专题05 三角形与四边形的几何证明（题型专练）（广东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 三角形与四边形的几何证明 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 全等三角形的判定与性质综合 题型02 等腰三角形的判定与性质综合 题型03 相似三角形的判定与性质综合 题型04 特殊四边形的判定与性质综合 题型05 特殊四边形与全等三角形的性质综合 题型06 特殊四边形与相似三角形的性质综合 题型07 倍长中线模型 题型08 旋转模型 题型09 垂线模型 题型10 尺规作图在几何证明中的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 全等三角形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，王老师展示了一个问题： 如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题： 【初步探究】 （1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展研究】 （2）若，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）的长为2或6． 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，正确作出图形是解答的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用尺规作一个角等于已知角的步骤作再作可补全图形；根据等边三角形的判定与性质，证明可得； （2）作于点，则，利用锐角三角函数定义得到，，利用勾股定理得到，解方程求得或，进而可求解． 【详解】解：（1）如图1所示，线段、即为所求． 猜想：； 理由如下：如图1，连接，由旋转得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，作于点，则， ∵， ∴，， ∴，， ∵，且，， ∴． 整理得：，解得：或， ∴或， 即的长为2或6． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析（2）10 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，可推导出，继而证明，即可解答； （2）先证明，再推导出，可得到，则，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， 在△ABC和△EDB中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 几何基础必考题，选择/填空/解答均有，考查全等判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）的灵活运用，结合性质证边等/角等，是后续综合题的核心工具，常与线段、角度证明结合。 方法技能 ①找待证边/角所在的三角形； ②挖掘已知条件（公共边/角、对顶角、平行线性质等）补全全等条件； ③用判定定理证全等，再由性质得对应边/角相等，推导出结论。 变式演练 【变式01】（2025·广东云浮·一模）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）分别以点和为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过两点作直线即可； （2）根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得，，结合，即可证，进而得到． 【详解】（1）解：如下图所示即为所求， （2）证明：是的角平分线， ， 垂直平分，交于点， ， 又， ， ． 【变式02】（2025·广东河源·二模）等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形，三角形全等，解题的关键是掌握相应的判定定理；利用等边三角形及条件得出，再利用证明三角形全等即可求解． 【详解】证明：是等边三角形， ，， ， ， ，即， 在和中，， ， ． 【变式03】（2025·广东广州·一模）如图，在四边形中，，点是线段上一点，连结．已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，先根据平行线性质得出，然后根据证明，得出，最后根据等边对等角即可得证． 【详解】证明： （两直线平行，内错角相等） 在和中 ， ． 题型02 等腰三角形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，根据菱形的判定得出即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明其是矩形，接着证明菱形是正方形，四边形是矩形，得到，然后推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，最后证明，得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【典例02】（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【活动主题】分割三角形． 【问题驱动】有没有这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果有，试描述符合题意的三角形的特征． 【特例感知】（1）如题图，在中，，，用剪刀只剪一刀，将分割成两个等腰三角形，如何剪？请用尺规作图作出所有的剪痕；（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】（2）如图，在中，，若满足用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形，试探究的内角满足的数量关系（要求探究两个内角的数量关系，并直接写出的度数范围），并说明理由； 【迁移应用】（3）如图，在中，，点G在腰上（异于点A，C），连接，如果将割为两个等腰三角形，试探究的值． 【答案】（1）见解析；（2）的内角满足或时，用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形，理由见解析；（3）或 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解一元二方程等知识，分类讨论和准确画图是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）分三种情况讨论即可得到解答； （3）分两种情况：①当时，证明,则，设，由得到，进一步即可求出答案．②当时，求出角的度数，进而根据三角函数的定义求解 【详解】解：（1）情况一：如图1，即为所求， 情况二：如图2，即为所求， （2）如图3，在边上取一点E，使得， 则为等腰三角形， ∴若为等腰三角形，则满足条件，有以下情况： 情况一：若 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得； 情况二：若 ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 情况三：若 ∴， ∵，即， ∴， ∴， 此时，，不符合题意， ∴的内角满足或时，用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形； （3）①当时， ∵是等腰三角形， ∴, ∴ 设， ∵是等腰三角形， ∴， 由上可得，， ∴， 解得（负值已舍去） ∴； ②当时， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 过点C作， ∴， ∴， ∴ 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”性质，常结合角平分线、垂直、平行线考查，侧重边角转化，是特殊三角形的核心考点。 方法技能 ①性质应用：已知两边相等→证两角相等，或用三线合一证垂直/角平分线/中线； ②判定应用：已知两角相等→证两边相等，可通过作垂线构造全等辅助证明； ③遇等腰常作底边高，利用直角三角形性质辅助解题。 变式演练 【变式01】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）证明即可得出； （2）过点C作交于点H，证明得出，再求出，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴．即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作交于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【变式02】（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】对于（1），利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； 对于（2），在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形； 对于（3），延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形； （3）证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 题型03 相似三角形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或． 【分析】（1）先根据题意得出，在中根据勾股定理求出的长度，进而在中由勾股定理求出DE的长度，即可求出答案． （2）通过延长和交于点先根据题意推出，再由平行线分线段成比例求得，即可由求出结论． （3）根据题意分类讨论：，；，；，；，由题意得到由“对动线”围成的三角形的相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例，结合勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ． 在中，设，由得． ，即， 解得（负值舍去）． ． 在中，根据菱形的性质． 对动线长为：． 故答案为： （2）解：如图，延长和交于点 ， ，． ， ． ． ， ，． ． 和a的数量关系为：． （3）解：当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：；． 过点E作． ，则，． 由可得． ． ，即． 解得：． 在中，，即， ， ．即 解得：． ． 由勾股定理可得：． 即： 解得：． 故． ，则，． 同理由可得． 解得． 由和，可得，． 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得：． 则． 故的长度为或． 当，时，如图： 同理可求的长度为：或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或． 当，时，如图： 同理由，可求出的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或或或或或． 【典例02】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边上，连接，． (1)如图（a），若分别是边的中点，连接，则______． (2)当时，请回答下列问题： ①如图（b），求的值； ②如图（b），若平分时，求的值； 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，三角函数定义等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）连接交于点O，则，求出，证明是的中位线，则可得出答案； （2）①过点E作于点P，由勾股定理可得出答案； ②延长交的延长线于点G，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：连接交于点O，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是边的中点 ∴是的中位线 ∴, 故答案为：； （2）解：①过点作于点， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：； ②将延长交延长线于点， 由平分得： 由，可得： 从而得：， ， ，， ， ∴， ， ． 方法透视 考向解读 几何核心综合题，解答题为主，考查相似判定（AA/SAS/SSS），结合性质证边成比例、角相等，求线段长度/面积比，常与函数、圆、特殊四边形结合，是压轴题高频考点。 方法技能 ①找相似三角形的公共角/对顶角/平行线形成的等角，用AA快速判定（最常用）； ②证边成比例+夹角相等用SAS，三边成比例用SSS； ③由相似得边的比例式，设未知数求解，面积比等于相似比的平方。 变式演练 【变式01】（2025·广东珠海·三模）为四边形内一点，，，． (1)如图1，，求证：． (2)如图2，为的中点，且． （i）求的值； （ii）求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1） 根据角的和差可得，进而可证得，根据全等三角形的性质可得结论； （2）（i）先由已知条件可得，进而可证得，再根据相似比可得结论； （ii）延长至点，使，可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质，，进而可求得，继而证得，求得，进一步证得，根据相似比和线段的等量转换得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）（i）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，， ∴． （ii）证明：延长至点，使， ∵为的中点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，，， ∴，即， ∴． 【变式02】（2025·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法在下方求作，使得，且；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，是的中点，连接．求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交下方于一点，以该点为圆心，长为半径画圆，再以为圆心，长为半径画弧，与前述圆的交点即为点，连接，得到． （2）设，则，根据等腰直角三角形的性质得出，，即可得出，根据，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作．（作法不唯一） 分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交下方于一点，以该点为圆心，长为半径画圆，再以为圆心，长为半径画弧，与前述圆的交点即为点，连接，得到． （2）证明：如图， 是的中点， ． 设，则， ， ， ， ， ． ， ． 【变式03】（2025·广东珠海·二模）如图1，在中，的平分线交于点E， (1)求的度数； (2)如图2，延长分别交于M，N，在的延长线取一点D，使，交于点F． ①当时，求的长； ②证明：． 【答案】(1) (2)①，②见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理进行解答即可； （2）①证明，则，代入数值求值即可；②作的角平分线交于点W，证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ②如图，作的角平分线交于点W， 由（1）知，，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ 题型04 特殊四边形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·一模）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由垂直平分，可得，，根据平行四边形的性质可得，推出，证明，得到，得到四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由可得，推出，根据题意可推出是的中位线，得到，根据三角函数求出，，进而得到，作，垂足为，进而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 【典例02】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形和角平分线的定义可得、，则，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明为等边三角形可得，即；如图：过点P作于M，则、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． 同理：． ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 如图：过点P作于M， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 中档核心题，解答题为主，考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质互推，侧重判定定理的选择（如证矩形：先证平行四边形再证直角/对角线相等），常与边角证明、面积计算结合。 方法技能 ①性质应用：根据四边形类型，直接用对应性质（如平行四边形对边平行且相等、正方形对角线垂直平分且相等）； ②判定应用：按“基础图形递进”证明（如证菱形：先证平行四边形，再证邻边相等/对角线垂直）； ③遇特殊四边形常连对角线，将四边形问题转化为三角形问题。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得到边的关系，进而证明是平行四边形，结合直角条件证明是矩形； （2）过作于点，利用菱形的性质得到相关线段的长度，结合三角形面积公式和勾股定理求线段长度，根据三角函数定义求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， 平行于且， ， ， 即， ， 平行于， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：过作于点， 则平行于， ， ∵四边形是菱形，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【变式02】（2025·广东东莞·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，全等三角形判定及性质，含30度的直角三角形三边关系等． （1）先证明，可得四边形是平行四边形，即可得到本题答案； （2）利用菱形性质得到，再利用勾股定理求出，继而得到本题答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，是对角线的中点， ∴，， ， 在和中， ， ∴， ， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ． 【变式03】（2025·广东佛山·模拟预测）菱形的对角线交于点，，． (1)求作：菱形的高尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (2)菱形的高 ______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，菱形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据菱形的性质求出，再根据菱形的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，菱形的高即为所求； （2）解：四边形为菱形，，， ，，， ， ，， 菱形的面积， 菱形的面积， ， ， 故答案为：． 题型05 特殊四边形与全等三角形的性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 【典例02】（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）结合正方形性质证明，进而即可证明； （2）结合菱形性质证明即可； （3）结合矩形性质证明，进而即可推出与满足的数量关系． 【详解】（1）解：能得到，证明如下： 四边形，为正方形， ， ， ， ； （2）解： 满足，理由如下： 四边形，为菱形， ， ， ，即 ， ； （3）解：四边形，为矩形， ， ， ， ， ． 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，以特殊四边形为载体，利用其性质构造全等三角形，结合全等证边/角相等、线段和差，侧重“四边形性质为全等搭桥”的思维，是几何综合的基础题型。 方法技能 ①由特殊四边形性质（如平行四边形对边相等、矩形对角线相等）找全等的边/角条件； ②确定待证结论所在的三角形，用全等判定定理证明； ③结合全等性质和四边形性质，推导最终结论（如线段相等、垂直）。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）（1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）由矩形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由正方形的性质先证，得出，再证，得出，然后由平行线的性质得，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，先证，得出，，再证是等边三角形，得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， 点在的延长线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的长为． 【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1所示，点E为正方形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，求证：． 【数学理解】 （2）如图2所示，点E为矩形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，连接．若，，则线段与的数量关系为_____；连接 ，，则，的位置关系为_____．请证明你的结论． 【拓展探究】 （3）如图3所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点M与点B关于y轴对称，点P为第一、三象限内一点，直线交x轴于点C，直线交y轴于点D，且，求的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），；证明见解析；（3）的最小值为 【分析】（1）证明，再证明，即可证出． （2）根据矩形的性质得，，，，证明，得出，证明，得出，即可得出，从而得，证明，得出，即可证出； （3）如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点K，则四边形是矩形，连接交于点G，交于点H，由题可知，，得出，根据，得出，即，根据相似三角形的性质得出，，即可得，从而得点G和点H重合，过M作，当点P与重合时，则最小，根据点M与点B关于y轴对称，得出，根据，得出，即可得，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：，； 证明如下： 四边形为矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ∵，则， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （3）如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点K， 则四边形是矩形， 连接交于点G，交于点H， 由题可知，， ； ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 点G和点H重合， 和交于点P， 点P、G、H三点重合，即点P在所在直线上， 过M作，当点P与重合时，则最小， 点M与点B关于y轴对称， ， ， ，即， ， 即的最小值为 【变式03】（2025·广东江门·三模）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点M，在等腰直角三角形中，，将绕点M旋转，连接． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)在图中，延长相交于点P，点G是的中点，求的长； (3)点P是（2）中所述的点，在旋转的过程中，求的最大值（直接写出结果）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的最大值为 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，可求，由直角三角形的性质可求解； （3）由，可得点P在以为直径的圆上运动，则点P在线段的延长线上时，有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴； （3）∵， ∴点P在以为直径的圆上运动， 取的中点O，连接， 当点P在线段的延长线上时，有最大值， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴的最大值为． 题型06 特殊四边形与相似三角形的性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． (1)的长为___________； (2)连接，求的大小； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 【答案】(1)5 (2)为 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图． （1）利用正弦函数的定义求得，即可求解； （2）根据勾股定理，求出，得到，则，根据三角形的内角和即可求解． （3）分别用表示出，，和的值，证明，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：D落在对角线上，如图，过点作于点，设交延长线于点， 由题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴,， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 【典例02】（2025·广东河源·模拟预测）问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，． (1)①判断与的数量关系：_____； ②推断：_____（填数值）； (2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值． (4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)①；②1 (2)；理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）①由正方形的性质得，，接着证明，于是，可得；②证明四边形是平行四边形即可解决问题； （2）过点作于．证明即可解决问题； （3）过点作，交的延长线于点，过点作，连接，证明，得出，证明，可得出，由勾股定理求出，则可得出答案； （4）过点作交的延长线于．设，那么，然后利用勾股定理求得，接着证明相似三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1； （2）解：；理由如下： 如图2中，过点作于． 根据折叠的性质可得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）解：如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴（不合题意，舍去），， ∴， ∴， ∵， ∴同（2）可得，， ∴； （4）如图4，过点作交的延长线于． ∵， ∴设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，以平行四边形、矩形、菱形等为载体，利用其平行/垂直性质构造相似三角形，求线段长度、面积比、动点坐标，常与函数结合，是几何与代数综合的过渡题型。 方法技能 ①由特殊四边形的平行关系得等角，用AA证相似（如平行四边形对边平行→同位角/内错角相等）； ②由相似得比例式，结合四边形的边长条件设未知数求解； ③遇正方形/菱形的垂直关系，可构造直角三角形相似辅助解题。 变式演练 【变式01】（2025·广东珠海·三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点G，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点E、F，分别交、于点G、H，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，，则折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， ， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【变式02】（2025·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点O为圆心，作与直线相切，切点为E，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点F，G是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)P是上的一个动点，连接交直线于点H．在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)或 (3)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，由切线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论，运用解直角三角形的计算，数形结合即可求解； （3）作，交的延长线于点Q，如图，得到，所以，当最大时，的值最大，平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于点，连接，当点P在点处时，的值最大，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为1． （2）解：当时，如图， 则， ∵，， ∴； 当时，如图， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，的长为或． （3）解：作，交的延长线于点Q，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，的值最大， 平移，使平移后的直线与相切，设切点为，作，交于点，连接，则， 当点P在点处时，的值最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为3． 【变式03】（2025·广东深圳·模拟预测）翻折问题是初中数学中重要的几何变换之一，是欧氏几何重要的工具，蕴含着深刻的数学思想，是理解对称，全等图形的重要基础．以下某数学兴趣班在数学活动课中研究四边形的翻折问题． 【探究活动一】（1）如图，小明先将矩形对折，使与重合，折痕为，再把这个矩形展平，连接，点E为上一点，然后沿直线折叠，使得点C的对应点F落在上．若，，则的值为 ； 探究过程 探究方法 第一小组 第一小组同学通过延长交于点G，推导出，并利用，求出． 第二小组 第二小组同学通过连接，在与中，利用勾股定理解方程，求出． 请你选择以上两种方法中的一种，通过推导演算求出． 【探究活动二】（2）如图，小李将矩形改为正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，连接，点E为上一点，然后沿直线折叠，使得点C的对应点落在上．请求出的值为 ． 【探究活动三】（3）中，，，，将沿某直线翻折，使得点A与的中点重合，折痕与直线交于点E，若，请求出m的值． 【答案】（1）选择第一小组的方法，；（2）；（3）或 【分析】（1）第一小组：延长交于点G，可依次求得的值，可推出，根据列出比例式，从而得出结果； 第二小组：连接，设，则，根据列出，求得x的值，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点G，不妨设正方形的边长为，则，，，同理①得出结果； （3）设的中点是F，当点E在线段上时，作，交的延长线于G，解直角三角形求得和，进而根据勾股定理得出，进一步得出结果；同样求得当点E在的延长线上时的情形． 【详解】解：（1）第一小组：如图1， 延长交于点G， 将矩形对折，使与重合，折痕为， ， ， ， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ； 第二小组：如图2， 连接， 设，则， 由折叠得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图3， 延长，交的延长线于点G， 不妨设正方形的边长为， 则，，， 同法（1）可得， ， 故答案为：； （3）设的中点是F，则：， 如图4， 当点E在线段上时， 作，交的延长线于G， ， ∵， ， ∴， ∵， ，， ， ， ， ； 如图5， 当点E在的延长线上时， 同理可知：，， ， 点G和点E重合， ， ， 综上所述，或 题型07 倍长中线模型 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）在中，，，点，分别在边，上，，连接． (1)如图1，连接，取中点，连接，，，，求的长； (2)如图2，将绕点旋转，使，，三点共线，连接，取中点，取中点，连接，，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)连接、为的中点，连接，，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3)的长为6或2 【分析】本题考查倍长中线法，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）作交于点M，先解直角三角形求出，，再利用直角三角形斜边的中线是斜边的一半，求出，根据角之间的等量代换得到，从而求出，，，最后根据勾股定理即可求解； （2）延长至点N，使得，连接，利用倍长中线法证明（），在利用证明，可得，从而可证； （3）有两种情况，延长至点P，使得，连接，与相交于点O，根据勾股定理求出，利用倍长中线法证明（）和（），最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，作交于点M， 在中，，，， ，， 是中点， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即， 则，解得， ，， 在中，； （2）如图，延长至点N，使得，连接， ，， ，即， ， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ， 又，即， ； （3）的长为6或2， 第一种情况，当顺序为，，三点共线时，如下图，延长至点P，使得，连接，与相交于点O， 在中，，，， 则，， ，， ，即， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 由旋转可得，， ， ，即，则， 是直角三角形， ， 在中，，， 则， ， ， ， ； 第二种情况，当顺序为，，三点共线时，如图，延长至点P，使得，连接，反向延长与相交于点O， ，， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，则， 是直角三角形， ， 在中，，， 则， ， ， ， 综上可得：的长为6或2． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，E为中点，F、G分别在边、上，且，若，，求长． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键；延长，使得，连接，过点G作，交的延长线于点H，由题意易得，则有，然后可得，，进而根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：延长，使得，连接，如图所示： ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 过点G作，交的延长线于点H， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 方法透视 考向解读 几何模型必考题，选择/解答均有，考查中线相关的边角证明、线段和差最值，适用于“有中线/中点，需证边等/角等/线段倍分”的场景，是构造全等的经典模型。 方法技能 ①核心技巧：延长中线至一倍长度，连接端点，构造SAS全等三角形； ②将分散的边/角转移到同一个三角形中，利用三角形三边关系、等腰/全等性质推导结论； ③遇“中点非中线”，可先作中线再用倍长法。 变式演练 【变式01】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，和均为等腰直角三角形，连接，，为的中点，连接，． (1)【观察猜想】 如图①，当点在的延长线上时，线段与的数量关系为________； (2)【类比探究】 将绕点顺时针旋转至如图②所示位置，连接，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)【解决问题】 若，，将绕点顺时针旋转过程中，当，，三点共线时，请求出的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）延长交的延长线于点，证明，推出，可得结论； （2）延长到，使得，连接，，延长交的延长线于点，交于点，首先证明，推出，，再证明，推出，，可得结论； （3）分两种情形，当点落在上时，当点落在上时，利用勾股定理分别求解． 【详解】（1）解：． 如图①，延长交的延长线于点， ， ． ． 为的中点， ． 在和中， ， ． ． ，为的中点， ． 故答案为：． （2）结论成立． 证明：如图②，延长到，使得，连接，，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ． ∴，． ． ． ， ． ， ． ． ，， ． ，． ． ． （3）由（1）（2）可知，． 如图③-1，当点落在上时， 在中，，， ． ． ． 如图③-2中，当点落在上时， 在中，，， ． ． ． ． 综上所述，满足条件的的值为或． 【变式02】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）按要求补全图形，即可求解； （2）延长至点G，使，连接，证明≌得出相等的边和角，假设，表示出相关的角，证明≌，即可得出结论； （3）取的中点O，与的交点为H，连接，得出当A、H、O三点共线时，最小，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）解： ，证明如下： 如图，延长至点G，使，连接，则， 点F是线段的中点， ， 在与中， ， ， 设， 则， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ； （3）解：如图所示，取的中点O，与的交点为H，连接， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ∴， ， ， 当A、H、O三点共线时，最小，如下图， 此时，， 的最小值为， 由勾股定理得， ， 故答案为： 【变式03】（2025·广东汕头·模拟预测）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用倍长中线，证明，得，进而证明得即可得证； （2）连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再证明与是等腰三角形，可得，利用三角形外角的性质可得结论； （3）作，利用含角的直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，求出，进而可得，根据等腰三角形的性质可得的结论． 【详解】解：（1）如图所示： 延长到，使得，连接．   AI 在和中， ， ∴， ，， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ， ， 在和中， ， ∴， ． ∴； （2）证明：连接． ，且为的中点，   ， ， ， ， ， ∴， ； （3）解：如图所示，过作于，连接．   ，且， ． ∴． ，， ∴，，， ∴为等边三角形． ，， ， ． ∴， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ， ∴． 题型08 旋转模型 典例引领 【典例01】2025·广东清远·模拟预测）如图1，在中． (1)若于点，且点为的中点，，点在上，连接，作于点，连结． ①，求的长； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若，，点是边上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1)①，②，证明见详解 (2) 【分析】（1）①根据四边形是平行四边形，得出，，则，根据于点，且点为的中点，得出，则，求出，勾股定理求出． ②作，交于点，如图1，根据，得出；结合，得出，根据四边形是平行四边形，得出；，，则，证明，得出，，证出是等腰直角三角形，则，结合，即可得； （2）连接，，利用证明可得，进而可得，再过点作，且使，连接，构造出，得出，再得出，取中点，连接，得出，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵于点，且点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ②． 理由如下： 作，交于点，如图1， ∵， ∴； ∵是中点， ∴， 即， 又∵四边形是平行四边形， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故； （2）解：如图2，连接，， ∵在中，，， ∴，是菱形， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∴， 过点作，且使，连接， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 取中点，连接， ∴， ， ∵， ∴当、、三点在同一直线上时最大，最大值为. 【典例02】（2025·广东广州·三模）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 【答案】（1） ；（2）；证明见解析；（3） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，从而，只要证明，即可得到答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，连接，只要证明即可解决问题； （3）连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，设，，则，再由勾股定理构建方程即可得到答案． 【详解】解：（1）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， （2）； 证明：如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， 为的中点， ， ，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到，连接， 则，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的边长为， ， ， 设，，则， ， 解得：， ， ． 方法透视 考向解读 几何难点模型，解答题为主，考查旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），适用于“有公共顶点的等线段、需构造全等/相似”的场景（如等边三角形、正方形共顶点），常与最值、存在性问题结合。 方法技能 ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角（由等线段/特殊角定，如等边三角形旋转60°，正方形旋转90°）； ②旋转分散的线段/角，构造全等/相似三角形，将问题转化为常规边角证明； ③利用旋转角结合特殊角，推导角度关系。 变式演练 【变式01】（2025·广东湛江·模拟预测）在等腰中，，点为边上一点，连结．    (1)如图1，若，，求线段的长度； (2)如图2，将图1中线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，求出的值． (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）作于，则解和，即可解决问题； （2）以为边作等边三角形，连接，，作，交的延长线于，利用证明，则，解和，即可解决问题； （3）首先利用证明，得，作，交于，再利用证明，得，，从而得出结论； 【详解】（1）解：如图，作于， 是等腰直角三角形， ． ． ， ． ． ． ， ． ． ． （2）解：如图，以为边作等边三角形，连接，，作，交的延长线于， 在中，． ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． ∴是等边三角形． 和是等边三角形， ，，． ． ． ，． ． ． ． ． ． ． （3）解：，理由如下： ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，． ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． ． ． ． ． 如图，作，交于， ， ． ， ． 又， ． ，． 是等腰直角三角形． ． ∴． 【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接， (1)如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离； (2)如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等，解题关键是构造旋转全等模型转化线段的数量关系； （1）根据勾股定理可得，，再由旋转的性质得，再由勾股定理可得，设点A到的距离为h，根据，即可求解； （2）连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H，证明，可得，再由是等腰直角三角形，可得，，证明，可得，即可求证； （3）在上取点、，使为等边三角形，构造旋转全等模型，可得，，，即点在过点与成夹角直线运动，而在以为圆心，以为半径的半圆上运动， 由此得出当、、三点共线时，而且时，最小，根据含直角三角形性质和勾股定理解三角形求出，，边的高，由此即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设点A到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， 即点A到的距离为； （2）证明：如图2，连接，并延长至点G，使，连接，过点F作于点F，交延长线于点H， ∵，，点F为的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，在上取点、，使为等边三角形，作，垂足为，连接，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， 当P在M右侧时，如图3， 由绕点P顺时针旋转得到，可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与成夹角直线运动，（当P在M左侧时，同理可证） 由折叠可知：，在以为圆心，以为半径的半圆上运动， ∵，当、、三点共线时等号成立， 又∵当时，最小，最小， ∴当、、三点共线时，而且时，最小，如图4， 此时， ∴，， ∴， ∴， 过点D作，垂足为， ∵，， ∴， ∴ 【变式03】（2025·广东阳江·模拟预测）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 【答案】(1)①见解析  ②，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）①根据旋转的性质，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到结论即可； ②在上截取，连接， 根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，即可得到，然后根据线段的和差解答即可； （2）延长到点N，使得，连接，，，证明，即可得到，，，，然后证明是等边三角形，过点D作于点P，过点N作于点Q，得到，得到，即可得到，然后根据中线分出的两三角形面积相等得到结论即可． 【详解】（1）①证明：由旋转可得：，， ∴是等边三角形； ②，理由为： 在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：延长到点N，使得，连接，，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点D作于点P，过点N作于点Q， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型09 垂线模型 典例引领 【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． (1)如图1，若，垂足为M，求证：； (2)如图2，点G是边上一点，且，垂足为M． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分， 交对角线交于点N， 直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形一线三垂直模型． （1）先证，再用角角边证明即可得出结论． （2）①过点作于，利用（1）中结论即可判定相等． ②连结，过点作于，交于，证明是等腰直角三角形，再证，最后证是等腰直角三角形即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 由题得，， ， ， ， ， ， ， ． （2）①过点作于，则， ， ， ， ， ， ， ∴． ②连结，过点作于，交于， ， ， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， 垂直平分， ， 在和中： ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由①得：， ， ． 【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 【答案】(1)证明见详解 (2)， (3)或 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，通过构造全等三角形转化线段和角度是解题关键． （1）利用等腰直角三角形 “三线合一” 及斜边中线性质，证明中线与斜边的数量关系； （2）通过角的等量代换证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度、边长特征，推导角度和线段表达式； （3）分点在不同位置的情况，构造全等三角形，将所求高转化为已知线段的一半，计算得到高的长度． 【详解】（1）证明：，，， ， 是斜边上的中线， ； （2）解：，，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）①如图，连接，作交于点，设与交于点， ，，，， ，， 在和中， ， ，， ， 作交于点，交延长线于点， 则，， ， 在和中， ， ， 点到边上的高为； ②如图，连接，作交延长线于点， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ，， ， 作交延长线于点，交于点， 则， ， 平分，，， ， 点到边上的高为； 点到边上的高为或． 方法透视 考向解读 几何基础模型，全题型覆盖，考查垂直的性质（直角、互余），适用于“证垂直、求线段长度、利用直角三角形性质”的场景，常与角平分线、中线、特殊三角形结合，是几何计算的核心模型。 方法技能 ①遇垂直直接用直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余）； ②证垂直：可证夹角为90°，或证三角形中两边的平方和等于第三边的平方，或利用全等/相似证角为直角； ③构造垂线：过点作线段的垂线，形成直角三角形，辅助计算或证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，线段交线段于点． ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点作于点，过点作于点．探究与之间的数量关系是否随变化而变化．若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①；②不变，，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质证得，，进而证得是等边三角形，即可求出的长度； （2）①根据旋转的性质证得，进而证得，根据三角形内角和定理以及角的和差求解即可； ②作交的延长线于，作于，通过证明，得到，进而证得四边形为矩形，证得即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，，， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：①由旋转的性质得，，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②不变，，证明如下： 作交的延长线于，作于，如图， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， 又， 四边形为矩形， ， ． 【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，在上方作，使，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，．求证：； (3)如图3，若，，延长交于点E．若，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，结合即可求解； （2）过点作交延长线于，由题意可证，得到，进而得到，结合，得到，则，继而可证； （3）根据题意可求得，进而得到，结合，得到，过作交于，再利用直角三角形的性质求得，，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交延长线于， 则， ， ， 由（1）知， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 又由（1）知， ， ，， ， ， ， ， 过作交于， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ，， ． 题型10 尺规作图在几何证明中的应用 典例引领 【典例01】（2025·广东江门·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的尺规作图法作图即可； （2）连接，由等腰三角形的性质可得，进而可得．由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”即可得解． 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图法，以及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， D点即为所求； （2）解：如图，连接， ∵中， ∴， ∴， ∵D点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例02】（2025·广东韶关·三模）如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在①的条件下，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作角平分线，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，作的平分线交于点E，即可作答． （2）先根据角平分线的定义得，根据四边形为平行四边形，得，等量代换得，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵为的平分线， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空/解答均有，考查基本尺规作图（作角平分线、垂直平分线、垂线、等角、等线段），结合作图痕迹证明边/角关系，侧重“作图原理与几何定理结合”（如作垂直平分线的原理是到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上）。 方法技能 ①熟记基本尺规作图的步骤和痕迹特征（如作角平分线的弧迹、作垂直平分线的交叉弧）； ②由作图痕迹推导已知条件（如弧迹交点→到线段两端距离相等、角平分线→角相等）； ③结合全等、等腰、垂直平分线等定理，完成几何证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东揭阳·三模）如图，在中，，． (1)用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段的垂直平分线．也考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形三边的关系． （1）作的垂直平分线得到； （2）由得到，所以，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以． 【详解】（1）解：如图，点P为所作； （2）解：由作图可得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2025·广东珠海·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 (2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】作平分，作线段的垂直平分线交于点D，点D即为所求； 过点E作于点M，于点证明，利用三角形的面积公式求解． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）解：如图， 则点D即为所求． （2）解:过点E作于点M，于点 平分， ， ． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在中，，． (1)实践与操作：用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算，在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，直线MN即为所求． （2）解：直线为线段的垂直平分线， 的周长 题●型●训●练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的面积公式得到，由勾股定理求出，判定，推出，求出，即可得到菱形的边长． 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出，判定． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 菱形的边长为． 故选：C． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．取的中点H，连接，则，由平行四边形的性质得，，则，，可证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点O，，， ∴，，， ∴，， ∵点E在的延长线上，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理、三角形面积公式，由勾股定理可得，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：A． 4．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．6 C．3 D．1.5 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，进而推出，则有，再利用勾股定理逆定理推出，计算得到，最后利用图形面积的等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 5．（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，得到，证明，计算即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 【答案】①②④ 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是熟练掌握几何图形的性质． ①根据全等三角形的判定定理得到，由全等三角形的性质得到；故①正确； ②设与交于F，根据全等三角形的性质得到，得到，根据平角的定义得到，故②正确； ③根据全等三角形的性质得到，，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，推出不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理即可得到平分，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ②设与交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴ 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴不一定是等边三角形，故③不符合题意； ④过C作于G，于H， ∵， ∴， ∴平分，故④正确， 故答案为：①②④． 7．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则_____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在▱中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，交的延长线于点，连接，若点恰好是的中点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 由作图可知，是的平分线，则，由，点恰好是的中点，可得，，则，是等腰三角形，证明，则，，然后作答即可． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， ， 四边形是平行四边形，点恰好是的中点，， ，，， ，， ， ，是等腰三角形， ，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有______个．（填正确结论的个数） 【答案】4 【分析】先证，再证，再由，即可判断（1）；故（1）正确；过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，证明，得到，则四边形是正方形，再证明得到，同理可证四边形是正方形，得到，即可证明得到即可判断（3）；则垂直平分，连接，，得到，即可证明即可判断（2）；，，而不一定等于，则不一定等于，即可判断（4）；证明得到，由此即可判断（5）． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴，故（1）正确； 如图所示，过点P作直线分别交于M，交于N，作直线分别交于G，交于H，则四边形是矩形，四边形是矩形， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 同理可证四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故（3）正确； 又∵， ∴垂直平分． 连接，， ∴． 又∵，， ∴， ∴，故（2）正确； ∵，． 又∵不一定等于， ∴不一定等于，故（4）错误； 如图所示，过点作于， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，故（5）正确， ∴正确的结论有4个， 故答案为：4． 10．（2025·广东深圳·模拟预测）在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为___________． 【答案】 【分析】解法一：连接交于点K，过点K作于点H，设，则，，结合菱形的性质可得均为等边三角形，从而得到，根据，可得，设，从而得到，，再由直角三角形的性质，可得，，从而得到，然后在中，利用勾股定理可得，根据，可得，再证明，可得到，从而得到，即可求解． 解法二：由解法一可得：，，可得，，可得，进一步可得答案. 【详解】解法一：如图，连接交于点K，过点K作于点H， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 解法二：由解法一可得：，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）连接，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图①中，点，点，即为所求； 以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作即可； （2）解：四边形是矩形， ，， 设， 则， 解得， 的半径为． 故答案为：． 12．（2025·广东清远·一模）如图，在四边形中，，，连接，恰好平分． (1)请你判断四边形的形状，并证明； (2)如图，在的延长线上找一点，使得，过点作，交的延长线于点，连接，，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，如图，若，，求的值． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，，得四边形是平行四边形．根据平分性质，得．可得．得．即得； （2）连接，延长，交于点．根据菱形性质，得四边形是平行四边形．由角平分线性质可得，根据直角三角形斜边的中线性质得； （3）过点作于点，运用勾股定理求出，得．证明，得，得，．即得． 【详解】（1）解：四边形是菱形． 证明：，， 且， ∴， ∴，， 四边形是平行四边形． 平分， ． ∵． ． ． ▱是菱形． （2）证明：如图，连接，延长，交于点． ， ， ▱是菱形， ∴， 即． ∵，， ∴． 四边形是平行四边形． ，即． 又， ． 是的平分线， ∴， ∵， ∴， ． 又， 是斜边的中点． ， （3）解：如图，过点作于点． ，，， ， ． ，， ． ， ，． ． ． 13．（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，点在边上，，，，连接，，令． (1)证明：； (2)将绕点从如图位置顺时针旋转，两边分别与、相交于点、，当点与重合时停止． ①证明：的值是定值，并求出的正切值； ②求从开始到停止，线段的中点经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析，正切值为；② 【分析】（1）根据已知条件可证得，可得，再根据可得答案； （2），作于，则，可证明，利用相似可得的正切值； 点为的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得，，则可判定点在线段的垂直平分线上，如图，点点与点重合时，点在的中点处；当点与点重合时，点在线段的中点处，所以线段的中点经过的路径长即为的长度，且可知为的中位线，利用勾股定理求出长度，则得到的长度，题目可解． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：由旋转可知：； 如图，作于，则， ∵， ∴， ， ， 又， ∴， ， 的正切值， 为锐角， ∴的值是定值； 解：如图，取点为的中点，则，， ， 点在线段的垂直平分线上， 如图，点与点重合时，由（1）知点与点重合，则点在的中点处； 如图5，当点与点A重合时， ∵，故， 则此时四边形为矩形， ∵点为线段的中点， ∴也为线段的中点， 故此时与的中点重合， ∴线段的中点经过的路径长即为的长度， 如图6， ，， ， ∵是的中点，为的中点， 为的中位线， ， 即线段的中点经过的路线长为． 14．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如题1图，在中，，，过点B作直线，点D在直线上运动，连接，过点C作交直线于点E，连接，交于点F． 【分析发现】（1）求证：； 【特例探究】（2）如图2，若点E为的中点，求的值； 【拓展延伸】（3）是否存在异于点B的点D，使得与全等？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解（2）（3） 【分析】（1）由相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质求出的长，则可得出答案； （3）由（2）同理得，得出，则．当 时，有，过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，，， ， ，点为的中点， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：存在．理由如下： 如图，点在的延长线上时， ， ， ， 由（2）同理得， ， ． 当 时，有， ， ， ， 存在异于点的点，使得与 全等， 如图，过点作于点， ， 由，得， ， ， ， ． 15．（2025·广东深圳·模拟预测）【知识呈现】转化思想是数学常用的思想，在解决一些陌生问题的时候，可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决． （1）如图1，点是线段上一点，，，． 求证：； 求的值． 【小试牛刀】 （2）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处若，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，是边的中点，为边上任意一点，将射线绕着点逆时针旋转，得到射线，过点作，交射线于点，连接若，求的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）详见解析； （2） （3） 【分析】（1）①利用证明即可；②过点 作 ，交的延长线于点，设，则 ，利用三角函数表示出，在中，利用勾股定理求出的值，再根据正切的定义和等角转换即可得出结果； （2）过点 作 于点，设，则 ，根据三角函数求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理求出值，进而求出的长即可； （3）过点作于点 ，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接，得到四边形是矩形，证明，得到，设 ，，则 ，，得到根据，求出，再根据平行线分线段成比例，得到即可． 【详解】解：（1）①证明：  ， ，  ， ． 又∵， ∴ ．   解：如图   ，过点 作 ，交的延长线于点， ∵， ，  ． 设，则 ． 在中，， ，， 在 中，， ， 解得或 ． ， ，解得：  ， ， ， ， ； （2）解：如图 ，过点 作 于点 ． 为等边三角形，，， ，  ． 设，则 ． 由折叠的性质可知 ，． 在中，  ． 在 中，   ， ，解得  ， ． （3）解：如图   ，过点作于点 ，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接， 四边形是矩形， ． ， ． ， ．   ， ， ． 设 ，，则 ，， 是边的中点， ，  ． ，   ， ，化简，得  ． ，   ， 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形与四边形的几何证明 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 全等三角形的判定与性质综合 题型02 等腰三角形的判定与性质综合 题型03 相似三角形的判定与性质综合 题型04 特殊四边形的判定与性质综合 题型05 特殊四边形与全等三角形的性质综合 题型06 特殊四边形与相似三角形的性质综合 题型07 倍长中线模型 题型08 旋转模型 题型09 垂线模型 题型10 尺规作图在几何证明中的应用 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 全等三角形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东佛山·三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，王老师展示了一个问题： 如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题： 【初步探究】 （1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展研究】 （2）若，求的长． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）如图1，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E，求证：； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，若，求的长． 方法透视 考向解读 几何基础必考题，选择/填空/解答均有，考查全等判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）的灵活运用，结合性质证边等/角等，是后续综合题的核心工具，常与线段、角度证明结合。 方法技能 ①找待证边/角所在的三角形； ②挖掘已知条件（公共边/角、对顶角、平行线性质等）补全全等条件； ③用判定定理证全等，再由性质得对应边/角相等，推导出结论。 变式演练 【变式01】（2025·广东云浮·一模）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【变式02】（2025·广东河源·二模）等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：． 【变式03】（2025·广东广州·一模）如图，在四边形中，，点是线段上一点，连结．已知．求证：． 题型02 等腰三角形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东揭阳·模拟预测）如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，如图2所示：求证：． 【典例02】（2025·广东东莞·模拟预测）综合与实践． 【活动主题】分割三角形． 【问题驱动】有没有这样的三角形，用剪刀只剪一刀，就可以将其剪成两个等腰三角形？如果有，试描述符合题意的三角形的特征． 【特例感知】（1）如题图，在中，，，用剪刀只剪一刀，将分割成两个等腰三角形，如何剪？请用尺规作图作出所有的剪痕；（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】（2）如图，在中，，若满足用剪刀只剪一刀（过点B），可以分割成两个等腰三角形，试探究的内角满足的数量关系（要求探究两个内角的数量关系，并直接写出的度数范围），并说明理由； 【迁移应用】（3）如图，在中，，点G在腰上（异于点A，C），连接，如果将割为两个等腰三角形，试探究的值． 方法透视 考向解读 高频基础题，全题型覆盖，考查“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”性质，常结合角平分线、垂直、平行线考查，侧重边角转化，是特殊三角形的核心考点。 方法技能 ①性质应用：已知两边相等→证两角相等，或用三线合一证垂直/角平分线/中线； ②判定应用：已知两角相等→证两边相等，可通过作垂线构造全等辅助证明； ③遇等腰常作底边高，利用直角三角形性质辅助解题。 变式演练 【变式01】（2025·广东清远·模拟预测）如图，在中，，D为内一点，，其中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点F． (1)求的度数； (2)用等式表示的数量关系，并证明． 【变式02】（2025·广东汕尾·模拟预测）如图，在中，，点O为中点，点D在边上，连接． (1)如图1，若，于点E，求证：； (2)如图2，已知．若点F在边上，，求的长． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：是等边三角形； (3)如图3，当，且时，求证：． 题型03 相似三角形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·二模）【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”． 例如，如图1，在平行四边形中，E是边上一动点，连接、，则折线叫做平行四边形的“对动线”，折线的长叫做对动线的长． (1)如图1，菱形的边长为5，，当时，对动线的长为______． (2)如图2，当时，设此时对动线的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系． (3)平行四边形一边的长度为，，E是平行四边形边上一动点，当E将所在的边分为且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度． 【典例02】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在菱形中，，，点分别在边上，连接，． (1)如图（a），若分别是边的中点，连接，则______． (2)当时，请回答下列问题： ①如图（b），求的值； ②如图（b），若平分时，求的值； 方法透视 考向解读 几何核心综合题，解答题为主，考查相似判定（AA/SAS/SSS），结合性质证边成比例、角相等，求线段长度/面积比，常与函数、圆、特殊四边形结合，是压轴题高频考点。 方法技能 ①找相似三角形的公共角/对顶角/平行线形成的等角，用AA快速判定（最常用）； ②证边成比例+夹角相等用SAS，三边成比例用SSS； ③由相似得边的比例式，设未知数求解，面积比等于相似比的平方。 变式演练 【变式01】（2025·广东珠海·三模）为四边形内一点，，，． (1)如图1，，求证：． (2)如图2，为的中点，且． （i）求的值； （ii）求证：． 【变式02】（2025·广东·模拟预测）如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法在下方求作，使得，且；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，是的中点，连接．求证：． 【变式03】（2025·广东珠海·二模）如图1，在中，的平分线交于点E， (1)求的度数； (2)如图2，延长分别交于M，N，在的延长线取一点D，使，交于点F． ①当时，求的长； ②证明：． 题型04 特殊四边形的判定与性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东深圳·一模）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【典例02】（2025·广东潮州·模拟预测）如图，在中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 方法透视 考向解读 中档核心题，解答题为主，考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质互推，侧重判定定理的选择（如证矩形：先证平行四边形再证直角/对角线相等），常与边角证明、面积计算结合。 方法技能 ①性质应用：根据四边形类型，直接用对应性质（如平行四边形对边平行且相等、正方形对角线垂直平分且相等）； ②判定应用：按“基础图形递进”证明（如证菱形：先证平行四边形，再证邻边相等/对角线垂直）； ③遇特殊四边形常连对角线，将四边形问题转化为三角形问题。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·三模）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求． 【变式02】（2025·广东东莞·一模）如图，在矩形中，过对角线的中点O作的垂线，分别交于点E，F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【变式03】（2025·广东佛山·模拟预测）菱形的对角线交于点，，． (1)求作：菱形的高尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． (2)菱形的高 ______． 题型05 特殊四边形与全等三角形的性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东惠州·一模）已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【典例02】（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 方法透视 考向解读 中档综合题，解答题为主，以特殊四边形为载体，利用其性质构造全等三角形，结合全等证边/角相等、线段和差，侧重“四边形性质为全等搭桥”的思维，是几何综合的基础题型。 方法技能 ①由特殊四边形性质（如平行四边形对边相等、矩形对角线相等）找全等的边/角条件； ②确定待证结论所在的三角形，用全等判定定理证明； ③结合全等性质和四边形性质，推导最终结论（如线段相等、垂直）。 变式演练 【变式01】（2025·广东广州·模拟预测）（1）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长． 【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1所示，点E为正方形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，求证：． 【数学理解】 （2）如图2所示，点E为矩形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，连接．若，，则线段与的数量关系为_____；连接 ，，则，的位置关系为_____．请证明你的结论． 【拓展探究】 （3）如图3所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点M与点B关于y轴对称，点P为第一、三象限内一点，直线交x轴于点C，直线交y轴于点D，且，求的最小值． 【变式03】（2025·广东江门·三模）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点M，在等腰直角三角形中，，将绕点M旋转，连接． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)在图中，延长相交于点P，点G是的中点，求的长； (3)点P是（2）中所述的点，在旋转的过程中，求的最大值（直接写出结果）． 题型06 特殊四边形与相似三角形的性质综合 典例引领 【典例01】（2025·广东汕头·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． (1)的长为___________； (2)连接，求的大小； (3)延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 【典例02】（2025·广东河源·模拟预测）问题探究：如图1，在正方形中，点E，Q分别在边，上，于点O，点G，F分别在边、上，． (1)①判断与的数量关系：_____； ②推断：_____（填数值）； (2)类比探究：如图2，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形，交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用1：如图3，四边形中，，，，，点M，N分别在边、上，求的值． (4)拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接，若，，求的长． 方法透视 考向解读 中高档综合题，解答题为主，以平行四边形、矩形、菱形等为载体，利用其平行/垂直性质构造相似三角形，求线段长度、面积比、动点坐标，常与函数结合，是几何与代数综合的过渡题型。 方法技能 ①由特殊四边形的平行关系得等角，用AA证相似（如平行四边形对边平行→同位角/内错角相等）； ②由相似得比例式，结合四边形的边长条件设未知数求解； ③遇正方形/菱形的垂直关系，可构造直角三角形相似辅助解题。 变式演练 【变式01】（2025·广东珠海·三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点G，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点E、F，分别交、于点G、H，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点B和点D重合，若，，则折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点D落在边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【变式02】（2025·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，以点O为圆心，作与直线相切，切点为E，连接． (1)求的半径； (2)延长交于点F，G是射线上一点，若与相似，请求出的长； (3)P是上的一个动点，连接交直线于点H．在点P运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【变式03】（2025·广东深圳·模拟预测）翻折问题是初中数学中重要的几何变换之一，是欧氏几何重要的工具，蕴含着深刻的数学思想，是理解对称，全等图形的重要基础．以下某数学兴趣班在数学活动课中研究四边形的翻折问题． 【探究活动一】（1）如图，小明先将矩形对折，使与重合，折痕为，再把这个矩形展平，连接，点E为上一点，然后沿直线折叠，使得点C的对应点F落在上．若，，则的值为 ； 探究过程 探究方法 第一小组 第一小组同学通过延长交于点G，推导出，并利用，求出． 第二小组 第二小组同学通过连接，在与中，利用勾股定理解方程，求出． 请你选择以上两种方法中的一种，通过推导演算求出． 【探究活动二】（2）如图，小李将矩形改为正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，连接，点E为上一点，然后沿直线折叠，使得点C的对应点落在上．请求出的值为 ． 【探究活动三】（3）中，，，，将沿某直线翻折，使得点A与的中点重合，折痕与直线交于点E，若，请求出m的值． 题型07 倍长中线模型 典例引领 【典例01】（2025·广东广州·模拟预测）在中，，，点，分别在边，上，，连接． (1)如图1，连接，取中点，连接，，，，求的长； (2)如图2，将绕点旋转，使，，三点共线，连接，取中点，取中点，连接，，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)连接、为的中点，连接，，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，四边形中，，，E为中点，F、G分别在边、上，且，若，，求长． 方法透视 考向解读 几何模型必考题，选择/解答均有，考查中线相关的边角证明、线段和差最值，适用于“有中线/中点，需证边等/角等/线段倍分”的场景，是构造全等的经典模型。 方法技能 ①核心技巧：延长中线至一倍长度，连接端点，构造SAS全等三角形； ②将分散的边/角转移到同一个三角形中，利用三角形三边关系、等腰/全等性质推导结论； ③遇“中点非中线”，可先作中线再用倍长法。 变式演练 【变式01】（2025·广东惠州·模拟预测）如图，和均为等腰直角三角形，连接，，为的中点，连接，． (1)【观察猜想】 如图①，当点在的延长线上时，线段与的数量关系为________； (2)【类比探究】 将绕点顺时针旋转至如图②所示位置，连接，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)【解决问题】 若，，将绕点顺时针旋转过程中，当，，三点共线时，请求出的长． 【变式02】（2025·广东佛山·模拟预测）如图，中，，，点D在上不与A，B重合，取的中点F，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点H，则点D在上运动的过程中，线段的最小值为______． 【变式03】（2025·广东汕头·模拟预测）《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力． 【模型证明】 （1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在中，，延长到E，使得，D是边的中点，连接，求证：； 【模型构造】 （3）如图3，在中，，，延长到D，使得，连接，求的度数． 题型08 旋转模型 典例引领 【典例01】2025·广东清远·模拟预测）如图1，在中． (1)若于点，且点为的中点，，点在上，连接，作于点，连结． ①，求的长； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)如图2，若，，点是边上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【典例02】（2025·广东广州·三模）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、，，请你探究线段、与之间的数量关系直接写出答案：______ （2）如图2，在正方形中，点，在对角线上，且，请你猜想线段，，之间的数量关系，并证明． （3）如图3，正方形的边长为，点为边上一点，于，为中点，连接并延长交于点，且，请求出的长． 方法透视 考向解读 几何难点模型，解答题为主，考查旋转的性质（对应边相等、对应角相等、旋转角相等），适用于“有公共顶点的等线段、需构造全等/相似”的场景（如等边三角形、正方形共顶点），常与最值、存在性问题结合。 方法技能 ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角（由等线段/特殊角定，如等边三角形旋转60°，正方形旋转90°）； ②旋转分散的线段/角，构造全等/相似三角形，将问题转化为常规边角证明； ③利用旋转角结合特殊角，推导角度关系。 变式演练 【变式01】（2025·广东湛江·模拟预测）在等腰中，，点为边上一点，连结．    (1)如图1，若，，求线段的长度； (2)如图2，将图1中线段绕点顺时针旋转得到线段，连结，求出的值． (3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结、，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，线段、交于点，连结，猜想线段、、的数量关系并证明你的结论． 【变式02】（2025·广东茂名·模拟预测）在中，，，点E是平面内一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接， (1)如图1，若点E为的中点，，求点A到的距离； (2)如图2，若点E在的内部，延长交于点F，当F为中点时，求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，点M是直线上一点，连接，将沿翻折得到，点P是直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接，，，当的值最小时，直接写出的面积． 【变式03】（2025·广东阳江·模拟预测）点分别是等边三角形的边和上的点，且，连接． (1)如图1，若，将绕着点顺时针旋转，得到，连接和．求证： ①为等边三角形； ②探究线段，与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，当时，若为的中点，连接，求证：． 题型09 垂线模型 典例引领 【典例01】（2025·广东潮州·模拟预测）已知，如图，在正方形中，点分别是边上的动点． (1)如图1，若，垂足为M，求证：； (2)如图2，点G是边上一点，且，垂足为M． ①判断与是否相等？并说明理由； ②如图3，若垂直平分， 交对角线交于点N， 直接写出线段之间的数量关系． 【典例02】（2025·广东肇庆·模拟预测）在中，，． (1)如图，过点作于点，求证：； (2)如图，在中，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为多少？并用线段，表示，并说明理由； (3)在图，图中，在同一平面内有一点，满足，，且，请求出点到边上的高． 方法透视 考向解读 几何基础模型，全题型覆盖，考查垂直的性质（直角、互余），适用于“证垂直、求线段长度、利用直角三角形性质”的场景，常与角平分线、中线、特殊三角形结合，是几何计算的核心模型。 方法技能 ①遇垂直直接用直角三角形性质（勾股定理、两锐角互余）； ②证垂直：可证夹角为90°，或证三角形中两边的平方和等于第三边的平方，或利用全等/相似证角为直角； ③构造垂线：过点作线段的垂线，形成直角三角形，辅助计算或证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，，，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当，时，求的长度； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，线段交线段于点． ①求的度数；（用含的式子表示） ②如图3，当，过点作于点，过点作于点．探究与之间的数量关系是否随变化而变化．若不变，证明与的数量关系；若改变，请说明理由． 【变式02】（2025·广东梅州·模拟预测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式03】（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，在上方作，使，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，．求证：； (3)如图3，若，，延长交于点E．若，直接写出的长． 题型10 尺规作图在几何证明中的应用 典例引领 【典例01】（2025·广东江门·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的长． 【典例02】（2025·广东韶关·三模）如图，已知平行四边形． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在①的条件下，求证：是等腰三角形． 方法透视 考向解读 基础必考题，选择/填空/解答均有，考查基本尺规作图（作角平分线、垂直平分线、垂线、等角、等线段），结合作图痕迹证明边/角关系，侧重“作图原理与几何定理结合”（如作垂直平分线的原理是到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上）。 方法技能 ①熟记基本尺规作图的步骤和痕迹特征（如作角平分线的弧迹、作垂直平分线的交叉弧）； ②由作图痕迹推导已知条件（如弧迹交点→到线段两端距离相等、角平分线→角相等）； ③结合全等、等腰、垂直平分线等定理，完成几何证明。 变式演练 【变式01】（2025·广东揭阳·三模）如图，在中，，． (1)用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：． 【变式02】（2025·广东珠海·三模）如图，在中， (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点D，使得；不写作法，保留痕迹 (2)在的条件下，若与相交于点E，，，求的比值． 【变式03】（2025·广东湛江·模拟预测）如图，在中，，． (1)实践与操作：用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算，在（1）的条件下，连接，求的周长． 题●型●训●练 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）如图，在中，对角线与相交于点O，E是延长线上的一点，连接交于点F．已知，，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（   ） A． B．3 C． D．5 4．（2025·广东江门·模拟预测）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．6 C．3 D．1.5 5．（2025·广东深圳·三模）如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（   ） A．5 B．7 C． D． 6．（2025·广东·一模）已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点O，点M、N分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分．其中正确的有__________． 7．（2025·广东阳江·模拟预测）如图，已知四边形是边长为6的正方形，为延长线上一点，以为边，在直线上方作正方形，连接，取的中点，连接．若，则_____ ． 8．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在▱中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，交的延长线于点，连接，若点恰好是的中点，则的值为______． 9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形的对角线，交于点O，P为上的一点，连接，过点P作交的延长线于点F，延长交于点，则以下结论：（1）；（2）；（3）点P为的中点；（4）；（5）若，则，其中正确的结论有______个．（填正确结论的个数） 10．（2025·广东深圳·模拟预测）在菱形中，，在上分别有一点，连接交于点，若，，则的值为___________． 11．（2025·广东东莞·一模）在矩形中，． (1)请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图．先在边上确定点，使．再在边上确定点，作出以为圆心的圆，且使经过点和点； (2)在（1）的条件下，若点在直线上，点在直线上，，且，则的半径为______．（使用备用图分析） 12．（2025·广东清远·一模）如图，在四边形中，，，连接，恰好平分． (1)请你判断四边形的形状，并证明； (2)如图，在的延长线上找一点，使得，过点作，交的延长线于点，连接，，求证：； (3)在（2）的条件下，连接，如图，若，，求的值． 13．（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，点在边上，，，，连接，，令． (1)证明：； (2)将绕点从如图位置顺时针旋转，两边分别与、相交于点、，当点与重合时停止． ①证明：的值是定值，并求出的正切值； ②求从开始到停止，线段的中点经过的路径长． 14．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如题1图，在中，，，过点B作直线，点D在直线上运动，连接，过点C作交直线于点E，连接，交于点F． 【分析发现】（1）求证：； 【特例探究】（2）如图2，若点E为的中点，求的值； 【拓展延伸】（3）是否存在异于点B的点D，使得与全等？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 15．（2025·广东深圳·模拟预测）【知识呈现】转化思想是数学常用的思想，在解决一些陌生问题的时候，可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决． （1）如图1，点是线段上一点，，，． 求证：； 求的值． 【小试牛刀】 （2）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处若，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，是边的中点，为边上任意一点，将射线绕着点逆时针旋转，得到射线，过点作，交射线于点，连接若，求的值．（用含的式子表示） 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $