3.3 第1课时 正比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.3 一次函数的图象 第3章 一次函数 第1课时 正比例函数的图象和性质 八年级下册数学（湘教版） 2. 函数有哪些表示方法? 图象法、列表法、公式法 是一次函数的是 ，是正比例函数的是 . (2)，(4) (2) 三种方法可以相互转化 它们之间有什么关系? 3. 你能根据函数表达式画出图象吗? 什么是函数的图象? 1. 在下列函数中： ； ； ； . 复习导入 列表：在自变量的取值范围内，取自变量 x 的一些值，计算出相应的函数值，列成表格. 正比例函数的图象的画法 1 解： 例1 画出正比例函数 y = 2x 的图象. x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -6 -4 -2 0 2 4 6 … 探究新知 描点：建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点. 连线：观察描出的这些点的分布，猜测函数的图象，然后用平滑的线连接各点. y = 2x 画函数图象的一般步骤： ①列表 ②描点 ③连线 要点归纳 y = 2x 观察：函数的图象有什么特点? 一般地，正比例函数 y = kx 的图象是一条经过原点 O 的直线. 要点归纳 思考：几个点可以确定一条直线? 画一次函数的图象时，只需要取几个点? 根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的两个点即可. 又由于正比例函数的图象经过原点 O，因此，只要再描出图象上的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线. 通常把这条直线叫作“直线 y = kx”. 典例精析 例1 画出正比例函数 y = -2x 的图象. 解：函数 y = -2x 的图象经过原点 O. 当 x = 1 时，y = -2. 在平面直角坐标系中描出点A(1，-2)，过原点 O 和点 A 作直线，则这条直线是 y = -2x 的图象，如图所示. y = -2x O 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： (1) y = -3x；(2) x 0 1 y = -3x 0 -3 0 y = -3x 画一画 思考 (1) 观察图中 y = 2x 的图象，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 如何变化？ y = 2x 2 正比例函数的图象与性质 (1) 由图可知，发于 y = 2x，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 由小变大. 观察发现：这个图象经过第 象限； 一、三 (2) 观察图中 y = -2x 的图象，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 如何变化？ y = -2x (2) 由图可知，对于 y = -2x ，当自变量 x 的取值由小变大时，对应的函数值 y 由大变小. 观察发现：这个图象经过第 象限； 二、四 (3) 对于正比例函数 y = kx， 当 k > 0 时，若 x > 0，则 y = kx > 0； 若 x < 0，则 y = kx < 0. 于是，当 k > 0 时，点 P(k，kx) (x≠0) 在第一、三象限. (3) 一般地，对于正比例函数 y = kx，其图象应该经过哪些象限？函数值随自变量如何变化？ 因此，直线 y = kx (k > 0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值 y 随 x 取值的增大而增大，如图所示. x y O y = kx(k>0) 增大 增大 当 k < 0 时，若 x > 0，则 y = kx < 0；若 x < 0，则 y = kx > 0. 于是，当 k < 0 时，点 P(k，kx) (x≠0) 在第二、四象限. x y O y = kx(k<0) 减小 增大 因此，直线 y = kx (k < 0 )经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值 y 随 x 取值的增大而减小，如图所示. y = kx (k 是常数，k ≠ 0)的图象是一条经过原点的直线 k＞0 k＜0 图象 经过的象限 增减性 第二、四象限 第一、三象限 函数值 y 随 x 取值的增大而增大 函数值 y 随 x 取值的增大而减小 y x o y = kx 1 k (1, k) y x o y = kx 1 k (1, k) 归纳总结 例2 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2，它的图象经过第几象限？ m + 1 = 2＞0. 该函数是正比例函数 m2 =1. { 根据正比例函数的性质，可知该图象经过第一、第三象限. 解： (1) 若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值 范围是________. 变式1： 已知正比例函数 y = ( k + 1 )x. k＞-1 (2) 若函数图象经过点（2，4），则 k_____. 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以 k + 1＞0，解得 k＞-1. 解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得 4 = (k + 1)·2，解得 k = 1. = 1 变式2：当 x＞0 时，y 与 x 的函数表达式为 y = 2x， 当 x≤0 时，y 与 x 的函数表达式为 y = -2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为 ( ) C A B C D 例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)， ∴ 4 = m·m，解得 m = ±2. 又 y 的值随着 x 值的增大而减小， ∴ m＜0，故 m = －2. 例4 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以 3 m/s 的速度匀速上升，运行总高度为 300 m. (1) 求电梯运行高度 h (m) 随运行时间 t (s) 而变化的函数表达式； 解：(1) 由路程＝速度×时间，可知 h＝3t，0≤t≤100. 例4 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以 3 m/s 的速度上升，运行总高度为 300 m. (2) 画出这个函数的图象. (2) 当 t＝0 时，h＝0；当 t＝100 时，h＝300. 在平面直角坐标系中描出点 A(100，300)， 再过原点和点 A 作线段 OA， 则线段 OA 即为函数 h＝3t (0≤t≤100) 的图象，如图所示. 【总结】在有限路程内做匀速运动(即速度保持不变)的物体，路程与时间的函数图象一般是一条线段. 画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象. 这四个函数中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化? (1) 正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大，y的值都增大了，其中哪一个增大得更快？你能说明其中的道理吗？ (2) 正比例函数 y = - x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ | k | 越大，直线越陡，即越靠近 y 轴 议一议 1. 已知正比例函数 y = kx (k＜0) 的图象上有两点(x1，y1)， (x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 y2. ＞ 2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2的大小关系是( ) A. k1＞k2 B. k1 = k2 C. k1＜k2 D. 不能确定 y=k1x y=k2x x y o A 练一练 正比例函数的图象和性质 图象：经过原点的直线. 当 k＞0 时，经过第一、三象限；当 k＜0 时，经过第二、四象限 性质：当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而减小 画正比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线 课堂小结 1. 下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ） B 　2. 对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随之增大，则 k 的取值范围是 ( ) 　　A. k＜2　　　　　　 B. k≤2 　　C. k＞2　　　　　 　D. k≥2 C x y O x y O x y O x y O A B C D 课堂练习 3. 函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点 _______与点 ，y 随 x 的增大而_______. 二、四 （0，0） （1，-7） 减小 4. 已知正比例函数 y = (2m + 4)x. (1) 当 m 时，函数图象经过第一、三象限； (2) 当 m 时，y 随 x 的增大而减小； (3) 当 m 时，函数图象经过点(2，10). ＞-2 ＜-2 = 0.5 5. 比较大小： （1）k1 k2；（2）k3 k4； 　 （3）比较 k1， k2， k3， k4 的 的大小，并用不等号连接． ＜ 解：k1＜k2 ＜k3 ＜k4. 4 2 -2 -4 4 x y O y =k4x -4 -2 2 y =k3x y = k2x y = k1x ＜ 6. 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L．所使用的汽油为 5 元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式； （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象； （3）计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少. y/元 x/km 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O （1） 即 . （2） x 0 4 y 0 3 列表 （3）当 x = 220 时， 答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元． 描点 连线 （元）. 解： $