精品解析：广西壮族自治区玉林市第一中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题

2026年高二年级阶段性检测一（数学） 命题人：吕建东 审题人：黄明、李倍庆、徐慧静 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设有. 2. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据基本初等函数的求导公式可知，，，，，故ABC错误，D正确. 3. 若数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用裂项相消求和可得答案. 【详解】， 则. 故选：A. 4. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点，排除， 求得函数的导数， 由得， 得或，此时函数单调递增，排除，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 5. 设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，从而得到，再求即可. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 故选：B 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 8. 已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）． A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建函数，求导可知函数单调性，然后代值计算即可. 【详解】令，则．因为，所以，在上单调递增， 而，又，即，从而，根据的单调性可得， 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可. 【详解】设公比为，则，解得，故， 则，. 对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，为常数，故C正确； 对D，，，故为等比数列，故D正确； 故选：ACD 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用间接法求不同排法数判断A；先排千位，再排其它三位判断B；应用分步计数原理判断C；根据对角线定义及分步计数原理求对角线条数判断D. 【详解】A：将5人作全排列有种，先求甲丙相邻的情况，将甲和丙捆绑，再和其他三人全排列，有， 若甲与丙不相邻，则共有种，错； B：从1、2、3中选一个放在千位有种，再把余下的3个数作全排种，共有种，对； C：由题意，每个人都有3种选择，故共有种，对； D：对于任意一个顶点都有9条对角线，但会重复计算一次，故共有条，对. 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 当时，函数有两个极值点 C. 当时，函数在R上单调递增 D. 过原点可作曲线的切线有且仅有两条 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，，故点是曲线的对称中心，故A正确； 对于B，当时，， 令，解得或；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故B正确； 对于C，当时，恒成立，故函数在R上单调递增，故C正确， 对于D，，设切点为， 所以在点处的切线方程为：， 又因为切线过点，所以，解得，， 即过点可作曲线切线有且仅有1条，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列的前n项和为，公差为d，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式求解，即得答案. 【详解】等差数列中，， 则，所以， 则. 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可． 【详解】令可得，， 因为，两边同时除以x得， 令，则问题等价于直线与曲线有两个不同交点， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，在处取得最小值， 又当时，，，但增长更快，故； 当时，与中主导，故，函数图像如下所示， 所以实数a的取值范围为． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 【答案】（1）60 （2）91 （3）14 【解析】 【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解. 【小问1详解】 从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题，，故有60种选法； 【小问2详解】 若小王和小红均未入选，则有种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有种选法； 【小问3详解】 若2个考点派送人数均为2人，则有种派送方式， 若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式. 16. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，为的前n项和，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意列出方程组，即可求得答案； （2）结合（1）的结果可得的表达式，说明为等比数列，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可证明结论. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由，得，解得， 故； 【小问2详解】 ，则， 故是以为首项，以为公比的等比数列， 故， 由于随着n的增大而增大，，故是关于n的增函数， 故， 又，故, 综上可知. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，记的极小值为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式即可求出切线方程； （2）对的取值分类讨论，根据的单调性可求得，分析法证明，构造函数，利用导数研究函数的单调性可证. 【小问1详解】 当时，， 所以的定义域为，，， 所以，即在点处的切线斜率为. 由点斜式可知曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由知的定义域为，且. ①当时，恒成立，是增函数，没有极小值，不符合题意. ②当时，若，则，所以上单调递减； 若，则，所以在上单调递增， 所以有极小值，且极小值为，所以. 要证，即，只需证. 令，则， 由复合函数的单调性知在上单调递增， 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在时取得极小值，也是最小值， 所以，即， 即. 18. 记为数列的前n项和，已知． （1）求通项公式； （2）设，记数列的前n项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）;（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用退位相减法可得，求出后可求通项； （2）利用错位相减法可求，再就的奇偶性分类讨论后可求参数的范围. 【小问1详解】 因为，故，， 故即，， 而，故，故，故， 所以是首项为，公比为的等比数列，故. 【小问2详解】 （ⅰ）， ，故， 所以， 所以. （ⅱ）若对任意的，恒成立， 当为正偶数时，，因为，故为增数列， 故此时的最小值为，故； 当为正奇数时，，同理此时的最小值为，故， 故. 19. 已知函数. （1）求证：时，； （2）设，其中； ①求证：在区间上有唯一的极值点； ②设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）①证明见详解，②，证明见详解. 【解析】 【分析】（1）构造函数，对函数求导，由导数在区间上的正负得到函数的单调性，然后得到函数值的大小关系，即可得证； （2）写出函数，并求导.①令，再求导函数，由导函数在区间上的正负得到函数的单调性，再由零点存在性原理得到存在唯一零点，然后得到函数的单调区间，从而证明函数存在唯一极值点. ②由①可知，求得参数，然后化简.构造函数，利用导函数得到构造函数的单调性，证明，从而得到，由函数的单调性判断与的大小. 【小问1详解】 令， 则， 当，，即在上单调递增. ∴当时，，即. 【小问2详解】 ， 则， ①令，则， 当，，即函数在上单调递增. ∵，. 即在之间存在唯一的，使得. 即当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 即是函数在区间上有唯一的极值点. ②由题设可得是函数在区间上的极值点. 由①可知，即为，故，即 单调递减区间，单调递增区间， ∵，， ∴函数在没有零点，在上存在唯一零点，，即. ， ， 令， ， 即函数在上单调递增，∵， ∴，即. ∴，而,∴. 【点睛】本题主要考查了利用导数与函数单调性的关系，本题第二问的第一小问关键是求导后能够再次构造函数求导，结合零点存在定理判断；本题第二问的第二小问关键是能利用零点和极值点，然后构造函数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二年级阶段性检测一（数学） 命题人：吕建东 审题人：黄明、李倍庆、徐慧静 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1. 在数列中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下面求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若数列的通项公式为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为 A. B. C. D. 5. 设等比数列的前n项和为，已知，，则（ ） A 6 B. 12 C. 18 D. 48 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 8. 已知是定义域为的函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法 B. 用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个 C. 4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法 D. 正十二边形的对角线的条数是54 11. 已知函数，则（ ） A. 点是曲线的对称中心 B. 当时，函数有两个极值点 C. 当时，函数在R上单调递增 D. 过原点可作曲线的切线有且仅有两条 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列前n项和为，公差为d，且，则______． 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？ 16. 已知等差数列前n项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，为的前n项和，证明：. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，记的极小值为，证明：. 18. 记为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 19 已知函数. （1）求证：时，； （2）设，其中； ①求证：在区间上有唯一的极值点； ②设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $