第8章四边形（专题：矩形的性质与判定） 2025-2026学年苏科版数学八年级下册

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 第8章四边形 （专题：矩形的性质与判定） （满分100分，时间90分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 2.若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形一定是（ ）． A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 3.如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 4.在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5.小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（    ） A． B． C． D． 6.如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 7.王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A． 甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 8.如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 10.矩形的面积为60，一条边长为12cm，则矩形的一条对角线的长为____ cm． 11.四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形ABCD的面积是9，则平行四边形的面积是_________ 12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 13.如图，在矩形中，E是上一点，，过点D作于点F，若，则四边形的面积为 ．    14.如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 15.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____． 16.如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，的对角线相交于点O．E，F是上的两点，且，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由， 18.如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 19.如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 20.如图,在中,点E,F分别在,上,连接,,,,且．请从以下三个选项中:①;②;③,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）． (1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可） (2)添加条件后,请证明四边形是矩形． 21.如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 22.已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 23.如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 24.已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t何值时，四边形PODB是平行四边形； （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段PB上有一点M，且PM＝13，当P运动 　　 秒时，四边形OAMP的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置． 答案解析 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1.下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 2.若顺次连接四边形各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形一定是（ ）． A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形 C．矩形 D．对角线相等的四边形 【答案】B 3.如图，在矩形中，，相交于点，若的面积是，则矩形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 4.在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 5.小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 6.如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，，则的度数为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 7.王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（    ） 甲：先将矩形分别沿进行对折再展开，得到两组对边中点，再连接，，则四边形是菱形．    乙：先将矩形沿进行折叠，使点A与点C重合，再展开，连接，，则四边形是菱形．    A． 甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是 【答案】A 8.如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【答案】A 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9.在矩形中，，，对角线与相交于点，要使得矩形是正方形，则还需要增加的一个条件是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 10.矩形的面积为60，一条边长为12cm，则矩形的一条对角线的长为__ cm． 【答案】13 11.四边形具有不稳定性．如图，矩形ABCD按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形ABCD的面积是9，则平行四边形的面积是_________ 【答案】 12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以，为边作矩形，若将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为___________． 【答案】 13.如图，在矩形中，E是上一点，，过点D作于点F，若，则四边形的面积为 ．    【答案】3 14.如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若，则_______． 【答案】 15.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_____． 【答案】 16.如图，在矩形中，，，为中点，为上动点且，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 三、解答题（本题共8小题，共52分） 17.如图，的对角线相交于点O．E，F是上的两点，且，连接．若，判断四边形的形状，并说明理由， 【答案】解：四边形是矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，． ， ， ， 四边形是平行四边形． ∵ 是矩形． 18.如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接，交于F． （1）求证：四边形是矩形 （2）如果设，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵四边形是矩形 ∴， ∴． 19.如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 20.如图,在中,点E,F分别在,上,连接,,,,且．请从以下三个选项中:①;②;③,选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形是矩形．（不再添加其他线条和字母）． (1)你添加的条件是: ;（填序号，填一个即可） (2)添加条件后,请证明四边形是矩形． 【答案】（1）解:根据平行四边形性质与判定,矩形的判定,选择①（或②）,选择其中一个序号填写即可． （2）解:证明:若选①判定如下: ∵四边形是平行四边形, ∴,,, ∵, ∴在和中, , ∴, ∴, ∵, ∴为平行四边形, ∵, ∴为矩形; 若选②判定如下: 解:∵四边形是平行四边形, ∴, ∵, ∴为平行四边形, ∵, ∴为矩形． 21.如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 【答案】（1）证明：∵矩形沿折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，， ∴，， 又∵矩形沿折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 由（1）知，， ∴． 22.已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 23.如图，在中，为的中线，为的中点，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，当满足不同条件时，四边形可能是矩形或菱形．请从以下两个结论中选择一个，先填写应满足的条件，再进行证明． 结论①：当满足___________时，四边形是矩形； 结论②：当满足___________时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵为的中线， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形； （2）解：连接，如图， ①当满足时，四边形是矩形，理由如下， ∵是中线，且， ∴，即 ， 由（1）知，且， ∵是中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； ②当满足时，四边形是菱形，理由如下， ∵ ，是中线， ∴， 由（1）知，且， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 24.已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12），点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t何值时，四边形PODB是平行四边形； （2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在线段PB上有一点M，且PM＝13，当P运动 　　 秒时，四边形OAMP的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置． 【答案】解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12）， ∴BC＝OA＝26，AB＝OC＝12， ∵点D时OA的中点， ∴ODOA＝13， 由运动知，PC＝2t， ∴BP＝BC﹣PC＝26﹣2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB＝OD＝13， ∴26﹣2t＝13， 解得t， ∴当t值为时，四边形PODB是平行四边形； （2）分三种情况： ①当Q点在P点的右边时，如图①， ∵四边形ODQP是菱形， ∴OD＝OP＝PQ＝13， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝5， ∴2t＝5， 解得t， ∴Q（18，12）； ②当Q点在P点左侧且在BC线段上时，如图， 同理①得PC＝18，CQ＝5， 即2t＝18， 解得t＝9， ∴Q（5，12）； ③当Q点在P点左侧且在BC延长线上时，如图③， 同理①求出QC＝5，PC＝13﹣5＝8， 即2t＝8，解得t＝4， ∴Q（﹣5，12）； 综上，t时，Q（18，12）；t＝9时，Q（5，12）；t＝4时，Q（﹣5，12）； （3）如图④： 由（1）知，OD＝13， ∵PM＝13， ∴OD＝PM， ∵BC∥OA， ∴四边形OPMD是平行四边形， ∴OP＝DM， ∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP＝26+AM+13+DM＝39+AM+DM， ∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小， ∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交BC于M， ∴AB＝EB， ∵BC∥OA， ∴BMAD， ∴PC＝BC﹣BM﹣PM＝2613， 即2t， 解得t， 故答案为：． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $