专题06 三角形的中位线、梯形的性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题06 三角形的中位线、梯形的性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量的加法 题型二 平面向量的减法 题型三 等腰梯形的性质与判定 题型四 利用三角形中位线求线段长 题型五 利用三角形中位线求角度 题型六 三角形中位线与三角形面积问题 题型七 与三角形中位线有关的证明问题 题型八 三角形中位线的实际应用 题型九 三角形中位线辅助线的添加问题 题型十 利用三角形中位线求最值 题型十一 三角形中位线的新定义问题 题型十二 三角形中位线的概念理解型问题 题型十三 梯形中位线问题 题型十四 平面向量的加减法与几何问题 题型十五 三角形中位线的大题综合 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点03 向量的基本概念 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【经典例题一 平面向量的加法】 【例1】（2024八年级·上海·专题练习）式子化简结果是（ ） A． B． C． D． 1．（2024八年级·上海·专题练习）如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 2．（2024·上海奉贤·二模）在梯形中，AB//CD，，E是腰的中点，联结．如果设，那么 （含、的式子表示） 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【经典例题二 平面向量的减法】 【例2】（2024·上海静安·一模）下列说法不正确的是(    ) A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，，那么 C．四边形中， 如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（　　） A．＝（3，20240），＝（﹣3﹣1，1） B．＝（﹣1，1），＝（+1，1） C．＝（），＝（（﹣）2，8） D．＝（+2，），＝（﹣2，） 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）在平行四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是 . 3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为： ，向量的长度可以表示成 例如：，则， 即所以 材料二：若，，则 若时，则． 根据材料解决下列问题： 已知中，，， （1）________           ___________ （2）当时，求证：是直角三角形． （3）若，，求使恒成立的的取值范围． 【经典例题三 等腰梯形的性质与判定】 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 1．（2024八年级下·上海·专题练习）如图所示，已知等腰梯形中，ADBC，下底与上底的差恰好等于腰长，则=（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在梯形中，，对角线相交于点O． (1)如图1，当，求证：四边形是等腰梯形； (2)如图2，如果，且，求的长． 【经典例题四 利用三角形中位线求线段长】 【例4】（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D．3 1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为 ． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 【经典例题五 利用三角形中位线求角度】 【例5】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 在中，， 分别是的中点， 连接， 则的度数为 （    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为对角线与的交点，，为中点，并且，则的度数是 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线与相较于点O，E是边的中点，连结． (1)若的周长为36，．求的周长； (2)若，，求的度数． 【经典例题六 三角形中位线与三角形面积问题】 【例6】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 1．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，在中，，D、E分别是、的中点，动点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间t（s）变化的图象，则图2中a的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，已知点分别是的边上的中点，且， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【经典例题七 与三角形中位线有关的证明问题】 【例7】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，D，E，F分别是等边三角形三边的中点．下列三角形：①；②；③，其中，可以由经过一次轴对称变换得到的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是 ． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版八年级下册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【经典例题八 三角形中位线的实际应用】 【例8】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直，点、固定在直线上，点是直线上一动点，若点、分别为、中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数，其中不随点的移动而改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 1．（2024·山东济南·一模）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　） A．EH＝HG B．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 C．EO＝FO D．四边形EFGH是平行四边形 2．（2024·河南·二模）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ． 3．（2024·广西南宁·一模）应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．    【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【经典例题九 三角形中位线辅助线的添加问题】 【例9】（2024·湖南娄底·二模）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（    ）      A．嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 1．（2024·湖南常德·二模）老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，为的中点，若，．则的长不可能是（    ） A．5                 B．7                  C．8                  D．9 甲同学认为，，这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是…（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点D、E分别在的边上，且． (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，再添加一个已知条件（不添加任何辅助线），使得的面积与和的面积均相等，这个条件可以是_________________ 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 【经典例题十 利用三角形中位线求最值】 【例10】（24-25八年级下·天津·期末）如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（        ）    A．4 B．5 C． D． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点是线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE周长的最小值． 【经典例题十一 三角形中位线的新定义问题】 【例11】 （23-24八年级下·湖南湘潭·期末）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN． 观察猜想 (1)线段PM与PN______“等垂线段”（填“是”或“不是”） 猜想论证 (2)绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由． 1．（2024·江苏苏州·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． (1)如图①，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，135°<∠ADB<180°，求证：四边形BDEC是“等垂四边形”； (2)如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明； (3)如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=4，BC=10，求线段AB长的最小值． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长； (2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 【经典例题十二 三角形中位线的概念理解型问题】 【例12】（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的“中点四边形”是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．    (1)概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形                B．矩形                    C．菱形                    D．正方形 (2)问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧湖南形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 2．（2024·湖南益阳·三模）【探索发现】 如图①，将△ABC沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将△BED和△DHC分别沿EF、HG折叠，使点B、C均落在点D处，折痕形成一个四边形EFGH． (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)连接AD，当时，直接写出线段EF、BF、CG的数量关系，并说明理由； 【理解运用】 (3)如图②，在四边形ABCD中，//，，，，，点E为AB的中点，把四边形ABCD折叠成如图②所示的正方形EFGH，顶点C、D落在点M处，顶点A、B落在点N处，直接写出BC的长． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    【概念理解】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是_______．（填写相应的序号） 【类比学习】 （2）如图1，若，，则_____； 【性质探究】 （3）探究垂美四边形的四条边之间的数量关系：（将下列探究过程补充完整） 在中 在中 在中 在中 ____________________ 【问题解决】 （4）如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，则的长为__________．    【经典例题十三 梯形中位线问题】 【例13】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　） A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积． 【经典例题十四 平面向量的加减法与几何问题】 【例14】（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 2．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 3．（23-24八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【经典例题十五 三角形中位线的大题综合】 【例15】（24-25八年级下·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，点M，N，P分别为的中点． 【猜想证明】 （1）观察图1，试判断的形状并证明你的结论． 【变式探究】 （2）将图1中的绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时的形状并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）将图1中绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中面积的最大值． 2．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．    (1)如图1，若点是的中点，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点． ①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明； ②若，直接写出的面积． 1．（24-25八年级下·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种．三位同学的想法中，（    ） 甲： （上底下底）高梯形面积 乙： 丙： A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 5．（24-25八年级下·天津·期末）如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·上海·期中）计算： ． 7．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则= . 8．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 10．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 11．（23-24八年级下·上海·阶段练习）已知向量、、，求作向量，使 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，． (1)设，用向量表示向量= ；= (2)如果求的长． 13．（23-24八年级下·上海·期中）如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在等腰中，，可以由通过顺时针旋转变换得到． (1)请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含的式子表示） ； (2)如图（2），若M为中点，点D在上，过点M作于Q，交于点N． ①求证：N为的中点； ②若，点D在上运动时（包括M，C两个端点），直接写出的最小值． 15．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知和中，，，． (1)如图1，连结、，判断和的数量及位置关系，并说明理由； (2)若，， ①当点、、三点在同一直线上时，请画出所有符合题意的图形，并求出线段的长度； ②如图2，为中点，为中点，直接写出的面积大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形的中位线、梯形的性质重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 平面向量的加法 题型二 平面向量的减法 题型三 等腰梯形的性质与判定 题型四 利用三角形中位线求线段长 题型五 利用三角形中位线求角度 题型六 三角形中位线与三角形面积问题 题型七 与三角形中位线有关的证明问题 题型八 三角形中位线的实际应用 题型九 三角形中位线辅助线的添加问题 题型十 利用三角形中位线求最值 题型十一 三角形中位线的新定义问题 题型十二 三角形中位线的概念理解型问题 题型十三 梯形中位线问题 题型十四 平面向量的加减法与几何问题 题型十五 三角形中位线的大题综合 知识点01 三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 知识点02 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. 知识点03 向量的基本概念 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【经典例题一 平面向量的加法】 【例1】（2024八年级·上海·专题练习）式子化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 由 . 故选：B. 1．（2024八年级·上海·专题练习）如图，在矩形ABCD中，= A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 故选B. 2．（2024·上海奉贤·二模）在梯形中，AB//CD，，E是腰的中点，联结．如果设，那么 （含、的式子表示） 【答案】 【分析】先证明再利用三角形法则求出，从而可得答案． 【详解】解：如图， 是腰的中点， AB//CD，，， 故答案为： 【点睛】本题考查梯形的性质，平面向量，三角形法则，熟练的应用三角形法则表示向量之间的关系是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，． （1）填空：________；________；________；（用，的式子表示） （2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可） 【答案】（1）；；（或）；（2）图见解析， ． 【分析】（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出； （2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出． 【详解】（1）． ∵，， ∴， ∴． ； （2）作图如下： ∵，为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键． 【经典例题二 平面向量的减法】 【例2】（2024·上海静安·一模）下列说法不正确的是(    ) A．设为单位向量，那么 B．已知、、都是非零向量，如果，，那么 C．四边形中， 如果满足，，那么这个四边形一定是平行四边形 D．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【分析】根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】解：A. 设为单位向量，那么，此选项说法正确； B. 已知、、都是非零向量，如果，，那么，此选项说法正确； C. 四边形中， 如果满足，，即AD=BC，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确； D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键． 1．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（　　） A．＝（3，20240），＝（﹣3﹣1，1） B．＝（﹣1，1），＝（+1，1） C．＝（），＝（（﹣）2，8） D．＝（+2，），＝（﹣2，） 【答案】A 【分析】根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】A、由于3×（﹣3﹣1）+20240×1＝﹣1+1＝0，则与互相垂直，故本选项符合题意． B、由于（﹣1）（+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． C、由于×（﹣）2+×8＝4+4＝8≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． D、由于（+2）（﹣2）+×＝5﹣4+1＝2≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义. 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）在平行四边形ABCD中，==(1，1)，，则四边形ABCD的面积是 . 【答案】 【分析】先由，可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，然后根据30°角所对应的直角边是斜边的一半，可得到∠ABD=60°，求得三角形的面积. 【详解】解：∵ ∴平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC ∴四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍， ∠ABD=60°， ∴SABCD= 故答案为. 【点睛】本题考查了向量与简单的几何问题相结合，通过得到四边形ABCD是平行四边形且对角平分线BD平分∠ABC是关键. 3．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）材料一，在平面里有两点，，若为起点，为终点，则把有方向且有长度的线段叫做向量，记为：，并且可用坐标表示这个向量，表示方法为： ，向量的长度可以表示成 例如：，则， 即所以 材料二：若，，则 若时，则． 根据材料解决下列问题： 已知中，，， （1）________           ___________ （2）当时，求证：是直角三角形． （3）若，，求使恒成立的的取值范围． 【答案】（1）(11,1)，；（2）证明见解析；（3）m<2 【分析】（1）利用向量的定义和向量的长度的计算公式解答； （2）利用两点间的距离公式和勾股定理逆定理进行证明； （3）利用向量的乘法法则求得a、b的值；然后代入不等式，解不等式即可求得m的取值范围． 【详解】（1）∵A(−3，3)，B(8，4)， ∴AB=(8−(−3)，4−3)，即AB=(11，1)， |AB|= 故答案为：(11，1)； （2）当x=2时，A(−3，3)，B(8，4)，C(2，−2) 此时AB2=(−3−8)2+(4−3)2=122， AC2=(−3−2)2+[3−(−2)]2=50，BC2=(2−8)2+(−2−4)2=72． 