考点06 梯形10大题型（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点06 梯形10大题型 考点一：梯形的相关概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 考点二：等腰梯形的定义与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 考点三：等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 考点四：梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 考点五：梯形常见辅助线添加问题 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 题型一：梯形的概念辨析 （1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 【典例】两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【变式1】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【变式2】如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是______________. （2）梯形的面积是___________． （3），则 _____． 题型二：直角梯形与等腰梯形 （1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 【典例】下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【变式2】我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______． 【变式3】下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 题型三：等腰三角形的判定定理 1、两腰相等的梯形是等腰梯形. 2、同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 【典例】如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【变式1】如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【变式2】如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【变式3】如图，矩形的对角线相交于点O，点E、F分别在、上，，求证：四边形是等腰梯形． 题型四：根据等腰梯形的性质求长度 1、等腰梯形同一个底上的两个内角相等. 2、等腰梯形的两条对角线相等. 【典例】如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【变式1】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【变式2】如图，已知梯形，，，． (1)求的度数； (2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长． 【变式3】如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 题型五：根据等腰梯形的性质求角度 【典例】如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，正五边形中，点分别是边的中点，则______． 【变式2】如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【变式3】已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 题型六：根据等腰梯形的性质求面积 【典例】如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式2】如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【变式2】已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【变式3】如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，点E在边上，，，且．    (1)试用含a，b的代数式表示和的长度，　 　，　 　． (2)请用含a，b的代数式表示图中和的面积和． (3)当，．求图中阴影部分的面积． 题型七：梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 【典例】如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为___． 【变式1】梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【变式3】如图所示，是的中位线，为梯形的中位线，若，则等于___________． 题型八：梯形中的动点问题 【典例】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)BC= cm； (2)当t为多少时，四边形PQCD为等腰梯形？ (3)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【变式1】如图，已知在等腰直角三角形中，，过点作直线平行于，在直线上有一动点从点出发，以的速度向右运动，在射线上有另一动点，使得四边形的面积为12，设点运动时间为秒． (1)用的代数式表示___________ (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连结，作点关于直线的对称点，若使点在内（不含边界线），则的取值范围是___________． 【变式2】如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，？ 【变式3】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 题型九：梯形与四边形综合问题 【典例】如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【变式1】如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【变式2】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)______； (2)若四边形成为平行四边形，求t的值． (3)当______时，？ 【变式3】如图，四边形中，，使，，于点E，且． (1)求的长． (2)若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动时间为t秒． 当t= 秒时，四边形是矩形． 当t为何值时，线段与四边形的边构成平行四边形？ 题型十：梯形新定义问题 【典例】新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________． 【变式1】我们定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形” 初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是___________． 问题探究：在完美四边形中，，，，，求该完美四边形的周长与面积． 应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中三条性质． 【变式2】已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 【变式3】如图，四边形中，，，，，则线段的长______． 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 2．（24-25八年级下·全国·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 3．（224-25八年级下·甘肃甘南·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 4．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 5．