3.3等可能事件的概率（题型专练）数学新教材北师大版七年级下册

3.3等可能事件的概率 题型一 列举随机试验的所有可能结果 1．（24-25七年级下·西藏·自主招生）班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 3．（2026七年级下·全国·专题练习）一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 4．（2025六年级下·上海·专题练习）有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 5．（2023七年级上·全国·竞赛）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 _____． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 1 4 6 2 5 7．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）一个三位数，相邻两个数位差的绝对值不超过1，三个数中至少有一个数为1，问共有几个符合题意的三位数？ 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 3．（21-22七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 5．（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 题型三 列举法求概率 1．（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南安阳·月考）在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，点，，，，都在小正方形的顶点上．从，，三点中任取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动．现场需从3名学生志愿者（2名男生，1名女生）里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东威海·模拟预测）从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 题型四 根据概率公式计算概率 1．（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·福建福州·月考）遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 5．（2026九年级下·重庆·专题练习）小杜有五顶帽子，分别为2顶红色和3顶黑色，从中随机选取一顶帽子恰好是红色帽子的概率是________． 6．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，求摸到的球是白球、红球、黄球的概率各是多少？ 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． (1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 题型五 几何概率 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 7．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 8．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 题型一 根据概率做判断 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 4．（25-26九年级上·广东珠海·期末）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 5．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 题型二 已知概率求数量 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·广东韶关·月考）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，n个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为，则n的值是（   ） A．3 B．4 C．1 D．6 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 4．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： 摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300 摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100 摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值． 7．（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明的盒子里有黑色、红色墨囊共30个，它们除颜色外均相同，小文将这些墨囊摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为，由此可估计盒中红色墨囊的个数是多少个？ 8．（25-26七年级上·全国·假期作业）有30张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方块的频率依次为，试估计四种花色的牌各有多少张？ 题型三 游戏的公平性 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 2．（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 5．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 6．（25-26九年级上·河南周口·月考）甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 7．（24-25六年级下·全国·单元测试）小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 8．（13-14七年级下·福建漳州·月考）今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 题型四 概率的实际应用 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 4．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 7．（2012·山东德州·一模）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏――幸运大转盘，其规则如下： ①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其边缘标记5、10、15、…、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分； ②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分； ③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”； ④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢． 现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题： （1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率． （2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗？赢的概率是多少？ （3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次？说明你的理由． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 9．（20-21七年级下·贵州六盘水·期末）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 题型一 概率的综合运用 1．（20-21九年级·浙江·自主招生）甲乙丙丁四人互相给其他的三人之一写信，选择对象的方式是等可能的．问存在两个人收到对方的信的概率（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 3．（21-22九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3等可能事件的概率 题型一 列举随机试验的所有可能结果 1．（24-25七年级下·西藏·自主招生）班级图书角有文学类、历史类、哲学类、自然类图书，扎西可随机从四类图书中任选两类阅读，他的选法有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】本题考查列举法，通过列举法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，他的选法有：文学类、历史类；文学类、哲学类；文学类，自然类；历史类、哲学类；历史类、自然类；哲学类、自然类，共6种； 故选：C． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【详解】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）一个总体中有编号为1、2、3、4、5的5个个体．用简单随机抽样的方法从中抽取1个容量为2的样本，这样的样本共有________个，所有可能的样本为_________________． 【答案】 10 1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5 【分析】本题主要考查了总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 从5个不同个体中随机抽取2个组成样本，样本容量为2，所有不重复的配对即为可能样本，通过列举可得总数． 【详解】解：所有可能的样本为：1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5，共10个． 故答案为：10；1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5． 4．（2025六年级下·上海·专题练习）有张数字卡片（如下图），倒扣着混放在一起，每次反过来张，记下数字后再放回去和其他卡片混合． （1）每次翻开的数字有______种可能．    （2）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有______种可能，可能是______．    （3）翻开的数字卡片大于和小于的可能性______． 【答案】 或 相等 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小,根据事件发生的可能性进行分析即可,熟练掌握判断事件发生的可能性的大小是解题的关键． 【详解】解：（）每次翻开的数字有种可能；   （）如果翻开的数字大于，翻开的卡片有种可能，可能是或； （）翻开的数字卡片大于和小于的可能性相等； 故答案为：，，或，相等． 5．（2023七年级上·全国·竞赛）口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是 _____． 【答案】16 【分析】本题考查列举法的应用．根据限定条件首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：如图所示： 共有16种取法， 故答案为：16． 6．（2025九年级上·全国·专题练习）下面是两堆共五张印有数字的卡片，背面则是相同的白色背景．第一堆有2张，第二堆有三张，如下图所示．将卡片翻过去，背面朝上，在每堆中分别随机取出一张，请列表表示出所有可能性，并回答： (1)这两张上面的数字中有奇数的结果有多少种？ (2)这两张上面的数字的和是偶数的结果有多少种？ (3)这两张上面的数字的乘积大于10的结果有多少种？ 【答案】(1)4种 (2)3种 (3)3种 【分析】本题主要考查了通过列表来列出所有可能的结果，并根据不同的事件找到符合要求的结果的种数．在列表时注意，首行首列必须标清楚第一堆和第二堆所有的数字，再在表格中用表示出每个结果． （1）根据表中的结果判断即可； （2）根据表中的结果判断即可； （3）根据表中的结果判断即可． 【详解】（1）解：所有可能的结果列表如下：(用表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 5 共6种等可能性结果． 有奇数的结果共有4种，分别是、、、． （2）和是偶数的结果有3种，分别是、、． （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是、、． 7．（2024九年级下·江苏南京·竞赛）一个三位数，相邻两个数位差的绝对值不超过1，三个数中至少有一个数为1，问共有几个符合题意的三位数？ 【答案】13个 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解：①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 1．（25-26九年级上·河南许昌·期末）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）下列随机事件属于“等可能性事件”的是（   ） A．交通信号灯出现红色、绿色、黄色 B．掷一枚图钉，落地后钉尖“朝上”或“朝下” C．小明用随机抽签的方式选择、、三种答案，分别选中、、 D．小亮在沿着“直角三角形”的小路散步，他出现在各边上 【答案】C 【分析】本题主要考查了等可能性事件， 等可能性事件需每个结果概率相等，再逐项判断即可． 【详解】解：∵交通信号灯红、绿、黄灯时间通常不相等， ∴概率不相等，A不是等可能性事件； ∵图钉结构不对称，钉尖朝上和朝下概率不相等， ∴B不是等可能性事件； ∵随机抽签方式选择A、B、C，每个被选中的概率均为， ∴C是等可能性事件； ∵直角三角形三边长度可能不相等，出现在各边上的概率不相等， ∴D不是等可能性事件． 故选：C． 3．（21-22七年级下·山西太原·期末）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮 C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球 【答案】A 【详解】解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确； B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误； C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误； D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键． 4．（21-22九年级上·全国·单元测试）在抛掷一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作实验替代物的是（       ） A．一只小球 B．两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃） C．一个啤酒瓶盖 D．一枚图钉 【答案】B 【分析】看所给物品得到的可能性与硬币只有正反两面的可能性是否相等即可． 【详解】解：A、一只小球，不能出现两种情况，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； B、两张扑克牌（一张黑桃，一张红桃），符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项正确； C、一个啤酒瓶盖，只有压平的瓶盖才可以，不符合硬币只有正反两面的可能性，故此选项错误； D、尖朝上的概率＞面朝上的概率，不能做替代物，故此选项错误； 故选B． 【点睛】考查了模拟实验，选择实验的替代物，应从可能性是否相等入手思考. 5．（2024·福建福州·一模）一个不透明的袋中有个球，分别标有，，，，这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球． (1)会出现哪些可能的结果？ (2)每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？ 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 题型三 列举法求概率 1．（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，先确定剩余咖啡的总数和其中有奖咖啡的数量，再列举出所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一箱共6瓶咖啡，原本有2瓶有奖，明明连续打开2瓶均未中奖， ∴剩余咖啡数量为瓶，剩余咖啡中有奖咖啡仍为2瓶，未中奖咖啡为2瓶， 将剩余4瓶编号：有奖两瓶记为、，未中奖两瓶记为、， 从4瓶中任意拿2瓶，所有等可能的情况有：，，，，，，共6种， 其中2瓶都中奖的情况只有这1种， ∴所求概率为， 故选：D． 2．（25-26九年级下·河南安阳·月考）在“行走河南·读懂中国”的文化体验活动中，小文和小宇从龙门石窟、少林寺、殷墟三项河南文化标识中，随机选择一项进行深入了解，他们各自独立选择，则两人所选择的文化标识相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题用列举法计算概率，先求出所有等可能的选择结果，再找出两人选择相同文化标识的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：记龙门石窟、少林寺、殷墟三项标识分别为A、B、C， ∵两人各自独立选择， ∴所有等可能的结果为，共9种， 其中两人选择相同文化标识的结果共3种， ∴两人所选择的文化标识相同的概率为． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，点，，，，都在小正方形的顶点上．从，，三点中任取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，所画四边形是平行四边形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键． 利用列举法得到共有3种可能，又当只有取，两点时，所画四边形是平行四边形，即可求出概率． 【详解】解：从，，三点中任取两点，共有、与、，以及，，3种可能， 只有取，两点时，所画四边形是平行四边形， 所画四边形是平行四边形的概率为． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）为助力家校协同育人，某校开展家庭教育指导咨询大集活动．现场需从3名学生志愿者（2名男生，1名女生）里随机抽2人负责家长签到引导工作，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用列举法列出所有等可能的抽取结果，统计满足条件的结果数，代入概率公式即可求解． 【详解】解：记2名男生分别为男、男，记1名女生为女． 从3人中随机抽取2人，所有等可能的结果为(男1，男2)、(男1，女)、(男2，女)，共种等可能性结果． ∵其中恰好为1名男生和1名女生的结果有种． ∴所求概率． 5．（2026·山东威海·模拟预测）从甲、乙、丙、丁四人中任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题用古典概型计算概率，先列举出从四人中任选两人的所有等可能结果，再找出甲被选中的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵从甲、乙、丙、丁四人中任选两人，所有等可能的结果为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种， 其中甲被选中的结果有甲乙、甲丙、甲丁，共3种， ∴甲被选中的概率． 6．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让灯泡发光的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等可能事件概率的计算与电路通路的判断，关键是先确定所有闭合两个开关的等可能情况，再筛选出能使发光的情况，最后利用概率公式计算． 【详解】解：随机闭合开关，，中的两个，所有等可能的情况为：、、，共3种，其中能让灯泡发光的情况只有， ∴能让灯泡发光的概率为． 故选：A． 7．（25-26九年级上·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查利用列举法求随机事件的概率，解题关键是正确分析电路通路情况，列举出所有等可能的结果．首先确定随机闭合两个开关的所有等可能结果，再逐一分析每种结果下、的点亮情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，所有可能的结果有：、、，共3种等可能的结果． ∵当闭合和时，电路形成通路，能同时点亮灯泡、；闭合和时，无法形成通路，均不亮；闭合和时，只有亮． ∴能同时点亮灯泡、的结果只有1种． 根据概率公式，． 故答案为：． 题型四 根据概率公式计算概率 1．（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，事件A的概率等于事件A发生的可能结果数与所有可能结果数的比值，代入计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同， ∴球的总个数为 (个)，摸出红球的可能结果数为3， ∴摸出红球的概率为 ． 2．（25-26九年级下·福建福州·月考）遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个， 所以，最终从点H驶出的概率为． 3．（25-26九年级上·陕西延安·期末）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影，霖霖同学从这三部电影中随机选择一部观看，他恰好选择看《731》电影的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率公式，找出所有等可能结果数和符合要求的结果数，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵霖霖从三部电影中随机选择一部，共有3种等可能的结果，其中恰好选中《731》的结果只有1种， ∴所求概率为． 4．（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___． 【答案】/ 【分析】本题考查概率的计算，正确理解概率的意义，找出所有等可能的结果总数与所求事件包含的结果数是解题关键，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中共有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球有1个， ∴从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为． 5．（2026九年级下·重庆·专题练习）小杜有五顶帽子，分别为2顶红色和3顶黑色，从中随机选取一顶帽子恰好是红色帽子的概率是________． 【答案】 【分析】用红色帽子的数量除以帽子总数量即可得到所求概率． 【详解】解：由题意可得，所有等可能结果总数，即帽子的总数量为，选取红色帽子的结果数为． P（选取红色帽子）． 6．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，求摸到的球是白球、红球、黄球的概率各是多少？ 【答案】 摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，据此解题即可． 【详解】解：∵不透明的口袋中共装有(个)球，这些球除颜色外其他均相同， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 7．（25-26九年级上·福建泉州·期末）某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下． 摸球方案： ①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球； ②从袋中随机摸取一个小球，记录颜色后放回． 获奖规则： ①若取出的是黄球，则获得奖品． ②若取出的是白球，则获得奖品． (1)该班某位同学参加该游戏“获得奖品”的概率是_________ ． (2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案及获奖规则，使得“获得奖品”和“获得奖品”的概率和原摸球方案及获奖规则下的概率分别相等． 【答案】(1) (2)新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球；获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品 【分析】本题考查概率公式： （1）共有9种等可能的结果，取出的是黄球的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）原方案“获得奖品”的概率为，“获得奖品”的概率为，结合题意设计新的摸球方案及获奖规则即可． 【详解】（1）袋中1个黄球，8个白球，从袋中随机摸取一个小球，每次摸球是等可能的， 共有9种等可能的结果，其中该班某位同学取出的是黄球的结果有1种， 即参加该游戏“获得奖品”的结果有1种， ∴该班某位同学参加该游戏概率为 故答案为：． （2）解：由（1）可知原方案“获得奖品”的概率是， “获得奖品”的概率为， 取走6个白球后，剩余3个球：1个黄球，2个白球， 新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球． 黄球1个，共3球， 第一次摸到黄球的概率：，第二次摸到黄球的概率也是， 两次都摸到黄球的概率：， 两次不全为黄球的概率：， 获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品． 8．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 【答案】(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． 题型五 几何概率 1．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）为了估计椭圆的面积，琪琪在长为cm，宽为cm的长方形纸片上随机掷点，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右，则据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题方法是利用 “椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率” 计算椭圆面积． 【详解】解：大量实验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为， 长方形的面积为：， 则椭圆的面积为． 2．（25-26九年级上·云南保山·期末）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 4．（2026·河北沧州·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了几何概率，击中白色区域的概率等于白色区域面积与正方形总面积之比． 【详解】解：随意投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是： ． 故选：D． 5．（25-26七年级下·全国·单元测试）教室地面的瓷砖如图所示，一把钥匙被藏在某种颜色的一块瓷砖下面，则下列判断中，正确的是（   ） A．被藏在白色瓷砖下的概率大 B．被藏在灰色瓷砖下的概率大 C．被藏在两种瓷砖下的概率一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，解答此题的关键是分别计算出灰白瓷砖的块数，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 先求出教室地面的瓷砖的总块数，再分别求出灰、白瓷砖的块数，根据概率公式解答即可． 【详解】解：教室地面的瓷砖共有（块）， 其中白色瓷砖有块，概率为， 灰色瓷砖有块，概率为， 故被藏在白色瓷砖下的概率大． 故选：A． 6．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率；求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【详解】解：∵正方形二维码的边长为， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 8．（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 设区域的半径为，区域的面积为，即可得. 【详解】解：由图可知最大的圆的面积为， 设区域的半径为，区域的面积为， ∵把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率， ∴ ，解得， 故答案为：2． 题型一 根据概率做判断 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）不透明袋子中有若干个白球（）和灰球（），这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，灰球出现的频率如图所示，则该不透明袋子不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用频率估算概率，概率的计算公式，熟练掌握频率与概率的关系是关键． 当试验次数足够多时，频率会趋近于概率，由此判断选项． 【详解】解：由图可知，试验次数足够多时，频率在附近波动， ∴抽取一个球是灰球的概率为， ∴袋中白球与灰球的数量相等，只有选项C不符合． 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川成都·期末）用12个球设计一个摸球游戏，下面设计的四种方案中，不恰当的设计是（   ） A．摸到红球、白球、黄球的概率均为 B．摸到红球的概率，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是 C．摸到红球的概率是，摸到白球、黄球的概率都是 D．摸到红球的概率是，摸到黄球的概率也是 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件的概率的含义，根据概率之和必须为1及各颜色球的数量必须为整数且总和为12，逐一验证各选项的合理性即可． 【详解】解：选项A：红、白、黄球的概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为个（每种颜色），总和为，设计合理． 选项B：红球概率，白球，黄球．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，白球个，黄球个，总和为，设计合理． 选项C：红球概率，白球和黄球概率均为．总概率为，超过1，不符合概率的基本性质，设计不恰当． 选项D：红球和黄球概率均为．总概率为，符合要求．对应球数为红球个，黄球6个，总和为12，设计合理． 综上，选项C的设计不恰当． 故选：C 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析． 三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 4．（25-26九年级上·广东珠海·期末）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)区域外的小方格上，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【详解】（1）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （2）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （3）解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，     ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 5．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）在一个不透明的盒子里装有除颜色外都相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球7个，黑球若干个．若从中任意摸出1个球是黑球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)求任意摸出1个球是白球的概率； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出1个球是白球的概率是？若能，请写出调整方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)可以在盒子中放入6个黑球 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【详解】（1）由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； （2）P（任意摸出1个球是白球）； （3）能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 题型二 已知概率求数量 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，若摸到白球的概率为，则红球的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据概率求球的数量，设红球的个数为个，根据摸到白球的概率等于白球的个数除以球的总数建立方程求解即可． 【详解】解：设红球的个数为个． 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴红球的个数为1个． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东韶关·月考）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，n个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为，则n的值是（   ） A．3 B．4 C．1 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了概率的求法，熟练掌握其求法是解题的关键． 利用概率公式，结合摸出黄球的概率列方程求解即可． 【详解】解：∵袋中总球数为个，黄球有个，且摸出黄球的概率为， ∴有， 解得． 故选：A． 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【答案】 【分析】先根据摸球试验的结果计算摸到“仲”字小球的频率，用频率估计概率，再结合总球数求出“仲”字小球的估计数量，最后用总球数减去“仲”字小球的数量得到“杜”字小球的估计个数． 【详解】解：共进行了次摸球试验，其中次摸到“仲”字小球， ∴摸到“仲”字小球的频率为， 根据大量重复试验的频率可近似代替概率， ∴估计从箱子中摸到“仲”字小球的概率为， ∴箱子中写着“仲”字的小球的估计个数为， ∴箱子中写着“杜”字的小球的估计个数为． 4．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共15个，这些球除颜色外其余均相同．现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，放回并摇匀，再次摸球．获得如下数据： 摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250 300 摸出黑色球的频数 2 6 16 34 51 67 83 100 摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.34 0.34 0.33 0.33 (1)黑色球的个数可能是_____个． (2)在（1）的条件下，再放进去这两种颜色的球共9个，摇匀后再次进行大量重复的摸球试验，如果摸出黑球的概率与摸出白球的概率相等，求放进去的这9个球中黑球和白球的数量分别是多少个？ 【答案】(1)5 (2)黑球7个，白球2个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据可估计摸出黑球的概率为0.33，再由概率公式求解即可； （2）设放进去黑球x个，根据题意可知摸出黑球的概率为二分之一，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数的增加，摸出黑球的频率稳定在0.33附近，故估计摸出黑球的概率为0.33， ∴黑色球的个数可能是个； （2）解：设放进去黑球x个， 由题意得，， 解得， 则， 答：放进去黑球7个，白球2个． 6．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）现有正面分别写有“最”“美”“银”“川”的卡片共20张，这些卡片的背面完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“银”字的卡片有4张，写有“川”字的卡片有3张，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． (1)事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为_______事件；（选填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； (3)从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“银”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“银”字卡片的概率为，求的值． 【答案】(1)不可能 (2) (3)4 【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为不可能事件． （2）解：由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）解：由题意可知：， 解得：， 答：m的值为4． 7．（25-26九年级上·全国·期末）一个不透明的盒子里有黑色、红色墨囊共30个，它们除颜色外均相同，小文将这些墨囊摇匀后，随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为，由此可估计盒中红色墨囊的个数是多少个？ 【答案】6个 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解题意是解题的关键． 根据题意可知摸到黑色墨囊的概率是0.8，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为， ∴摸到黑色墨囊的概率是0.8， （个）， 答：估计盒中红色墨囊的个数是6个． 8．（25-26七年级上·全国·假期作业）有30张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方块的频率依次为，试估计四种花色的牌各有多少张？ 【答案】红桃约为6张，黑桃约为10张，梅花约为13张，方块约为1张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，那么可得抽到红桃、黑桃、梅花、方块的概率依次为，再根据概率公式求解数量即可． 【详解】解：∵抽到红桃、黑桃、梅花、方块的频率依次为， ∴抽到红桃、黑桃、梅花、方块的概率依次为， 张，张， 张，张， 答：红桃约为6张，黑桃约为10张，梅花约为13张，方块约为1张． 题型三 游戏的公平性 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 2．（25-26七年级下·全国·月考）如图，一个均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”“人”这几个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字（指向分界线重转）． (1)转动转盘，当转盘停止时，指针指向的汉字的笔画数是偶数的概率是____________； (2)小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画数不小于8时，小明获胜，否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，解决本题的关键是概率的计算公式与游戏公平性的理解. 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 【答案】(1)不公平．因为小花获胜的概率为，小佳获胜的概率为，所以这个游戏对双方不公平． (2)①③公平，②④不公平 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）（2）通过计算小佳获胜的概率和小花获胜的概率，从而可判断游戏规则是否公平． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： ∵小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∴这个游戏对双方不公平． （2）解：①因为个数中奇数和偶数各个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则①公平； ②因为个数中为的倍数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则②不公平； ③因为个数中大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则③公平； ④因为个数中不大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则④不公平； 故①③公平，②④不公平． 5．（25-26九年级上·广东汕头·月考）如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜． (1)转出偶数的概率是________；转出奇数的概率是________； (2)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1)； (2)这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性， （1）根据概率公式计算即可； （2）比较（1）中求出的概率求解即可． 【详解】（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数， ∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是； （2）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵， ∴乙获胜的概率大． 6．（25-26九年级上·河南周口·月考）甲、乙两名同学在课间玩抽卡片游戏，游戏规则如下：将背面完全相同、正面分别标有数字，，，的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先从中随机抽取一张卡片，不放回；乙再从剩下的张中随机抽取一张卡片． (1)甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为___________； (2)若两次抽取的数字之和为奇数，则甲获胜；若数字之和为偶数，则乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【详解】（1）解：，，，四张卡片中，有，两个奇数，则甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为； （2）不公平 理由： 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 ∴共有12种可能结果，其中和为奇数的有8种，和为偶数的有种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 7．（24-25六年级下·全国·单元测试）小光和小明下跳棋，他们用掷骰子决定谁先走．小光用蓝色骰子，上面是1、6、8点各两面；小明用白色骰子，上面是3、5、7点各两面，每掷一次，谁点大，谁先走．你认为公平吗？怎样修改游戏规则，能使这个游戏公平呢？ 【答案】不公平，见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【详解】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平． 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 8．（13-14七年级下·福建漳州·月考）今年10月，我市即将迎来第十五届省运会．此次省运会的吉祥物是阿福、阿仙．小明和小颖只有一张省运会的门票，正商议着谁去观看．小明提议：我们分别在三张卡片上写“阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取两张，能拼成阿福或阿仙我获胜，否则你获胜． (1)请写出小明、小颖获胜的概率 （小明获胜）_____， （小颖获胜）_____； (2)小明的提议对小颖_____；（填“公平”或“不公平”） (3)请你利用若干张卡片，设计一个对小明和小颖都公平的新方案． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）是解题的关键． （1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式计算概率． （2）比较两人获胜的概率，判断是否公平． （3）设计一个两人获胜概率相等的方案． 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 题型四 概率的实际应用 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）某商场为了吸引顾客，打出这样一个广告：本商场为了感谢广大消费者的支持和厚爱，特举行购物抽奖活动，中奖率，最高奖为50元．具体规则是顾客购物每满100元，就能获得1次转动如下图所示的转盘的机会（转盘被等分成16份）．如果转盘停止后，指针正好对准黄色、红色、绿色、白色区域，那么顾客就可以分别获得50元、20元、10元、5元的购物券（若指针与边界线重合，则重转）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)若小亮的妈妈购物满100元，她获得购物券的概率是多少？ (2)若小亮的妈妈购物满150元，她获得50元、5元购物券的概率分别是多少？ (3)若改变红色区域的份数，使得自由转动这个转盘，当它停止转动时，指针对准红色区域的概率是，请算出它的份数并在转盘的适当位置涂上颜色． 【答案】(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 2．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 4．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）“七夕情人节”期间，某购物广场举办有奖销售活动，每购物满元，就获得一次转转盘的机会．转动转盘，转盘停止转动后指针对准某个区域，顾客得到相应的指示．小华购物元，获得一次转动转盘的机会，请你根据转盘（如图所示）求： (1)小华中奖的概率；（除了谢谢参与其他均是中奖） (2)小华获得元红包的概率； (3)小华享受八折优惠的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 5．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，一个可以自由转动的转盘被等分成10个扇形，分别标有，，，，，，，，，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（指针指向分界线时，重转一次）．小西和小阳利用此转盘做游戏：一人转动转盘，另一人猜数．若所猜数字特征与转出的数字特征相符，则猜数的人获胜；否则，转动转盘的人获胜． (1)若小西转动转盘，小阳猜转出的数是奇数，请计算小阳获胜的概率； (2)若小阳转动转盘，小西猜数的方式有两种：①转出的数是3的倍数；②转出的数比7小．为了尽可能获胜，小西应该选择第几种猜数方式？请说明理由． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 6．（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 7．（2012·山东德州·一模）在中央电视台第2套《购物街》栏目中，有一个精彩刺激的游戏――幸运大转盘，其规则如下： ①游戏工具是一个可绕轴心自由转动的圆形转盘，转盘按圆心角均匀划分为20等分，并在其边缘标记5、10、15、…、100共20个5的整数倍数，游戏时，选手可旋转转盘，待转盘停止时，指针所指的数即为本次游戏的得分； ②每个选手在旋转一次转盘后可视得分情况选择是否再旋转转盘一次，若只旋转一次，则以该次得分为本轮游戏的得分，若旋转两次则以两次得分之和为本轮游戏的得分； ③若某选手游戏得分超过100分，则称为“爆掉”，该选手本轮游戏裁定为“输”，在得分不超过100分的情况下，分数高者裁定为“赢”； ④遇到相同得分的情况，相同得分的选手重新游戏，直到分出输赢． 现有甲、乙两位选手进行游戏，请解答以下问题： （1）甲已旋转转盘一次，得分65分，他选择再旋转一次，求他本轮游戏不被“爆掉”的概率． （2）若甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分，则乙还有可能赢吗？赢的概率是多少？ （3）若甲、乙两人交替进行游戏，现各旋转一次后甲得85分，乙得65分，你认为甲是否应选择旋转第二次？说明你的理由． 【答案】（1）；（2）乙有可能赢，P（乙赢）；（3）甲不应选择转动第二次． 【分析】本题主要考查了概率的计算，读懂题意，弄清游戏规则，计算出相应的概率是解答本题的关键． （1）由题意可知，当甲再一次旋转转盘所得数字为5、10、15、20、25、30、35时，他不会被爆掉，由此即可求出对应的概率； （2）由题意可知，当乙再旋转一次转盘，所得数字为10、15时，乙可以赢甲，由此即可求出对应的概率； （3）分“甲不选择转第二次”和“甲选择转第二次”两种情况分别计算出两人获胜的概率并进行比较，即可得出本题结论． 【详解】解：（1）由题意可知，当甲再一次旋转转盘所得数字为5、10、15、20、25、30、35这7个数字时，他不会被爆掉， ∵转动一次转盘有20个等可能结果， ∴P（甲不被爆掉）； （2）∵甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分， ∴当乙再转一次，所得数字为10或15这2个数字时，乙胜甲， ∴若乙再转一次，有可能赢，赢的概率为：P（乙赢）； （3）由题意可知存在两种可能： ①若甲不选择转第二次，乙也不选择转第二次，则甲胜， 而甲不选择转动第二次，而乙选择转动第二次时，只有当乙第二次转动所得数字为25或30或35时，乙获胜，则P（乙获胜）， ∴若甲不选择转动第二次，则乙获胜概率较小，甲获胜概率较大； ②若甲选择转第二次，则只有当甲第二次转动所得数字为5或10或15这3个数字时，甲不会被爆掉，若所得的是其余17个数字，则甲会被爆掉，即当甲选择转动第二次时，P（甲被爆掉）， 同理此时，若乙选择转动第二次，则P（乙被爆掉），若乙不选择转动第二次，则P（乙被爆掉）， ∴若甲选择转动第二次，无论乙选择还是不选择转动第二次，甲获胜的概率都小于乙； 综上所述，甲不应选择转动第二次． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成． (1)共有多少种可能密码？ (2)小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？ (3)若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 9．（20-21七年级下·贵州六盘水·期末）“一岁一端午，一年一安康．”端午节期间，某商场的打折销售活动规定：凡在本商场购物满180元，可转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘），并根据所转结果付账，转盘如图所示． (1)分别求出打七五折，打五折的概率； (2)小红和小明分别购买了价值200元的商品，活动后一共付账300元，求他俩获得优惠的所有情况． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 题型一 概率的综合运用 1．（20-21九年级·浙江·自主招生）甲乙丙丁四人互相给其他的三人之一写信，选择对象的方式是等可能的．问存在两个人收到对方的信的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分只存在两个人收到对方的信和有两组两个人收到对方的信两种情况分别计算出概率然后加起来即可． 【详解】解：分两种情况，当只存在两个人收到对方的信的情况有：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共计六种，以其中甲乙情况为例：甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，在这种情况下，又分两种情形，一种是丙写给丁的概率为，那么丁不写给丙概率为，另一种是丙不写给丁的概率为，那么甲乙的概率为，所以当只存在两个人收到对方的信的情况概率为：； 当存在两组两个人收到对方的信的情况有：甲乙和丙丁、甲丙和乙丁、甲丁和乙丙共计三种，以甲乙和丙丁情况为例，甲写给乙的概率为，乙写给甲的概率为，丙写给丁的概率为，丁写给丙的概率为，那么甲乙和丙丁的概率为，所以存在两组两个人收到对方的信的情况概率为；则存在两个人收到对方的信的概率为， 故选C． 【点睛】本题考查了概率的计算，分情况讨论计算概率是解题关键． 2．（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）现有五个乒乓球和五个盒子，它们分别标号、、、、，小明同学打算将所有的小球都放入到盒子中，但要求：（1）每个盒子只能放一个小球；（2）小球号码与盒子号码均不相同．根据上述信息，小明同学一共有______种不同的放法． 【答案】44 【分析】本题考查排列、组合的应用，考查学生分析转化问题的能力，每个小球都不放入相同号码的盒子中，对于5个元素，错位排列即可． 【详解】解：∵每个盒子只能放一个小球；小球号码与盒子号码均不相同， ∴第一个盒子放2的放法有21453；21534；23154；23451；23514；24153；24513；24531；25134；25413；25431，共11种； 第一个盒子放3的放法有31254；31452；31524；34152；34251；34512；34521；35124；35214；35421；35412，共11种； 第一个盒子放4的放法有41253；41532；41523；43152；43251；43512；43521；45123；45132；45213；45231，共11种； 第一个盒子放5的放法有51234；51423；51432；53124；53214；53412；53421；54123；54132；54213；54231，共11种； ∴一共有种 故答案为：44． 3．（21-22九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，某城市的道路都是横平竖直的，小明同学家住在A点处，学校在B点处．小明每天上学会随机选择一条最近的道路从A点步行至B点．某一天C点施工无法经过，小明同学并不知情，那么小明能够不绕路的概率是_________． 【答案】 【分析】先计算出A到B共有多少种走法，然后再计算出从A到C,再由C到B有多少种走法，然后代入概率公式计算即可得出结果. 【详解】解： 先计算出A到B共有多少种走法要向上走两个单位，分成两种情况： 当一次向上走两个单位时，即从4列中选一列，一次向上走2个单位，共有种走法， 当分两次向上走一个单位时，即从4列中选2列，共有种， 所以从从A点到B点共有4+6=10种； 再计算由A到C再到B情况 步骤一从A点到C点，共有3种； 步骤二从C点到B点，共有2种； 所以从A点经过B点再到C点一共种， 所以小明能够不绕路的概率是：. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查的是概率的计算，解决本题的关键是如何分步骤完成这项任务. 4．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）某地曾破获过一个专门欺诈中学生的赌博团伙，他们打着“真情助学”的招牌，声称自己绝对是贴了钱的．他们的规则是：每个参与者先付元钱，并摇动装有三枚骰子的器皿．然后他可以任意选一个点数（譬如），如果三枚骰子中出现一个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现两个，那么得到“奖学金”元；如果三枚骰子中出现三个，那么得到“奖学金”元．这伙人颇具“专业知识”地向人们解释：一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，所以参与者中有一半的人得到双倍的奖金，仅此一项他们就收支相抵．再有不少人得到的三倍、四倍“奖学金”都是他们的“真情付出”．这套“理论”一段时间内蒙蔽了不少中学生，在局部地区造成了很坏的影响．你能应用已有的知识，拆穿这伙骗子的谎言吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【详解】解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3等可能事件的概率 题型一 列举随机试验的所有可能结果 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】 10 1和2、1和3、1和4、1和5、2和3、2和4、2和5、3和4、3和5、4和5 4．【答案】 或 相等 5．【答案】16 6． 【答案】(1)4种 (2)3种 (3)3种 【分析】本题主要考查了通过列表来列出所有可能的结果，并根据不同的事件找到符合要求的结果的种数．在列表时注意，首行首列必须标清楚第一堆和第二堆所有的数字，再在表格中用表示出每个结果． （1）根据表中的结果判断即可； （2）根据表中的结果判断即可； （3）根据表中的结果判断即可． 【详解】（1）解：所有可能的结果列表如下：(用表示第一堆的数为x，第二堆的数为y） 1 4 6 2 5 共6种等可能性结果． 有奇数的结果共有4种，分别是、、、． （2）和是偶数的结果有3种，分别是、、． （3）数字的乘积大于10的结果有3种，分别是、、． 7． 【答案】13个 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解：①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 题型二 判断实验所得结果是否是等可能的 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】B 5． 【答案】(1)摸到号球或号球或号球或号球或号球 (2)可能性相同，它们的概率分别是 【分析】本题主要考查了列举随机实验的所有可能结果，判断实验所得结果是否是等可能的，判断事件的概率等知识点，深刻理解随机事件的概念是解题的关键． （1）列举出所有可能的结果即可； （2）判断每个结果出现的可能性是否相同，并估计它们的概率分别是多少． 【详解】（1）解：搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有种：摸到号球或号球或号球或号球或号球； 答：会出现的可能结果有：摸到号球或号球或号球或号球或号球； （2）解：∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球， ∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是， 答：每个结果出现的可能性相同，它们的概率分别是． 题型三 列举法求概率 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】/0.4 8．【答案】 题型四 根据概率公式计算概率 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】/ 5．【答案】 6． 【答案】 摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 【分析】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率，据此解题即可． 【详解】解：∵不透明的口袋中共装有(个)球，这些球除颜色外其他均相同， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为． 7． 【答案】(1) (2)新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球；获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品 【分析】本题考查概率公式： （1）共有9种等可能的结果，取出的是黄球的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）原方案“获得奖品”的概率为，“获得奖品”的概率为，结合题意设计新的摸球方案及获奖规则即可． 【详解】（1）袋中1个黄球，8个白球，从袋中随机摸取一个小球，每次摸球是等可能的， 共有9种等可能的结果，其中该班某位同学取出的是黄球的结果有1种， 即参加该游戏“获得奖品”的结果有1种， ∴该班某位同学参加该游戏概率为 故答案为：． （2）解：由（1）可知原方案“获得奖品”的概率是， “获得奖品”的概率为， 取走6个白球后，剩余3个球：1个黄球，2个白球， 新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球和2个白球中随机摸取一个小球，记录颜色后放回，再从中随机摸取一个小球． 黄球1个，共3球， 第一次摸到黄球的概率：，第二次摸到黄球的概率也是， 两次都摸到黄球的概率：， 两次不全为黄球的概率：， 获奖规则：若两次取出的都是黄球，则获得奖品，否则获得奖品． 8． 【答案】(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． 题型五 几何概率 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】A 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】2 题型一 根据概率做判断 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 4． 【答案】(1) (2) (3)区域外的小方格上，理由见解析 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【详解】（1）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （2）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （3）解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，     ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 5． 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； （2）解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 6． 【答案】(1)5 (2) (3)可以在盒子中放入6个黑球 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析得出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键． 【详解】（1）由题意，得球的总个数为． 故盒子中黑球的个数为； （2）P（任意摸出1个球是白球）； （3）能． 因为任意摸出1个球是白球的概率是， 所以， 所以可以在盒子中放入6个黑球． 题型二 已知概率求数量 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】 4． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 5． 【答案】(1)5 (2)黑球7个，白球2个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，根据表格中的数据可估计摸出黑球的概率为0.33，再由概率公式求解即可； （2）设放进去黑球x个，根据题意可知摸出黑球的概率为二分之一，据此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，随着试验次数的增加，摸出黑球的频率稳定在0.33附近，故估计摸出黑球的概率为0.33， ∴黑色球的个数可能是个； （2）解：设放进去黑球x个， 由题意得，， 解得， 则， 答：放进去黑球7个，白球2个． 6． 【答案】(1)不可能 (2) (3)4 【分析】本题考查事件的分类，根据概率公式求概率，掌握相关知识是解题的关键． （1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）根据概率公式构造方程求解即可． 【详解】（1）解：事件“随机抽取3张，全是写有‘兴’字的卡片”为不可能事件． （2）解：由题意可知，写有“美”字的卡片有（张）， 所以随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为． （3）解：由题意可知：， 解得：， 答：m的值为4． 7． 【答案】6个 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解题意是解题的关键． 根据题意可知摸到黑色墨囊的概率是0.8，再利用概率公式即可求解． 【详解】解：∵通过大量试验后他发现摸到黑色墨囊的频率为， ∴摸到黑色墨囊的概率是0.8， （个）， 答：估计盒中红色墨囊的个数是6个． 8． 【答案】红桃约为6张，黑桃约为10张，梅花约为13张，方块约为1张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，那么可得抽到红桃、黑桃、梅花、方块的概率依次为，再根据概率公式求解数量即可． 【详解】解：∵抽到红桃、黑桃、梅花、方块的频率依次为， ∴抽到红桃、黑桃、梅花、方块的概率依次为， 张，张， 张，张， 答：红桃约为6张，黑桃约为10张，梅花约为13张，方块约为1张． 题型三 游戏的公平性 1． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 2． 【答案】(1)； (2)游戏公平．理由见解析． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）分别计算出小明、小华获胜的概率，判断大小关系即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘，指针指向汉字的笔画数是偶数的概率是 ， 故答案为：； （2）解：游戏公平．理由如下： 因为笔画数不小于8的汉字有“骄”“傲”“是”“国”，笔画数小于8的汉字有“我”“中”“人”， 所以小明获胜的概率为，小华获胜的概率为． 因为，所以游戏公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．实际考查概率的计算与游戏公平性的理解，解决本题的关键是概率的计算公式与游戏公平性的理解. 3． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 4． 【答案】(1)不公平．因为小花获胜的概率为，小佳获胜的概率为，所以这个游戏对双方不公平． (2)①③公平，②④不公平 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）（2）通过计算小佳获胜的概率和小花获胜的概率，从而可判断游戏规则是否公平． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： ∵小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∴这个游戏对双方不公平． （2）解：①因为个数中奇数和偶数各个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则①公平； ②因为个数中为的倍数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则②不公平； ③因为个数中大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则③公平； ④因为个数中不大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则④不公平； 故①③公平，②④不公平． 5． 【答案】(1)； (2)这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性， （1）根据概率公式计算即可； （2）比较（1）中求出的概率求解即可． 【详解】（1）∵共有1，2，3，4，5五个数字，其中2个偶数，3个奇数， ∴转出偶数的概率是；转出奇数的概率是； （2）这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵， ∴乙获胜的概率大． 6． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．解决本题的关键是利用列表法分别求出甲、乙获胜的概率，根据概率判断游戏是否公平即可 ． 【详解】（1）解：，，，四张卡片中，有，两个奇数，则甲抽到卡片上的数字是奇数的概率为； （2）不公平 理由： 列表如下： 1 2 3 4 1 3 4 5 2 3 5 6 3 4 5 7 4 5 6 7 ∴共有12种可能结果，其中和为奇数的有8种，和为偶数的有种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为； ∵， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 7． 【答案】不公平，见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平．要想让这个游戏公平：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 【详解】解：这个游戏不公平，因为当小光掷到1时，小明掷到哪个面都比他大，有三种可能，当小光掷到6时，小明掷到7时比他大，也就是小明掷的点数比小光大的有四种可能；当小明掷到3时，小光掷到6和8时比他大，掷到5时，小光掷到6和8时比他大，掷到7时，小光掷到8时比他大．也就是小光掷的点数比小明大的有5种可能；所以不公平． 可以这样修改：如果小光用1、6、8的骰子，小明用3、6、7的骰子，那么游戏就公平了．其中有一个面数字相同． 8． 【答案】(1)，； (2)不公平； (3)准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了概率的计算与应用，熟练掌握概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）是解题的关键． （1）通过列举所有可能的抽取结果，确定小明和小颖获胜的情况数，再根据概率公式计算概率． （2）比较两人获胜的概率，判断是否公平． （3）设计一个两人获胜概率相等的方案． 【详解】（1）解：从三张卡片“阿、福、仙”中随机抽取两张，所有可能的结果有：（阿，福）、（阿，仙）、（福，仙），共种． 能拼成“阿福”或“阿仙”的结果有种，即（阿，福）、（阿，仙）． 所以（小明获胜），（小颖获胜） 故答案为：，； （2）解：因为， 所以小明的提议对小颖不公平． （3）解：示例：准备四张卡片，分别写“阿、阿、福、仙”，将它们正面朝下放在一起，从中随机抽取一张，抽到“阿”小明获胜，抽到“福”或“仙”小颖获胜．（答案不唯一） 9． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 题型四 概率的实际应用 1． 【答案】(1)1 (2)， (3)使转盘上共有6份为红色区域即可，见解析． 【分析】本题考查概率的求法与运用，概率公式，掌握如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题的关键． （1）由中奖率，可得获得购物券的概率是； （2）由转盘共分为等份，获得元的购物券的只有种情况，获得元的购物券的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （3）由指针落在红色区域的概率为，可得红色区域为块，继而求得答案． 【详解】（1）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会，所以她获得购物券的概率是． （2）解：若小亮的妈妈购物满元，则有次转动转盘的机会． ∵转盘被等分成份，黄色区域占份，白色区域占份， ∴她获得元、元购物券的概率分别是，． （3）（份），要使指针对准红色区域的概率是，只要使转盘上共有份为红色区域即可． 如图所示： 2． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 3． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 4． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是掌握概率的求法． （1）用“中奖”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （2）用“元红包”的圆心角的度数除以周角的度数即可求得答案； （3）用“八折优惠”的圆心角除以周角的度数即可求得答案． 【详解】（1）解：； （2）小华获得元红包的概率为； （3）小华享受八折优惠的概率为． 5． 【答案】(1) (2)为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式，见解析 【分析】本题考查概率的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）求出2种猜数方式获胜的概率，比较后即可得出结果． 【详解】（1）解：因为10个数中有5个奇数， 所以（小阳获胜）． （2）10个数中有3个数为3的倍数，比7小的数有6个， 所以（转出的数是3的倍数）， （转出的数比7小）． 因为， 所以为了尽可能获胜，小西应该选择第②种猜数方式． 6． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 7． 【答案】（1）；（2）乙有可能赢，P（乙赢）；（3）甲不应选择转动第二次． 【分析】本题主要考查了概率的计算，读懂题意，弄清游戏规则，计算出相应的概率是解答本题的关键． （1）由题意可知，当甲再一次旋转转盘所得数字为5、10、15、20、25、30、35时，他不会被爆掉，由此即可求出对应的概率； （2）由题意可知，当乙再旋转一次转盘，所得数字为10、15时，乙可以赢甲，由此即可求出对应的概率； （3）分“甲不选择转第二次”和“甲选择转第二次”两种情况分别计算出两人获胜的概率并进行比较，即可得出本题结论． 【详解】解：（1）由题意可知，当甲再一次旋转转盘所得数字为5、10、15、20、25、30、35这7个数字时，他不会被爆掉， ∵转动一次转盘有20个等可能结果， ∴P（甲不被爆掉）； （2）∵甲一轮游戏最终得分为90分，乙第一次旋转转盘得分为85分， ∴当乙再转一次，所得数字为10或15这2个数字时，乙胜甲， ∴若乙再转一次，有可能赢，赢的概率为：P（乙赢）； （3）由题意可知存在两种可能： ①若甲不选择转第二次，乙也不选择转第二次，则甲胜， 而甲不选择转动第二次，而乙选择转动第二次时，只有当乙第二次转动所得数字为25或30或35时，乙获胜，则P（乙获胜）， ∴若甲不选择转动第二次，则乙获胜概率较小，甲获胜概率较大； ②若甲选择转第二次，则只有当甲第二次转动所得数字为5或10或15这3个数字时，甲不会被爆掉，若所得的是其余17个数字，则甲会被爆掉，即当甲选择转动第二次时，P（甲被爆掉）， 同理此时，若乙选择转动第二次，则P（乙被爆掉），若乙不选择转动第二次，则P（乙被爆掉）， ∴若甲选择转动第二次，无论乙选择还是不选择转动第二次，甲获胜的概率都小于乙； 综上所述，甲不应选择转动第二次． 8． 【答案】(1) (2) (3)不是．理由见解析 【分析】本题主要考查了概率的计算，正确理解题意求出概率是解题的关键． (1) 根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果； (2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可； (3)用概率解释． 【详解】（1）解：这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种， 密码的可能性有：（种）； （2）； （3）不是． 理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有，随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码． 9． 【答案】(1)打七五折的概率为，打五折的概率为 (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率的计算方法，可得答案； （2）根据已知条件他俩获得优惠的情况分为两种情况，于是得到结论． 【详解】（1）解：打七五折的概率为，打五折的概率为； （2）解：第一种情况：小红和小明都按七五折付账：（元）． 第二种情况：小红按五折付账，小明按不打折付账：（元） （或小红按不打折付账，小明按打五折付账） 10． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 题型一 概率的综合运用 1．【答案】C 2．【答案】44 3．【答案】 4． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了概率的应用，正确确定所需结果的结果数是解题的关键． 一枚骰子出现的机会是，那么三枚骰子中有一枚出现的机会就是，这个结论是错误的．结果出现个的情况也包括了出现两个，进而包括了个的情况，但奖金不是重复计算；算出投掷次需付出的及得到的资金，比较即可． 【详解】解：三枚骰子出现的不同点数情况有种，所以假设在次赌博中，各种情况的机会如下： （1）只有枚出现，其他两枚出现另个数字中的任意一个，共有次， 两枚出现，一枚出现另个数字中的任意一个，共有次； 三枚都出现显然只有次．这样参赌者付出的是元，可期望得到“奖金”元． ∴ 他们的说法是错误的． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $