3.3 一次函数的图象 第1课时 正比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第1课时 正比例函数的图象和性质 湘教·八年级下册 y x O 复习回顾 一次函数的定义： 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的形式，则称y是x是一次函数，其中x为自变量，y为因变量. 特别地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. 探索新知 如何画正比例函数y=2x的图象？ 列表：在自变量的取值范围内，取自变量x的一些值，计算出相应的函数值，列成表格.下表是正比例函数y=2x中y与x的几组对应值. 描点：建立平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出这些点. 如图所示. 连线：观察描出的这些点的分布，猜测函数的图象，然后平滑的线连接各点，即可得到y=2x的图象. y=2x 总结归纳 画函数图象的一般步骤： ① 列表 ② 描点 ③ 连线 能够简化吗？ 一般地，正比例函数y=kx的图象是一条经过原点O的直线. 根据“两点确定一条直线”，要画正比例函数的图象，只需描出图象上的两个点即可.又由于正比例函数的图象经过原点O，因此，只要再描出图象上的一个点，然后过这点和原点就可作出这条直线.通常把这条直线叫作“直线y=kx”． 例1 画出正比例函数y = -2x的图象． 解 函数y=-2x的图象经过原点O. 当x=1时，y=-2. 在平面直角坐标系中描出点A（1，-2），过原点O和点A作直线，则这条直线是y=-2x的图象，如图所示． A y=-2x y=2x 当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由小变大. （1）观察这个函数图象，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y如何变化？ 当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y由大变小. （2）观察这个函数图象，当自变量x的取值由小变大时，对应的函数值y如何变化？ y=-2x 对于正比例函数y=kx，当k>0时，若x>0，则y=kx>0；若x<0，则y=kx<0. 于是，当k>0时，点P(x，kx)(x≠0)在第一、三象限. 因此，直线y=kx(k>0)经过第三、一象限且从左向右上升，即函数值y随x取值的增大而增大. （3）一般地，对于正比例函数y=kx，其图象应该经过哪些象限？函数值随自变量如何变化？ 当k＜0时，若x>0，则y=kx＜0；若x<0，则y=kx＞0. 于是，当k＜0时，点P(x，kx)(x≠0)在第二、四象限. 因此，直线y=kx(k＜0)经过第二、四象限且从左向右下降，即函数值y随x取值的增大而减小. （3）一般地，对于正比例函数y=kx，其图象应该经过哪些象限？函数值随自变量如何变化？ 总结归纳 y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 变化趋势 k＞0 第一、三象限 从左向右上升，y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 从左向右下降，y随x的增大而减小 例2 某国家森林公园的一个旅游景点的电梯运行时，以3m/s的速度匀速上升，运行总高度为300m. （1）求电梯运行高度h(m)随运行时间t(s)而变化的函数表达式； 解 由路程=速度×时间可知，h=3t，0≤t≤100. （2）画出这个函数的图象. 当t=0时，h=0；当t=100时，h=300.在平面直角坐标系中描出点A（100，300），再过原点和点A作线段OA，则线段OA即为函数h=3t（0≤t≤100）的图象，如图所示. 在有限路程内做匀速运动（即速度保持不变）的物体，路程与时间的函数图象一般是一条线段. 1.画出正比例函数y= ，y=3x的图象，并分别指出其经过哪些象限． y=3x 解：正比例函数y= 经过第二、四象限，正比例函数y=3x经过第一、三象限. 【选自教材P99 练习 第1题】 2.已知矩形的一边长6 cm，另一边长x cm，面积为y cm2. （1）求y随x而变化的函数表达式； （2）画出该函数的图象； （3）当x=3，4，5时，y分别是多少？ 解：（1）y=6x（x>0） （3）当x=3时，y=18； 当x=4时，y=24； 当x=5时，y=30. 【选自教材P99 练习 第2题】 y=6x 随堂练习 1.已知正比例函数y=(1-2m)x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. m> B. m< C. m<0 D. m>0 A 2. P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=-x图象上的两点，下列判断中，正确的是（ ） A.y1>y2 B.y1<y2 C.当x1<x2时，y1<y2 D.当x1<x2时，y1>y2 D 3.函数y=- x的图象是一条经过原点及点（2，____）的直线，这条直线经过第______象限，当x增大时，y随之_______. -3 二、四 减小 4.一水管向容器为100立方米的空水池注水，注水时间t与注入的水量Q的关系如下表： t (分钟) … 2 4 6 8 10 … Q (立方米) … 4 8 12 16 20 … (1)求Q与t之间的函数关系式； (2)求自变量t的取值范围，并画出图象； (3)当t=40分钟时，求水量Q的值是多少？ 解：(1) Q=2t； (2) 由题可知0≤Q≤100，即0≤2t≤100，0≤t≤50. (3) 当t=40时，Q=80. Q=2t 课堂小结 y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx(k≠0) 经过的象限 变化趋势 k＞0 第一、三象限 从左向右上升，y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 从左向右下降，y随x的增大而减小 $