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，等腰梯形中， ，，则______． 6．（24-25八年级下·上海·月考）等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为______． 7．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的周长为 ___________． 8．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，四边形中，，，，，若，，则这个四边形的面积是______． 9．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 11．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 12．（24-25九年级上·江西吉安·月考）如图，在直角梯形中，，，，，，P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．    (1)t为何值时，四边形是矩形； (2)t为何值时，四边形是等腰梯形； (3)是否存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点06 梯形10大题型 考点一：梯形的相关概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角. 要点：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 考点二：等腰梯形的定义与性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形. 2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等. （2）等腰梯形的两条对角线相等. 要点：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 考点三：等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形. 2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. （2）对角线相等的梯形是等腰梯形. 考点四：梯形的中位线 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 考点五：梯形常见辅助线添加问题 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是： 方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个三角形 过一腰中点作另一腰的平行线 构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的平行线 构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形 作高 过一底边的端点作另一底边的垂线 构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于一点 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换 题型一：梯形的概念辨析 （1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行. （2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等. （3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底. 【典例】两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【详解】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 【变式1】下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【变式2】如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 【变式3】如图所示（长度单位：），梯形是由一张长方形纸折叠而成的． （1）这个梯形的高是______________. （2）梯形的面积是___________． （3），则 _____． 【答案】 40 【分析】本题考查梯形的特征、长方形的特征、折叠的性质，（1）由图可得，长方形的宽和梯形的高相等，即可求解； （2）由图可得，梯形的底和长方形的长相同，再利用梯形的面积公式计算即可； （3）由折叠的性质，，即可求解． 【详解】解：（1）由图可得，这个梯形的高是， 故答案为：； （2）由图可得，， 故答案为：40； （3）由折叠的性质可得，， ∴， 故答案为：． 题型二：直角梯形与等腰梯形 （1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质. （2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行. （3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的. 【典例】下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式2】我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等边对等角，含30度角的直角三角形30度角所对的边是斜边的一半． 根据题意画出图形，过点D作与点H，即可推出，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，， 过点D作与点H， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式3】下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 题型三：等腰三角形的判定定理 1、两腰相等的梯形是等腰梯形. 2、同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形. 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 【典例】如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【变式1】如图，在中，，是边的中线，是的中点，连接并延长交于，过点作交于，连接 (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用直角三角形性质得到，结合平行线性质进而得到，证明，利用全等三角形性质证明，即可解题． （2）如图，延长到，使，交于，连接，根据等腰梯形的性质得出，，即可得出，根据中位线的性质得出，，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可证明． 【详解】（1）证明：，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是等腰梯形． （2）证明：如图，延长到，使，交于，连接， ∵是边的中线，， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰梯形的判定与性质，全等三角形性质和判定，三角形中位线性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式2】如图，矩形的对角线交于点，点和分别是线段和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质可得，根据三角形中位线定理可得，，进而推出，，然后根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）证明是等边三角形，求出即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵点和分别是线段和的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：由（1）知， ∴四边形是梯形， ∵在矩形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式3】如图，矩形的对角线相交于点O，点E、F分别在、上，，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质． 由矩形的性质可得，则，进而结合平行线的性质可得，得，再利用即可证明，得，即可证得结论．掌握其性质定理是解决此题的关键． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 题型四：根据等腰梯形的性质求长度 1、等腰梯形同一个底上的两个内角相等. 2、等腰梯形的两条对角线相等. 【典例】如图，是一个梯形，厘米，厘米，的面积是面积的，求的长 【答案】31.4厘米 【分析】本题主要考查梯形面积，分别求出梯形的面积和梯形的面积，根据的面积是面积的列式求解即可 【详解】解：设梯形和梯形的高为， 所以，梯形的面积， 梯形的面积, 又的面积是面积的， ∴, 解得，， ∵ ∴， 解得，（厘米） 【变式1】如图，已知在梯形中，，，，． (1)如果，求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等即可得到结论； （2）作 于点 ， 于点 ，进一步利用轴对称图形的性质与矩形的判定与性质，勾股定理的应用可得答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ， ， ， 梯形 是等腰梯形． （2）解：作 于点 ， 于点 ， 梯形 为等腰梯形， ，四边形是矩形； ∴， 在 中，，，， ∴，， ． 【点睛】本题考查的是等腰梯形的判定，轴对称图形的性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握等腰梯形的性质与判定是解本题的关键． 【变式2】如图，已知梯形，，，． (1)求的度数； (2)过点D作，垂足为点E，连接，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据平行线的性质和等边对等角得到，然后由得到，进而得到； （2）首先根据角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴； （2）如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，． 在中，． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式3】如图，四边形中，，，点E是上一点，连接，，，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】通过旋转构造全等三角形，利用角度关系证明三点共线，构造辅助线形成直角三角形，结合勾股定理计算DE的长度． 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，作于F，于G，作于H． ， ，，． 在四边形中， ，， ． ． ． 点C，D，三点共线． 由旋转的性质得． ， ． ， 四边形是等腰梯形． ，． ，， 四边形是矩形． ． ，， ． 同理可得． ． ，，． ． ． ． 故答案为： 【点睛】本题运用四边形内角和定理、旋转的性质、等腰梯形的性质、矩形的性质以及勾股定理来求解． 题型五：根据等腰梯形的性质求角度 【典例】如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，正五边形中，点分别是边的中点，则______． 【答案】/36度 【分析】先由正五边形的性质得到，，再由中点定义得到，判定是等腰三角形，即可得到，再由梯形中位线得到，进而由平行线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：在正五边形中，，， 点分别是边的中点， ， 则， 在等腰中，，则， 连接，如图所示： 点分别是边的中点， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及正多边形性质、中点定义、等腰三角形的判定与性质、梯形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 【变式2】如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，，， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 【变式3】已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型六：根据等腰梯形的性质求面积 【典例】如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 【变式2】如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【答案】27 【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 【变式2】已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【变式3】如图，两个形状大小相同的长方形和长方形，点E在边上，，，且．    (1)试用含a，b的代数式表示和的长度，　 　，　 　． (2)请用含a，b的代数式表示图中和的面积和． (3)当，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质及线段的和差可得答案； （2）分别找出 与的边长，然后计算面积和即可； （3）根据梯形的面积减去空白部分的面积，即可求出阴影部分的面积，并将已知的条件代入可求得答案． 【详解】（1）∵长方形和长方形大小相同，，，且， ∴，， ∴； 故答案为：，； （2）； （3）∵， ∴； 当，时，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、梯形的面积以及整式加减的应用，将阴影面积转化为特殊图形的面积是解题的关键． 题型七：梯形的中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 【典例】如果梯形一底边为6，中位线长为8，那么另一底边长为___． 【答案】10 【分析】本题考查梯形的中位线定理，掌握知识点是解题的关键． 根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”进行计算即可． 【详解】解：设梯形的另一底边长为b，由中位线定理，得 ， 解得 ． 故答案为：10． 【变式1】梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了梯形中位线性质、三角形中位线定理，找到相应关系的线段是解题的关键，利用图形结合更能直观地得结论． 根据题意作出图形，根据三角形中位线定理和梯形中位线性质，通过等量关系代换可得到连接两条对角线中点的线段长． 【详解】解：根据题意作出如图， 设梯形，其中，为中位线，与对角线交于， 其中，， ∵中位线， ∴、为、的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ，即， ． 故选：D． 【变式2】知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）中，是的中位线，连接．则与的数量关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点M，N分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化：（3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是 ： 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先说明是的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可； 【详解】（2）先证明，从而可得，，于是有，再根据三角形的中位线定理得出，从而可得； （3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解． （1）解：∵点E是边的中点，点F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． （2）， 理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点E， ∵， ∴， ∵点M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． （3）∵梯形的中位线长为，高为， ∴（）， 故答案为：． 【变式3】如图所示，是的中位线，为梯形的中位线，若，则等于___________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中位线和梯形的中位线，熟练掌握三角形中位线的性质和梯形中位线的性质，是解题的关键． 先根据中位线的性质得出，再根据梯形中位线的性质，得出答案即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， ∵为梯形的中位线， ∴． 故答案为：6． 题型八：梯形中的动点问题 【典例】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)BC= cm； (2)当t为多少时，四边形PQCD为等腰梯形？ (3)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)18 (2)当t=时，四边形PQCD为等腰梯形； (3)存在，t的值为秒或4秒或秒 【分析】（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC=BE+EC即可求出BC的长度； （2）首先过D作DE⊥BC于E，可求得EC的长，又由当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（12-2t）=12时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程=速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解． 【详解】（1）解：如图，过D点作DE⊥BC于E， 则四边形ABED为矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm， 在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm， ∴EC==6(cm)， ∴BC=BE+EC=18(cm)． 故答案为：18； （2）解：根据题意得：PA=2t，CQ=3t，则PD=AD-PA=12-2t． 如图，过D点作DE⊥BC于E， 则四边形ABED为矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm， 当PQ=CD时，四边形PQCD为等腰梯形． 过点P作PF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，则四边形PDEF是矩形，EF=PD=12-2t，PF=DE． 在Rt△PQF和Rt△CDE中，， ∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL）， ∴QF=CE， ∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE， 即3t-（12-2t）=12， 解得：t=， 即当t=时，四边形PQCD为等腰梯形； （3）解：△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当QC=DC时，即3t=10， ∴t=； ②当DQ=DC时， 如图，过D点作DE⊥BC于E， 同理，QC=2EC，即3t=2×6， ∴t=4； ③当QD=QC时， 如图，过D点作DE⊥BC于E，过Q点作QG⊥DC于G， 此时DG=GC=5， ∵，即， ∴QG=t， 在Rt△QGC中，，即， ∴t=． 故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒． 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式1】如图，已知在等腰直角三角形中，，过点作直线平行于，在直线上有一动点从点出发，以的速度向右运动，在射线上有另一动点，使得四边形的面积为12，设点运动时间为秒． (1)用的代数式表示___________ (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连结，作点关于直线的对称点，若使点在内（不含边界线），则的取值范围是___________． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据梯形的面积公式列方程可表示的长； （2）当当是以为腰的等腰三角形时，存在两种情况：和，根据勾股定理和边长相等列方程可解答； （3）先计算边界点：在直线上或在边上时，分别计算的值可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 等腰直角三角形中，， ， ，四边形的面积为12， ， ， ； 故答案为：； （2）解：过点作于，如图所示： ，， ， ①如图1，当时，， ， ； ②如图2， 当时，， ， ， ， 综上所述，的值是或； （3）解：如图3， 当在边上时，作射线交于， ， ， ， ， ， ； 如图4， 是等腰直角三角形，且点关于直线的对称点， 点的运动路径是射线， 当与重合时，，此时在直线上， 若使点在内（不含边界线），则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，涉及梯形面积公式、等腰直角三角形性质、动点运动问题、等腰三角形性质、对称性质、勾股定理等知识，作辅助线构造模型是解决问题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 【变式2】如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，以的速度向运动，动点从点出发，以的速度向运动，当其中一个点到达终点时，两点同时停止运动． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1)当为6时，四边形是矩形； (2)当为5或7时，． 【分析】（1）由矩形的性质得，则，计算求解即可； （2）分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解． 【详解】（1）解：由题意得：，，， 四边形是矩形， ，即， 解得：， 当为6时，四边形是矩形； （2）解：由题意知，分四边形是平行四边形，四边形是等腰梯形两种情况求解， ①当四边形是平行四边形时，， ，， ， 解得：； ②当四边形是等腰梯形时，如图，过作于，过作于，则四边形，是矩形， 由题意知，，， ，即， 解得：； 综上所述，当为5或7时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式3】如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)当时，请判定四边形的形状________；（直接填空） (2)当时，求t的值． (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出t值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)平行四边形 (2)或 (3)存在，当t为4或者或者时，为等腰三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，等腰梯形，勾股定理，等腰三角形的性质以及利用开平方解方程的知识，掌握平行四边形的性质、梯形的性质以及等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据题意有：，进而有，当时，可得，结合，即可作答； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案； （3）分三种情况讨论：当为等腰三角形，且时，过点于；当为等腰三角形，且时；当为等腰三角形，且时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：结论：四边形是平行四边形． 理由： 根据题意有：， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，四边形是平行四边形时， 即有：，则，解得，； 当时，四边形是等腰梯形时， 过点作于，过点于，如图， 根据，可得四边形是矩形， 则， 故， ∵梯形为等腰梯形，于， ， 根据（1）有， ， ∴，解得， 综上所述：或时，． （3）解：存在，理由如下： 根据（1）有， 根据（2）有， 当为等腰三角形，且时， 过点于，如图， 根据（2）可知：时， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时，如图， ∴，解得，即此时； 当为等腰三角形，且时， 过点于，过点于，如图， 根据（2）同理可知四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， 解得：， 综上所述：当为4或者或者时，为等腰三角形． 