得AB2=AC2+BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A(−3，3)，B(8，4)，C(x，−x) ∴AB=(11，1)，AC=(x+3，−x−3)，BC=(x−8，−x−4) ∴a=AB⋅AC=11x+33−x−3=10x+30 b=AC⋅BC=x2−5x−24+x2+7x+12=2x2+2x−12 ∴a+b=10x+30+2x2+2x−12=2x2+12x+18 ∴由a+b>m−2得到：2x2+12x+18>m−2 即：m<2x2+12x+20 ∴m<2(x+3)2+2 ∵2(x+3)2+2⩾2． ∴m<2 ∴使a+b>m−2恒成立的m的取值范围是：m<2 故答案为：m<2 【点睛】本题考查了向量的定义、向量的长度的计算公式、两点间的距离公式、向量的乘法法则和勾股定理逆定理． 【经典例题三 等腰梯形的性质与判定】 【例3】（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】过作交于，得出四边形是平行四边形，推出，，证出是等边三角形，得到，即可求出答案． 【详解】解：过作交于， ，， 四边形是平行四边形， ，， ∵， 是等边三角形， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键． 1．（2024八年级下·上海·专题练习）如图所示，已知等腰梯形中，ADBC，下底与上底的差恰好等于腰长，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先过点A作，交于点，易得四边形是平行四边形，又由下底与上底的差恰好等于腰长，则可证得是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：过点A作，交于点， 等腰梯形中，，， 四边形是平行四边形， ，， ， 下底与上底的差恰好等于腰长， ， ， 即是等边三角形， ， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，，与交于点O，，．则此梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，，结合勾股定理得，即，再进一步解答即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，，即， ∴此梯形的面积为； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在梯形中，，对角线相交于点O． (1)如图1，当，求证：四边形是等腰梯形； (2)如图2，如果，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明 再证明 可得 从而可得答案； （2）如图，过作于 过作于 证明四边形是矩形，可得 设 则 由 再建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵梯形， ∴梯形是等腰梯形． （2）如图，过作于 过作于 而 ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ 设 则 ∵ ∴ 解得：（负根舍去） ∴ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，等腰梯形的判定，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识并灵活运用是解本题的关键． 【经典例题四 利用三角形中位线求线段长】 【例4】（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，线段是等腰直角的中位线，，的平分线交于点D，若，则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等边对等角，平行线的性质，勾股定理，先根据中位线的性质得出，，再得出，，进一步得出，推出，设，则，得出，再求出，求解，进而可得出答案 【详解】解：∵线段是等腰直角的中位线， ∴，， ∴，， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选：C 1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长． 已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为 ． 【答案】6.5 【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出解答． 根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵O是对角线的中点，E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵O是矩形对角线的中点， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，如图，分别是的和边上的中线，过C作，交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证明结论； （2）根据三角形中位线的判定与性质求出、，结合平行线的性质、等腰三角形的性质求出，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图：连接， ∵四边形是平行四边形； ∴， ∵，是的边上的中线， ∴是的中位线， ∴、，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练运用平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 【经典例题五 利用三角形中位线求角度】 【例5】（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图， 在中，， 分别是的中点， 连接， 则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的特征，熟悉三角形中位线定理是本题的关键．根据直角三角形两锐角互余，求出，由三角形中位线定理得到，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， 分别是的中点， ， ， 故选：D． 1．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在四边形中，P 是对角线的中点，点E，F 分别是的中点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定理得到，，得，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴，, ∴ ∴ 同理，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为对角线与的交点，，为中点，并且，则的度数是 ． 【答案】/143度 【分析】首先根据平行四边形的性质得到：，然后根据点为的中点，点为的中点利用中位线定理得到，从而得到，然后根据得到，从而得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，, ∴，点为的中点，， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴, ∵,， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线，解题的关键是能够根据题意并利用中位线定理确定答案． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线与相较于点O，E是边的中点，连结． (1)若的周长为36，．求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质可得，，，然后根据三角形中位线定理求出，即可求解； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵的周长为36， ∴． 又∵E是边的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∴的周长为． （2）解：∵，， ∴． 由（1）知，是的中位线， ∴， ∴． 【经典例题六 三角形中位线与三角形面积问题】 【例6】（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，点分别是的中点，连接，若，则矩形的面积是（   ） A．200 B．196 C．192 D．188 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三边形斜边的中线的性质，勾股定理逆定理，根据矩形的性质可得，根据F，G分别是的中点，可得，是的中位线，求出和的长，进一步可知是直角三角形，，根据，求出的面积，根据和矩形同底等高，可知矩形的面积，即可求出矩形的面积． 【详解】解：在矩形中，， ∵F，G分别是的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴矩形的面积， 故选：C． 1．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图1，在中，，D、E分别是、的中点，动点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B，图2是点P运动时，的面积随时间t（s）变化的图象，则图2中a的值为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形中位线定理，先根据图2求出的长度，再根据中位线定理求出的长度，然后根据三角形面积公式结合和重合时面积最大，求出的值． 【详解】解：由图象知，当点P在上运动时，的面积的面积不变， ∴， ∵D、E分别是、的中点， ∴， 设， 当点P在线段上时，， 由图象知，当点P和点C重合时，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据中线的性质，可得，同理，，根据三角形中位线的性质可得，即可得到的面积． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 又∵点是 的中点， ∴，， ∴． 又∵、是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，已知点分别是的边上的中点，且， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据菱形的判定方法即可求解； （2）如图所示，连接交于点，在中，根据勾股定理可得，根据点是中点可得是的中位线，可算出，再根据菱形的面积的计算公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在中， ，点是边的中点 ∴， 同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，连接交于点， 在中， ，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴ ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形的性质，菱形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题七 与三角形中位线有关的证明问题】 【例7】（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，D，E，F分别是等边三角形三边的中点．下列三角形：①；②；③，其中，可以由经过一次轴对称变换得到的是（   ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】证明，然后根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵D，E，F分别是等边三角形三边的中点， ∴是等边三角形的中位线， ∴， ∴， ∴沿直线轴对称可得，沿的垂直平分线轴对称可得，沿的垂直平分线轴对称可得， ∴可以由经过一次轴对称变换得到的是①；②；③． 故选：D． 【点睛】此题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，关键是根据轴对称的性质解答． 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形是矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，E、F、G、H分别是的中点，要使四边形是正方形，对角线应满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】此题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定．根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，再根据正方形的判定即可求解． 【详解】解：添加的条件应为：且． 理由：∵E、F、G、H分别是的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，同理可得， 则且， ∴四边形为平行四边形， 又， ， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 故答案为：且． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期中）[教材呈现] （1）如图是华师版八年级下册数学教材第80页的第3题，请完成这道题的证明． 如图①，在四边形中，，P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． 求证：． [结论应用] （2）如图②，在上边题目的条件下，延长图①中的线段交的延长线于点E，延长线段交的延长线于点F．求证：． （3）若（2）中的，则的大小为多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知三角形中位数定理是解题的关键． （1）可得分别为的中位线，则，则，即可求证； （2）根据三角形中位线定理得到，则，同理，再根据即可证明； （3）先由三角形中位线定理得到，则，由三角形外角的性质得到，再由，得到，，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵P是对角线的中点，M是的中点，N是的中点． ∴分别为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：P是的中点，M是中点， 是的中位线， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ； （3）解：， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题八 三角形中位线的实际应用】 【例8】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直，点、固定在直线上，点是直线上一动点，若点、分别为、中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的面积；④的度数，其中不随点的移动而改变的是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】判断出长为定值，到的距离为定值，再根据三角形的中位线与平行线的性质即可判断①③，根据运动得出不断发生变化、的大小不断发生变化，即可判断②④． 【详解】解：、为定点， 长为定值， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 为定值，故①正确； 点，为直线上定点，直线， 到的距离为定值， 是的中位线， ， 到的距离为定值， 又为定值， 的面积为定值，故③正确； 当点移动时，的长发生变化， 则的长发生变化， 的周长发生变化，故②错误； 当点移动时，发生变化，则发生变化，故④错误； 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形中位线定理、三角形面积等知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 1．（2024·山东济南·一模）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，则下列说法正确的是（　　） A．EH＝HG B．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 C．EO＝FO D．四边形EFGH是平行四边形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、相似三角形的性质定理判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点， ∴EF、FG、GH、HE分别是△OAB、△OBC、△OCD、△OAD的中位线， ∴EH＝AD＝2，HG＝CD＝1，EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD， ∴EH≠HG，A选项错误，不符合题意； ∵EF∥AB，EF＝AB， ∴△EFO∽△ABO，且相似比为 ∴△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，B选项错误，不符合题意； ∵∠ABC不一定为90°， ∴AC与BD不一定相等， ∴EO＝FO不一定成立，C选项错误，不符合题意； ∵EF∥AB，EF＝AB，HG＝CD，HG∥CD，AB∥CD， ∴四边形EFGH是平行四边形，D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（2024·河南·二模）如图，AC是边长为2的正方形ABCD的对角线，P为BC边上一动点，E，F为AB，AC的中点．当PE+PF的值最小时，CP的值为 ． 【答案】 【分析】作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小，再利用中位线的性质求解即可． 【详解】如图，作点E关于BC的对称点Q，连接FQ，交BC于点P，此时PE+PF最小， ∵E，F为AB，AC的中点，BC=2， ∴，， ∵B为EQ中点，， ∴BP为的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路线问题-将军饮马模型，中位线的性质，熟练掌握将军饮马模型的作法是解题的关键． 3．（2024·广西南宁·一模）应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．    【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为． 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键． （1）由，，得到，即可求解； （2）当四边形是矩形时，，求出旋转角，即可求解； （3）取中点，连接，当三点共线时，最大值，可求出最大值为，此时的值为． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）如图：    当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴旋转角， ∴（秒）， ∴的值为； （3）取中点，连接，如图：    ∵是中点， ∴中位线， 在中，， ∴， ∴ ， ∵是斜边上中线， ∴， 当不在同一直线上时， ， 当在线段上时， ， ， ∴三点共线时，最大值， 此时，如图，   ，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， ∴（秒）， 综上，存在最大值为，此时的值为． 【经典例题九 三角形中位线辅助线的添加问题】 【例9】（2024·湖南娄底·二模）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明．嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（    ）      A．嘉嘉的不可以，淇淇的辅助线作法可以 B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以 C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以 D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理，用两种方法都可以证明结论，得到答案． 【详解】解： 嘉嘉的作法：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴, ∴四边形为平行四边形， ∴ 能够用来证明三角形中位线定理； 淇淇的作法：, ∴四边形为平行四边形， ∴, ∵, ∴，， 又∵ ∴, ∴，， ∴,四边形为平行四边形， ∴ 能够用来证明三角形中位线定理； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 1．（2024·湖南常德·二模）老师布置的作业中有这么一道题： 如图，在中，为的中点，若，．则的长不可能是（    ） A．5                 B．7                  C．8                  D．9 甲同学认为，，这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是…（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4 ，利用倍长中线模型证明△ABD≌△ECD得到AB=EC，再用三角形三边的关系即可判断乙同学的说法；如图2所示，取AB中点F，连接DF，则DF是△ABC的中位线，，再用三角形三边的关系即可判断丙同学的说法． 【详解】解：如图1所示，延长AD到E使得AD=ED=4 ， ∵D是BC的中点， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， ∵， ∴，即， 如图2所示，取AB中点F，连接DF， ∵D、F分别为BC、AB的中点， ∴DF是△ABC的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴甲说法错误，乙和丙说法正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形中位线定理、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（24-25八年级下·北京·期中）如图，点D、E分别在的边上，且． (1)请用尺规作图的方法在边上求作一点，使得与的面积相等．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，再添加一个已知条件（不添加任何辅助线），使得的面积与和的面积均相等，这个条件可以是_________________ 【答案】(1)见解析 (2)点D、E分别是的边的中点 【分析】本题主要考查了平行线的性质，尺规作图—作线段的垂直平分线，三角形中位线定理． （1）根据，可得到的距离处处相等，再由与的面积相等，可得点P为的中点，然后作的垂直平分线，即可求解； （2）当点D、E分别是的边的中点，由三角形中位线定理知，即可得到的面积与和的面积均相等． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． ； （2）解：当点D、E分别是的边的中点， 由三角形中位线定理知， ∴的面积与和的面积均相等． 故答案为：点D、E分别是的边的中点． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）【课本再现】 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【定理证明】 如图1，在中，D，E分别是边的中点．求证：且． 以下是小贤的证明思路：如图2延长到点F，使，连接． （1）请你根据小贤添加的辅助线，写出完整的证明步骤． 【知识应用】 （2）如图3，在四边形中，E，F，G，H分别为各边中点．求证：四边形是平行四边形． （3）如图4，在四边形中，对角线与相交于点H，E，F分别为边的中点，连接，分别交于点M，N，且．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，则平行且等于，得平行且等于．再证四边形是平行四边形，得平行且等于，即可得出结论； （2）连接，由，分别是，的中点，得，，由，分别是，的中点，得，，故，，从而四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据题意得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理解答即可． 【详解】证明：（1）如图，延长到点，使，连接连接． ，， 四边形是平行四边形，平行且等于， 平行且等于． 四边形是平行四边形， 平行且等于． 又， ∴且； （2）四边形是平行四边形；理由如下： 连接，如图： ，分别是，的中点， ∴，， ，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 四边形是平行四边形； （3）取的中点，连接、， 是的中点，是的中点， ，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边对等角等知识；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【经典例题十 利用三角形中位线求最值】 【例10】（24-25八年级下·天津·期末）如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、以及三角形中位线等知识，取的中点F，连接，，由旋转的性质及三角形中位线定理求出，由勾股定理求出的长，由直角三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：取的中点F，连接，， ∵将直角边绕A点逆时针旋转至， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， ∵F为中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，，，，点H、G分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（        ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于，   四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ∴由勾股定理得， 、分别为、的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点是线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了垂线段最短，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．取的中点，连接，，根据是等边三角形，，，可得，，而将线段绕点顺时针旋转，得到线段，即可证明，有，故当最小时，最小，此时，由是的中位线，可得，从而长的最小值为． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 是等边三角形，，， ，， 将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当最小时，最小，此时， 而， ， 是的中位线， ， 长的最小值为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小． (1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求△PDE周长的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作． （2）过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求． （2）解：过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F． ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴DE＝BC＝3， ∵DF⊥BC，AH⊥BC， ∴DF∥AH，AD＝DB， ∴BF＝FH， ∴DF＝AH＝2， ∵DT⊥BC，DE∥BC， ∴DE⊥DT， 在Rt△DET中，DE＝3．DT＝2DF＝4， ∴ET＝ ＝5， ∴PE+PD+DE＝DE+PE+PT＝DE+ET＝3+5＝8， ∴△DEP的周长的最小值为8． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 【经典例题十一 三角形中位线的新定义问题】 【例11】 （23-24八年级下·湖南湘潭·期末）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点D、E分别在边AB、AC上，，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN． 观察猜想 (1)线段PM与PN______“等垂线段”（填“是”或“不是”） 猜想论证 (2)绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由． 【答案】(1)是； (2)PM与PN是“等垂线段”． 理由见解析 【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：PM与PN是“等垂线段”，理由如下： ∵点P，N是BC，CD的中点， ∴，PN=BD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴，PM=CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵， ∴∠DPN=∠ADC， ∵， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， ∴PM=PN，PM⊥PN， ∴PM与PN是“等垂线段”， 故答案为：是； （2）解：PM与PN是“等垂线段”． 理由：由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE， ∴PM=PN， 同（1）的方法得，， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴PM⊥PN， ∴PM与PN是“等垂线段”． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1．（2024·江苏苏州·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． (1)如图①，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，135°<∠ADB<180°，求证：四边形BDEC是“等垂四边形”； (2)如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明； (3)如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD=4，BC=10，求线段AB长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)△EFG是等腰直角三角形．证明见解析 (3)线段AB的最小值为3． 【分析】（1）由∠BAC=∠DAE=90°知∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD，从而得∠CAE=∠BAD，结合AB=AC，AD=AE可得BD=CE；由全等知∠ABD=∠ACE，结合∠ABD+∠AIB=90°，∠AIB=∠HIC，从而得证； （2）延长BA，CD交于点P，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠PBC+∠PCB=90°，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG=∠C，∠EGD=∠PBD，EG=GF．由∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠GFB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠PBC+∠PCB=90°可得答案； （3）构造如（2）的辅助线和结论，再利用直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边的关系，可得答案． 【详解】（1）解：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠DAC+∠BAD=∠DAC+∠CAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 又∵AB=AC，AD=AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴BD=CE， 延长BD、CE相交于点H，BH交AC于点I， ∵△ADB≌△AEC， ∴∠ABD=∠ACE， 又∵∠ABD+∠AIB=90°，∠AIB=∠HIC， ∴∠ACE+∠HIC=90°，即∠H=90°， ∴DB⊥CE； 四边形BDEC是“等垂四边形”； （2）解：△EFG是等腰直角三角形． 理由：如图，延长BA，CD交于点P， ∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB=CD， ∴∠PBC+∠PCB=90°， ∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴EG=AB，FG=CD，EG∥AB，GF∥DC， ∴∠BFG=∠C，∠EGD=∠PBD，EG=GF． ∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠GFB =∠ABD+∠DBC+∠C=∠PBC+∠PCB=90°． ∴△EFG是等腰直角三角形； （3）解：延长BA，CD交于点Q，连接BD，分别取AD，BD，BC的中点E，G，F．连接QE，EF，QF，GE，GF， ∵∠AQD=∠BQC=90°， 则EF≥QF-QE=BC−AD=3， 由（2）可知△EFG是等腰直角三角形， ∴EF=GE， ∴AB=EF≥3． ∴线段AB的最小值为3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形，点是对角线的中点，为的中点，连接，为等边三角形． (1)求证：四边形是“等对边四边形”； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，关键是由三角形中位线定理推出，由，推出，由，推出． （1）由三角形中位线定理推出，即可得到，推出四边形是“等对边四边形”； （2）过作交延长线于，过作于，由补角的性质得到，由推出，得到，由推出，得到，由三角形中位线定理推出，得到，由平角定义推出，由三角形内角和定理得到，因此． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵点是对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”； （2）解：过作交延长线于，过作于，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∴在中，，且， ∴． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长； (2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可； （2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证． 【详解】（1）解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，∴BN2=MN2+AM2=9+4=13， ∴BN=； （2）解：∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点， ∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线， ∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG． ∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD， ∴EC2=DE2+DB2， ∴4NG2=4MN2+4FM2， ∴NG2=MN2+FM2， ∴点M，N是线段FG的勾股分割点． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题中的新定义及勾股定理的性质是解答本题的关键． 【经典例题十二 三角形中位线的概念理解型问题】 【例12】（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的“中点四边形”是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．    (1)概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形                B．矩形                    C．菱形                    D．正方形 (2)问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧湖南形和正方形，连接，，．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】(1)D (2)证明见解析 【分析】（1）根据正方形的判定和性质、中位线定理进行分析，即可得到答案； （2）取四边形各边中点分别为M、N、K、L，连接、相交于点P，与交于点O，根据正方形的性质，证明，得到，，再利用三角形中位线定理，证明四边形是菱形，然后根据三角形内角和定理，推出，进而得到，从而证明四边形是正方形，即可证明四边形是“中方四边形”． 【详解】（1）解：正方形对角线相等且互相垂直， 又三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半， 正方形的“中点四边形”是正方形， 正方形是“中方四边形”， 故选D； （2）证明：取四边形各边中点分别为M、N、K、L，连接、相交于点P，与交于点O， 正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形各边中点分别为M、N、K、L， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，，，， ， 四边形是菱形， ， ， ，， ， ， ， ，， ，即， 菱形是正方形， 原四边形是“中方四边形”．    【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解“中方四边形”的概念，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题关键． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：（1）证明见解析；拓展应用：（2）2；（3）； 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， , , 若，则． （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又 M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， 由拓展应用（2）知：， 若的最小值是2，则， ． 2．（2024·湖南益阳·三模）【探索发现】 如图①，将△ABC沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将△BED和△DHC分别沿EF、HG折叠，使点B、C均落在点D处，折痕形成一个四边形EFGH． (1)求证：四边形EFGH是矩形； (2)连接AD，当时，直接写出线段EF、BF、CG的数量关系，并说明理由； 【理解运用】 (3)如图②，在四边形ABCD中，//，，，，，点E为AB的中点，把四边形ABCD折叠成如图②所示的正方形EFGH，顶点C、D落在点M处，顶点A、B落在点N处，直接写出BC的长． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】(1)结合三角形中位线性质和折叠的性质即可证明； (2)连接AD交EH于点M，证明2EF= AD= BC，再由折叠的性质等量替换即可证EF= BF+ CG． (3)由已知条件求出正方形EFGH的边长，进而求出BH、HM的长度，然后由折叠的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵EH是中位线， ∴． 由折叠的性质可知BE=ED，BF=DF， HC=HD，DG=CG， 所以，， 所以EF⊥EH，HG⊥EH， ∴四边形EFGH是矩形． （2）解：结论：． 证明：如图，连接AD交EH于点M， 由折叠的性质可知：AD⊥EH，AM=MD， ∵EH∥BC， ∴AD⊥BC ∴EF=MD 由折叠的性质可知，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 解：． （3）因为AB= 8，点E为AB边的中点， 所以BE=AE=AB= 4， 由折叠性质得，DF= FM， MG = CG 所以FG=DM +CM =CD 因为CD=10． 所以FG = 5 因为四边形EFGH是正方形， 所以EH=FG=HG=5 所以在Rt△BEH中， BH = 由折叠性质和正方形EFGH得， ∠HEN+∠EHN=90°， ∠MHG十∠EHN = 90° 所以∠HEN =∠MHG 所以cos∠MHG = cos∠HEG = ， 所以在Rt△MGH中， ， 解得HM= ， 由折叠的性质的得：HC=HM=5， 所以BC=BH+HC=3＋= ， 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，三角形的中位线定理，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    【概念理解】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是_______．（填写相应的序号） 【类比学习】 （2）如图1，若，，则_____； 【性质探究】 （3）探究垂美四边形的四条边之间的数量关系：（将下列探究过程补充完整） 在中 在中 在中 在中 ____________________ 【问题解决】 （4）如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，则的长为__________．    【答案】（1）③④（2）（3）或（4） 【分析】（1）根据垂美四边形的特征，对角线互相垂直，去判定，在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，只有菱形，正方形的对角线互相垂直，解答即可． （2）根据图形面积的计算，得到垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可． （3）分别求和，得到解答即可． （4）根据点，分别是边，的中点，且，，得到，，，结合，根据结论（3）列式计算即可． 本题考查了特殊四边形的对角线性质，勾股定理，三角形中位线定理，图形面积分割法计算，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵垂美四边形的特征，对角线互相垂直， ∴①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，只有菱形，正方形的对角线互相垂直， 故答案为：③④． （2）解：根据题意，得, ∵，， ∴， 故答案为：． （3）解：∵在中 ， 在中 ， 在中 ， 在中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． （4）解：∵点，分别是边，的中点，且，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， 故答案为：． 【经典例题十三 梯形中位线问题】 【例13】（23-24八年级下·上海浦东新·期末）已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（    ） A．4.5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】把构成梯形的条件转换成构成三角形的条件，通过从上底的一个顶点作一腰的平行线，通过平行四边形的性质结合三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8，故梯形不是等腰梯形， 分情况： 第一种：上底为4，下底为5，腰分别是7和8，如图，      显然，1、7、8不能构成三角形，此情况不存在； 第二种：上底为4，下底为7，腰分别是5和8，如图，      显然，3、5、8不能构成三角形，此情况不存在； 第三种：上底为4，下底为8，腰分别是5和7，如图，      显然，4、5、7能构成三角形， 此时，中位线长为； 第四种：上底为5，下底为7，腰分别是4和8，如图， 显然，2、4、8不能构成三角形，此情况不存在；      第五种：上底为5，下底为8，腰分别是7和4，如图， 显然，3、4、7不能构成三角形，此情况不存在；      第六种：上底为7，下底为8，腰分别是4和5，如图， 显然，1、4、5不能构成三角形，此情况不存在；      故选：C． 【点睛】此题考查梯形的中位线，三角形三边的关系，注意分情况讨论． 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（　　） A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2 【答案】C 【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，由此再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可． 【详解】 如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M， ∵EF是梯形ABCD的中位线， ∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC， ∴AM⊥EF，AM＝MN， ∵△BEF的面积为4cm2， ∴EF×AM＝4， ∴EF×AM＝8， ∴梯形ABCD的面积为(AD+BC)×AN＝×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了梯形中位线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在等腰梯形中，，对角线与互相垂直，，那么梯形的中位线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质． 作，从而得到四边形为平行四边形，将两底的和转化为线段的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∵是等腰梯形， ∴， ∴， ∴梯形的中位线为：， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积． 【答案】（1）8（2）32 【分析】（1）过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，得AD＝EC，AE＝DC，证出△ABE是等边三角形，得BE＝AB＝8，则AD＝EC＝4，即可得出答案； （2）作AF⊥BC于F，则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面积公式即可得出答案. 【详解】解：（1）过A作AE∥CD交BC于E， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴AD＝EC，AE＝DC， ∵AB＝DC， ∴AB＝AE， ∵∠B＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝8， ∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD的中位线长＝（AD+BC）＝（4+12）＝8； （2）作AF⊥BC于F， 则∠BAF＝90°﹣∠B＝30°， ∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4， ∴梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32. 【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质. 【经典例题十四 平面向量的加减法与几何问题】 【例14】（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方向相同，模长相等的向量为相等向量. AB选项均与方向不同，C选项与模长不等，D选项与方向相同，长度相等. 故选：D 1．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图，四边形是平行四边形，下列说法正确的是（  ） A．与是相等向量 B．与是相等向量 C．与是相反向量 D．与是平行向量 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 与是等向量． 故选：． 根据等向量的定义判断即可． 本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（23-24八年级下·上海黄浦·期中）如图，在△ABC中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，，如果用、表示，那么 ． 【答案】 【分析】根据重心的意义可得出，然后根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点G是两条中线AD、BE的交点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·上海黄浦·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别在边和上，且点E是的中点，联结．    (1)写出图中与相等的向量： ； (2)如果，，请用、分别表示： ； ； (3)求作：．（请在原图上求作，不要求写作法，但要写出结论） 【答案】(1) (2)； (3)作图见解析 【分析】（1）通过平行四边形的性质及中点的意义证明四边形是平行四边形，即可求解； （2）直接根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行求解即可； （3）根据向量的加减法运算法则先将进行化简，再作图即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，点E是的中点， ∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：，； （3）∵， ∴    ∴图中为所求向量． 【点睛】本题考查了向量的加减法运算法则，涉及平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键． 【经典例题十五 三角形中位线的大题综合】 【例15】（24-25八年级下·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的中点翻折，还会发现新的结论． 【实践探究】 （1）在中，点为的中点，沿着向上折叠，点落在处，连接并延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （2）连接，兴趣小组发现，若，，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2） 【分析】（1）四边形是平行四边形得到，由翻折可证明是的中位线，则，即可证明； （2）过点E作于点H，则，，，由得到，则由勾股定理得，可得为等腰直角三角形，则，继而． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点为中点， ∴， 由翻折得：， ∴是的中位线， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； （2）过点E作于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，角直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 1．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图1，在中，，点D，E分别在边上，且．连接，点M，N，P分别为的中点． 【猜想证明】 （1）观察图1，试判断的形状并证明你的结论． 【变式探究】 （2）将图1中的绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时的形状并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）将图1中绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中面积的最大值． 【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）12.5 【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质： （1）根据线段的和差关系得到，三角形的中位线定理得到，推出，即可得出结论； （2）连接，证明，得到，推出，再根据三角形的中位线定理推出，即可得出结论； （3）根据是等腰直角三角形，得到，根据，得到最大时，最大，此时的面积最大，进行求解即可． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接，延长交于点，交于点， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点M，N，P分别为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）由（2）知：是等腰直角三角形，， ∴， ∴当最大时，的面积最大， ∴当最大时，最大，的面积最大， ∵， ∴的最大值为10， ∴的最大值为5， ∴面积的最大值为：． 2．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（依据1） 分别为的中点， ． 同理： 四边形是平行四边形．（依据2） 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 任务： (1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______． (2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论． (3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，且四边形的对角线与的夹角为，求瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (2)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和，证明见解析 (3)图见解析，的度数为或 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得； （2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）证明：如图2，连接， 分别为的中点， ．（三角形的中位线定理） 分别为的中点， ． ， 同理：， 四边形是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （3）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 3．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，点分别是上的动点，连接，将沿直线折叠得到，点落在上．    (1)如图1，若点是的中点，求证：； (2)如图2，若，且点是的中点． ①判断线段、与之间存在的数量关系，并证明； ②若，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)① ，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，三角形的中位线的判定和性质，折叠的性质及勾股定理，解题的关键是结合图形，熟练运用相关的判定和性质求解； （1）由折叠及点是的中点得到，得到，利用三角形外角性质即可得到，继而得证； （2）①过点作交延长线于点，连接．证得到，由垂直平分线的性质得到，由勾股定理，得，继而得证； ②取的中点M，连接，则则由中位线定理得到，长，设，由勾股定理得长，设则，，求得，在利用三角形的面积公式即可得解 【详解】（1）∵点是的中点， ． 由折叠，得． ， ． 是的一个外角， ． ， ， ．    （2）①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接． ． 点是的中点， ， ． ． 由折叠，得， ， ． 在Rt中，由勾股定理，得， ．    ②取的中点M，连接，则是的中位线， 则 ，    设，则 在由勾股定理得： 即 解得： 则， 设则 解得： 故的面积为． 1．（24-25八年级下·全国·期中）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图，在梯形中，AD∥BC，向量（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，， 故选：． 根据向量减法的三角形法则可得答案． 本题主要考查的是向量的减法及其几何意义，掌握向量减法的三角形法则是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）学完平行四边形和三角形的面积计算方法后，几位同学尝试解决梯形面积的问题，想法有以下几种．三位同学的想法中，（    ） 甲： （上底下底）高梯形面积 乙： 丙： A．甲对 B．乙对 C．丙对 D．三人都对 【答案】D 【分析】本题考查了梯形面积公式的推导过程的应用，涉及平行四边形的面积，三角形的面积， 根据平行四边形面积公式：平行四边形面积底高和图形的切拼，即可得到梯形面积公式，可判断甲、乙正确；再根据三角形的面积公式和图形的切拼得到梯形面积公式，可判断丙正确． 【详解】解：甲是把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，故甲正确； 乙是把一个梯形沿高的一半剪成两个梯形，然后通过旋转、平移拼成一个平行四边形，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，故乙正确； 丙是把一个梯形分割成两个三角形，根据三角形的面积公式推导出梯形的面积公式，故丙正确； 故选：D． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，正方形，点为边上一点，．的平分线交于点，点是的中点，则的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点，根据正方形的性质得，，，则，根据角平分线的定义及平行线的性质得，则，进而得，证明和全等得，则是的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出的长． 【详解】解∶延长交的延长线于点，如图所示∶ ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，． ∴在中，由勾股定理得∶， ∵平分． ∴ ∵． ∴， ∴ ∴． ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选∶． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键． 5．（24-25八年级下·天津·期末）如图，已知中，，，将直角边绕A点逆时针旋转至，连接，E为的中点，连接，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质、以及三角形中位线等知识，取的中点F，连接，，由旋转的性质及三角形中位线定理求出，由勾股定理求出的长，由直角三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：取的中点F，连接，， ∵将直角边绕A点逆时针旋转至， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， ∵F为中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 6．（23-24八年级下·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】根据平面向量的加减法计算即可． 【详解】解： =， =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面向量的加减法，解题的关键是掌握平面向量的加减法计算法则． 7．（23-24八年级下·上海·课后作业）如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量为，则= . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合平行四边形的性质，即可求得结论. 【详解】解：∵如图： ∴. 【点睛】本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，在用三角形法则做减法时，牢记连接两向量的终点，箭头指向被减数是关键. 8．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在梯形中，，，．如果梯形的中位线长为6，那么的长为 ． 【答案】 【分析】以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H，由梯形中位线的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的特征及等腰三角形的性质，得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：以为边在右侧作平行四边形，过点D作，垂足为H， ， 三点共线， 梯形的中位线长为6， ， ， ， ， ， 在梯形中，， 梯形是等腰梯形， ， ， ， ， ，即， （负值舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，梯形中位线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，熟练掌握梯形的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 10．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在直角三角形中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，四边形的最大面积是 ． 【答案】4 【分析】根据三角形中位线定理可得，，然后得到，，结合证明出平行四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，设，表示出，然后根据矩形的面积公式表示出四边形的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可． 【详解】解：如图， ∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ，且， 又F、G分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形 ∵，，， ∴， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴四边形面积． ∵ ∴ ∴四边形的最大面积是4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 11．（23-24八年级下·上海·阶段练习）已知向量、、，求作向量，使 【答案】详见解析 【分析】根据向量的性质求解即可． 【详解】如图所示，即为所求． 【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级下·上海宝山·期末）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，，BF交AC于点E，． (1)设，用向量表示向量= ；= (2)如果求的长． 【答案】(1), (2)5 【分析】（1）先用和表示出向量和，然后根据三角形法则计算即可； （2）由可得AF//BC、,然后再根据平行线等分线段定理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ． （2）解：∵ ∴AF//BC、 ∴ ∴，即AE= ∴AE=AB+AE=4+1=5． 【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理、平面向量的线性运算，根据得到AF//BC、是解答本题的关键. 13．（23-24八年级下·上海·期中）如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，在中有两的角，根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质易得，，则，，利用三角形的面积公式得到，代值即可得到； （3）由得到，则，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，即，解方程即可． 【详解】（1）在中，，， ， ，， ， ， 而， 为等边三角形； （2），过点P作，    ，， ，， ∴， ∴， ∴， 而， ； （3）， ， 而 ， ，即， ．    【点睛】本题考查了梯形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理以及含30度的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 14．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图（1），在等腰中，，可以由通过顺时针旋转变换得到． (1)请直接写出旋转中心及最小旋转角的大小（用含的式子表示） ； (2)如图（2），若M为中点，点D在上，过点M作于Q，交于点N． ①求证：N为的中点； ②若，点D在上运动时（包括M，C两个端点），直接写出的最小值． 【答案】(1)旋转中心为，旋转方向为顺时针，旋转角为 (2)①见解析；② 【分析】本题考查等腰三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的相关定义可得旋转中心为，旋转方向是顺时针，旋转角为； （2）①过作于，交于，由可以由通过旋转变换得到，知，，，而，有，故，可得，，故，即可得，是的中位线，从而点为的中点； ②点在上运动（包括，两个端点），当与重合时，最小，故最小，根据，，为中点，可得，，证明是等边三角形，得，从而可知的最小值为． 【详解】（1）解：可以由通过旋转变换得到，，，， 旋转中心为，旋转方向是顺时针，旋转角为； （2）①证明：过作于，交于，如图： 可以由通过旋转变换得到， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ，， ， 是的中位线， 点为的中点； ②解：点在上运动（包括，两个端点），当与重合时，最小，故最小，如图： ，，为中点， ，， ，， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， 的最小值为． 15．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知和中，，，． (1)如图1，连结、，判断和的数量及位置关系，并说明理由； (2)若，， ①当点、、三点在同一直线上时，请画出所有符合题意的图形，并求出线段的长度； ②如图2，为中点，为中点，直接写出的面积大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①17或31；② 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形的内角和定理即可求证垂直关系； （2）①分E在线段上，D在线段上，两种情况讨论，根据勾股定理求解即可； ②取中点F，连接，，，，，根据三角形中位线定理并结合（1 ）中，，证明，得出，延长交于H，延长到点Q，使，连接，证明，得到，，根据平行线的判定与性质以及补角的性质可得出，证明，得出，，进而可证明，设，，，根据勾股定理可求出， ， 两式相减求出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 当E在线段上时， 由（1）知：，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值舍去）； 当D在线段上时， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：（负值舍去）； 综上，线段的长度为17或31； ②取中点F，连接，，，，， 由（1）知：， ∵为中点，为中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 延长交于H，延长到点Q，使，连接AQ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，，， 在中，， 在中，， 两式相减，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关知识，作出正确的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$