专题03 函数图象与性质综合（题型专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 函数图象性质综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 平面直角坐标系 题型02 一次函数图像与性质 题型03 反比例函数图像与性质 题型04 二次函数图像与性质 题型05 函数与方程不等式的关系 题型06 二次函数图像与系数a.b.c间的关系 题型07 反比例函数k的几何意义 题型08 一次函数与反比函数综合 题型09 函数的规律问题 题型10 一次函数的实际应用 题型11 反比例函数的实际应用 题型12 二次函数的实际应用 题型13 动点问题的函数图像 题型14 二次函数与几何综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 平面直角坐标系 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移，掌握平移规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 直接运用平移规律“上加下减”即可解答． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是，即， 故答案为：． 【典例02】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转， ∴如图，点． 故选：A． 方法透视 考向解读 1.各象限内点的坐标特征 2坐标轴上点的坐标特征 3.象限的角平分线上点的坐标特征 4对称变换中的坐标特征 5 5平移变换 中的坐标特征 方法技能 1.各象限内点的坐标特征：(1)P(a,b)在第一象限↔a>0,b>0 (2)P(a,b)在第二象限↔a<0,b>0 (3)P(a,b)在第三象限↔a<0,b<0 (4)P(a,b)在第四象限↔a>0,b<0 2.坐标轴上点的坐标特征： (1)坐标轴上的点不属于任何象限 (2)P(a,b)在x轴上↔b=0 （3）P(a,b)在y轴上↔a=0 3.象限的角平分线上点的坐标特征：(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上,则a=b; (2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上,则a+b=0 4对称变换：（1）关于X轴：点A(a,b)关于x轴的对称点为B(a,-b)（2）关于y轴：点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b)（3）关于原点：点A(a,b)关于原点的对称点为D(-a,-b) 5平移变换 ：（1）左右平移：将点P(a,b)向左或向右平移h个单位，对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b) （2）上下平移：将点P(a,b)向上或向下平移k个单位，对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k) 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 【变式02】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【详解】（1）解：如图，建立平面直角坐标系， ∴对称中心的坐标是，点的对应点的坐标是； （2）解：画出平移后的菱形，如图所示． 【变式03】（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变化，掌握旋转，平移的性质是关键． 根据旋转，平移的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据题意，， 如图所示， 将线段先绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，再将线段向下平移得到线段，点的对应点为点，即点变换后的对应点的坐标是， ∴旋转后向下平移了4个单位， ∴， 故选：D ． 题型02 一次函数图像与性质 典例引领 【典例01】（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而减小可得，再根据函数图象与轴正半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而减小， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴正半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【典例02】（2025·山东临沂·一模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．当时， C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 方法透视 考向解读 一次函数在山东中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一 张试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他知识的结合。 方法技能 解题时先确定k的正负（决定增减性）、b的值（决定y轴交点）。k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小。比较函数值大小时，若两点在同一分支上直接用增减性；若在不同分支上，先求对称点或代值计算。遇到含参问题，通过性质反推参数范围：如“y随x增大而减小”⇒k<0；“图象过一、二、四象限”⇒k<0且b>0。 变式演练 【变式01】（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而增大可得，再根据函数图象与轴负半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而增大， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴负半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式02】（2025·山东威海·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点问题，根据平移规则：上加下减，求出平移后的直线的解析式，令，求出直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：由题意，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点坐标为； 故答案为：． 【变式03】（2025·山东枣庄·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形变化，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．过点作轴的垂线，求出垂线的长，得到点的坐标，即可得到的横坐标，即可得到答案． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 将代入得， ， ， 是等边三角形， ， ． ， 则， ． 将代入， 解得， 故的横坐标为， 则， ， 故答案为：． 题型03 反比例函数图像与性质 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，先证明，，设，可得，，求解，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D 方法透视 考向解读 反比例函数在山东中考中的占比较大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程中需要更加重视该考点。 方法技能 反比例函数（）的性质由的符号决定。时，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；时，在二、四象限，每个象限内随增大而增大。比较函数值大小，务必先判断两点是否在同一象限：同象限直接用增减性，不同象限则依据正负性（一三象限为正，二四象限为负）。图象关于原点对称，且无限接近坐标轴但永不相交。 变式演练 【变式01】（2025·山东济南·二模）已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 先判断进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ， 故选：B． 【变式02】（2025·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 【变式03】（2025·山东东营·二模）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 【答案】4 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，根据直角坐标系设点，则点，将两点代入反比例函数，可得出，进而求出，则可得出k的值． 【详解】解：设点，则点 将点，点代入反比例函数中， 得， 解得． 点， ． 故答案为：4 题型04二次函数图像与性质 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 【典例02】（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 方法透视 考向解读 二次函数是初中数学三种函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常将二次函数与几何相结合，利用二次函数的增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。 方法技能 1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 变式演练 【变式01】（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、因式分解的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）将、代入化简，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）代入化简可得，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出，然后代入进行求解即可． 【详解】（1）解：当、时，二次函数可化为：， ∴此函数图象的对称轴为． （2）解：当时，二次函数可化为：， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵在时，y随的增大而减小； ∴， ∵在时，随的增大而增大； ∴， ∴． （3）解：∵若点，，均在该函数的图象上， ∴， ， ∴ ； ； ∵， ∴，整理得： ∵，为两个不相等的实数， ∴， ∴，解得：． 【变式02】（2025·山东青岛·二模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 【变式03】（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）；；； （2） （3）b的值为或． 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； 【小问2详解】 解：，， ， ， ； 【小问3详解】 解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当在取得最大值，在取得最小值时， 有 ，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 题型05函数与方程不等式的关系 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】BCD 【详解】解：把代入，得： ，解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同，均为， ∴关于的方程的两个根是和4，故B选项正确； ∵， ∴为， ∴在直线上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式的最大值为；故D选项正确； 故选BCD． 方法透视 考向解读 考点的关键主要集中在： （1）直线、双曲线、抛物线与x轴的交点 （2）直线、双曲线、抛物线间的交点问题， （3）方程与不等式的相关知识 （4）数（方程不等式）形（图像）结合思想的运用 方法技能 1. 求直线、双曲线、抛物线与x轴的交点时就是让解析式的y=0，就得到了方程解方程即可。 求直线、双曲线、抛物线间的交点问题，往往通过解析式联立解方程组获得。 2.反比例函数与不等式问题解题步骤：①找交点 ②分区 ③观察图像找答案（即三线四区法） 3.二次函数与一元二次方程问题： ①求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； ②求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 4.二次函数与不等式问题： ①当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 ②由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 【变式02】（2025·山东青岛·二模）16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 【变式03】（2024·山东淄博·中考真题） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，解直角三角形： （1）先求出得到，再解直角三角形得到，则，据此利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出点A的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出对应的反比例函数解析式即可； （2）先求出点B的坐标，再利用勾股定理建立方程求出点E的坐标，最后根据，求解面积即可； （3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：联立 解得或， ∴； 设， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于的不等式的解集为或． 题型06 二次函数图像与系数a.b.c间的关系 典例引领 【典例01】（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 【典例02】（2025·山东潍坊·二模）（多选）二次函数的图像如图所示，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．关于的方程（为常数）有实数根 【答案】BCD 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标公式，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标公式，二次函数和一元二次方程的关系等性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据抛物线图象可得，开口向下，所以，对称轴在轴的右侧，所以，抛物线交轴的正半轴，所以，所以，该选项错误，不符合题意； B.因为抛物线对称轴为直线，即，，所以3与是两个对称点的横坐标，当时，，即，该选项正确，符合题意； C. 若，且，所以是两个对称点的横坐标，根据对称轴为直线，则，即，该选项正确，符合题意； D. 方程，其判别式，二次函数顶点为，则，即，对进行变形： 把代入得，因为，所以，方程有实数根，该选项正确，符合题意； 故选：BCD． 方法透视 考向解读 考查的基础考点主要有: 考点1二次函数图象与系数的关系: 1.a的正负决定开口方向; 2.a,b同时决定对称轴的位置:“同左异右”;b=0,对称轴为y轴; 3.c决定与y轴交点位置. 考点2增减性: 重点在于确定对称轴位置，结合开口方向，确定对称轴两侧的增减性. 考点3与一元二次方程结合: 1.抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根; 2.利用根个数判断出系数间关系. 方法技能 1、二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题；根据图象可知函数与轴y轴交点情况及对称轴，判断的情况，可判断①；由时，可判断②；结合对称轴为直线，由对称性可求该函数和轴的另一个交点为代入可判断③；由图象开口向上，得，即，得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④． 【详解】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上， ， 对称轴为直线，即， ， ，故①正确； 二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 该函数和轴的另一个交点为，即， 时，，故②错误； 该函数和轴的另一个交点为， ， ， ， ，即， ， ， ，故③错误； ， ， 两点在对称轴右侧的抛物线上， 在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大， ， ，即，故④正确． 故选：B． 【变式02】（2025·山东威海·一模）已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（   ） ①；  ②；  ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与0之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A．②③ B．②④⑤ C．②③④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，解不等式等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵不论取何值，都有， ∴抛物线开口向下，顶点的纵坐标为， ∴，故①正确； ∵二次函数过点，， ∴对称轴为， ∴顶点坐标为，， ∴，， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，随增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴无法判断与0的大小关系，故④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 又， ∴， ∴，故⑤错误， 故选：C． 【变式03】（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法： ①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴是直线， ，， ， ，①正确； 二次函数的对称轴是直线，与轴的一个交点为， 二次函数与轴的一个交点为， ， ，②正确； 二次函数与轴的交点为和， 关于x的一元二次方程的两个根为，3，③正确； 二次函数开口向上， 距离对称轴越近，函数值越小， 二次函数的对称轴是直线，， ，④错误； 二次函数的对称轴是直线， 当是，二次函数有最小值为， 对任意实数m，都有，即 对任意实数m，不等式恒成立，⑤正确， 故选：C． 题型07反比例函数k的几何意义 典例引领 【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 方法透视 考向解读 方法技能 一般步骤： 第一步坐标表示：设出反比例函数图象上的关键点，并结合图形特征表示出其他相关点坐标 第二步面积表示：利用点的坐标表示线段长，进而表示出图形面积， 第三步计算结果：计算过程中消去未知数，得到常数 变式演练 【变式01】（2025·山东青岛·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题考查了反比例函数系kk的几何意义，关键是根据三角形的面积求出的值．连接，设与轴交于点，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵轴， ∴轴， ∴ ∵， ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式02】（2025·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于F， 由已知，BC＝5， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝5， ∵BE＝2DE， ∴设DE＝x，则BE＝2x， ∴DF＝2x，BF＝x，FC＝5﹣x， 在Rt△DFC中， DF2+FC2＝DC2， ∴（2x）2+（5﹣x）2＝52， 解得x1＝2，x2＝0（舍去）， ∴DE＝2，FD＝4， 设OB＝a， 则点D坐标为（2，a+4），点C坐标为（5，a）， ∵点D、C在双曲线上， ∴k＝2×（a+4）＝5a， ∴a＝， ∴k＝5×＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键． 【变式03】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键．设，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 详解】解：设， 由题意得：． ∵正方形与（其中边分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 故选：C 题型08 一次函数与反比函数综合 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； （2）解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴， ∵，，在上 ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴的解析式为， 当时，，则， ∴，，则 ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 方法透视 考向解读 反比例函数的考查常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数与特殊三角形特殊四边形圆等几何知识的综合，在复习过程中需要更加重视该考点。 方法技能 一.解决反比例函数与一次函数交点问题: 1.若解析式直接求解不出来，可构造直角三角形，用锐角三角函数转化线段关系求解;若已知一次函数和反比例函数解析式求交点，联立方程组求解即可. 2.题中存在直线平移/平行时，要注意平行的直线，k值相等. 二.正比例函数与双反比例函数问题中，已知线段数量关系，求k的比值的解题步骤: 1.设其中一个交点的横坐标，根据k=xy表示出纵坐标; 2.构造相似三角形，根据相似比列等量关系求解. 变式演练 【变式01】（2025·山东日照·二模）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 【变式02】（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、相似三角形的判定与性质综合、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合 【分析】（1）把点B坐标代入一次函数式中，即可求得b的值，从而得点B的值；把点B的坐标代入反比例函数式中即可求得k的值； （2）过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K，证明，则由相似三角形的性质求得，从而求得点D的坐标；再求出的函数解析式，则可求得点K的坐标，利用即可求解； （3）过点D作轴，作于H，于G，证明，利用全等三角形的性质即可求得点坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数交于点， ∴把代入中，得， 解得：， ∴； 把代入得：； 即，； （2）解：如图，过点B作轴于点G，过点D作轴于点H，设交y轴于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知反比例函数的表达式为； 当时，，解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点D作轴，作于H，于G， 则， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数交点，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造辅助线证明三角形相似与全等是解题的关键． 【变式03】（2025·山东潍坊·一模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、根据旋转的性质求解、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题； （2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可； （3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：把代入，得：，解得：， 把代入得：， 把，代入得： ，解得：， 所以一次函数的表达式为， 把代入，得，， ； （2）解：由图知，不等式的解集为：或； （3）解：把代入，得， ， 过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，    ， ，， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， ， ，， ， ， 设旋转后直线的解析式为， 把，代入得： ，解得：， 所以旋转后直线的解析式为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键． 题型09函数的规律问题 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【典例02】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 方法透视 考向解读 该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。 方法技能 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 3.数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·二模）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．分析点的运动规律找到循环规律即可． 【详解】解：点坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动个单位， 因为 所以，前次循环运动点共向右运动个单位，剩余一次运动向右走个单位，且纵坐标为． 故点坐标为 故选：C． 【变式02】（2025·山东枣庄·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第n次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，再求出2024除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下： 由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到， ∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【变式03】（2025·山东淄博·二模）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数的规律探究问题、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可， 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故答案为：． 题型10一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地__________． 【答案】/ 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为，设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，，解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立，解得 即他们相遇时距离A地．故答案为：． 【典例02】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 方法透视 考向解读 一次函数的应用常考题型有： 1.利润(费用)最值问题 2.行程问题 3.方案选取问题 方法技能 题型一：利润(费用)最值问题 通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值 题型二：行程问题 (1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义; (2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的取值范围; (3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的实际意义。 题型三：方案选取问题 方案选取问题的解题步骤 (1)建立一次函数模型; (2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计; (3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案并注意实际问题中自变量的取值范围限制。 变式演练 【变式01】（2025·山东中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 【变式02】（2024·山东威海 中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ） A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为（） 两车行驶了小时，同时到达地， 如图所示，小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息， 点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， ∴乙车休息了1小时，故D不正确， 设甲车的速度为，乙车的速度为， 根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢， ∵ 即 在时，乙车不动，则甲车的速度是， ∴乙车速度为，故C不正确， ∴的距离为千米，故B不正确， 设小时两辆车相遇，依题意得， 解得：即小时时，两车相遇，故A正确 故选：A． 【变式03】（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，并计算当时对应函数值是解题的关键． 根据“电动汽车每干米的耗电量剩余电量的减少量行驶路程”分别计算、两款新能源电动汽车每千米的耗电量，由此写出图象的函数关系式，将分别代入，求出对应函数值并计算二者之差即可． 【详解】解：款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 款新能源电动汽车每千米的耗电量为， ∴图象的函数关系式为， 图象的函数关系式为， 当时，， ， ∴当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 题型11 反比例函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·山东菏泽·二模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③见解析 (3)或 【知识点】判断（画）反比例函数图象、求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、实际问题与反比例函数 【分析】（1）根据公式进行计算即可； （2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴重物B所受拉力为， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴，即， 故答案为：； ②由（2）①得， 填表如下： … 10 20 30 40 50 … … 8 4 2 … ③函数图象如下所示：    （3）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时， ∴在函数上满足题意的Q的坐标为， ∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L， ∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． 【典例02】（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)36 (4)冰箱内的温度是－4.5℃ 【知识点】用描点法画函数图象、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用： （1）用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来得函数图象； （2）根据函数图象猜想函数满足得函数关系，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （3）令，求出x的值即可； （4）根据冰箱运行的周期求出124分钟为3个周期零16分钟，则求出时y的值即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：当时， 设y与a的函数解析式为． 把，代入上式得解得 ∴当时，y与x的函数解析式为． 当时，设y与x的函数解析式为． 把点的坐标代入得，解得， 当时，y与x的函数解析式为． ∴ （3）解：当时，， 解得：， ∴冰箱的一个运行周期时长为36分钟， 故答案为：36； （4）解：当冰箱温度刚好达到－18℃时，已运行了4min，继续运行120min，总共为124min．， 124min冰箱运行3个周期零16min，当时，． ∴冰箱内的温度是－4.5℃． 方法透视 考向解读 反比例函数实际应用常考题型： （1）与实际情境结合的分段函数问题 （2）跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 方法技能 题型一：与实际情境结合的分段函数问题 ①通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 ②写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 题型二：跨学科应用 解题关键是识别反比例关系，建立函数模型，其中为常量。注意物理量的实际意义（如长度、电压为正），代入已知数据求，再求解未知量。有时需结合图象分析，并考虑自变量取值范围受实际条件限制，确保结果合理。 变式演练 【变式01】（2025·山东临沂·二模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式． 根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， ∵最高车速为， ∴在最高车速下的行驶时间， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为， ∴通过段限速区间的行驶时间应该在之间． ， ∴选项符合题意． 故选：B． 【变式02】（2025·山东威海·一模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度的变化而变化（如图2），血液酒精浓度与呼气酒精浓度的关系见表格．下列说法不正确的是（    ） 信息窗 （1）血液酒精浓度呼吸酒精浓度 （2）非酒驾（） 酒驾（） 醉驾（） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题意，能正确识图是解题的关键．观察图2可直接判断A、B，由可得到的值，从而判断C，观察图2可得时的值，从而算出的值，即可判断D． 【详解】解：A、由图2可知，呼气酒精浓度越大，的阻值越小，故A正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为100，故B正确，不符合题意； C、由信息窗可知，当时，， 当时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意； D、由图2知，当时，，则， 该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式03】（2024·山东临沂·一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． （2）解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 题型12 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题） 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 方法透视 考向解读 二次函数的实际应用主要考查两方面的应用： ①利用二次函数解决抛物线形问题 ②二次函数在实际生活中的应用 方法技能 题型一：利用二次函数解决抛物线形问题 解决此类问题一般步骤： ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 题型二：二次函数在实际生活中的应用 利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。 另外二次函数应用多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 变式演练 【变式01】（2024·山东潍坊中考真题） 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． （1）求关于的函数表达式； （2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ （3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，将图中的点代入即可求出答案； （2）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值； （3）延长与过点作的线交于点，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 将代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 解：根据函数解析式得函数对称轴， 故阳能板与水平地面的夹角为度时，日平均太阳辐射量最大； 【小问3详解】 解：， 延长与过点作的线交于点，令， ，， ， ， ， ， ， 延长交与点， ， ， ， ， ， ． 【变式02】（2025·山东潍坊·二模）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 (3)当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，读懂题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）设定价为元，则每卷利润元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润列出方程，解之即可得到答案； （3）设利润为元，则，然后根据二次函数的性质求得当时的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意设， 代入已知数据点和得 ， 解得：， 与的函数关系式为， （2）解：设定价为元，则每卷利润元， 由（1）知销售量为， 依题意，得， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元． （3）解：设利润为元，根据题意可得：， 整理得， ，对称轴为， 由于对称轴超出售价范围，在这个范围内函数值随增大而增大， 时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2800元． 【变式03】（2025·山东青岛·一模）某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为元； B型：每支成本6元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量万支与定价元的关系如下： 定价（元） … 7 8 9 10 … 销量（万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： (1)求A型笔的销量万支与售价元的关系式； (2)当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元； (3)若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)20；410 (3)650万元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式是关键． （1）A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支，据此列出函数解析式即可； （2）求出两种笔的销量，即可求出答案； （3）列出销售利润的二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支， ∴， 即A型笔的销量万支与售价元的关系式为； （2）当A型笔的定价为8元时，，即A型笔销量为万支， 此时B型笔销量为万支， ∵B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． ∴元， 即当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为元， 万元， 故答案为：20；410 （3）设销售利润为万元， 根据题意得：， 解得：， A型笔的销量， B型笔的销量， ∴， ，   开口向下 对称轴直线 当时随增大而增大 当时最大值为650 答：所获得的最大利润为650万元 题型13动点问题的函数图像 典例引领 【典例01】（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 方法透视 考向解读 对动点问题的函数图像的考查主要有两个方面： ①动点与函数图象判断 ②动点与函数图象计算 方法技能 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 ①方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； ②方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； ③方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； ④方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 ①看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； ②看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； ③结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； ④计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 变式演练 【变式01】（2025·山东济宁·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．连接，，则，得到，推出，即当点在上时，的值最小，此时的值最小，根据可得，由可设，则，，在中，由勾股定理求出，得到，，，然后证明，根据相似三角形的性质解题即可． 【详解】解：由正方形的性质可知点，关于直线对称，连接，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ， ， 当点在上时，的值最小，此时的值最小， 点， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式02】（2025·山东日照·一模）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了动点函数图象间关系，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，解一元二次方程，过点A作于点H，过点P作于点G，连接，由图象可得，，利用三角形等面积法求出，解直角三角形求出，求出，进而求出，解直角三角形求出，进而求出，由角平分线的定义得到，设，则，求出，利用勾股定理建立方程求出的值，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点A作于点H，过点P作于点G，连接， 当点P在上运动时，的面积为定值， 由图象可得点P运动到点B时，运动时间为，的面积为， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵恰好平分， ∴， 设，则， ∴， ∵ ∴，即， 解得：或（舍去） ∴， ∴． 故选：C． 【变式03】（2025·山东菏泽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、一次函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、面积问题(二次函数综合) 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：、和，分别列出方程，解方程即可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒， ∴当时，，此时的面积为， ∴， ∴， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ∵，， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ∴， 当时，如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ∵， ∴的面积． 当时，此时的边，边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或 （不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或，则说法⑤错误； 综上，说法正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的几何应用、解直角三角形、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键． 题型14二次函数与几何综合 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． （2）解：Ⅰ、当抛物线向右平移时： 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点M纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； 当时，即时，如图： 直线与抛物线交点N纵坐标最大， 将，代入解析式得， 解得，与矛盾，不合题意； ，符合题意； Ⅱ、当抛物线向左平移时， 根据平移规律可得新抛物线解析式为：， 对称轴为直线， ， ， ∴当时，y取最大值8，代入解析式得： ， 解得：，（舍）， 综上可知，或； （3）解： 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 令，则, ∴直线与轴交于， 直线与坐标轴围成的是一个等腰直角三角形， ∴图象沿直线平移时，上下方向与左右方向平移的距离相等， 设向上、向右平移了m个单位， ，， 由平移得，， 四边形是平行四边形， 线段与交于点M， ∴为线段的中点， ， Ⅰ、如图，抛物线沿射线平移， ∵，，G， ∴由勾股定理可得， ， ，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，是在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； Ⅱ、如图，抛物线沿射线平移， 作关于点对称点， 则可同理证明，且， ∵， ∴， ∴四点共圆，在以为直径的圆上， 中点， 则， ， 即 解得：或（舍） ∴； 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则，∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D，∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵，∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，，∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得，∴直线的解析式为， ∵，∴， ∵点F在射线上，，，∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，，∴， ∴是等腰直角三角形，∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴． ∵，，∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴，即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵，即，∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线，∴， ∵，∴，∴，∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 方法透视 考向解读 基础常见考点分为九类： 1、二次函数与几何变换的综合 2、二次函数与直角三角形的综合 3、二次函数与等腰三角形的综合 4、二次函数与相似三角形的综合 5、二次函数与四边形的综合 6、二次函数与最值的综合 7、二次函数与新定义的综合） 8、二次函数与圆的综合 9、二次函数与角的综合 方法技能 因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就山东中考与模拟题中二次函数的几种类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！ 变式演练 【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴，∴，∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴的取值范围是． 【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 【变式03】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【难度】0.15 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题●型●训●练 1．（2025·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象和性质、一次函数的图象和性质等知识点，熟知函数的系数对函数图象是解题的关键． 先根据二次函数图象确定，，再分别函数与在同一直角坐标系内的大致图象即可解答． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一，二，四象限，即选项B符合题意． 故选：B． 2（2025·山东潍坊·二模）已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较一次函数值的大小、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，根据一次函数的性质得出，进而根据反比例函数的性质得出，在第四象限，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，， ∴ 又∵点，在反比例函数的图象上， 又，则，在第四象限，随的增大而增大， ∴ 故选：D． 3．（2025·山东临沂·二模）甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了函数图象；根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：（米秒），故③错误，不符合题意； 乙的速度为：米秒， ，故①错误，不符合题意； ，故②正确，符合题意； 设当甲、乙相距米时，甲出发了秒， 两人相遇前：， 解得； 两人相遇后：， 解得；故④正确，符合题意； 故选：C． 4．（2025·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（    ） A． B．8 C．6 D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G,设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4，求出DH=，由勾股定理求出 AH ，根据E为AD的中点，由勾股定理求得OA ,证明△DGC≅△AFB中，得DG=AF= 在Rt∆AFB中，根据锐角三角函数求出BF的长度，再得到 将代入y=，得k． 【详解】解：如图，过D作DH垂直x轴于H，DG⊥y轴于G，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F， 可知：∠DHA=∠DGC=∠BFA=90° 在Rt∆DHA中，∠DHA=30°，AD=4, ∴DH= AH= ∵E为AD的中点， ∴AE= ， ∴OE= ， ∴OA= ， OH=HA-OA= ， 又四边形DHOG为矩形， ∴DG=HO= ， ∵AE∥BC， ∴∠AEO=∠BCG=60°， ∴∠DCG=90°-60°=30°， ∴∠CDG=90°-30°=60° 又∵∠BAF=90°-∠EAO=90°-30°=60°， ∵矩形ABCD中，AB=AC， 在△DGC和△AFB中， ， ∴△DGC≅△AFB， ∴DG=AF= ， 在Rt∆AFB中， ∵tan∠BAF= ， ∴BF=AFtan30°= ， ∴OF=OA+AF=2 ， BF=3， ∴ 将代入y= 得k= ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△DGC≅△AFB，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 5．（2025·山东菏泽·二模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ，则结论①正确； 将点代入二次函数的解析式得：，结论③错误； 将代入得：，结论②正确； 抛物线的对称轴为， 和时的函数值相等，即都为， 又当时，随的增大而减小，且， ，结论④错误； 由函数图像可知，当时，取得最大值，最大值为， ， ，即，结论⑤正确； 综上，正确的结论有①②⑤． 故选：B 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数自变量或函数值 【分析】首先根据题意判定A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0），代入抛物线解析式，得出关系式，①结论正确；解出，即可判断②结论错误，④结论正确；进而得出抛物线的解析式，得出对称轴，可判定③结论正确；平行四边形ABCD的面积即可算得6，⑤结论错误. 【详解】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0） 又∵抛物线过三点 将三点坐标代入，得 ∴①结论正确； 解得 ∴抛物线解析式为 ∴，②结论错误； 抛物线的对称轴为，③结论正确； 点即为（2,3），抛物线过此点，④结论正确； ，⑤结论错误. 故正确的个数是3，选C. 【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合运用，熟练掌握即可解题. 7．（2025·山东青岛·一模）若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（   ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质等知识点依次对各结论进行分析判断即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）． ∴抛物线与x轴另一个交点在和之间（不包含和）， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， ∴，解得：，故②正确； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故③正确； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：，即，故④错误； ⑤当时，，的值不一定是正值， 故⑤错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、二次函数函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 9.（2025·山东聊城·二模）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②左，1，或 【知识点】平移综合题(几何变换)、由反比例函数图象的对称性求点的坐标、用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关系等知识点． （1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：∵函数的图象可由的图象向左平移1个单位长度得到，而 的对称中心为， ∴平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， ∴不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， ∵对称中心为， ∴由函数图象可得：不等式的解集为或， ∴时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，1，或． 10.（2025·山东济南·二模）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为． (1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； (2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； (3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是，理由见解析 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出的值即可求解； （）设矩形宣传牌为矩形，且边落在上，拱桥的最高点到的距离为，且矩形长、宽均为整数，可得的值可以为，进而根据矩形的面积及的长可得，，据此解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设最高点为， 由题意得，， ， ， ， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴两个支撑柱之间的距离是； （3）解：如图，设矩形宣传牌为矩形，且边落在上， ∵拱桥的最高点到的距离为，且矩形长、宽均为整数， ∴ 的值可以为， 又∵矩形宣传牌的面积为， ∴有下列种初步的设计方案： ①，；②，； ， ∴方案①不合题意， ∴，，此时点到路面的距离为， ∵当时，， ∴此时宣传牌左上方顶点的坐标是，符合题意， 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数图象性质综合 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 平面直角坐标系 题型02 一次函数图像与性质 题型03 反比例函数图像与性质 题型04 二次函数图像与性质 题型05 函数与方程不等式的关系 题型06 二次函数图像与系数a.b.c间的关系 题型07 反比例函数k的几何意义 题型08 一次函数与反比函数综合 题型09 函数的规律问题 题型10 一次函数的实际应用 题型11 反比例函数的实际应用 题型12 二次函数的实际应用 题型13 动点问题的函数图像 题型14 二次函数与几何综合 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 平面直角坐标系 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到的对应点的坐标是 ． 【典例02】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将关于y轴的对称图形绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 1.各象限内点的坐标特征 2坐标轴上点的坐标特征 3.象限的角平分线上点的坐标特征 4对称变换中的坐标特征 5 5平移变换 中的坐标特征 方法技能 1.各象限内点的坐标特征：(1)P(a,b)在第一象限↔a>0,b>0 (2)P(a,b)在第二象限↔a<0,b>0 (3)P(a,b)在第三象限↔a<0,b<0 (4)P(a,b)在第四象限↔a>0,b<0 2.坐标轴上点的坐标特征： (1)坐标轴上的点不属于任何象限 (2)P(a,b)在x轴上↔b=0 （3）P(a,b)在y轴上↔a=0 3.象限的角平分线上点的坐标特征：(1)若P(a,b)在一、三象限的角平分线上,则a=b; (2)若P(a,b)在二、四象限的角平分线上,则a+b=0 4对称变换：（1）关于X轴：点A(a,b)关于x轴的对称点为B(a,-b)（2）关于y轴：点A(a,b)关于y轴的对称点为C(-a,b)（3）关于原点：点A(a,b)关于原点的对称点为D(-a,-b) 5平移变换 ：（1）左右平移：将点P(a,b)向左或向右平移h个单位，对应点坐标为(a-h,b)或(a+h,b) （2）上下平移：将点P(a,b)向上或向下平移k个单位，对应点坐标为(a,b+k)或(a,b-k) 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【变式02】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，已知菱形的顶点在方格纸的格点上，其中，，的坐标分别为，，．该菱形经过中心对称得到它右侧的菱形（顶点均在格点上）． (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心的坐标和点的对应点的坐标； (2)将菱形平移，使点的对应点为点，画出平移后的菱形． 【变式03】（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型02 一次函数图像与性质 典例引领 【典例01】（2024·山东潍坊·中考真题）请写出同时满足以下两个条件的一个函数：______． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【典例02】（2025·山东临沂·一模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．当时， C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限 方法透视 考向解读 一次函数在山东中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一 张试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他知识的结合。 方法技能 解题时先确定k的正负（决定增减性）、b的值（决定y轴交点）。k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小。比较函数值大小时，若两点在同一分支上直接用增减性；若在不同分支上，先求对称点或代值计算。遇到含参问题，通过性质反推参数范围：如“y随x增大而减小”⇒k<0；“图象过一、二、四象限”⇒k<0且b>0。 变式演练 【变式01】（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 【变式02】（2025·山东威海·一模）将直线向下平移1个单位长度得到直线，则直线与轴的交点坐标为 ． 【变式03】（2025·山东枣庄·二模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在y轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ． 题型03 反比例函数图像与性质 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为__________． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 方法透视 考向解读 反比例函数在山东中考中的占比较大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程中需要更加重视该考点。 方法技能 反比例函数（）的性质由的符号决定。时，图象在一、三象限，每个象限内随增大而减小；时，在二、四象限，每个象限内随增大而增大。比较函数值大小，务必先判断两点是否在同一象限：同象限直接用增减性，不同象限则依据正负性（一三象限为正，二四象限为负）。图象关于原点对称，且无限接近坐标轴但永不相交。 变式演练 【变式01】（2025·山东济南·二模）已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东日照·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【变式03】（2025·山东东营·二模）如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则 ． 题型04二次函数图像与性质 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【典例02】（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 方法透视 考向解读 二次函数是初中数学三种函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常将二次函数与几何相结合，利用二次函数的增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。 方法技能 1.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 变式演练 【变式01】（2025·山东·中考真题）已知二次函数，其中，为两个不相等的实数． (1)当、时，求此函数图象的对称轴； (2)当时，若该函数在时，y随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； (3)若点，，均在该函数的图象上，是否存在常数，使得若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【变式02】（2025·山东青岛·二模）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【变式03】（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 题型05函数与方程不等式的关系 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【典例02】（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 方法透视 考向解读 考点的关键主要集中在： （1）直线、双曲线、抛物线与x轴的交点 （2）直线、双曲线、抛物线间的交点问题， （3）方程与不等式的相关知识 （4）数（方程不等式）形（图像）结合思想的运用 方法技能 1. 求直线、双曲线、抛物线与x轴的交点时就是让解析式的y=0，就得到了方程解方程即可。 求直线、双曲线、抛物线间的交点问题，往往通过解析式联立解方程组获得。 2.反比例函数与不等式问题解题步骤：①找交点 ②分区 ③观察图像找答案（即三线四区法） 3.二次函数与一元二次方程问题： ①求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； ②求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 4.二次函数与不等式问题： ①当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 ②由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【变式02】（2025·山东青岛·二模）16. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 【变式03】（2024·山东淄博·中考真题） 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集． 题型06 二次函数图像与系数a.b.c间的关系 典例引领 【典例01】（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【典例02】（2025·山东潍坊·二模）（多选）二次函数的图像如图所示，顶点为，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D．关于的方程（为常数）有实数根 方法透视 考向解读 考查的基础考点主要有: 考点1二次函数图象与系数的关系: 1.a的正负决定开口方向; 2.a,b同时决定对称轴的位置:“同左异右”;b=0,对称轴为y轴; 3.c决定与y轴交点位置. 考点2增减性: 重点在于确定对称轴位置，结合开口方向，确定对称轴两侧的增减性. 考点3与一元二次方程结合: 1.抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根; 2.利用根个数判断出系数间关系. 方法技能 1、二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 变式演练 【变式01】（2025·山东淄博·二模）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式02】（2025·山东威海·一模）已知二次函数过点，，且不论取何值，都有，则以下五个结论错误的是（   ） ①；  ②；  ③若当时，随增大而减小，则； ④若抛物线与轴的一个交点在与0之间；则有； ⑤若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则． A．②③ B．②④⑤ C．②③④⑤ D．③④⑤ 【变式03】（2025·山东聊城·一模）如图，二次函数的对称轴是直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列说法： ①；②；③关于x的一元二次方程的两个根为，3；④若，在该抛物线上，则；⑤对任意实数m，不等式恒成立．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型07反比例函数k的几何意义 典例引领 【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 方法透视 考向解读 方法技能 一般步骤： 第一步坐标表示：设出反比例函数图象上的关键点，并结合图形特征表示出其他相关点坐标 第二步面积表示：利用点的坐标表示线段长，进而表示出图形面积， 第三步计算结果：计算过程中消去未知数，得到常数 变式演练 【变式01】（2025·山东青岛·二模）如图，点，分别位于反比例函数与的图象上，连接，则有轴，为轴上一点，连接，，若，则 ． 【变式02】（2025·山东德州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BCx轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ． 【变式03】（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，正方形与（其中边，分别在，轴的正半轴上）的公共顶点在反比例函数的图象上，直线与，轴分别相交于点，．若这两个正方形的面积之和是，且．则的值是（ ） A. 5 B. 1 C. 3 D. 2 题型08 一次函数与反比函数综合 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求m，k的值． (2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及的面积． 方法透视 考向解读 反比例函数的考查常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数与特殊三角形特殊四边形圆等几何知识的综合，在复习过程中需要更加重视该考点。 方法技能 一.解决反比例函数与一次函数交点问题: 1.若解析式直接求解不出来，可构造直角三角形，用锐角三角函数转化线段关系求解;若已知一次函数和反比例函数解析式求交点，联立方程组求解即可. 2.题中存在直线平移/平行时，要注意平行的直线，k值相等. 二.正比例函数与双反比例函数问题中，已知线段数量关系，求k的比值的解题步骤: 1.设其中一个交点的横坐标，根据k=xy表示出纵坐标; 2.构造相似三角形，根据相似比列等量关系求解. 变式演练 【变式01】（2025·山东日照·二模）已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【变式02】（2025·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与反比例函数交于点． (1)求b，k的值； (2)点C是x轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点D，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，求点E的坐标． 【变式03】（2025·山东潍坊·一模）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．      (1)求一次函数的表达式以及点的坐标． (2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集． (3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式． 题型09函数的规律问题 典例引领 【典例01】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【典例02】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________． 方法透视 考向解读 该题型主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律(如点变的循环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等)。主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算求解。这类问题体现了“特殊与一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求。 方法技能 1. 解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法： 1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标； 2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律． 2. 解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项： 1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示； 3）找算式中数字与序号间的变化规律； 4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）. 3.数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·二模）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东枣庄·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第n次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是 ． 【变式03】（2025·山东淄博·二模）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 题型10一次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地__________． 【典例02】（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 方法透视 考向解读 一次函数的应用常考题型有： 1.利润(费用)最值问题 2.行程问题 3.方案选取问题 方法技能 题型一：利润(费用)最值问题 通过题中所给条件建立函数模型，再根据函数的增减性及自变量的取值范围确定最值 题型二：行程问题 (1)将实际问题转化为数学问题，分析横、纵坐标表示的意义; (2)根据图象确定一次函数的解析式,若是分段函数,注意自变量的取值范围; (3)关注转折点、交点(两直线的交点或与坐标轴的交点)等特殊点,并弄清该点坐标表示的实际意义。 题型三：方案选取问题 方案选取问题的解题步骤 (1)建立一次函数模型; (2)根据限制条件列出不等式(组),求出自变量的取值范围,结合自变量取值范围进行方案设计; (3)结合实际,利用函数的性质选择最佳方案并注意实际问题中自变量的取值范围限制。 变式演练 【变式01】（2025·山东中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【变式02】（2024·山东威海 中考真题）同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离（）与时间（）的函数关系．下列结论正确的是（ ） A. 甲车行驶与乙车相遇 B. ，两地相距 C. 甲车的速度是 D. 乙车中途休息分钟 【变式03】（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多______． 题型11 反比例函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·山东菏泽·二模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化．设重物B的质量为，的长度为．则①y关于x的函数解析式是______． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a 2 b … ③在直角坐标系中画出该函数的图象． (3)在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 【典例02】（2025·山东临沂·二模）小影发现家里智能冰箱内的温度刚好为时，制冷启动，当温度降低到设定温度时，制冷停止，然后温度逐渐上升，当温度上升到时，制冷又启动，开始下一个周期的运行．她想知道按此规律运行，冰箱内的温度与时间之间存在怎样的关系，并且预测任意时刻冰箱内的温度．于是，小影记录了一个运行周期内部分温度y（单位：℃）及对应时间x（单位：min）的数据如表所示： x 0 2 3 4 6 8 9 12 18 24 y －2 －10 －14 －18 －12 －9 －8 －6 －4 －3 然后以x的数值为横坐标，y的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，如图所示，在坐标系中描出以表中的数对为坐标的点．请完成下列问题： (1)用平滑的曲线从左往右将这些点依次连接起来； (2)结合表格中的数据，观察（1）中作出的图象，求y与x的函数表达式； (3)冰箱的一个运行周期时长为 分钟； (4)当冰箱温度刚好达到－18℃时，继续运行120分钟，求此时冰箱内的温度． 方法透视 考向解读 反比例函数实际应用常考题型： （1）与实际情境结合的分段函数问题 （2）跨学科应用 考查反比例函数的实际应用时，常会结合其他学科的知识(专业名词、公式等),做题时要读懂题意,理解所给的函数图象,利用反比例函数的相关知识解决问题. 方法技能 题型一：与实际情境结合的分段函数问题 ①通过问题提供的信息,明确变量之间的函数关系或直接设出函数解析式,再根据已知条件确定函数解析式中的字母系数。 ②写出函数解析式,然后运用其图象与性质解决实际问题。 题型二：跨学科应用 解题关键是识别反比例关系，建立函数模型，其中为常量。注意物理量的实际意义（如长度、电压为正），代入已知数据求，再求解未知量。有时需结合图象分析，并考虑自变量取值范围受实际条件限制，确保结果合理。 变式演练 【变式01】（2025·山东临沂·二模）如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东威海·一模）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车，酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度的变化而变化（如图2），血液酒精浓度与呼气酒精浓度的关系见表格．下列说法不正确的是（    ） 信息窗 （1）血液酒精浓度呼吸酒精浓度 （2）非酒驾（） 酒驾（） 醉驾（） A．呼气酒精浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为100 C．当时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 【变式03】（2024·山东临沂·一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 题型12 二次函数的实际应用 典例引领 【典例01】（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题） 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 方法透视 考向解读 二次函数的实际应用主要考查两方面的应用： ①利用二次函数解决抛物线形问题 ②二次函数在实际生活中的应用 方法技能 题型一：利用二次函数解决抛物线形问题 解决此类问题一般步骤： ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 题型二：二次函数在实际生活中的应用 利用二次函数解决生活中的实际问题时，一般先根据题意建议二次函数表达式，并确定自变量的取值范围，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。 另外二次函数应用多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 变式演练 【变式01】（2024·山东潍坊中考真题） 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响．某地区工作人员对日平均太阳辐射量（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画． （1）求关于的函数表达式； （2）该地区太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ （3）图3是该地区太阳能板安装后的示意图（此时，太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大），为太阳能板与水平地面的夹角，为支撑杆．已知，是的中点，．在延长线上选取一点，在两点间选取一点，测得，在两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端的仰角为，，该测角仪支架的高为1m．求支撑杆的长．（精确到m，参考数据：，） 【变式02】（2025·山东潍坊·二模）春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司推出一款成本价为每卷3元的哪吒贴纸投放到市场，售价范围为4元至7元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷售价x（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【变式03】（2025·山东青岛·一模）某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为元； B型：每支成本6元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量万支与定价元的关系如下： 定价（元） … 7 8 9 10 … 销量（万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： (1)求A型笔的销量万支与售价元的关系式； (2)当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元； (3)若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 题型13动点问题的函数图像 典例引领 【典例01】（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（ ） A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 方法透视 考向解读 对动点问题的函数图像的考查主要有两个方面： ①动点与函数图象判断 ②动点与函数图象计算 方法技能 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 ①方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势； ②方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断； ③方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除； ④方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除． 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 ①看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等； ②看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况； ③结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值； ④计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解． 变式演练 【变式01】（2025·山东济宁·一模）如图（1），在正方形中，点是对角线上 一动点，点是上的点，且． 设，，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，点是图象的最低点，那么的值为 （    ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·山东日照·一模）如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．当恰好平分时，的长为（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·山东菏泽·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点、C分别在y轴和x轴上，轴，，点P从B点出发，以的速度沿边匀速运动，点Q从点出发，沿线段匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为，的面积为，已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度为；②点的坐标为；③线段段的函数解析式为；④曲线段的函数解析式为；⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 题型14二次函数与几何综合 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）二次函数的图象经过，两点，顶点为G． (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标． (2)如图1，将二次函数的图象沿x轴方向平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最大值是8，求n的值． (3)如图2，将二次函数的图象沿直线平移，点A，G的对应点分别为，，连接，，线段与交于点M．若，请直接写出点的坐标． 【典例02】（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 方法透视 考向解读 基础常见考点分为九类： 1、二次函数与几何变换的综合 2、二次函数与直角三角形的综合 3、二次函数与等腰三角形的综合 4、二次函数与相似三角形的综合 5、二次函数与四边形的综合 6、二次函数与最值的综合 7、二次函数与新定义的综合） 8、二次函数与圆的综合 9、二次函数与角的综合 方法技能 因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就山东中考与模拟题中二次函数的几种类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！ 变式演练 【变式01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【变式03】（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 题●型●训●练 1．（2025·山东青岛·二模）二次函数的图象如图所示，则函数与在同一直角坐标系内的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2（2025·山东潍坊·二模）已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东临沂·二模）甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 4．（2025·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数（，）的图像经过点B，则k的值为（    ） A． B．8 C．6 D． 5．（2025·山东菏泽·二模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（   ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2025·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东青岛·一模）若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（   ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8（2025·山东济南·一模）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天水温为 D．在一个加热周期内水温不低于的时间为 9.（2025·山东聊城·二模）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 10.（2025·山东济南·二模）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为． (1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； (2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； (3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $