专题02 矩形的性质与判定（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题02 矩形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据矩形的性质解决角度问题（常考） 1 题型二、根据矩形的性质证明线段相等（常考） 2 题型三、矩形的判定之添加条件问题（常考重点） 2 题型四、矩形的折叠问题（常考重点） 3 题型五、坐标系中的矩形问题（常考） 4 题型六、矩形的性质与判定综合问题（常考重点） 6 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据矩形的性质解决角度问题（常考） 1．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 题型二、根据矩形的性质证明线段相等（常考） 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 5．如图，在矩形中，点在边上，，垂足为点．求证：． 6．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 题型三、矩形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 8．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 9．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 题型四、矩形的折叠问题（常考重点） 10．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 11．如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 12．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 题型五、坐标系中的矩形问题（常考） 13．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位． (1)在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)在图中画出关于原点O的中心对称图形； (3)已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，写出点D的坐标 ． 15．一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 题型六、矩形的性质与判定综合问题（常考重点） 16．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 17．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 18．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 1．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 2．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 3．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 4．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 9．如图，在矩形中，，将矩形绕点C顺时针旋转得到，当恰好落在上时，旋转角为，连，若，求和． 10．如图，在矩形中，点在上，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？ 12．如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 13．中国清朝末期的几何作图教科书中记载了大量几何作图题，如图，四边形是矩形，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线；④分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，（在上，在下），作直线，交于点，交射线于点． (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)依据尺规作图的痕迹，则的度数是______． 14．如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 15．在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 16．在长方形中，，将长方形绕点顺时针旋转一定角度（不超过），得到长方形． (1)如图1，分别连接，当时，求的度数； (2)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求证：； (3)如图3，当点落在线段上时，与交于点，求的面积． 17．如图，矩形中，． (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据矩形的性质解决角度问题（常考） 1 题型二、根据矩形的性质证明线段相等（常考） 3 题型三、矩形的判定之添加条件问题（常考重点） 3 题型四、矩形的折叠问题（常考重点） 7 题型五、坐标系中的矩形问题（常考） 10 题型六、矩形的性质与判定综合问题（常考重点） 15 B综合攻坚・能力越升 题型一、根据矩形的性质解决角度问题（常考） 1．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 3．两个矩形的位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余．先根据平角的定义得到，再由矩形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 由矩形的性质可得， ∴， ∴． 故选：A． 题型二、根据矩形的性质证明线段相等（常考） 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 5．如图，在矩形中，点在边上，，垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据矩形的性质得出，，证明，根据平行线的性质得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论成立． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 6．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点， ∴， 又∵点E恰好在上， ∴． ∴． ∴． 题型三、矩形的判定之添加条件问题（常考重点） 7．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 8．在《特殊平行四边形》回顾与思考课上，李芳整理的本章知识结构图如图，同桌张丽在①②③④处添加了条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．①处可填 B．②处可填 C．③处可填 D．④处可填 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系，根据这些特殊平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项所添加的条件是否能使图形按箭头方向进行正确的转化． 【详解】解：A项：一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴①处可填是正确的，故该选项不符合题意； B项：有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴②处可填是正确的，故该选项不符合题意； C项：有一个角是直角的菱形是正方形， ∴无法判定两角是否为直角，故该选项符合题意； D项：一组邻边相等的矩形是正方形， ∴④处可填是正确的，故该选项不符合题意， 故选：C． 9．如图，点、分别在的边、上，连接、，，连接、，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是矩形． (1)你选择的补充条件是_____（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是矩形的证明过程． 【答案】(1)②或③ (2)选择②或③，证明见解析 【分析】（）根据矩形的判定定理选择条件即可； （）先证明四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理即可求证； 本题考查了矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】（1）解：选择的补充条件是②或③， 故答案为：②或③； （2）解：选择②，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； 选择③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 题型四、矩形的折叠问题（常考重点） 10．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若． (1)求证： (2)求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用折叠的性质得到，再由矩形的性质求得，通过等量代换证得； （2）利用矩形的性质和已知条件得到各边长的值，再由折叠的性质得到，通过设未知数，利用勾股定理列出方程并求解未知数，进而求得的值，最后由（1）的结论即可得到结果． 【详解】（1）证明：∵矩形沿折叠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：在矩形中，， ∴，， 又∵矩形沿折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴， 由（1）知，， ∴． 11．如图，点是长方形纸片的边上一点，将纸片的一角沿折叠，使点的折叠点落在长方形外侧，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质以及翻折的性质求出相关角的度数，然后根据直角三角形的性质得出相关角的度数，得出，即可得出两直线平行． 【详解】证明：由长方形的性质以及翻折的性质，得， ，， 又， ． ， ． 12．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 题型五、坐标系中的矩形问题（常考） 13．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 14．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位． (1)在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)在图中画出关于原点O的中心对称图形； (3)已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，写出点D的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图—旋转变换、中心对称，平行四边形的判定以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质得到点A，B，C的对应点，即可作图； （2）根据中心对称的性质得到点A，B，C的对应点，即可作图； （3）根据平行四边形的判定条件以及勾股定理逆定理找到点D的位置，即可写出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，取格点，构造四边形， 理由：根据题意得：， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 15．一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解； （2）设，根据，可得点是点中点，由点D的横坐标为，求出e的值，可得点E的坐标，再利用待定系数法即可求解； （3）由（2）可求出，易得，求出，则，由（1）知，求出，分当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，两种情况讨论，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 令，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴点是点中点， ∵点D在y轴上，即点D的横坐标为， ∴， 解得：，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，则点Q在直线上， 设， 由（2）知， ∴， 解得：， 则， ∴； 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时， 设， 在中，， ∴，即， ∴，则， ∴， ， 解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 题型六、矩形的性质与判定综合问题（常考重点） 16．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 17．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 18．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明：中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 1．如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：C． 2．如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 3．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，基本作图，熟练掌握以上知识点是关键．连接，可证，得到，再根据勾股定理得到，由线段和差得到，在中，利用勾股定理建立方程求出即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， 由作图步骤可知，是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，即． 4．如图，矩形纸片按折痕折叠，点和点重合．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握矩形与折叠的性质． 由折叠可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程可求得，，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴，， 如图，过点作于点， ∵， ∴，即点到的距离为． 故选：C． 5．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 6．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定定理，需根据所给选项逐一分析是否能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项B：当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知平行四边形是菱形，不是矩形，所以该选项错误． 选项C：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，由可得，平行四边形是矩形，所以该选项正确． 选项D：因为四边形是平行四边形，所以，根据平行线的性质可得，又因为，所以，再根据等角对等边可知，根据菱形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形是菱形，所以该选项错误． 故选：C． 7．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 8．如图，在矩形中，点E是的中点，延长相交于点F，连接． (1)求证：； (2)当平分，且时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据矩形的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的边，证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据角平分线的性质证明是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵平分， ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵点E是的中点， ∴． 9．如图，在矩形中，，将矩形绕点C顺时针旋转得到，当恰好落在上时，旋转角为，连，若，求和． 【答案】为， 【分析】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 由三角形内角和定理得出，即旋转角为；作于，由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质得：， 矩形， ， ， ， 即旋转角为； 如图，作于， ， 四边形为矩形， ． 为，． 10．如图，在矩形中，点在上，平分． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到，从而可以得到，根据角平分线的定义，可以得到，进而得到，然后根据等角对等边即可证明结论； （2）根据矩形的性质得到是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可以求得的长，再根据（1）中得到的，即可得到的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ． 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：四边形是矩形， ． ，， 是等腰直角三角形， ， ． 由（1）知， ． 11．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？ 【答案】当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 12．如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 13．中国清朝末期的几何作图教科书中记载了大量几何作图题，如图，四边形是矩形，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交，于点，；②分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点；③作射线；④分别以，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，（在上，在下），作直线，交于点，交射线于点． (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)依据尺规作图的痕迹，则的度数是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图、垂直平分线的性质，熟悉尺规作图的步骤及垂直平分线性质是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由题可得，为的角平分线，可得，继而得到，即可． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：在矩形中，， ， 为等腰直角三角形， 为的角平分线， ， ， 又垂直平分， 所以， ， 故答案为：． 14．如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， 的面积． 15．在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即A为的中点． （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 16．在长方形中，，将长方形绕点顺时针旋转一定角度（不超过），得到长方形． (1)如图1，分别连接，当时，求的度数； (2)如图2，当点落在边上时，延长交于点，求证：； (3)如图3，当点落在线段上时，与交于点，求的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）先证明，结合旋转可证明为等边三角形，则； （2）先证明，则，而，则，再由线段和差即可证明； （3）连接，则先证明，然后可得，设，则，然后在直角三角形中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形 ， ， 又由旋转得：， 为等边三角形 ； （2）证明：由旋转可得：四边形和全等矩形 ， ， ， 而， ， 即． （3）解：如图，连接，依题可知：， ， 又 ， ∵矩形中，， ， 设，则， ∵在直角三角形中， ， 解得， ． ． 17．如图，矩形中，． (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $