6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4平面向量的应用 6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例 学 习 目 标 1 2 3 会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. 体会数学建模的一般步骤. 新课引入 遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？ 在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？ 新课引入 从泰晤士河对岸看议会大厦,泰晤士河是英国著名的“母亲”河，如何测量两者之间的距离？ 河对岸有指挥部，中央有信号塔（不可到达），如何测量两者之间的距离？ A B C D 新课引入 我们通常需要借助一些测量工具： 1. 测量距离： 卷尺、红外测距仪 2. 测量角度：经纬仪 新知探究 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。 方向角 方位角 从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角。 从某点的指北方向线起依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 新知探究 例2：若信号塔和指挥部在河的同一侧（两地都不可到达），你在另一侧，请你设计一种测量两点间距离的方案. B A a C D α β γ θ ①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； ②用文字和公式写出计算间的距离的步骤; 新知探究 实际问题 抽象概括 画示意图 建立数学模型 推理 演算 数学模型的解 还原说明 检验作答 实际问题的解 典例分析 例9 如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 【分析】若测量者在两点的对岸取定一点（称作测量基点），则在点处只能测出的大小，因而无法解决问题。为此，可以再取一点，测出线段的长，以及，，，这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了。 典例分析 例9 如图，两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量两点间距离的方法，并求出间的距离. 解：如图，在两点的对岸选定两点， 测得，，，，. 在和中，由正弦定理，得 于是，在中，由余弦定理可得 即时训练 1、如图，为了测量隧道口的长度，给定下列四组数据，测量时应选用以下哪组数据？（ ） ．α，a，b　　．α，β，a ．a，b，γ ．α，β，b 【答案】： 2、如图，两点分别在河的两边，测量两点间的距离. • 解：如图，在A的一侧选取点C，测得 由正弦定理，得 则， 知识小结 测量距离的基本类型及方案 典例分析 例10 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 【分析】由于建筑物的底部是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点到建筑物的顶部的距离,并测出由点观察的仰角，就可以计算出建筑物的高. 典例分析 例10 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 解：如图，选择一条水平基线，使三点在同一条直线上. 在两点用测角仪器测得的仰角分别是，，， 测角仪器的高是. 那么，在中，由正弦定理，得 所以，这座建筑物的高度为 知识小结 测量高度的基本类型及方案 典例分析 例11 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距的处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)？需要航行的距离是多少海里(精确到1 )？ 【分析】首先应根据“正东方向”“南偏西30°”“目标方向线”等信息，画出示意图. 知识小结 正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤: (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解． 即时训练 1、如图，两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的两点，测得，，， 那么此时两点间的距离是多少？ 解：由正弦定理得： 米)， 米). 在中，由余弦定理得， . ∴两点间的距离是. 题型1 距离问题 即时训练 1、如图所示，是水平面上的两个点，相距800，在点测得山顶的仰角为45°，，又在点测得，其中点是点到水平面的垂足，求山高两. 解：因为，，所以. 因此只需在中求出即可，在中， ，由， 得(). 即山的高度为米. 题型2 高度问题 即时训练 2、如图，某登山队在山脚 </m> 处测得山顶 </m> 的仰角为 <m></m> ，沿倾斜角为 <m></m> 的斜坡前进 <m></m> 后到达 <m></m> 处，又测得山顶 <m></m> 的仰角为 <m></m> ，求山的高度. （精确到 <m></m> ，参考数据： <m></m> ， <m></m> ） 解：如图，过点作<m>交于点</m>， 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 于是 <m></m> . 又 <m></m> ，所以 <m></m> . 在 <m></m> 中，由正弦定理，得 <m></m> . 在 </m> 中， <m></m> . 所以山的高度约为 </m> . 题型2 高度问题 即时训练 1、“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的三点进行测量.已知，，于处测得水深，于处测得水深，于处测得水深，则. 【答案】： 题型3 夹角问题 即时训练 2、如图所示，当太阳光与水平面的倾斜角为 时，一根长为 的竹竿斜放在地面上，要使它的影子最长，求竹竿与地面所成的角. 解：设竹竿与地面所成的角为</m> ，影子长为 <m></m> . 由正弦定理，得 <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， ∴当 <m></m> ，即 <m></m> 时， <m></m> 有最大值. 即当竹竿与地面所成的角是 <m></m> 时，影子最长. 题型3 夹角问题 课堂总结 1．解决应用题的思想方法是什么？ 把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想． 2 ．应用正余弦定理解决应用题的步骤是什么？ 实际问题 数学问题（画出图形） 解三角形问题 数学结论 分析转化 感谢聆听! 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD， ∠ADC，∠ACB， 在△ACD中用正弦定理求AC； 在△BCD中用正弦定理求BC； 在△ABC中用余弦定理求AB 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数． 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 $