题型九：梯形与四边形综合问题 【典例】如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 【变式1】如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式2】如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1)______； (2)若四边形成为平行四边形，求t的值． (3)当______时，？ 【答案】(1)18 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，等腰梯形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）作于E，则四边形为矩形．在直角中，已知的长，根据勾股定理可以计算的长度，根据即可求出的长度； （2）根据平行四边形的性质可得，据此列出关于t的方程，解方程即可得到答案； （3）分两种情况：当时，四边形是平行四边形；当梯形是等腰梯形时，，可建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过D点作于E， 则 ∵，， ∴ ， ∴四边形矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； 故答案为：18； （2）解：由题意得，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （3）解：①当时，如图， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 解得； ②如图，当梯形是等腰梯形时，， 过点P作 于点F，则 ， ∴四边形是矩形， ∴ ，， ∴， ∴； 综上所述，当t为或时，． 【变式3】如图，四边形中，，使，，于点E，且． (1)求的长． (2)若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动时间为t秒． 当t= 秒时，四边形是矩形． 当t为何值时，线段与四边形的边构成平行四边形？ 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）先在中求出的长，进而可求出的长． （2）先画图，由于四边形是矩形，那么矩形的对边相等，于是，再根据路程速度时间，可得，进而可求出t；有两种情况，1）线段与构成平行四边形，2）线段与构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出式子，进而可求出t． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， ，， 四边形是等腰梯形， ； （2）设运动时间为t时，四边形是矩形，如图， 四边形是矩形， ， ， 解得， 故答案为：； 有两种情况： 1）    设运动时间为t时，线段与构成平行四边形，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； 2）    设运动时间为t时，线段与构成平行四边形，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； 综上所述，当或时，线段与四边形的边构成平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质，解题的关键是画出相关的图，根据图找出等量关系，进而求出t． 题型十：梯形新定义问题 【典例】新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________． 【答案】或12 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【变式1】我们定义：在四边形中，一条边上的两个角称为邻角，如果一条边上的邻角相等，且这条边对边上的邻角也相等，则把这样的四边形叫做“完美四边形” 初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，一定是“完美四边形”的是___________． 问题探究：在完美四边形中，，，，，求该完美四边形的周长与面积． 应用拓展：请你类比研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出“完美四边形”的其中三条性质． 【答案】初步运用：矩形；问题探究：15，；应用拓展：见解析 【分析】本题考查矩形的性质、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据：“完美四边形”的定义即可判定； （2）根据题意可知四边形是等腰梯形，作，解直角三角形即可解决问题； （3）从边、对角线方面考虑问题即可； 【详解】解：初步运用：在“平行四边形、矩形和菱形”这三种特殊的四边形中，由于矩形的每个内角为直角，“完美四边形”的是矩形． 故答案为矩形； 问题探究：四边形是完美四边形，，，， ， ， ∵， ∴， ， ，四边形是等腰梯形， ， ， ， ， 在中，作于． 则，， 四边形的周长为，面积． 应用拓展：①“完美四边形”有一组对边平行； ②完美四边形”有一组对边相等； ③完美四边形”的对角线相等． 【变式2】已知：如图1，四边形中，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2) 定义：在平面内，如果存在一点到四边形的四条边的距离相等，就称这个点为四边形“内心”；如果存在一点到四边形的四个顶点的距离相等，就称这个点为四边形“外心”．如果一个四边形同时存在“内心”与“外心”，就称这个四边形为“双心四边形”；如果一个四边形只存在“内心”或只存在“外心”，就称这个四边形为“单心四边形”． ①i）四边形为（    ） A．双心四边形        B．存在“内心”的单心四边形 C．存在“外心”的单心四边形    D．以上都不对 ii）设，当四边形的“内心”或“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），直接写出的取值范围：__________． ②若四边形的“内心”或“外心”存在，请在图2中作出“内心”点或“外心”点（不需要说明作图理由，保留作图痕迹，并写出作图结论）； ③当时，求出“内心”点到四边形的四条边的距离或“外心”点到四边形的四个顶点的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①i）C；ii）；②见解析；③ 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰梯形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键； （1）延长交于点，根据等腰三角形的性质，得出，进而证明，结合已知即可得证； （2）①i）根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质分析，即可求解； ii）根据题意画出图形，找到临界点，即在上时，可得是等边三角形，进而得出的值，结合图形，即可求解；②作的垂直平分线交于点，则外心即为所求； ③过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形，进而勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴四边形是梯形， 又∵ ∴四边形是等腰梯形； （2）①i）四边形为存在“外心”的单心四边形；如图， 假设四边形为“内心”的单心四边形 ∴内心为对角平分线的交点， 如图，假设为四边形的内心， ∴ 又∵， ∴ ∴，同理可得 ∴四边形是平行四边形，与四边形为等腰梯形矛盾， ∴四边形不是“内心”的单心四边形 故选：C． ii）设，当四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界），如图， 当在上时， 此时， 又∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴即 ∵四边形的“外心”存在且在四边形内时（不包括边界） ∴ 又∵ ∴ 故答案为：． ②如图，“外心”点，即为所求； ③如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作分别交于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， 直线是等腰梯形的对称轴，则，， ∴ 在中， 设“外心”点到四边形的四个顶点的距离为， 在中， 在中， ∴ 又∵， 设，则 ∴ 解得： ∴ ∴“外心”点到四边形的四个顶点的距离为． 【变式3】如图，四边形中，，，，，则线段的长______． 【答案】 【分析】作， 交延长线于点E，作于点F，得到四边形是矩形，四边形是等腰梯形，设，则，，推出，得到，解方程，求得，在和中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作， 交延长线于点E，作于点F， 则， ∵， ∴，且四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是等腰梯形，则，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴，即， 在中，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形、梯形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的性质和菱形、正方形的判定．根据各四边形的性质及正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析． 【详解】解：顺次连接下列各图形的各边中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形， 当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，而等腰梯形的对角线相等且垂直，所以可判定为正方形， 故选D． 2．（24-25八年级下·全国·期末）下列说法正确的个数有（    ） ①在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 ②对角线相等的梯形是等腰梯形 ③等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题重点考查等腰梯形的判定定理（同一底边上内角相等或对角线相等）和性质（轴对称性），准确理解等腰梯形的定义和判定条件，并辨析与平行四边形的区别是解题的关键． 根据等腰梯形的定义和性质逐选项判断即可． 【详解】解：①同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形，正确； ②对角线相等的梯形是等腰梯形，正确； ③等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； ④一组对边平行，另一组对边相等的四边形可以是等腰梯形，也可以是平行四边形等图形，因此错误． 故选：C． 3．（224-25八年级下·甘肃甘南·期末）如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 4．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为（    ）平方厘米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作，得到四边形是矩形，推出证明，得到，求出厘米，，继而得到厘米，求出厘米， 得到（平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米），求出（平方厘米），计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作 等腰梯形中，， ， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ，（厘米） ， ， ， （厘米）， （平方厘米）， （平方厘米） （平方厘米）， ，， ， 厘米， 厘米，厘米 （平方厘米） （平方厘米）， 故选：A． 5．（2025·四川德阳·模拟预测）如图，等腰梯形中， ，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 6．（24-25八年级下·上海·月考）等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题需要先画图，考查了等腰梯形的轴对称性，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先画图，过点作梯形对称轴，交于，交于，，，然后求得，，，然后即可求解； 【详解】解：过点作梯形对称轴，交于，交于，，，如图： 根据等腰梯形的对称性可知，，， 又∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 故答案为：． 7．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在等腰梯形中，，对角线，，，则梯形的周长为 ___________． 【答案】/30厘米 【分析】本题考查了等腰梯形的性质、含的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识点，由在等腰梯形中，，，，，易求得，，继而求得答案，熟练掌握其性质的综应用是解决此题的关键． 【详解】在等腰梯形中，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， 等腰梯形的周长为：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，四边形中，，，，，若，，则这个四边形的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰梯形的性质，直角三角形的性质； 作交的延长线于点F，证明四边形是平行四边形，再根据四边形为等腰梯形，推出为等腰直角三角形，根据直角三角形的性质求出的长即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识． （1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）由，是等边三角形，进而可得，由此可得四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 10．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 11．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】(1)； (2)的值为或； (3)． 【分析】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案； （2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案． 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时， 四边形是矩形， ∴， 解得：， 即当时， 四边形是矩形； 故答案为：； （2）解：若， 分两种情况： ①时， 则四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， ②与不平行时， 四边形为等腰梯形， 则即 解得：， ∴的值为或； （3）解：若四边形为菱形， 则 解得： 作于，如图所示：    则 在中， ， ∴当时，在点运动过程中，四边形能构成菱形， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江西吉安·月考）如图，在直角梯形中，，，，，，P、Q同时从A、C出发，点P以的速度沿运动，点Q从C开始沿边以的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．    (1)t为何值时，四边形是矩形； (2)t为何值时，四边形是等腰梯形； (3)是否存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分 【分析】（1）当时，四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）当时，四边形是等腰梯形，过Q、C分别作，，垂足分别为E、F，得到，四边形为矩形， 勾股定理求出，根据，列方程求解即可； （3）求出平分周长时的值，求出此时的面积，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴，， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即，解得，． （2）∵， ∴当时，四边形是等腰梯形， 过Q、C分别作，，垂足分别为E、F．    则：，四边形为矩形， ∴， ， ∴，解得，． （3）梯形的周长和面积分别为： 周长，面积， 若当线段平分梯形周长时，则， 即，解得， 此时，梯形的面积为． 不存在某一时刻t，使线段恰好把梯形的周长和面积同时平分． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题，主要考查了矩形的判定和性质，等腰梯形的性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $