专题06 解直角三角形的实际应用（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 解直角三角形的实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 仰角与俯角问题 题型02 坡度与坡角问题 题型03 方位角问题 题型04 解直角三角形与生活实际应用问题 题型05 解直角三角形与材料阅读类问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 仰角与俯角问题 典例引领 【典例01】（2025·广东·模拟预测）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，如图，在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；沿着方向走到处，用皮尺测得；在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．已知测角仪的高度为，点，，在同一水平直线上，求塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．分别在和中，求出，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解∶根据题意，得， ∵在中，  ， ， ∵在中， ， ∴． ， ∴． ∴． 即塔的高度为． 【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）小明学习了锐角三角函数后，想通过测量，计算一棵树的高，如图①，树与观测点之间有一垂直于地面的围墙，小明不能翻越围墙到达树的底部，于是小明在点处利用自制的测角仪测得树顶处的仰角为，再沿方向前进了，到达点处，测得树顶的仰角为，求树高．（结果精确到，参考数据：） 【答案】树高约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，利用，解方程得到结果即可． 【详解】解：根据题意，，，设， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 解得， 即， 答：树高约为． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/解答均有，以测量高度（如楼高、树高、山高）为背景，考查仰角、俯角的定义理解与直角三角形构造，侧重数形结合转化实际问题。 方法技能 ①明确仰角（向上看的视线与水平线夹角）、俯角（向下看的视线与水平线夹角）； ②过观测点作水平线，构造直角三角形（被测高度为对边，水平距离为邻边）； ③结合已知角/边，用正切（tan）建等式，未知量用勾股定理/正弦（sin）、余弦（cos）求解。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角、俯角问题，坡度、坡角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G，根据题意可得：，，米，米，，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，垂足为E，延长交水平线于点G， 由题意得：，，米，米，， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， ， 解得：， （米），（米）， 米， 在中，， （米）， 米， 建筑物的高度为米． 【变式02】（2025·广东深圳·三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一处观测点A，米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为，，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为，且，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点B到水平地面的距离； (2)求“春笋大厦”的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、勾股定理、一元一次方程的应用等知识点，根据已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）如图：过点B作，垂足为D，根据题意可得：、，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设米，则米，从而利用勾股定理进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图：过点B作，垂足为D， 由题意得：，， 在中，， ， 设米，则米， 米， 米， ，解得：， 米，米， 点B到水平地面NA的距离为米； （2）解：米，米， 米， 在中，， 米， 米， “春笋大厦”MN的高度为米． 【变式03】（2025·广东东莞·二模）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图为该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． (1)求A，B两点之间的距离（结果精确到）； (2)若该隧道限速，小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)A，B两点之间的距离为840m； (2)未超速，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先证明四边形CDFE是矩形，得到，再利用三角函数，分别求出求得AD和BF的长，然后根据进行求解，即可得到答案； （2）根据题意，求出小汽车的行驶速度，与隧道限速进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即A，B两点之间的距离为； （2）未超速，理由如下： 由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速， 小汽车的速度为， 小汽车从点A行驶到点B未超速． 题型02 坡度与坡角问题 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·三模）某寄宿学校，吃饭时间很多学生跑步冲下楼梯，某数学兴趣小组在一楼楼梯（近似看作坡度为的斜坡）附近监测学生冲向食堂的情况．如图，监测点到地面的距离米，段为监测区域（在学生脚到达点开始到头顶离开上的点范围内可被监测到，忽略因姿势而影响学生的身高），从点处测得点的俯角为，米． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若平均速度超过2米/秒则判断学生在跑步，一名身高米的学生经过监测区域所用时间为3秒，请判断该学生是否跑步冲下楼梯．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】(1)的长约为米 (2)的长度为4米 (3)该学生不是跑步冲下楼梯 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，利用一元一次方程解决几何问题，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形． （1）利用勾股定理求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作于点，求出，设，表示出相关的线段长度得出，求解即可得出结果； （3）过点作于点，根据条件得出，根据相似三角形的性质得出，求出，最后求出速度进行比较即可． 【详解】（1）解：在中，， ，， 由勾股定理得， （米） 答：的长约为米； （2）解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点． 则四边形是矩形． 斜坡的坡度是，即， ，设， 则，． ， ， 在中，． ， 解得， ， （米） 答：的长度为4米． （3）解：过点作于点， 则， 又， ， ． ， ． （米）， 则， 答：该学生不是跑步冲下楼梯． 【典例02】（2025·广东深圳·二模）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是13m． (1)求图中B到一楼地面的高度： (2)求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1） 【答案】(1)5m (2)10.4m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．解题的关键在于找出线段的数量关系． （1）过点B作于H，设，然后根据坡度的概念结合勾股定理列方程求解； （2）过点C作于F，过点D作于I，交BH于J，由题意可得，四边形、四边形是矩形，，然后利用锐角三角函数解直角三角形． 【详解】（1）解：过点B作于H 设 ∵的坡度为 ∴ ∴     在中，由勾股定理得：     解得： 答：B到一楼地面的高度为5m． （2）解：过点C作于F，过点D作于I，交BH于J，如图所示： 则，四边形、四边形是矩形， ∴，，，     由（1）知 ∴ ∴     在中，， ∴， ∴     ∴ 答：日光灯C到一楼地面的高度为10.4m． 方法透视 考向解读 高频基础题，选择/填空/解答均有，以修路、筑坝、斜坡施工为背景，考查坡度（坡比）、坡角的关联及应用，侧重公式转化与直角三角形计算。 方法技能 ①牢记核心关系：坡度（为坡角，斜坡与水平线夹角）； ②将斜坡转化为直角三角形（斜边为斜坡长，直角边为h、l）； ③根据i、α、h、l、斜坡长中已知量，结合三角函数/勾股定理求未知量。 变式演练 【变式01】（2025·广东肇庆·二模）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； 河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式． 【答案】(1)； (2)水柱不能喷射到护栏上，理由见解析； (3)河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； ． 【分析】根据当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米，所以二次函数的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，因为二次函数经过原点，所以把原点的坐标代入，可得：，解方程求出的值即可； 因为绿道路面宽米，当时，可得水柱的高度为米，而护栏的高度为米，所以水柱不能喷射到护栏上； 根据坡比和的长度求出的长度，从而可得点的坐标为，点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，解方程求出抛物线与直线的交点即可； 将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为，当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的坐标为，因为点在抛物线的图象上，所以可得与的关系式为． 【详解】（1）解：当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米， 二次函数的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 二次函数经过原点， ， 解得：， 该二次函数的解析式为； （2）解：水柱不能喷射到护栏上， 理由如下： 当时，， ， 水柱不能喷射到护栏上； （3）解：河道坝高米，坝面的坡比为（其中）， ， ， 则点与原点的水平距离为， 点的坐标为， 又点的坐标为， 设的解析式为， 解得：， ， 解方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 当时，， 即河水离地平面距离为米时，水柱刚好落在水面上； 将抛物线向上平移米，则可得新的抛物线解析式为， 当坝中水面离地平面距离为米，则坝面截线与水面截线的交点的纵坐标为， 如下图所示， 坝面的坡比为， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在抛物线的图象上， ， 整理得：， 即与的关系式为． 【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． (1)求点D到水平线的距离； (2)求砖塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)点D到水平线的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解； （2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，作于，则， 斜坡的坡比， ， 设 ，则 ， 由题意得：，， ， 解得：， ， 点到水平线的距离为； （2）解：如图2，作于， 则， 四边形为矩形， ，， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 砖塔的高度为． 【变式03】（2025·广东肇庆·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)①的长为；②建筑物的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）在中，利用30度角的性质求解即可； （2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长； ②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解． 【详解】（1）由题意得 在中，， ．即的长为． （2）①在中，， 在中，由，得． ．即HE的长为 ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ， ∴． 在中，， ．即， （m）． 答：建筑物的高度约为． 题型03 方位角问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑，处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上。 (1)______________________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)90，76 (2)点到道路的距离为4.0千米 (3)小李离点不超过 【分析】本题考查了正多边形的外角、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，掌握综合推理能力是解题的关键． （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作于点，如图所示，在中，求出；在中，求出即可得到答案； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，如图所示，解，求出，证明，由相似性质列出比例式进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正八边形， ∴外角， ∴， 故答案为：90，76； （2）解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， 处有一座雕塑，在处测得雕塑在北偏东方向上，则， 在中，， 答：点到道路的距离为4.0千米； （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，如图所示： ∵正八边形的外角均为， ∴在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，则， 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达. (1)在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）； (3)以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查作垂线、角平分线及解三角形，理解题意，掌握相应图形的作法及性质是解题关键. （1）作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）连接，作的角平分线，即为所求； （3）根据题意得：，，然后解三角形即可. 【详解】（1）解：如图（a）所示，作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）如图（b），连接，作的角平分线，即为所求； （3）如图（c）， 根据题意得：，， ∴ 答：乙船运动的最远距离长为． 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，以航海、测绘、定位为背景，考查方位角（如北偏东30°、南偏西45°）的识别，常结合两个及以上观测点，侧重多个直角三角形构造与边角综合计算。 方法技能 ①画方位图，标注正北/正南/正西/正东方向线，根据题意确定方位角与已知边； ②过关键点作方向线的垂线，拆分图形为一个或多个直角三角形（含公共边/关联边）； ③先解已知条件充足的直角三角形，再利用关联边解其余三角形，求目标量。 变式演练 【变式01】（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里． (1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号） (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】(1)海里 (2)时 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，得海里,解,求出即可得到答案； （2）证明是直角三角形，求出的长，根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∴， 根据题意得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵海里， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴海里； （2）解：根据题意得，， ∴是直角三角形， 又， 在中，， ∴海里， ∴该船到达海岛D处所用的时间时． 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 【变式03】（2025·广东江门·二模）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 【答案】(1)公里 (2)丙最晚达目的地D点 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点D作交于点，在取点，使，得，设，可求出，得出，在中由列方程求出，，在中由勾股定理可求出公里； （2）过点作于点，得出四边形是矩形，得，在取点，使，得，设，则根据求出，由分别求出公里，公里，公里，公里，分别求出三条路线用时，再进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作交于点，在取点，使，如图， 根据题意得， ∵， ∴ ∴ 设则 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得，， ∴ ∴ 在中，, 答：小雨家A离寺庙D的距离为公里； （2）解：过点作于点，则得出四边形是矩形， ∴， 在取点，使， 根据题意得， ∴ ∴， 设，则 ∴, ∴， ∴ ∴， 在中，公里， 在中， ∴公里， 又公里， ∴①用时为小时； ②用时为小时； ③用时为小时， ∵， ∴丙最晚达目的地D点． 题型04 解直角三角形与生活实际应用问题 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； （2）解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 【典例02】（2025·广东韶关·二模）周末，小明和爷爷去河边叉鱼，他在船上观察鱼的位置．如图，已知光线从点出发，经水面点折射到鱼处，其中入射角为，当光从空气斜射入水中时，折射光线会向法线偏折，折射角为，小明观察到鱼的像在点处，鱼的实际位置在点处，点和点所在直线可近似看成与水面垂直，若鱼的像到光线与水面的交点的距离为，小明要在他看到的鱼的位置再往下叉多少厘米才能叉到鱼？（参考数据：结果精确到） 【答案】 【分析】过点B作垂直于水面所在直线l，垂足为C，则共线，，解直角三角形即可． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 过点B作垂直于水面所在直线l，垂足为C， 则共线，， ∴，， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴， 答：小明要在他看到的鱼的位置再往下叉才能叉到鱼． 方法透视 考向解读 核心应用题，解答题为主，覆盖测量、支架、航海、建筑等多生活场景，无固定背景，综合考查仰角俯角、坡度坡角、方位角的混合应用，侧重实际问题向几何图形的转化能力。 方法技能 ①审题意，提取已知角（仰角/俯角/坡角/方位角）、已知边，画出几何示意图； ②在示意图中构造直角三角形（无直角则作垂线构造），标注已知/未知量； ③结合三角函数（优先正切，减少开方）、勾股定理列等式，分步求解；④验证结果符合实际场景（如长度为正）。 变式演练 【变式01】（2025·广东汕尾·模拟预测）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）桔槔（）是古代的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图（a），线段代表固定支架，点D、点C、点O分别代表重物、水桶和支点，线段，是无弹力且长度固定的麻绳，绳长，木质杠杆． (1)当水桶C的位置低于地面如图（b）所示，支架与绳子之间的距离是，且时，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方如图（c）所示，求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过点A作于点G，交于点N，，利用余弦函数的定义求出，，进而求出，根据矩形的判定和性质求出，即可求解． （2）过点O作于点，延长交延长线于点N，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点G，交于点N，设与地平面相交于T， ，， ， ，， ， ， ， 又， ， 答：这个桔槔支架的高度为； （2）解∶ 过点O作于点，延长交延长线于点N， 由（1）知：，，， ， ， ， ，即， ， ， 答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为 【变式03】（2025·广东茂名·模拟预测）某种麦克风支架如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，长为；为配重杆，滑动配重杆可调节的长度，其中点E代表麦克风．支杆与配重杆之间的夹角固定为（图中点A，B，C，D，E均在同一平面内）； (1)当支杆与地面垂直，且的长为时，求麦克风E距离地面的高度． (2)在（1）的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，同时调节的长（见图），使得麦克风E到地面的距离为，求此时的长．（结果精确到，参考数据） 【答案】(1)麦克风E距离地面的高度为 (2)的长约为 【分析】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）作于点F，则，根据对顶角相等得出，解直角三角形求出，即可求解； （2）如图2：作于点M，于点N，则，由题意得：，，解直角三角形求出，，从而求出，解直角三角形求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1：作于点F，则， ， ， ， ， ，， 麦克风E距离地面的高度为：， 答：麦克风E距离地面的高度为； （2）解：如图2：作于点M，于点N， 则， 由题意得：，， ，， 到地面的距离为， ， ， ， ， 答：的长约为． 题型05 解直角三角形与材料阅读类问题 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·三模）某校数学兴趣小组开展了利用光的折射率测量物体的高度的项目式学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量依据 光线从水中斜射入空气中会发生折射，当为入射角，为折射角时，把称为光线从水斜射入空气中的折射率，由此得到光线从水斜射入空气中的折射率． 测量工具 纸、笔、皮尺等． 测量方案 如图，长方体鱼缸底的点处有一块鹅卵石，当倒入水至处，鹅卵石发出的光在水面处发生折射进入小西的眼睛处，小西逆着折射光线看到鹅卵石在上（看到的是虚像，位置比实际位置高），此时测得，． 测量示意图    根据以上信息，解决下列问题： (1)求入射角的度数； (2)看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高多少？（精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高 【分析】本题考查了跨学科综合，平行线的性质，勾股定理，三角函数的应用，与物理的融合，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，交于点，先求出的正切值，根据折射率公式解答即可； （2）作于点交于点，利用正切求出的长，然后根据正切解答即可． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，则， 由题意得：， ， ，， ， ， ， 即， ，， ， ； （2）解：作于点，交于点，则的长度即为所求的高度，． 由题意得：四边形为矩形， ，，，， ， 由得， ， ， ． 答：看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高． 【典例02】（2025·广东东莞·三模）项目式学习：阅读材料，完成任务 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上． 素材二 经测量知：书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） 任务一 计算ED的长度 （1）利用素材二中的数据求的长； 任务二 求出每个档案盒的厚度 （2）即求DF的长； 任务三 书架摆放档案盒的设计 （3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒？ 【答案】（1）长度约为；（2）；（3）该书架中最多能放12个这样的档案盒． 【分析】本题考查了三角函数的应用． （1）根据，即可求解； （2），则，推出，设每一个档案盒的厚度为，则，根据“书架内侧长为”，列方程即可求解； （3）用书架的总长度除以每一个档案盒的厚度即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ， 长度约为； （2）如图，由题意得：， ， ， ， 设每一个档案盒的厚度为， 在中，， ， 由题意得：， ， 即每一个档案盒的厚度为； （3）（个）， 该书架中最多能放个这样的档案盒． 方法透视 考向解读 难点创新题，选择/解答压轴小问，以新定义（如方向角、坡比变式、新测量方法）、古文材料、实际测量方案为背景，考查信息提取、新公式转化与解直角三角形的综合应用，侧重阅读理解与知识迁移能力。 方法技能 ①精读材料，提取核心信息（新定义、新公式、测量步骤），转化为数学语言； ②结合材料要求，画出符合题意的几何图形，标注已知量（含新定义推导的角/边）； ③构造直角三角形，将新信息与解直角三角形的三角函数、勾股定理结合，列等式求解； ④按材料要求规范作答（如保留精度、按步骤写结果）。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务： 文字说明 图示说明 素材1 如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车． 素材2 学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），该矩形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案． 素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形为矩形，图中每个矩形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，． 任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽． 任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量． 任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，） 【答案】任务1：原停车位的长为6米，宽为3米；任务2：个；10个；任务3：矩形停车场的另一边至少60.6米． 【分析】本题考查二元一次方程组、直角三角形边角关系（三角函数）及不等式的应用，解题关键是通过设未知数，结合图形性质（矩形、平行四边形、直角三角形）列方程（组）、不等式求解． 任务1设原车位长为x、宽为y，根据实际是长与宽的倍数关系，列二元一次方程组，求解． 任务2利用原车位宽3米，停车场长33米，直接用“总长÷车位宽”得数量（个）；由任务1知米，结合，在中用余弦算出米，再用“（总长通道）车位宽”得数量． 任务3在中，用正弦算出斜车位的高米；设垂直车位排数为，则斜列车位排数为，根据“总车位数”列不等式，解得；最后计算停车场另一边长度：垂直车位宽排数斜车位高排数通道宽（排数1），得至少41.5米． 【详解】任务1：设原停车位的长为米，宽为米，由题意可知 解得 答：原停车位的长为6米，宽为3米． 任务2：①垂直停车位个数：个； ②由（1）知，米，， 在中，， ， 米． 垂直停车位个数：个； 任务3：在中，， ， 米米 设垂直停车位有排，则斜列停车位有排，由题意可知 ， 解得， 因为为正整数，所以最小为4，则斜列停车位至少有3排， 米 答：矩形停车场的另一边至少米． 【变式02】（2025·广东珠海·三模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中的长度为___________，滑动轨道的长度是___________． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号） 【答案】任务1：7，30；任务2：限位器P应装在离点的位置 【分析】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理，正确构造直角三角形是解题的关键． 任务1：根据题意，可得，从而得到结果； 任务2：作，在中，求出，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：任务1：∵四边形始终为平行四边形， ，， ∵当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上， ， 故答案为：7，30； 任务2：过点C作交于点H， 依题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴根据勾股定理可得． ∴ ∴． ∴限位器P应装在离点的位置． 【变式03】（2025·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：设计窗户遮阳篷． 项目背景：深圳市育才中学新校区向育才学子招募“天选策划人”，为休闲餐吧的外卖窗口设计遮阳棚，已知窗户的高度．育才二中的小明积极探究，做了以下遮阳蓬的设计方案，请你根据不同设计方案完成任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点C在的延长线上． 【任务一】 ①若，，则支撑杆 ． ②小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．求图2中，的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 如图3，为了美观及实用性，小明再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧延伸后经过点B，段可伸缩，F为的中点），的长保持不变． 【任务二】求弧的弓高（点F到的距离）； 【任务三】若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，则遮阳篷点D上升高度的最小值（点到的距离）为 ．      【答案】任务一：①，②，；任务二：；任务三： 【分析】任务1：①由勾股定理可得代入求解即可． ②中，，得到，设，在中，，由，得，解出x的值，即可求得，的长； 任务2：如图，取的中点O，连接交于点E，由中位线定理得，，再求出弓高即可． 任务3：连接交于点G，作于点H，由题意得，根据，求得，再由求出，由可求解． 【详解】解：【任务一】①在中，，，， （）， 答案为：． ②过点D作交于点E，与入射线交于点F 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴设， 在中，，， ∴， 解得， ∴，； 【任务2】 如图，取的中点O，连接交于点E， 则，， ∵， ∴为直径， ∴点O为圆心， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴弧的弓高； 【任务3】 如图，连接交于点G，作于点H， 由题意得，此时与太阳光线平行，则， ∴， ∴， ∴点G为的中点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 即遮阳篷点D上升高度的最小值为． 题●型●训●练 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 这棵木棉树的高度约为20米， 故选：C． 2．（2025·广东深圳·一模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故选：A． 3．（2025·广东清远·二模）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据勾股定理求出的长，根据斜坡的坡度等于的值，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴斜坡的坡度为； 故选C． 4．（2025·广东中山·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴该主塔的高度是米， 故选：D． 5．（2025·广东深圳·一模）某仓储中心有一个斜坡，，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米（参考数据：） A．13 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正方形的性质以及已知条件可得，再根据三角形内角和定理得到，根据余弦和正切的定义求出，根然后根据线段的和差，再解直角三角形求得，最后求得即可． 【详解】解：∵正方形， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵米， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 6．（2025·广东东莞·三模）如图，一名滑雪运动员沿着坡度为：的斜坡，从滑行至，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_________米． 【答案】 【分析】本题考查了坡度坡比的定义，利用勾股定理解直角三角形，解题的关键是掌握坡比的定义．根据坡比的定义，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，从而求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度为： ∴ ∴ 在中，，， 则， 故答案为：． 7．（2025·广东梅州·一模）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是___________米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米，，设米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 8．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 ____米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴（米）， ∴（米）． 故答案为：． 9．（2025·广东深圳·三模）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②深圳市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ________ 千米（参考数据：，，，） 【答案】34560 【分析】本题考查解直角三角形的应用．作于D，则，根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可． 【详解】解：过于D，如图所示：    ∴， ∵，， ∴， 在中，千米，， ∴（千米）， ∴（千米）， ∴以为直径的圆的周长为：（千米）． ∴北纬纬线的长度约为34560千米． 故答案为：34560． 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为_________ m，楼房的高为 _________ m． 【答案】 30 20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角和俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点H，根据题意可得：，，，，从而可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段中点的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点H， 由题意得，，，， ∴， 在中，， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴楼房的高为，楼房的高为， 故答案为：30；20． 11．（2025·广东清远·二模）图是一种为了遮阳和防雨而设计的“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．根据信息回答下列题目： (1)天晴时打开“天幕”，若，与的交点为；求遮阳宽度， (2)在（1）的条件下，若．求此时点距离地面的高度． 【答案】(1)遮阳宽度约为 (2)打开天幕时，点的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，轴对称图形的性质，三线合一定理，矩形的性质与判定， 熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，则，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）过作，垂足为，可证明四边形是矩形，则，，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是的对称轴，且， ∴， ∴， ∵， ， ， 答：遮阳宽度约为． （2）解：如图所示，过作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形， ，， 天幕打开时，， ∴， ， ， 答：打开天幕时，点的高度约为． 12．（2025·广东东莞·二模）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货厢侧面是一个矩形，米，米，为货车挡板，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转． (1)当侧面绕着点A旋转时，求点B离地面的距离； (2)如图2，已知该货车的安全轴距为米．当挡板还未打开时，货厢对角线的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向（以点G为端点竖直向下的射线）所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故．当侧面绕着点A旋转且挡板还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由．（本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究）（参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会发生安全事故，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， 不会发生安全事故． 13．（2025·广东肇庆·一模）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．求出，，得出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，． 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：的长度约为． 14．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，先求解，，再进一步求解即可. 【详解】解：由题意可得：，，米， ∴， ∵由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 15．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意连接，结合图形，分别在和中，求出、的度数，从而得到结果； （2）连接，过A点作于点H，在中，求出的度数，从而得到的度数，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解直角三角形的实际应用 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 仰角与俯角问题 题型02 坡度与坡角问题 题型03 方位角问题 题型04 解直角三角形与生活实际应用问题 题型05 解直角三角形与材料阅读类问题 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 仰角与俯角问题 典例引领 【典例01】（2025·广东·模拟预测）双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，如图，在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角；沿着方向走到处，用皮尺测得；在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．已知测角仪的高度为，点，，在同一水平直线上，求塔的高度．（参考数据：，，） 【典例02】（2025·广东佛山·模拟预测）小明学习了锐角三角函数后，想通过测量，计算一棵树的高，如图①，树与观测点之间有一垂直于地面的围墙，小明不能翻越围墙到达树的底部，于是小明在点处利用自制的测角仪测得树顶处的仰角为，再沿方向前进了，到达点处，测得树顶的仰角为，求树高．（结果精确到，参考数据：） 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/解答均有，以测量高度（如楼高、树高、山高）为背景，考查仰角、俯角的定义理解与直角三角形构造，侧重数形结合转化实际问题。 方法技能 ①明确仰角（向上看的视线与水平线夹角）、俯角（向下看的视线与水平线夹角）； ②过观测点作水平线，构造直角三角形（被测高度为对边，水平距离为邻边）； ③结合已知角/边，用正切（tan）建等式，未知量用勾股定理/正弦（sin）、余弦（cos）求解。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·三模）如图，点C与某建筑物底端B相距75米，某同学从点C出发，沿斜坡行走52米至坡顶点D处，斜坡的坡度，在点D处测得该建筑物顶端的俯角为，求建筑物的高度． 【变式02】（2025·广东深圳·三模）某校九年级“综合与实践”小组开展“测量春笋大厦高度”实践活动．如图，在距离“春笋大厦”底部中心N点右侧有一处观测点A，米，在B处有一架测量无人机，观测点A到无人机B的距离米，在点A处用测角仪测得无人机B的仰角为，，且，在点B处用无人机测得“春笋大厦”最高点M的仰角为，且，点A，B，C，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点B到水平地面的距离； (2)求“春笋大厦”的高度． 【变式03】（2025·广东东莞·二模）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图为该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． (1)求A，B两点之间的距离（结果精确到）； (2)若该隧道限速，小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，） 题型02 坡度与坡角问题 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·三模）某寄宿学校，吃饭时间很多学生跑步冲下楼梯，某数学兴趣小组在一楼楼梯（近似看作坡度为的斜坡）附近监测学生冲向食堂的情况．如图，监测点到地面的距离米，段为监测区域（在学生脚到达点开始到头顶离开上的点范围内可被监测到，忽略因姿势而影响学生的身高），从点处测得点的俯角为，米． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若平均速度超过2米/秒则判断学生在跑步，一名身高米的学生经过监测区域所用时间为3秒，请判断该学生是否跑步冲下楼梯．（结果精确到米，参考数据：） 【典例02】（2025·广东深圳·二模）图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿（）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是13m． (1)求图中B到一楼地面的高度： (2)求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1） 方法透视 考向解读 高频基础题，选择/填空/解答均有，以修路、筑坝、斜坡施工为背景，考查坡度（坡比）、坡角的关联及应用，侧重公式转化与直角三角形计算。 方法技能 ①牢记核心关系：坡度（为坡角，斜坡与水平线夹角）； ②将斜坡转化为直角三角形（斜边为斜坡长，直角边为h、l）； ③根据i、α、h、l、斜坡长中已知量，结合三角函数/勾股定理求未知量。 变式演练 【变式01】（2025·广东肇庆·二模）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1），为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，坝面的坡比为，当水柱离喷水口处水平距离为米时，离地平面距离的最大值为米．以为原点建立平面直角坐标系，解决问题： (1)求水柱所在抛物线的解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明理由； (3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上； 河水离地平面距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线与水面截线的交点处？ 为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷水口离地面的最小高度随着的变化而变化，求与的关系式． 【变式02】（2025·广东河源·模拟预测）数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． (1)求点D到水平线的距离； (2)求砖塔的高度（结果保留根号）． 【变式03】（2025·天广东肇庆·二模）综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面距离的长； (2)设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 题型03 方位角问题 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·二模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑，处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上。 (1)______________________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，） 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达. (1)在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）； (3)以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）. 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，以航海、测绘、定位为背景，考查方位角（如北偏东30°、南偏西45°）的识别，常结合两个及以上观测点，侧重多个直角三角形构造与边角综合计算。 方法技能 ①画方位图，标注正北/正南/正西/正东方向线，根据题意确定方位角与已知边； ②过关键点作方向线的垂线，拆分图形为一个或多个直角三角形（含公共边/关联边）； ③先解已知条件充足的直角三角形，再利用关联边解其余三角形，求目标量。 变式演练 【变式01】（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里． (1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号） (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号） 【变式02】（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【变式03】（2025·广东江门·二模）人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开．如图所示，点B为学校所在地，点D为歌乐山一寺庙，D点位于点B的北偏西方向．D点位于小雨家点A的北偏东方向．D点位于小瑜家点C的北偏西方向．又点A位于点B的正西方向，C点位于点B的正北方向，已知小雨家离学校的距离公里．（参考数据：，，） (1)求小雨家A离寺庙D的距离（结果保留根号）； (2)甲、乙、丙三人邀约小雨和小瑜去寺庙D处看桃花，他们三人同时从学校出发，为了接A处的小雨，甲驾车以每小时60公里的速度从学校出发走路线①，为了接C处的小瑜，乙驾车以每小时50公里的速度从学校出发走路线②，（接人时间忽略不计）丙骑共享电动自行车以每小时30公里的从学校出发走路线③，请通过计算说明，甲、乙、丙三人谁最晚达目的地D点？（结果精确到0.01） 题型04 解直角三角形与生活实际应用问题 典例引领 【典例01】（2025·广东阳江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【典例02】（2025·广东韶关·二模）周末，小明和爷爷去河边叉鱼，他在船上观察鱼的位置．如图，已知光线从点出发，经水面点折射到鱼处，其中入射角为，当光从空气斜射入水中时，折射光线会向法线偏折，折射角为，小明观察到鱼的像在点处，鱼的实际位置在点处，点和点所在直线可近似看成与水面垂直，若鱼的像到光线与水面的交点的距离为，小明要在他看到的鱼的位置再往下叉多少厘米才能叉到鱼？（参考数据：结果精确到） 方法透视 考向解读 核心应用题，解答题为主，覆盖测量、支架、航海、建筑等多生活场景，无固定背景，综合考查仰角俯角、坡度坡角、方位角的混合应用，侧重实际问题向几何图形的转化能力。 方法技能 ①审题意，提取已知角（仰角/俯角/坡角/方位角）、已知边，画出几何示意图； ②在示意图中构造直角三角形（无直角则作垂线构造），标注已知/未知量； ③结合三角函数（优先正切，减少开方）、勾股定理列等式，分步求解；④验证结果符合实际场景（如长度为正）。 变式演练 【变式01】（2025·广东汕尾·模拟预测）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）桔槔（）是古代的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图（a），线段代表固定支架，点D、点C、点O分别代表重物、水桶和支点，线段，是无弹力且长度固定的麻绳，绳长，木质杠杆． (1)当水桶C的位置低于地面如图（b）所示，支架与绳子之间的距离是，且时，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方如图（c）所示，求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【变式03】（2025·广东茂名·模拟预测）某种麦克风支架如图1所示，为立杆，其高为；为支杆，它可绕点B旋转，长为；为配重杆，滑动配重杆可调节的长度，其中点E代表麦克风．支杆与配重杆之间的夹角固定为（图中点A，B，C，D，E均在同一平面内）； (1)当支杆与地面垂直，且的长为时，求麦克风E距离地面的高度． (2)在（1）的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，同时调节的长（见图），使得麦克风E到地面的距离为，求此时的长．（结果精确到，参考数据） 题型05 解直角三角形与材料阅读类问题 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·三模）某校数学兴趣小组开展了利用光的折射率测量物体的高度的项目式学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量依据 光线从水中斜射入空气中会发生折射，当为入射角，为折射角时，把称为光线从水斜射入空气中的折射率，由此得到光线从水斜射入空气中的折射率． 测量工具 纸、笔、皮尺等． 测量方案 如图，长方体鱼缸底的点处有一块鹅卵石，当倒入水至处，鹅卵石发出的光在水面处发生折射进入小西的眼睛处，小西逆着折射光线看到鹅卵石在上（看到的是虚像，位置比实际位置高），此时测得，． 测量示意图    根据以上信息，解决下列问题： (1)求入射角的度数； (2)看到的鹅卵石比实际的鹅卵石位置高多少？（精确到，参考数据：，，，） 【典例02】（2025·广东东莞·三模）项目式学习：阅读材料，完成任务 书架摆放设计 素材一 一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上． 素材二 经测量知：书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） 任务一 计算ED的长度 （1）利用素材二中的数据求的长； 任务二 求出每个档案盒的厚度 （2）即求DF的长； 任务三 书架摆放档案盒的设计 （3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒？ 方法透视 考向解读 难点创新题，选择/解答压轴小问，以新定义（如方向角、坡比变式、新测量方法）、古文材料、实际测量方案为背景，考查信息提取、新公式转化与解直角三角形的综合应用，侧重阅读理解与知识迁移能力。 方法技能 ①精读材料，提取核心信息（新定义、新公式、测量步骤），转化为数学语言； ②结合材料要求，画出符合题意的几何图形，标注已知量（含新定义推导的角/边）； ③构造直角三角形，将新信息与解直角三角形的三角函数、勾股定理结合，列等式求解； ④按材料要求规范作答（如保留精度、按步骤写结果）。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务： 文字说明 图示说明 素材1 如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车． 素材2 学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），该矩形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案． 素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形为矩形，图中每个矩形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，． 任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽． 任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量． 任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，） 【变式02】（2025·广东珠海·三模）根据以下信息，探索完成任务． 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如右示意图．已知滑撑支架的滑动轨道固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，和均落在上；当点向点滑动时，四边形始终为平行四边形，其中． 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，与形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中的长度为___________，滑动轨道的长度是___________． 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号） 【变式03】（2025·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：设计窗户遮阳篷． 项目背景：深圳市育才中学新校区向育才学子招募“天选策划人”，为休闲餐吧的外卖窗口设计遮阳棚，已知窗户的高度．育才二中的小明积极探究，做了以下遮阳蓬的设计方案，请你根据不同设计方案完成任务． 方案1：直角形遮阳篷 如图1，小明设计的第一个方案为直角形遮阳篷，点C在的延长线上． 【任务一】 ①若，，则支撑杆 ． ②小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．小明查阅资料，计算出，，为了让遮阳篷既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．求图2中，的长度． 方案2：抛物线形遮阳篷 如图3，为了美观及实用性，小明再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（弧延伸后经过点B，段可伸缩，F为的中点），的长保持不变． 【任务二】求弧的弓高（点F到的距离）； 【任务三】若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，则遮阳篷点D上升高度的最小值（点到的距离）为 ．      题●型●训●练 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 2．（2025·广东深圳·一模）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为（　　）米． A． B． C． D． 3．（2025·广东清远·二模）如图，小明参加骑行活动，骑行中遇到斜坡路段，小明沿斜坡从A点骑行到B点的路程为，其上升的垂直高度为，则斜坡的坡度为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东中山·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　   　）米． A．160 B． C．200 D． 5．（2025·广东深圳·一模）某仓储中心有一个斜坡，，B、C在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最大高度限制（即点D离所在水平面的高度的最大值）为米，则的长度应不超过（    ）米（参考数据：） A．13 B．15 C．20 D．25 6．（2025·广东东莞·三模）如图，一名滑雪运动员沿着坡度为：的斜坡，从滑行至，已知，则这名滑雪运动员的高度下降了_________米． 7．（2025·广东梅州·一模）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走6米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是___________米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：） 8．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 ____米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）    9．（2025·广东深圳·三模）阅读相关资料：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②深圳市的纬度约为北纬；③如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，北纬纬线的长度约为 ________ 千米（参考数据：，，，） 10．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在两座楼房之间有一旗杆，高，从其中一座楼房顶端点A经过旗杆顶点恰好看到另一座楼房的底端点C，且俯角为，又从点A处测得点D的俯角为．若旗杆底部点G为的中点，则楼房的高为_________ m，楼房的高为 _________ m． 11．（2025·广东清远·二模）图是一种为了遮阳和防雨而设计的“天幕”，同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小与遮阳宽度的影响．“天幕”截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，，．根据信息回答下列题目： (1)天晴时打开“天幕”，若，与的交点为；求遮阳宽度， (2)在（1）的条件下，若．求此时点距离地面的高度． 12．（2025·广东东莞·二模）图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货厢侧面是一个矩形，米，米，为货车挡板，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为米．卸货时货厢在千斤顶的作用下绕着点A旋转． (1)当侧面绕着点A旋转时，求点B离地面的距离； (2)如图2，已知该货车的安全轴距为米．当挡板还未打开时，货厢对角线的交点G是货厢侧面的重心.在卸货过程中，如果支点A到货厢重力方向（以点G为端点竖直向下的射线）所在直线的距离小于安全轴距，则车辆会发生倾覆安全事故．当侧面绕着点A旋转且挡板还未打开时，该货车会发生倾覆安全事故吗？请说明你的理由．（本题中载满货物的货厢可看作一个质地均匀的物体，在实际问题中我们可以仅从平面的角度进行研究）（参考值：，，，） 13．（2025·广东肇庆·一模）第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日在广东珠海开幕．本届航展，飞行表演盛况空前，一批航空航天领域“大国重器”集中亮相，见证着跨越发展能力．飞机的机翼产生升力以支持飞机在空中飞行，它还起一定的稳定和操纵作用．机翼的平面形状多种多样，常用的有矩形翼、梯形翼、三角翼、双三角翼、箭形翼、边条翼等．如图，四边形是某种型号飞机机翼的平面形状，已知，，，请你结合图中所标的数据计算的长度．（结果保留1位小数．参考数据：） 14．（2025·广东江门·二模）已知高度2米的轮式起重机吊起一个重物B，其起重臂与水平面的夹角，且米，在吊起重物过程中缆绳的长度保持不变．当起重臂与水平面夹角 时，求重物被吊起的高度的长（结果保留根号）． 15．（2025·广东东莞·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $