第14讲 概率初步（5知识点+12大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第14讲 概率初步 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 知识点2：初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 知识点3：用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 知识点4：等可能事件的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 知识点5：等可能性概率的计算方法 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【题型1 必然事件】 例1．下列描述的事件为必然事件的是（   ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上 C．如果，都是实数，那么 D．从标号分别为，，，的张卡片中，随机抽出张卡片标号为 例2．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．经过长期努力学习，你会成为科学家 B．从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 C．打开电视机，正在直播 D．在地球上抛出的篮球会下落 变式1．下列事件是必然事件的是（   ） A．任意五边形的外角和为 B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C．367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 D．一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中” 变式2．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 【题型2 不可能事件】 例3．掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是不可能事件的是（   ） A．朝上的点数为6 B．朝上的点数大于0 C．朝上的点数大于7 D．朝上的点数为2 例4．下列事件是不可能事件的是（   ） A．明天早上会下雨 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意一个三角形的内角和等于 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 变式1．下列事件属于不可能事件的是（   ） A．明天买彩票中奖 B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下 变式2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．打开电视机，正在播放《新闻联播》 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．买一张电影票，座位号是偶数 D．水往高处流 【题型3 随机事件】 例5．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．个人中至少有2个人的生肖相同 B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球 例6．下列事件属于随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球 变式1．下列事件中，是不确定事件的是（  ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目 C．同位角相等，两条直线平行 D．对顶角相等 变式2．下列事件中，随机事件是（   ） A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 【题型4 概率的意义理解】 例7．以下说法合理的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 例8．“从江县明天降水概率是”，对此消息下列说法中正确的是（　　） A．从江县明天将有的地区降水 B．从江县明天将有的时间降水 C．从江县明天降水的可能性较小 D．从江县明天肯定不降水 变式1．下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，一定有5次出现正面． B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，意思是取出1个黑球的可能性很小． C．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近． D．“明天降雨的概率为”意思是明天有70%的时间在降雨． 【题型5 关于频率与概率关系说法正误】 例9．下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 例10．下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 变式1．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【题型6 由频率估计概率】 例11．某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“洗衣液”区域的次数 60 122 240 295 472 604 落在“洗衣液”区域的频率 请估计当很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到） 例12．某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留2位小数）． 变式1．一只不透明的袋子中装有若干个黑球和红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验： 将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表： 摸球次数m 200 300 400 1000 1500 2000 摸到红球的频数n 115 184 236 595 902 1202 摸到红球的频率（结果保留三位小数） 0.575 0.613 0.590 0.595 0.601 0.601 根据以上数据，当摸球次数很大时，估计摸到红球的概率为 （精确到0.01）． 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 例13．对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 例14．某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 变式1．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【题型8 根据列举法求概率】 例15．如图，这是某小区地下车库示意图．，为人口，，，为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从出口驶出的概率为（   ）    A． B． C． D． 例16．不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ． 变式1．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为 ． 变式2．某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ． 【题型9 几何概率——面积法】 例17．如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ． 例18．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 变式1．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．    变式2．如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为 ．    【题型10 几何概率——圆心角法】 例19．在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）． 已知甲顾客购物150元． (1)他得到50元的购物券的概率是多少？ (2)他获得购物券的概率是多少？ (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得顾客获得购物券的概率是 并简要说明游戏规则． 例20．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费300元（含300元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． (1)某顾客正好消费280元，他可以转动转盘吗？ (2)某顾客正好消费450元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ (3)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 变式1．材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？ _________填，或 材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________． 材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．    【题型11 根据概率求数量】 例21．一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 例22．一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 变式1．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【题型12 根据概率判断游戏是否公平】 例23．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 例24．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3．4，5，6，自由转动转 盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字小于7是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选 一个填入），P （转出的数字大于5）= (2)现有两张分别写有数字3和5的卡片，自由转动转盘，当转盘停止时，转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．则P （三条线段能构成 三 角 形 ） (3)小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的 数字是3的倍数，小亮获胜，这个游戏对双方公平吗?说明理由． 变式1．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．    (1)转出的数字为3的概率是 ． (2)转出的数字不大于3 的概率是 ． (3)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．“明天会天晴”是随机事件 B．射击运动员射击一次，命中八环是必然事件 C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D．“太阳从西方升起”是必然事件 2．现有分别写有1，2，3，4，x的五张卡片，它们除数字外其余完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（） A．0 B．2 C．4 D．5 3．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 4．嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，二人在距棋盘3米外随机投掷，若棋子落在已有棋子的方格中、压格线或掷到棋盘外则需重掷，掷到空格中则占据该空格，当三颗相同棋子连成一条线时获胜．某局比赛棋盘棋子如图所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷本次棋子嘉嘉获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 二、填空题 6．一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 7．从，0，，1，，中随机选择一个数，则选到非负数的概率为 ． 8．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同；②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为；③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 ． 9．如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、蓝、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右侧的扇形）．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向蓝色扇形的概率为 ． 10．某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮，黄灯亮，红灯亮循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是 ． 三、解答题 11．指出下列哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是随机事件? (1)一次数学测试中，女生成绩好于男生成绩； (2)一个有理数的绝对值是3； (3)两个全等三角形的对应角相等； (4)明天一定是晴天； (5)三角形的内角和为； (6)经过一个路口，正好遇到绿灯； (7)标准大气压下，将水加热到时，水会沸腾； (8)等腰三角形的一个角为，则另两个角都为． 12．已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 13．一个布袋中有8个红球和个白球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答） 14．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，黑球4个，它们除了颜色外其他都相同．    (1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性最大． (2)“摸到黑球”是____事件，“摸到黄球”是_____事件．（填“不可能”“必然”或“随机”） (3)求摸出的小球不是白球的概率． 15．如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 16．某批乒乓球的质量检验结果如下表： 抽取的乒 乓球数 优等品的 个数 优等品的 频率 (1)填写表中的空格； (2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位） 17．如图①，转盘的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4.如图②，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在边界上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 阅读以上游戏规则，回答下列问题： (1)若嘉嘉从圈A起跳，则他落回到圈A的概率________； (2)若淇淇从圈B起跳，则他与（1）中嘉嘉落回到圈A的概率一样大吗？通过计算说明理由． 18．“五一”期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满200元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照表格获得奖券（指针指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 区域颜色 奖券金额 黄 20元 蓝 50元 红 80元 空白 0元 (1)甲顾客购物100元，他获得奖券的概率是______； (2)乙顾客购物300元并参与该活动，求他获得20元和80元奖券的概率； (3)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，50元和80元奖券获奖概率不变，通过计算求出需要将多少个空白区域改为黄色？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 概率初步 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 知识点2：初步认识概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0＜P(A) ＜1，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 知识点3：用频率估计概率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 知识点4：等可能事件的概率 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、 当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0. 知识点5：等可能性概率的计算方法 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 【题型1 必然事件】 例1．下列描述的事件为必然事件的是（   ） A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 B．小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上 C．如果，都是实数，那么 D．从标号分别为，，，的张卡片中，随机抽出张卡片标号为 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，此选项不符合题意； 、小明一次掷出颗质地均匀的骰子，颗全是点朝上，是随机事件，此选项不符合题意； 、如果，都是实数，那么，是必然事件，此选项符合题意； 、从标号分别为，，，的张卡片中，随机抽出张卡片标号为，是不可能事件，此选项不符合题意； 故选：． 例2．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．经过长期努力学习，你会成为科学家 B．从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光 C．打开电视机，正在直播 D．在地球上抛出的篮球会下落 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. 经过长期努力学习，你会成为科学家，是随机事件； B. 从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光，是随机事件； C. 打开电视机，正在直播，是随机事件； D. 在地球上抛出的篮球会下落，是必然事件； 故选：D． 变式1．下列事件是必然事件的是（   ） A．任意五边形的外角和为 B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C．367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 D．一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中” 【答案】C 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小，判断相应事件的类型即可． 【详解】A. ∵任意多边形的外角和为，∴任意五边形的外角和为是不可能事件； B. 抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件； C. 367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件； D. 一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”， 是随机事件． 故选：C． 变式2．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．13个人中至少有两个人出生月份相同 B．掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．2025年有366天 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件． 【详解】解：A、13个人中至少有两个人出生月份相同是必然事件，因为一年有12个月，13个人即使平均分配12个月，还会多一个人，故是必然事件，符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数一定大于3是随机事件，故该选项不符合题意；； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该选项不符合题意； D、2025年有365天，故为不可能事件，不符合题意， 故选：A． 【题型2 不可能事件】 例3．掷一枚质地均匀的立方体骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），下列事件是不可能事件的是（   ） A．朝上的点数为6 B．朝上的点数大于0 C．朝上的点数大于7 D．朝上的点数为2 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小可知： 选项、、的事件都有可能发生，选项的事件不可能发生， 选项的事件是不可能事件， 故选：． 例4．下列事件是不可能事件的是（   ） A．明天早上会下雨 B．掷一枚硬币，正面朝上 C．任意一个三角形的内角和等于 D．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 利用不可能事件的定义分析得出答案． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，故此选项不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是不可能事件，故此选项符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，是必然事件，故此选项不符合题意； 故选：C． 变式1．下列事件属于不可能事件的是（   ） A．明天买彩票中奖 B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题主要考查了必然事件，不可能事件和随机事件的定义．在数学中，我们把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件，由此逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A．明天买彩票中奖，是随机事件，故A不符合题意； B．从只有红球和白球的袋子中摸球，摸出黑球，是不可能事件，故B符合题意； C．射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故C不符合题意； D．在地面上向空中抛掷一枚硬币，硬币终将落下，是必然事件，故D不符合题意． 故选：B． 变式2．下列事件中，属于不可能事件的是（　　） A．打开电视机，正在播放《新闻联播》 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．买一张电影票，座位号是偶数 D．水往高处流 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查事件的分类．解题的关键是掌握必然事件是一定条件下，一定会发生的事件，不可能事件是一定条件下，一定不会发生的事件，随机事件是一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是不可能事件，符合题意； 故选D． 【题型3 随机事件】 例5．下列事件中，是随机事件的是（   ） A．个人中至少有2个人的生肖相同 B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，掌握以上知识是解题的关键． 本题根据随机事件的定义，逐一核对4个选项，即可求解； 【详解】解：对于选项A，个人中至少有2个人的生肖相同，是必然事件，不符合题意； 对于选项B，随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7，是必然事件，不符合题意； 对于选项C，经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，符合题意； 对于选项D，从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球，是不可能事件，不符合题意． 故选：C； 例6．下列事件属于随机事件的是（   ） A．通常加热到时，水沸腾 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握必然事件，随机事件的概念及判定是解题的关键． 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件叫必然发生的事件，简称必然事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件，并且在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；由此判定即可． 【详解】解：A、通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； D、从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球是必然事件，不符合题意； 故选：B ． 变式1．下列事件中，是不确定事件的是（  ） A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目 C．同位角相等，两条直线平行 D．对顶角相等 【答案】B 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，正确理解随机事件（不确定事件）、必然事件、不可能事件的概念是解题的关键：随机事件（不确定事件），是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件（不确定事件）、必然事件、不可能事件的定义解答即可． 【详解】解：A、平行于同一条直线的两条直线平行，是必然事件，故选项A不符合题意； B、打开电视正在播放重庆卫视电视台的节目，是随机事件（不确定事件），故选项B符合题意； C、同位角相等，两条直线平行，是必然事件，故选项C不符合题意； D、对顶角相等，是必然事件，故选项D不符合题意； 故选：B． 变式2．下列事件中，随机事件是（   ） A．一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6 B．任意画一个三角形，其内角和为 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾 【答案】C 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6是不可能事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； D、在标准大气压下，将水加热到并持续加热，则水会沸腾是必然事件，不符合题意； 故选：C． 【题型4 概率的意义理解】 例7．以下说法合理的是（    ） A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖 C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．根据概率表示可能性大小，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，实验次数过少，不能得到钉尖朝上的概率是，不合理； B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票不一定有5张中奖，不合理； C、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，合理； D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是，中靶与不中靶不是等可能事件，不合理； 故选C． 例8．“从江县明天降水概率是”，对此消息下列说法中正确的是（　　） A．从江县明天将有的地区降水 B．从江县明天将有的时间降水 C．从江县明天降水的可能性较小 D．从江县明天肯定不降水 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．解题关键是理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 【详解】解：“从江县明天降水概率是”， 正确的意思是：从江县明天降水的机会是，明天降水的可能性较小． 故选：C． 变式1．下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，一定有5次出现正面． B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，意思是取出1个黑球的可能性很小． C．抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近． D．“明天降雨的概率为”意思是明天有70%的时间在降雨． 【答案】C 【分析】本题考查概率，根据概率的意义进行判断即可． 【详解】解：A．虽然抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5，但是抛掷2次也不一定有1次正面朝上，因此选项A不符合题意； B．“从布袋中取出1个黑球的概率是0”，说明布袋中没有黑球，因此选项B不符合题意； C．由于是大量反复抛掷，抛掷一枚质地均匀的硬币，抛掷次数很多时，出现正面的频率会稳定在0.5附近．说法正确，此选项符合题意 D．明天的降雨概率是，说明下雨的可能性是，不代表的时间会下雨，原说法不正确，不符合题意； 故选：C． 【题型5 关于频率与概率关系说法正误】 例9．下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 例10．下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了事件的分类，概率的意义，频率，解答此题要明确事件类型和概率的关系． 变式1．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 【题型6 由频率估计概率】 例11．某商场“元旦”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘.商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 200 400 500 800 1000 落在“洗衣液”区域的次数 60 122 240 295 472 604 落在“洗衣液”区域的频率 请估计当很大时，获得“洗衣液”的概率是 ．（精确到） 【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定得到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计事件发生的概率．由统计数据，可知落在“洗衣液”区域的频率逐渐稳定在，故获得“洗衣液”的概率为． 故答案为：． 例12．某企业技术革新后，其产品的合格率提升明显，随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，依此我们可以估计该产品合格的概率为 ．（结果要求保留2位小数）． 【答案】0.99 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到，所以估计合格件数的概率为，问题得解． 【详解】解：∵随机抽检这一产品2000件，发现该产品合格的频率已达到， ∴依此我们可以估计该产品合格的概率为（结果保留2位小数）， 故答案为：． 变式1．一只不透明的袋子中装有若干个黑球和红球，这些球除颜色外都相同．某课外学习小组做摸球试验： 将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下表： 摸球次数m 200 300 400 1000 1500 2000 摸到红球的频数n 115 184 236 595 902 1202 摸到红球的频率（结果保留三位小数） 0.575 0.613 0.590 0.595 0.601 0.601 根据以上数据，当摸球次数很大时，估计摸到红球的概率为 （精确到0.01）． 【答案】0.60 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，摸到红球的频率在0.600左右摆动， 所以根据以上数据估计，摸到红球的概率约为0.60． 故答案为：0.60． 【题型7 用频率估计概率的综合应用】 例13．对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 【答案】(1)， ； (2)； (3)分． 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是． 根据表中的数据分别求出投篮次、次相应的命中率即可； 用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是； 由可知这个运动员分球投篮命中的概率大约是，估计投篮次命中次，共得分． 【详解】（1）解：投篮次的命中率为， 投篮次的命中率为； 故答案为：，； （2）解：这个运动员投篮命中的概率约是， 故答案为：； （3）解：估计这个运动员分球投篮次能得：分， 答：估计这个运动员分球投篮次能得分． 例14．某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 变式1．【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【题型8 根据列举法求概率】 例15．如图，这是某小区地下车库示意图．，为人口，，，为出口，李师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则李师傅恰好从出口驶出的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，直接利用概率公式即可得答案，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：∵，，为出口， ∴李师傅恰好从出口驶出的概率为， 故选：． 例16．不透明的袋子中装有8个小球，其中有6个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个小球，则它是红球的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．根据从袋子中随机取出1个小球共有8种等可能的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：从袋子中随机取出1个小球共有8种等可能的结果， 则从袋子中随机取出1个小球是红球的概率为， 故答案为：． 变式1．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射，为了弘扬航天精神，某校组织了“航天梦报国情”演讲比赛，设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名，则选手周颖获得奖励的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．让获得奖励的人数除以参赛选手的人数即为周颖获得奖励的概率． 【详解】解：设立一等奖5名，二等奖20名，三等奖50名，参赛选手共500名， 所以选手周颖获得奖励的概率为． 故答案为：． 变式2．某超市举办迎新春抽奖活动：不透明箱子中放有8张红卡、6张黄卡、4张绿卡，每张卡片除颜色外其余均相同．抽到红卡得一副春联，抽到黄卡得一对福字，抽到绿卡得一个灯笼，第一位购物者抽得春联的可能性大小是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查的是概率公式，正确理解题意是解题的关键． 直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，第一位购物者抽得春联的可能性大小是， 故答案为：． 【题型9 几何概率——面积法】 例17．如图，在边长为3的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单概率计算，熟练掌握简单概率计算公式是解题关键．分别求得边长为3的正方形的面积以及阴影部分的面积，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意，边长为3的正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴这只青蛙跳入阴影部分的概率是． 故答案为：． 例18．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，现随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．设小正方形的边长为，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】图，设小正方形的边长为， 根据等腰三角形和正方形的性质可求得， ∴ 则空白的面积为：； 大正方形的面积是：， 阴影区域的面积为：， 所以针尖落在阴影区域上的概率是：． 故答案为：． 变式1．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方模板”它山五块等腰直角三角形、一块正方形、一块平行四边形组成．如图，某同学利用七巧板拼成的正方形玩“滚小球游戏”，小球可以在该正方形上自山滚动，并随机地停留在某块板上，则小球停留在阴影部分的概率是 ．    【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、用七巧板拼图形 【分析】设大正方形的边长为，先求出阴影部分的面积，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为， ， 大正方形的面积， 小球停留在阴影部分的概率． 故答案为：． 变式2．如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为 ．    【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、几何概率 【分析】用阴影部分的小三角形的个数除以正方形的小三角形的个数即可得． 【详解】∵正方形中所有的小三角形都全等， ∴阴影部分的小三角形的个数为12个，正方形的小三角形的个数为32个， ∴它停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 【题型10 几何概率——圆心角法】 例19．在五一期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图1），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券（转盘被等分成20个扇形）． 已知甲顾客购物150元． (1)他得到50元的购物券的概率是多少？ (2)他获得购物券的概率是多少？ (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得顾客获得购物券的概率是 并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率的计算，解题的关键是熟练掌握概率公式． （1）消费150元，获得一次转动转盘的机会，根据概率公式计算获得购物券的概率即可； （2）根据概率公式计算获得购物券的概率即可； （3）将转盘等分成16个扇形，其中红色区域有1个，黄色区域有2个，绿色区域有3个，进而求解即可． 【详解】（1）∵顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，甲顾客购物150元 ∴甲顾客获得一次转动转盘的机会 ∵转盘被等分成20个扇形，其中黄色区域有2个 ∴他得到50元的购物券的概率是； （2）∵转盘被等分成20个扇形，其中红色区域有1个，黄色区域有2个，绿色区域有4个 ∴他获得购物券的概率是； （3）如图所示， 游戏规则：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元，50元，20元的购物券（转盘被等分成16个扇形）． ∵转盘被等分成16个扇形，其中红色区域有1个，黄色区域有2个，绿色区域有3个 ∴他获得购物券的概率是． 例20．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费300元（含300元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘． (1)某顾客正好消费280元，他可以转动转盘吗？ (2)某顾客正好消费450元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？ (3)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费252元，请问他消费所购物品的原价应为多少元． 【答案】(1)不可以 (2)获得九折的概率为；获得八折的概率为；获得七折的概率为 (3)他消费所购物品的原价应为315元或360元 【知识点】根据概率公式计算概率、有理数大小比较、有理数除法的应用 【分析】（1）根据消费额直接判断即可； （2）根据转盘上的角度计算概率即可； （3）分三种情况分别计算原价即可． 【详解】（1）解：因为消费280元低于300元， 所以他不可以转动转盘． （2）解：根据题意得：获得九折的概率为， 获得八折的概率为， ∴获得七折的概率为； （3）解：若是获得九折优惠，则原价应为 252÷0.9=280元＜300元， 所以不成立； 若是获得八折优惠，则原价应为 252÷0.8=315元＞300元， 若是获得七折优惠，则原价应为 252÷0.7=360元＞300元； 综上，他消费所购物品的原价应为315元或360元． 变式1．材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？ _________填，或 材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是_________． 材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是_________．    【答案】材料一：；材料二：；材料三： 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性、几何概率 【分析】材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个，分别求得摸到的倍数与摸到的倍数的概率；即可得答案； 材料二：根据转盘被等分成份，转盘停止后，指针对准每分的可能性相同，可得顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是， 材料三：用扇形区域的圆心角除以即可得到答案． 【详解】解：材料一：在，，，，，，，中，的倍数有个，的倍数有个， 摸出每张纸牌的可能性相同， 摸到的倍数，摸到的倍数； 出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜， ， 故答案为：； 材料二：转盘被等分成份， 转盘停止后，指针对准每分的可能性相同， 转盘停止后，指针对准绿色区域，顾客就可以获得元的购物券， 顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是； 故答案为：． 材料三：由图形可知，扇形区域的圆心角为， 转盘停止后指针落在区域的概率是 故答案为：． 【题型11 根据概率求数量】 例21．一个不透明的袋中装有若干个红球和白球，它们除颜色外其他均相同．已知袋中共有30个球，将袋中的球摇匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是． (1)求袋中共有多少个白球； (2)从袋中取走10个球（其中没有白球），并将袋中球摇匀后，求从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率． 【答案】(1)12个 (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且． （1）根据概率公式列方程求出球的总个数即可； （2）先求出剩余球的总数量，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：设袋中共有x个红球， 因为袋中共有30个球，从中任意摸出一个球是红球的概率是， 所以解得． 因为（个）， 所以袋中共有12个白球． （2）从袋中取走10个球（其中没有白球），袋中还剩个球，袋中共有12个白球． 则从剩余的球中任意摸出一个球是白球的概率为． 例22．一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)红球有20个，绿球有8个 (2) (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、根据概率公式计算概率、已知概率求数量 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据红、黄、绿三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可求得红球的个数，设绿球有x个，则黄球有个，根据球的总个数列出方程求出x的值即可得； （2）用绿球的个数除以总的球数即可； （3）先求出从袋中拿出12个黄球还剩的球数，再根据黄球的个数，除以还剩的球数即可． 【详解】（1）解：红球个数：（个）， 设绿球有x个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， ∴红球有20个，绿球有8个． （2）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， ∴从袋中随机摸出一球是绿球的概率为； （3）解：拿出12个黄球以后，从袋中随机摸出一球，共有种等可能的结果，其中摸出黄球的结果有（种）， ∴从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 变式1．在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求盒子中黑球的个数； (2)从中任意摸出一个球，摸出 球的概率最小； (3)能否通过只改变盒子中黑球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，请写出如何调整黑球数量． 【答案】(1)12个 (2)红 (3)能，将盒子中的黑球拿出5个 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断、已知概率求数量 【分析】本题主要考查了概率公式，正确掌握概率的求法是解题的关键． （1）根据概率公式即可计算出黑球的个数； （2）直接利用概率公式的意义分析出答案； （3）利用概率公式计算得出符合题意的方法． 【详解】（1）解：红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ， 故盒子中黑球的个数为：； （2）解：因为红球的数量最少，任意摸出一个球是红球的概率最小； 故答案为：红； （3）解：任意摸出一个球是红球的概率为， 可以将盒子中的黑球拿出5个，则任意摸出一个球是红球的概率为． 【题型12 根据概率判断游戏是否公平】 例23．2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回． (1)计算摸到小球数字为2的概率； (2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性 【分析】本题考查求简单事件的概率、判断游戏的公平性，理解题意，正确求得概率是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先分别求得小红参加活动和小星参加活动的概率，若概率相等，该抽签方式公平，若概率不相等，该抽签方式不公平． 【详解】（1）解：所有等可能的结果有4种，其中摸到2的结果有1种， ∴P（摸到小球数字为2）； （2）解：公平； 理由如下：所有等可能的结果有4种，其中摸到的球号码大于2的结果有2种，不大于2的结果有2种 ∴P（小红参加活动），P（小星参加活动）， ， ∴这个抽签方式公平． 例24．如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有数字1，2，3．4，5，6，自由转动转 盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)转出的数字小于7是 （从“不确定事件”“必然事件”“不可能事件”中选 一个填入），P （转出的数字大于5）= (2)现有两张分别写有数字3和5的卡片，自由转动转盘，当转盘停止时，转出的数字与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．则P （三条线段能构成 三 角 形 ） (3)小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的 数字是3的倍数，小亮获胜，这个游戏对双方公平吗?说明理由． 【答案】(1)必然事件， (2) (3)这个游戏对双方不公平，理由见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】（1）根据判断事件发生的可能性大小进行判断即可； （2）设这三条线段能构成三角形的边长为x，根据三角形的三边关系可得，从而可得x可以取值为3、4、5、6，再利用概率公式求解即可； （3）分别计算出小明和小亮的获胜概率，即可判断， 本题考查了，判断事件发生的可能性的大小，概率公式，三角形三边关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识． 【详解】（1）解：转到数字小于7是必然事件， 等可能结果为6种，其中大于5的结果有1种，， 故答案为：必然事件； （2）解：设这三条线段能构成三角形的边长为x， 则， ∵x为转盘中的数字， ∴x可以取值为3、4、5、6， ∴这三条线段能构成三角形的概率是； （3）解：2的倍数为：2、4、6，转出的数字是2的倍数的概率为：， 3的倍数为：3、6，转出的数字是3的倍数的概率为：， 小明获胜的概率高，这个游戏对双方不公平． 变式1．如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成5等份，分别标上1，2，3，4，5五个数字，甲、乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后指针指向某个数字所在的区域，如果该区域所标的数字是偶数，则甲胜；如果该区域所标的数字是奇数，则乙胜．    (1)转出的数字为3的概率是 ． (2)转出的数字不大于3 的概率是 ． (3)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算： （1）根据概率公式计算即可； （2）用不大于3的数字个数除以数字总数即可得到答案； （3）分别求出甲、乙获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有5个数字，每个数字被转出的概率相同， ∴转出的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）解：∵一共有5个数字，数字不大于3 的有3个，， ∴转出的数字不大于3 的概率是， 故答案为：； （3）解：这样的游戏规则对甲、乙两人不公平，理由如下： ∵一共有5个数字，其中奇数有3个，偶数有2个，且每个数字被转出的概率相同， ∴任意转动转盘一次，转出奇数的概率为，转出偶数的概率为， ∴， ∴乙获胜的概率大， ∴这样的游戏规则对甲、乙两人不公平． 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．“明天会天晴”是随机事件 B．射击运动员射击一次，命中八环是必然事件 C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D．“太阳从西方升起”是必然事件 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“明天会天晴”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“太阳从西方升起”是不可能事件，故选项错误，不符合要求； 故选：A． 2．现有分别写有1，2，3，4，x的五张卡片，它们除数字外其余完全相同，若把五张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，上面的数字是奇数的概率为，则x可以是（） A．0 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵任意抽取一张共有5种等可能的情况，其中抽取的奇数的概率为， ∴奇数的卡片有（张）， ∴x是奇数， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是（   ） A．号 B．号 C．号 D．号 【答案】C 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题主要考查可能性的大小．比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角为， ∴数字3对应扇形圆心角度数最大， ∴指针落在数字，，，所示区域内可能性最大的是3号， 故选：C． 4．嘉嘉和淇淇玩三子棋游戏，嘉嘉执“○”棋子，淇淇执“×”棋子，二人在距棋盘3米外随机投掷，若棋子落在已有棋子的方格中、压格线或掷到棋盘外则需重掷，掷到空格中则占据该空格，当三颗相同棋子连成一条线时获胜．某局比赛棋盘棋子如图所示，轮到嘉嘉掷棋子，则掷本次棋子嘉嘉获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查概率计算．根据题意可知空白处共有3处可以投掷，但只有2种情况符合掷本次棋子嘉嘉获胜，继而得出本题答案． 【详解】解：根据题意可知空白处共有3处可以投掷， ∵嘉嘉获胜应该投掷在第二列第二行和第三列第一行，共2种情况， ∴（掷本次棋子嘉嘉获胜）， 故选：B． 5．做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．其中合理推断的序号是 A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】A 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：由于频率不等于概率，故当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，“正面向上”的概率不一定是，故①错误； 大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，故随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 故选：A． 二、填空题 6．一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可得解． 【详解】解：∵一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同， ∴从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是随机事件， 故答案为：随机． 7．从，0，，1，，中随机选择一个数，则选到非负数的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了概率的求解，确定非负数的个数即可求解，得到非负数的个数是解题的关键． 【详解】解：，0，，1，，中非负数有：， 一共有6个数，非负数有3个， ∴选到非负数的概率为：， 故答案为：． 8．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同；②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为；③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，其中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【知识点】由频率估计概率 【分析】根据概率的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查了概率的意义，利用概率的意义是解题关键． 【详解】解：①不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同，说法正确；②当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数更接近，而不一定为，说法错误；③多次重复试验中，正面向上发生的频率会在某一个常数附近摆动，并趋于稳定，说法正确． 故答案为：①③． 9．如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、蓝、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右侧的扇形）．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向蓝色扇形的概率为 ． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：任意转动转盘1次，共有6种等可能的结果，其中指针指向蓝色扇形的情况有2种， ∴； 故答案为：． 10．某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮，黄灯亮，红灯亮循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是 ． 【答案】0.5/ 【知识点】几何概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟记概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 由绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，红灯亮25秒，直接利用概率公式求解即可得到答案． 【详解】解：∵绿灯亮，黄灯亮，红灯亮循环显示， ∴路过此路口，正好遇到绿灯的概率=． 故答案为：0.5． 三、解答题 11．指出下列哪些事件是必然事件，哪些事件是不可能事件，哪些事件是随机事件? (1)一次数学测试中，女生成绩好于男生成绩； (2)一个有理数的绝对值是3； (3)两个全等三角形的对应角相等； (4)明天一定是晴天； (5)三角形的内角和为； (6)经过一个路口，正好遇到绿灯； (7)标准大气压下，将水加热到时，水会沸腾； (8)等腰三角形的一个角为，则另两个角都为． 【答案】(1)随机事件 (2)随机事件 (3)必然事件 (4)随机事件 (5)不可能事件 (6)随机事件 (7)必然事件 (8)随机事件 【知识点】等腰三角形的定义、全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用、事件的分类 【分析】本题考查事件的分类，三角形的内角和，等腰三角形定义，全等三角形性质等知识，必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；随机事件：在一定条件下，有可能发生也有可能不发生；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件；解题的关键在于熟练掌握相关概念． （1）根据相关定义判断即可； （2）根据绝对值概念和相关定义判断即可； （3）根据全等三角形性质和相关定义判断即可； （4）根据相关定义判断即可； （5）根据三角形的内角和定理，以及相关定义判断即可； （6）根据相关定义判断即可； （7）根据相关定义判断即可； （8）根据相关定义判断即可； 【详解】（1）解：一次数学测试中，女生成绩好于男生成绩； 该事件有可能发生也有可能不发生，为随机事件； （2）解：一个有理数的绝对值是3， 该事件有可能发生也有可能不发生，为随机事件； （3）解：两个全等三角形的对应角相等， 该结论为教材上定理性质，在一定条件下，一定成立，为必然事件； （4）解：明天一定是晴天， 明天有可能是晴天也有可能不是晴天，为随机事件； （5）解：三角形的内角和为； 该结论在一定条件下，一定不成立，为不可能事件； （6）解：经过一个路口，正好遇到绿灯， 经过一个路口，可能遇到绿灯，也可能不是绿灯，为随机事件； （7）解：标准大气压下，将水加热到时，水会沸腾， 该结论在一定条件下，一定成立，为必然事件； （8）解：等腰三角形的一个角为，则另两个角都为， 等腰三角形的一个角为，则另两个角可以都为，也可以为和， 该事件为随机事件． 12．已知以下四个事件：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上；事件B：在1小时内步行80千米；事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球；事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数． (1)随机事件有______，必然事件有______； (2)请你把相应事件发生的概率用对应的字母A，B，C，D表示在数轴的对应点上． 