22.1函数的概念（第1课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第1课时 常量与变量 22.1 函数的概念 第二十二章 函数 1 2 3 理解变量和常量的定义，能正确识别变化过程中的变量与常量； 会用含一个变量的代数式表示另一个相关变量，能结合实际问题描述变量之间的对应关系； 经历“实际问题数量分析抽象概念应用拓展”的过程，体会函数思想变化与数学建模思想. 第二十二章 函数 章节导读 22. 2 函数的表示 22. 1 函数的概念 常量与变量 函数的概念 函数表达式 函数的图像 利用函数图像解决实际问题 函数的三种表达方式 章节导入 “万物皆变”—— 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化，我国 “天宫” 空间站与北京航天飞行控制中心的距离随时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化，树高随树龄的变化而变化…… 在现实世界中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在. 为了研究运动变化现象中变量之间的关系，数学中逐渐形成了函数概念。人们通过研究函数及其性质，可以更深入地认识现实世界中事物变化的规律. 在本章中，我们将通过具体例子，认识常量和变量，学习函数的概念和表示方法。在此基础上，用函数描述一些简单问题中变量之间的关系，感受函数在刻画变量关系和变化规律中的作用. 导入新课 情景一：汽车以的速度匀速行驶，当行驶时间分别为时，行驶路程分别为多少？ 的值随的值的变化而变化吗？ 导入新课 情景二：电影《泰坦尼克号》的售价为 40 元/张. 第一场售出 80 张票，第二场售出 105张票，第三场售出 180 张票. 设一场电影售出张票，票房收入为元，的值随的值的变化而变化吗？ 导入新课 情景三：如图, 圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径分别为 10 cm, 20 cm, 30 cm 时，圆的面积 S 分别为多少？ S 的值随的值的变化而变化吗？ 导入新课 情景四：长方体的体积为 1 000 cm,当长方体的底面积 S 分别为 50 cm, 100cm,时，高分别为多少？ 的值随 S的值的变化而变化吗？ 新知探究 探究 在这些情境中，哪些量是固定不变的？哪些量是不断变化的？ 不断变化的量 汽车匀速行驶：路程随时间变化。 电影票房收入：收入随售票数量变化。 水中涟漪面积：面积随半径变化。 长方体高：高随底面积变化 (体积固定)。 像路程、时间、收入等在一个变化过程中，数值发生变化的量，叫做变量. 新知探究 始终不变的量 汽车匀速行驶； 电影票房收入； 水中涟漪面积； 长方体 (体积固定)。 速度不变 电影票票价 圆周率 体积 像速度、电影票票价、圆周率等在一个变化过程中，数值始终不变的量，叫做常量. 即时训练 1.某汽车匀速行驶在高速公路上，有下列各量：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量．其中变量的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】在一个过程中发生变化的量就是变量. 【详解】解：∵汽车匀速行驶， ∴变量有②、③、④，共3个． C ∴行驶速度①为常量； 行驶时间②、行驶路程③和剩余油量④均随过程变化， 新知总结 变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量； 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量. 变量和常量是绝对的吗？ 若路程固定为 ，速度 和时间 为变量，为常量. 结论：变量与常量相对变化过程而定. 典例分析 例1 指出下列问题中的常量和变量： （1）某市居民生活用水的价格为5元/t．记某户的月用水量为 t，月应缴水费为 元． （2）在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元．李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车 次，公交卡中的余额为 元． （3）用20 m长的绳子围一个矩形，记矩形的一边长为 m，矩形的面积为 m²． 【分析】根据常量与变量的定义，判断问题中数值固定不变的量为常量，数值会发生变化的量为变量. 巩固练习 解：（1）生活用水的价格是常量，某户的月用水量 和月应缴水费 是变量． （2）刷公交卡每次收费和存入的钱数是常量，乘坐公交车的次数 和公交卡中的余额 是变量． （3）绳的长度是常量，矩形的一边长 和面积 是变量． 巩固练习 1.圆面积公式，下列说法正确的是（      ） A．S、是变量，r是常量 B．S是变量，、r是常量 C．r是变量，S、是常量 D．S、r是变量，是常量 【详解】解：A、是常量，是变量，故不符合题意； B、是变量，故不符合题意； C、是变量，故不符合题意； D、S、r是变量，是常量，符合题意． D 【分析】根据常量与变量的定义，在圆面积公式中，是固定不变的圆周率，为常量；圆的半径 和面积会随的变化而改变，为变量. 巩固练习 2.小王上学时以每小时的速度行走，他所走的路程与时间之间的关系为：，则下列说法正确的是（      ） A．和6都是变量 B．是常量，6和是变量 C．6是常量，和是变量 D．是常量，5和是变量 【分析】根据常量与变量的定义，在公式 s=6t 中，行走速度 6 km/h 是固定不变的常量，而路程 s 和时间 t 会随行走时长变化，为变量 【详解】解：在中，6是常量，s 和t 是变量 C 巩固练习 3.以固定的速度（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，下列说法正确的是（      ） A．是常量，是变量 B．是常量，是变量 C．是常量，是变量 D．是常量，是变量 【分析】本题依据常量与变量的定义，结合竖直上抛公式判断出 v0​、4.9 是常量，t、h 是变量. 【详解】解：中的v0（米/秒）是固定的速度，4.9是定值， 故是常量，t、h是变量. C 巩固练习 4.“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（      ） A．时间为常量 B．冰的厚度为常量 C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量 【分析】本题考查变量与常量的概念．根据自变量、因变量及常量的定义求解即可． 【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化． 在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量． D 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 课堂小结 变量与常量 1. 知识点回顾 2. 易错点警示 3. 解题技巧 人教版 · 八年级下册 核心定义与公式 基本概念 1. 变量： 在一个变化过程中，数值发生变化的量。 2. 常量： 在一个变化过程中，数值始终保持不变的量。 实例分析：圆的面积 S = πr² 在这个变化过程中： π 是 常量 S, r 是 变量 实例分析：匀速运动 t = s v 若速度 v 保持不变： 常量是 v，变量是 s, t 易错点警示 ! 常量的形式 误区：认为常量只能是具体的数字。 正解： 常量也可以是用字母表示的数（如 π, g）。 ! 数字 0 的身份 误区：忽略 0 也是常量。 正解： 在关系式 y = x 中，可以看作 y = x + 0，此时 0 是常量。 ! 相对性原则 误区：认为某个量永远是常量或变量。 正解： 必须依赖于具体的变化过程。 例如：在 l = 2πr 中，若半径变化，r 是变量； 若固定半径研究不同圆，r 可能是常量。 解题技巧与模型 技巧一：数值判断法 判断一个量是常量还是变量，关键看在变化过程中，它的数值是否发生改变。 🔄 数值变化 变量 🔒 数值固定 常量 技巧二：隐含条件挖掘 有些常量不会直接给出，需要从几何图形或物理规律中挖掘。 三角形内角和：180°（常量） 直角三角形中的直角：90°（常量） 一天的总时长：24 小时（常量） 技巧三：向量表示规范 在涉及位移或力的变化时，注意向量的书写规范。 力 F 作用在物体上，位移为 s （注：字母上方加箭头表示向量） $