9.1认识二元一次方程组 教学设计 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程组的概念及解的知识要点，以北斗卫星导航系统卫星数量问题导入，衔接一元一次方程基础，为后续解法学习搭建支架，梳理知识脉络。 此资料亮点在于情境导入结合科技时事，培养数学眼光，通过问题引导学生归纳概念发展抽象能力与推理意识，实例涵盖《孙子算经》等传统文化及实际问题，强化模型意识，助力学生理解应用，提升教师教学效率。

第九章 二元一次方程组 9.1 认识二元一次方程组   一、教材分析 本节课《认识二元一次方程组》是青岛版初中数学七年级下册第九章第一节的内容．本节课的内容是二元一次方程组的概念以及二元一次方程组的解.在此之前学习了一元一次方程和解方程的步骤，为本节课打下了良好的基础.学了本节课为后面的解二元一次方程的方法作铺垫.因此本节课有着承上启下的作用.   二、学情分析 学生在前面已经掌握了一元一次方程的有关知识，所以本节课的学习完全可以类比一元一次方程的元和次去发现并得出二元一次方程的概念，所以得出概念对于学生而言，应该不会有难度，但是关于解的表示形式对于他们而言会有点陌生，而且因为方程组的解是其中两个方程的公共解，所以说判断一对数值是否为方程组的解，对于学生会有一定的困难.   三、教学目标 1．理解并掌握二元一次方程，二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解． 2．会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组． 3．通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识，而且能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解变与不变的辩证统一的思想．   四、教学重难点 重点：理解并掌握二元一次方程（组）及其解的有关概念，判断一组数是不是某个二元一次方程组的解． 难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想．   五、教学过程 · 情境导入 古有北斗七星指明方向，今有北斗卫星导航系统全球定位.2020年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通.北斗三号全球卫星导航系统由地球中圆轨道卫星（MEO）、 倾斜地球同步轨道卫星（IGSO）、地球静止轨道卫星（GEO）组成，共计30颗.其中，GEO卫星有3颗，MEO卫星比 IGSO卫星多21颗.那么MEO卫星与IGSO卫星各有多少颗？ 问题中，存在哪些等量关系? 如何列方程呢? 解：如果设MEO卫星有x颗，那么IGSO卫星有(x-21)颗.因为GEO卫星有3颗，所以可以列出方程x+(x-21)+3=30. 师生活动：教师引出上述问题，我们将通过实际问题认识二元一次方程组，学习运用消元法解二元一次方程组，并应用二元一次方程组解决一些实际问题，进一步体会方程是描述现实世界等量关系的重要数学工具. 设计意图：让学生对本章有一个整体的感知，利于学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系． · 探究新知 活动一：探究二元一次方程和二元一次方程组的定义 问题中存在两个必须同时满足的条件： MEO卫星颗数+IGSO卫星颗数+GEO卫星颗数=30颗， MEO卫星颗数-IGSO卫星颗数=21颗. 问题1：如果设MEO卫星有x颗，IGSO卫星有y颗，你能列出方程吗? x+y+3=30 x-y=21 问题2：x+y+3=30，x-y=21这两个有什么共同特点? 概念归纳：像x+y+3=30，x-y=21两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程，叫作二元一次方程． 上面的问题中存在两个必须同时满足的等量关系，列出的方程x+y+3=30和x-y=21中字母x，y分别代表相同的未知数.我们可以把这两个方程联立起来，写成 概念归纳：一般而言，由几个一次方程联立的一组方程，叫作一次方程组.含有两个未知数的一次方程组，叫作二元一次方程组. 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：引导学生通过观察、思考、归纳和概括得出二元一次方程（组）的概念，突出数学概念的形成过程，使学生较好地认识数学概念的本质，注重学生获取知识的过程和采用的方法. 活动二：探究二元一次方程和二元一次方程组的解 将满足二元一次方程x+y+3=30，且符合实际意义的x，y的值填入下表： x ... 0 1 2 ... 25 26 27 ... y ... 27 26 25 ... 2 1 0 ... x=0，y=27；x=1，y=26；…；x=27，y=0都使方程x+y+3=30两边的值相等，它们都是方程的解.如果不考虑方程与实际问题的联系，x=-1，y=28；x=0.5，y=26.5；…也都是这个二元一次方程的解. 哪一组x，y的值同时满足方程x-y=21呢？ x=24，y=3既满足方程x+y+3=30，又满足方程x-y=21，是这两个方程的公共解. 归纳：满足二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解． 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解.求方程组的解的过程，叫作解方程组. x=0，y=27是二元一次方程x+y+3=30的解，记作 x=24，y=3是二元一次方程组的解，记作 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象． · 应用新知 例1：判断下列方程是否为二元一次方程： （1）4y-3z=z+6； 是 （2）2y+x； 不是 （3）+2y=0； 不是 （4）x=+1； 不是 （5）2+2x+y=2； 是 （6）4-xy=1； 不是 判断要点： ①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数的项的次数是否为1；④化简后未知数的系数不为0． 例2：已知 是方程2x+3y＝5的一个解，求a的值． 分析：把方程的解代入方程，得到关于a的方程即可求解. 解：把x＝－2，y＝a代入2x+3y＝5得：2×（－2）+3a＝5，解得：a＝3． 例3：《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．木长是多少尺？若设绳子长x尺，木长是y尺，则所列方程组正确的是 ( ). A. B. C. D. 选C. 分析：等量关系：① 绳子长度－木长＝4.5尺；②绳子长度的一半＋1尺＝木长. · 课堂练习 1.足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是______． 解：设该队胜x场，平y场．根据题意，得3x+y=12， 因为x，y均为非负整数，且x与y的和不大于6， 所以 所以该队获胜的场数是3或4． 2.已知二元一次方程2x+2y-5=0，当y分别取-1，0，时，求对应的x的值． 分析：本题是已知二元一次方程，求特定y值对应的x值.只需将y的不同取值分别代入方程，再求解关于x的一元一次方程. 解：当y=-1时，2x+2×（-1）-5=0 ， 解得x=； 当y=0时，2x+2×0-5=0， 解得 x=； 时，2x+2× -5=0， 解得x=． 3.某中学师生100人分别到甲、乙两地参加社会实践活动，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少8人，到两地参加社会实践的师生各有多少人? 方法一： 解：设到乙地的人数为x人，到甲地的人数为（2x-8）人． 根据题意，得（2x-8）+x=100．解得x=36. 则2x-8=64. 答：到甲地参加社会实践的师生64人，乙地参加社会实践的师生36人. 方法二： 解：设到乙地的人数为x人，到甲地的人数为y人． 根据题意， 解得 答：到甲地参加社会实践的师生64人，乙地参加社会实践的师生36人. 4.已知x与y的三组值： （1）哪组值是方程x-3y=3的解？ 哪组值是方程3x-10y=5的解？ （2）哪组值是二元一次方程组的解？ 解：（1）当 时，x−3y=0+3=3，方程的左边等于右边，所以 是方程的解. 当 时，x−3y=15−12=3，方程的左边等于右边，所以 是方程的解． 当 时，x−3y=2-3×=，方程的左边不等于右边，所以 不是方程x-3y=3的解． 当时，3x-10y=0+10=10，方程的左边不等于右边，所以不是方程3x-10y=5的解. 当 时，3x-10y=45-40=5，方程的左边等于右边，所以是方程3x-10y=5的解． 当 时，3x-10y=6-1=5，方程的左边等于右边，所以 是方程3x-10y=5的解. （2） 是方程x-3y=3和方程3x-10y=5的公共解，所以是二元一次方程组 的解. 师生活动：学生独立做题，教师做好巡视，然后教师用多媒体给出答案，学生自己批改，对出现错误的地方自己先分析原因，然后进行小组内交流，讨论组内的问题，最后教师统计情况，对组内还存在的问题集体解决. 设计意图：通过做练习，针对出现的问题及时反思，教师巡视时可以发现问题的集中点及需要帮扶的对象，学生也能了解自己对本节课的知识掌握程度，都便于进一步弥补. · 课堂检测 1.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1200件．现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组． 分析：等量关系：①第一道工序+第二道工序=7 ②第一道工序总件数=第二道工序总件数 解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人. 根据题意得： 2.根据题意，列方程组： 今有鸡兔同笼，上有三十五头.下有九十四足，问鸡兔各几何. 分析：根据鸡兔头和腿的数量找等量关系列方程. 解：设鸡有x只，兔有y只. 根据题意得： 3.根据题意列出方程 （1）买5kg苹果和3kg梨共需47.2元，求苹果和梨的单价．设苹果的单价为每千克x元，梨的单价为每千克y元． （2）在高速公路上，一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程还多20千米，求轿车和卡车的速度设轿车的速度为a千米/时，卡车的速度为b千米/时． 分析：（1） 依据“总价 = 单价×数量”，苹果总价加梨总价等于总花费，可列方程. （2） 根据“路程 = 速度×时间”，轿车路程与卡车路程的关系能列出方程. 解：（1）5x＋3y= 47.2． （2）2a=3b＋20． 4.方程组　　的解是（ 　） A. B. C. D. 分析：同时满足两个方程的解就是方程组的解，可采用代入消元法，由x+y=6得x=6-y代入另一方程求解；或用加减消元法，两式相减消去x求解.故选B. 师生活动：学生先独立思考再作答． 设计意图：学生通过检测，对本节所学知识有了更深的认识，并且明确了自己的不足，为以后的学习作了铺垫. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.二元一次方程概念是什么？ 3.怎样判断一组数是不是某个二元一次方程组的解？ 设计意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.   六、板书设计 9.1认识二元一次方程组 1．二元一次方程的定义 例题 2．二元一次方程的解 练习 　 学科网（北京）股份有限公司 $