【答案】(1)A、C；D (2)见解析 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小、根据概率作判断 【分析】本题考查事件的分类及可能性，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可；必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．它发生的可能性是1；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．它发生的可能性是0；不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．它发生的可能性是大于0，而小于1． （2）根据事件的类型确定可能性的大小即可． 【详解】（1）解：事件A：抛掷一枚硬币时，正面朝上，属于随机事件； 事件B：在1小时内步行80千米，属于不可能事件； 事件C：一个袋子中装有2个红球、3个黄球和5个蓝球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出1个黄球，属于随机事件； 事件D：两数之和是负数，则其中必有一个是负数，属于必然事件， ∴随机事件有A、C，必然事件有D． 故答案为：A、C （2）解：A发生的可能性为，B发生的可能性为0，C发生的可能性为0.3，D发生的可能性为1． 在数轴的对应点位置如下： 13．一个布袋中有8个红球和个白球，它们除颜色外都相同． (1)求从袋中摸出一个球是红球的概率； (2)现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球．搅拌均匀后，要使从袋中摸出一个球是红球的概率是，问取走了多少个白球？（要求通过列式或列方程解答） 【答案】(1) (2)取走了7个白球 【知识点】已知概率求数量、根据概率公式计算概率 【分析】（1）布袋中有8个红球和16个白球，共24个，即可得； （2）设取走x个白球，则，即可得． 【详解】（1）解：布袋中有8个红球和16个白球，共24个， 故从袋中摸出一个球是红球的概率是P＝； （2）解：设取走x个白球， 则， 解得， 即取走了7个白球． 14．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，黑球4个，它们除了颜色外其他都相同．    (1)从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性最大． (2)“摸到黑球”是____事件，“摸到黄球”是_____事件．（填“不可能”“必然”或“随机”） (3)求摸出的小球不是白球的概率． 【答案】(1)红 (2)随机，不可能 (3) 【知识点】事件的分类、判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了事件的分类、概率公式，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据白、红、黑三种颜色的小球得数量即可求解； （2）根据事件的分类的定义即可解答； （3）根据概率公式计算，即可得到答案 【详解】（1）解：∵白球3个，红球5个，黑球4个， ∴摸出红球的可能性最大， 故答案为：红； （2）“摸到黑球”是随机事件，“摸到黄球”是不可能事件， 故答案为：随机，不可能； （3）摸出的小球不是白球的概率． 15．如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色． (1)在图1转盘中转出数字6的概率为________． (2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小颖的观点是对的，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在转盘抽奖中的应用 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字6的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【详解】（1）共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是6的结果有1种， ∴P（转出数字6）； 故答案为：； （2）小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 16．某批乒乓球的质量检验结果如下表： 抽取的乒 乓球数 优等品的 个数 优等品的 频率 (1)填写表中的空格； (2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)，， (2) 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据表格中数据计算填表即可； （2）利于频率估计概率求解即可． 【详解】（1）解：，，； （2）由表中数据可判断优等品频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可得这批乒乓球优等品概率的估计值是． 17．如图①，转盘的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4.如图②，正方形顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在边界上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 阅读以上游戏规则，回答下列问题： (1)若嘉嘉从圈A起跳，则他落回到圈A的概率________； (2)若淇淇从圈B起跳，则他与（1）中嘉嘉落回到圈A的概率一样大吗？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)一样大，见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、游戏的公平性 【分析】此题考查了用概率公式求概率．熟练掌握利用概率公式求概率是解决本题的关键； （1）由共有4种等可能的结果，落回到圈的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）利用概率公式求解，再进行判断即可得答案 【详解】（1）共有4种等可能的结果，落回到圈的只有1种情况， 落回到圈的概率， 故答案为：； （2）概率一样大，理由如下： 当转盘转1次时，淇淇从圈B起跳可能落在A，D，C，B， 共有4种等可能的情况， 其中淇淇落到圈A的情况只有1种， 所以淇淇落到圈A的概率为， 故淇淇与嘉嘉落到圈A的概率一样大. 18．“五一”期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满200元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照表格获得奖券（指针指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 区域颜色 奖券金额 黄 20元 蓝 50元 红 80元 空白 0元 (1)甲顾客购物100元，他获得奖券的概率是______； (2)乙顾客购物300元并参与该活动，求他获得20元和80元奖券的概率； (3)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，50元和80元奖券获奖概率不变，通过计算求出需要将多少个空白区域改为黄色？ 【答案】(1)0 (2)， (3)需要将3个空白区域改为黄色 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由题意可知，甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，则他获得奖金的概率是0； （2）用概率公式求解即可； （3）设需要将x个空白区域改为黄色，根据20元奖券的概率为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵100元元， ∴甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会， ∴他获得奖金的概率是0． 故答案为：0． （2）解：乙顾客购物300元，能获得一次转动转盘的机会， 由题意，每转动一次转盘共有10种等可能的结果，其中黄色的有2种，红色的有1种， 所以指针指向黄色的概率为， 指针指向红色的概率为， 所以他获得20元和80元奖券的概率分别为，． （3）解：设需要将x个空白区域改为黄色， 则由题意得，，   解得：， 所以需要将3个空白区域改为黄色． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $