直线y=﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线y=x相交于点A． (1)求A点坐标； (2)求△OAC的面积； (3)如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标； (4)在直线y=﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 命题点二 一次函数的图像与性质 ►题型01 判断一次函数的图象 1. k与b符号混淆：错判k正负对倾斜方向、b正负对y轴交点位置的影响 2. 正比例函数漏记：忘记b=0时图象过原点，误判象限 3. 象限分析不全：未结合k、b符号综合判断直线经过的象限 4. 函数类型误判：将k=0的常数函数（y=b）当作一次函数 【典例】（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ． 题型02 根据一次函数解析式判断其经过的象限 1. k和b符号对应错：混淆k正负（倾斜方向）、b正负（y轴截距）与象限的关联 2. 正比例函数漏判：忘记b=0时，图象过原点，象限仅由k的符号决定 3. 象限分析不全：仅单看k或b的符号，未综合两者判断直线经过的所有象限 4. 忽略k≠0前提：将k=0的常数函数误当作一次函数判断象限 【典例】（2025北京通州）关于一次函数．下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象向下平移6个单位经过原点 C．图象与轴交于点 D．随的增大而增大 【变式1】（2025北京石景山）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数图象不经过第二象限 B．函数图象与轴交点坐标为 C．随的增大而增大 D．当时， 【变式2】（2024北京平谷）如图，在点中，一次函数的图象不可能经过的点是（  ） A． B． C． D． 题型03 一次函数图象与对称问题 1. 对称规律记混：混淆关于x轴、y轴、原点对称的解析式变换规则 2. k和b符号错：对称后斜率k、截距b的符号变化判断失误 3. 正比例漏判：忘记b=0时，对称图象仍过原点，误求截距 4. 点与图象混淆：未通过图象上点的对称推导解析式，直接套错规律 【典例】（2025北京模拟）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小彤探究的过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是_______； (2)表格是与的几组对应值： 则的值为________； (3)请在下面的网格中，建立平面直角坐标系，并画出函数的图象； (4)观察图象，写出该函数的一条性质：_________． 【变式1】（2024北京模拟）对于函数的图象我们可以这么理解：如果点在的图象上，那么点一定也在的图象上．我们发现：点和点是关于y轴对称的．若在函数上，存在两个点，给出下面四个结论： ①若，当时，x有唯一的对应值5； ②当点A在点B上方时，则无论a为何值，都有； ③若，，则无论a为何值，都有；   ④若对于，，都有，则a满足条件的最大整数值为． 上述结论中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2025北京西城）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论： ①当点的坐标为时，取得最小值； ②当点的坐标为时，取得最大值； ③当点的坐标为时，取得最大值； ④当点的坐标为时，取得最小值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（  ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 命题点三 一次函数解析式的求法 题型01 求一次函数解析式 1. 忽略参数限制：忘记一次函数k≠0，或正比例函数（过原点）需满足b=0 2. 点坐标代入错误：横纵坐标颠倒，或代入y=kx+b时计算失误 3. 待定条件不足：仅用1个点求2个参数（k、b），或漏用平行（k相等）、垂直等隐含条件 4. 特殊点误判：与x轴/y轴交点坐标记反（x轴交点纵为0，y轴交点横为0） 【典例】（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且垂直于轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出的值． 【变式1】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于6，直接写出的取值范围． 【变式2】如图，八个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线经过点时， ；若直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则的值为 ． 命题点四 一次函数的图像平移 题型01 一次函数图象平移问题 1.平移规律记混：颠倒“左加右减（自变量）”“上加下减（常数项）”的适用对象 2. 符号处理失误：左加右减时，自变量未加括号，直接与常数项运算 3. 平移对象混淆：将函数图象平移与点的平移规律（左减右加）弄反 4. 正比例漏处理：忽略b=0时，平移仍需遵循“左加右减自变量”规则 【典例】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【变式1】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【变式2】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 命题点五 一次函数与方程、不等式 题型01 一次函数与一元一次不等式 1. 图象与不等号对应错：混淆y>0（x轴上方）、y<0（x轴下方）的图象位置 2. 临界点漏处理：忽略不等式等号对应图象与x轴交点，漏判是否包含解 3. 解析式变形失误：化不等式时，k为负系数化1未变号 4. 多函数比较漏判：两函数比较大小时，误判交点两侧的函数值大小关系 【典例】（2025·北京·二模）下面关于函数的说法，正确的是 ．（填序号） （1）如图，直线：与轴交于，直线与直线：交于，则关于的不等式的解集是； （2）已知反比例函数的图象与直线交于两点、，则； （3）已知反比例函数图象上有两点，，且，则的取值范围是． 【变式】（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【变式】（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 题型02 一次函数与二元一次方程组 1. 关系混淆：误将方程组的解与函数图象交点横纵坐标对应颠倒（解为交点横纵坐标） 2. 特殊情况漏判：忽略方程组无解（两直线平行，k相等b不等）、无数解（两直线重合，k、b均相等）的图象特征 3. 计算失误：求交点坐标时代入解析式错误，或解方程组移项、系数化1出错 4. 实际限制忽略：未考虑实际问题中自变量取值范围，导致交点坐标非有效解 【典例】（2024北京海淀）如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025北京大兴）如图，一次函数与的图象交于点P，则关于x，y的方程组的解是 ． 【变式2】（2025北京朝阳）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点，两个函数图象在点上方的部分及点组成图形． (1)当时，求点的坐标； (2)已知和是图形上的两点．若对于，都有，求的取值范围． 突破一 一次函数与坐标轴交点问题 【典例】（2025北京模拟）在平面直角坐标系中，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②一次函数的图象与线段有公共点； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是 （填序号）． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ． 突破二 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【典例】（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围． 【变式1】（2025北京模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)写出A，B两点的坐标； (2)画出该函数图象； (3)当时，直接写出x的取值范围． (4)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【变式2】（2025北京西城）在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数且）． (1)若， ①当时，的取值范围是_____________； ②当时，的取值范围是_____________； (2)若，点为，点为，直线与线段有交点：则的取值范围是_____________． 突破三 一次函数图像平移问题 【典例】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【变式1】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【变式2】（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数（）的值大于函数（）的值且小于的值，直接写出m的取值范围． 突破四 一次函数的规律探究问题 【典例】如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 突破五 一次函数与几何综合 【典例】（2025·北京·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． (1)求点的坐标； (2)当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； (3)若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 【变式1】（2023·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，且与函数的图象交于点． (1)求a的值及函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【变式2】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和不在直线上的点，给出如下定义：若存在点，满足点与点在直线的异侧，，且，则称点为点关于线段的“平衡点”． (1)已知点，． ①在点，，中，点_____是点关于线段的“平衡点”； ②若直线上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围； (2)已知半径为2，是的弦，且．点，，以为对角线作正方形．若正方形边上存在点关于线段的“平衡点”，直接写出的取值范围． 1．（2025·北京模拟）已知一次函数，随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2．（2025北京昌平）在平面直角坐标系中，点，都在函数的图象上．若，则下列四个推断中不一定正确的是（    ）． A．坐标原点不在此函数图象上 B．点M在第二象限 C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 4．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．一种高脚杯如图1所示，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点E，且点E距杯口的距离，则此时液面宽为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025北京海淀）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2025北京大兴）某校学生走进大兴林场，为体会人工湿地的生态价值，进行了模拟人工湿地过滤污水实验．在实验过程中，设过滤时间为分钟，剩余污水量为升，与之间的函数关系如图所示，给出下面4个结论： ①初始污水总量为5升； ②当过滤时间为2分钟时，剩余污水量为4升； ③污水过滤速度为0.5升/分钟； ④过滤全部污水共需10分钟． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 10．某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的、两种车皮共30节，种车皮每节运费2500元，种车皮每节运费3000元． (1)设租车皮的总费用为元，租种车皮节，请写出和之间的函数关系式． (2)如果每节车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，装水果时按此要求安排、两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费． (3)计划下一次租用、两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用、两种车皮，请直接写出有哪几种租车方案？ 11．（2025·北京·模拟预测）鸡蛋的新鲜度是消费者选购鸡蛋的主要参考，失重率是影响鸡蛋新鲜度的指标之一(储存后鸡蛋减少的重量与初始重量的比值即为失重率)，失重率越小，说明鸡蛋越新鲜．某实践探究小组连续监测了两种不同储存温度下枚普通鸡蛋的失重率． 当储存时间为(天)，冷藏储存时鸡蛋的失重率记为，常温储存时鸡蛋的失重率记为，部分数据如下表： 天 (1)表格中的值为 ； (2)通过分析表格中的数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在给出的平面直角坐标系中标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 当常温储存的鸡蛋失重率为时，储存时间为 天； 若将常温储存下失重率的鸡蛋取出枚改为冷藏，则天后，这枚鸡蛋的失重率比常温储存的枚鸡蛋失重率约低 ． 12（2025·北京·模拟预测）为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，综合实践活动小组展开了以下研究． 【问题背景】 如图1，某饮水机内有两个不同大小的立方体水箱，两水箱各配有一条智能水管，当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水（此时乙箱水满）匀速注入甲箱．甲乙两箱的水位相同时，此时2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱（两管的注水速度相同，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作，期间饮水机不对外出水）． 【解决问题】 小明根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图2所示 根据以上信息，回答下列问题： (1)图中表示甲的函数图象的是_________（填①或②）； (2)图中a的值为_________，b的值为_________； (3)当时，甲水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为_______； (4)为节约能源，设定当两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，加热时每分钟耗电0.06度，另外每根水管工作1分钟均耗电0.01度，则图2中从到的整个过程中所消耗的电量为_________度． 1．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”． (1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围； (3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”． 　　　　 (1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________； (2)求点的“隐圆线段”长的最大值； (3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围． 1．（2025·广东深圳·三模）在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验．水槽横截面为矩形，，为水槽水面的中点，水深．如图（a），小明同学从高出水面的处发出一束激光，射到水槽水面上的处，光在水中的路径为，为水槽底部的中点，测得．（图中点，，，在同一直线上；点，，，，在同一直线上） 【问题初探】 （1）如图（a），，分别为入射角、折射角，则________，________． 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点． ①小张同学设计了如图（b）所示的实验，在保持光线出发点、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点，请求出增加的水面高度的值． ②小刚同学设计了如图（c）所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点降至点，也能使得折射光线经过点．请求出下降高度的值． 【问题拓展】 （3）小组讨论后，认为在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低，同时增加水面高度，也能使得折射光线经过点，请求出与之间的函数关系． 2．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 3．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 4．（2025·河北唐山·一模）定义：平面直角坐标系中，对于，两点，称为E，F两点的“折线距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，、． （1）如图1，轴，轴，________； （2）如图2，一次函数的图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，在线段上任取一点P，是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，若点Q是直线的图象上一动点，画出满足的所有点Q构成的线段，并直接写出此线段的长度； （4）直接写出满足的所有点R围成图形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $