6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 　 第六章 单元学习四　向量应用 学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高 度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，培 养数学建模的核心素养. 任务一　测量距离问题 1 任务二　测量高度问题 2 任务三　测量角度问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　测量距离问题 返回 (链接教材P49例9)为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型，若AC＝40米，BC＝80米，∠MCA＝45°，∠NCB＝30°，∠MCN＝120°，则塔尖M，N之间的距离为 A.80米 B.120米 C.80米 D.80米 √ 典例 1 MC＝＝80米，NC＝＝160米，在△MCN中，由余弦定理得MN＝＝80米，则塔尖M，N之间的距离为80米.故选D. 规律方法 测量距离问题的基本类型及方案 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形       规律方法 方案 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 对点练1.(1)如图，在高速公路建设中要确定隧道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC＝3 km，BC＝4 km，且C＝60°，则隧道AB的长度为 A.3 km B.4 km C. km D. km √ 由余弦定理可得 AB＝＝ ＝(km).故选C. (2)如图，在河岸的一边选定两点A，B，河对岸有一个标记物C，测得A＝30°，B＝75°，AB＝120 m，则B，C两点间的距离为_____________m. 60－1) 由题意知C＝180°－A－B＝75°，sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.由正弦定理得＝，所以BC＝＝＝60－1)(m). 返回 任务二　测量高度问题 返回 (链接教材P50例10)如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD＝100米，在点C测得塔顶A的仰角为60°.则塔高AB＝________ __________米. 典例 2 150 (－) 在△BCD中，因为∠BCD＝45°，∠BDC＝60°，CD ＝100，则∠CBD＝75°，sin 75°＝sin ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝×＋× ＝.由正弦定理得＝，BC＝ ＝＝50(3－)米.依题意，AB⊥BC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，由tan ∠ACB＝得AB＝50(3－)tan 60°＝50(3－)×＝150(－)，所以塔高AB是150(－)米. 规律方法 测量高度问题的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 底部可达   测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C 规律方法 类型 简图 计算方法 底部不可达 点B与C， D共线   测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C， D不共线   测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 对点练2.如图，为测量自由式滑雪大跳台最高处C点的高 度，小王在场馆内的A，B两点测得C处的仰角分别为45°， 30°，AB＝60 m，且∠AOB＝30°，则大跳台最高处C点 的高度OC是多少？ 解：在△BOC中，OB＝＝OC.在△AOC中，OA ＝＝OC.在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OB2＋OA2－2OB·OA·cos ∠AOB，即3 600＝3OC2＋OC2－2OC·OC·＝OC2，所以OC＝60 m. 返回 任务三　测量角度问题 返回 (链接教材P50例11)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离(30－30)海里处有一个小岛C. (1)求小岛A到小岛C的距离； 解：在△ABC中，AB＝60，BC＝30－30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°. 根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝602＋(30－30)2－2×60×(30－30)·cos 120°＝5 400，则AC＝30. 所以小岛A到小岛 C的距离是30海里. 典例 3 (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向. 解：根据正弦定理得＝， 所以＝，解得sin ∠ACB＝. 在△ABC中，因为AB＜AC，所以∠ACB为锐角， 所以∠ACB＝45°，所以∠CAB＝180°－120°－45°＝15°. 由75°－15°＝60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行. 规律方法 画测量角度问题示意图的基本步骤 对点练3.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A 点(－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西 75°方向，与A距离2 n mile的C处我方缉私船，奉命 以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？ 解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6， 所以BC＝. 且由正弦定理得＝， 所以sin ∠ABC＝＝＝， 所以∠ABC＝45°，所以B点在C点的正东方向上， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以sin ∠BCD＝＝＝，所以∠BCD＝30°. 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船. 返回 课堂小结 任务再现 不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案 方法提炼 数形结合 易错警示 方位角是易错点 随堂评价 返回 1.如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为m，α＝48°，β＝62°，则A，B两点间的距离为 A. B. C. D. √ ∠ABC＝180°－48°－62°＝70°，由正弦定理得＝则AB＝.故选C. 2.在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为 A.6海里 B.6海里 C.4海里 D.12海里 √ 设甲驱逐舰，乙护卫舰，航母所在位置分别为A，B，C(图略)，则∠ACB＝45°＋15°＝60°，∠BAC＝90°－15°＝75°，∠ABC＝180°－60°－75°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝6，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为6海里.故选A. 3.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________. 30 m 由题图，可得B＝45°，∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). 4.已知A，B，C三座小岛的位置如图所示，其中B岛在A岛的南偏西60°方向，C岛在B岛的正东方向，A，C两岛相隔4千海里，一货轮由A岛出发沿着AC方向航行了的路程后，到达M岛进行补给后再前往C岛，若M岛到B 岛的距离与M岛到A岛的距离相同，则B，C两岛的距离为_______千海里. 依题意得∠ABC＝30°，AC＝4，则AM＝AC＝3，MC＝AC＝1，BM＝AM＝3，记∠BAC＝∠ABM＝θ，则∠BMC＝2θ.在△ABC中，由正弦定理得＝，即BC＝8sin θ.在△BMC中，由余弦定理得BC2＝BM2＋CM2－2BM·CM·cos 2θ＝10－6cos 2θ，故64sin2θ＝10－6cos 2θ，解得sin2θ＝.因为θ∈，所以sin θ＝，所以BC＝8sin θ＝. 返回 课时分层评价 返回 1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东80° D.南偏西80° √ 由条件及题图可知，A＝B＝40°.又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.海上有A，B，C三个小岛，已知A岛和B岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距 离为 A.海里 B.5海里 C.5海里 D.10海里 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图， 在△ABC中，A＝60°，B＝75°AB＝10，所以C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，所以BC＝5.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000米后到达S处，又测得山顶的仰角∠DSB＝75°，则山高BC为 A.1 000米 B.1 000米 C.500(＋1)米 D.500(＋)米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，所以∠ASB＝180°－ 30°－15°＝135°.在△ABS中，由正弦定理得AB＝ ＝＝1 000米，所以BC＝ABsin 45° ＝1 000×＝1 000米.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某数学兴趣小组成员为测量某塔(如图①)的高度，选取与塔底O在同一水平面上的A，B两点作为基点进行测量，如图②.已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，AB＝25米，∠AOB＝30°，则该塔的高度OP＝ A.25米 B.25米 C.50米 D.25米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得∠OAP＝60°，∠OBP＝45°.设OP＝ h米，则在Rt △AOP中，OA＝＝＝h 米.在Rt△BOP中，OB＝＝＝h米.在 △ABO中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－ 2OA·OBcos ∠AOB＝h2＋h2－2×h2×＝h2，所以h＝AB.因为AB＝25米，所以h＝25米.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有 A.甲楼的高度为20 m B.甲楼的高度为10 m C.乙楼的高度为 m D.乙楼的高度为10 m √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，BD＝ 20 m，所以AD＝BDtan 60°＝20m，则甲楼的 高度为20 m.AB＝40 m.在△ABC中，由题易知 ∠CAB＝30°＝∠CBA，∠ACB＝120°.设AC＝ BC＝x，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos ∠ACB，即1 600＝x2＋x2＋x2，解得x＝，则乙楼的高度为 m.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是 A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD ＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝ 12，AC＝8.在△ABD中，由正弦定理得＝ ，所以AD＝＝24，故A正确； 在△ACD中，由余弦定理得CD＝ ，即CD＝ ＝8，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；由∠ADB＝60°，知D在灯塔B的北偏西60°处，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上的A，D两点，已知∠ADC＝90°，A＝60°，AB＝2，BD＝2，CD＝4，则BC的长为______. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABD中，由正弦定理得sin ∠ADB＝＝.因为∠ADC＝90°，所以cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos ∠BDC＝24＋48－4×4×＝48，所以BC＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15 n mile的C处.现甲船以35 n mile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25 n mile的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为____h. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如题图所示，在△OBC中，∠BOC＝30°＋90°＝120°，OC＝15，OB＝25，所以BC2＝152＋252－2×15×25×cos 120°＝1 225，即BC＝35.又甲船的速度为35 n mile/h，所以甲船到达B处需要的时间为35÷35＝1(h). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，小明想在自己家测量楼对面电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离MN为40(2－)m，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在小明家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点处共同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶F处的仰角分别是α＝15°和β＝60°，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角γ＝45°，假设EF，MN和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高EF＝______m. 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在Rt△PMN中，PM＝.在△FPM中，∠FMP ＝45°＋15°＝60°，∠FPM＝180°－15°－60° ＝105°，则∠MFP＝180°－105°－60°＝15°. 由正弦定理＝可得PF＝·MP ＝·＝×＝.在Rt△PEF中，EF＝PF·sin 60°＝·sin 60°＝×＝120(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，甲船在距离A 港口24海里并在南偏西20°方向的C 处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B 处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里. (1)求∠ABC的正弦值； 解：由题设，∠BAC＝60°，BC＝31，AC＝24， 在△ABC中，＝，则sin∠ABC＝ ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当乙船行驶20海里到达D 处时，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，求此时甲、乙两船之间的距离. 解：由题意，BD＝20，由(1)及题图知：∠ABC为锐角， 则cos∠ABC＝， 由CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠ABC＝400＋961－2 ×20×31×＝441， 所以CD＝21海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是 A.240(－1)m B.180(－1)m C.120(－1)m D.30(＋1)m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝ 60 m，所以AC＝120 m.在△ABC中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45° －30°＝105°.由正弦定理得BC＝＝ ＝120(－1)(m).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知小车的速度是20 km/h，且cos ∠AOB＝－，则 A.此山的高PO＝ km B.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最小仰角为30° C.PA＝2 km D.小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.设OP＝x km，OP⊥OA，OP⊥OB，则OA＝ x km，OB＝x km.因为AB＝7.5××20＝(km)，所以由余弦定理可知，cos ∠AOB＝＝＝－，解得x＝1，从而PA＝2 km，故A错误，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设O到AB的距离为h km，因为sin ∠AOB＝，S△ABO＝OA·OB·sin ∠AOB＝·AB·h，解得h＝.则最大仰角的正切值为＝.又AO＞BO，所以最小仰角为30°.故B、D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的塔高，无人机的航线与塔AB在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔为500 m，在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45°，塔顶B的俯角为30°，向山顶方向沿水平线CE飞行50 m到达D处时，测得塔底A的俯角为 75°，则该座小山的海拔为_____________m；古塔AB的塔高为______m. (475－25) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，在△ACD中，CD＝50 m，∠ACD＝45°， ∠ADC＝105°，∠CAD＝30°.由正弦定理 ＝＝，又sin 105°＝sin 75°＝ sin (45°＋30°)＝×＋×＝，所以 AC＝×，即AC＝25(＋)m，延长AB交CE于H，则AH＝ACsin ∠ACD＝25(＋)×＝25(＋1)m， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又无人机飞行的海拔为500 m，所以该座小山的海拔 为500－25(＋1)＝(475－25)m.在△ABC中， ∠ACB＝45°－30°＝15°，∠ABC＝120°.又 sin ∠ACB＝sin (45°－30°)＝×－×＝ ，由正弦定理有＝，得到AB＝×＝(m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，要测量如图所示的海洋蓝洞的口径A，B两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°.求A，B两点间的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°， 所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，所以AD ＝CD＝80. 又因为∠ACB＝120°，所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°. 在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得BD＝80. 在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB，所以AB2＝802＋(80)2－2×80×80×(－)，解得AB＝80. 所以A，B两点间的距离为80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)为h.将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线(经线)所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，B＝－α－β，由正弦定理可得＝，即＝，化简得＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)在以灯塔E为中心的6海里以内有暗礁，点E的正北方向20海里处有一个雷达观测站A.观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距20海里的位置B，经过50分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°＋θ(其中cos θ＝，0°＜θ＜90°)且与点A相距5海里的位置C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)； 解：由已知得AB＝20海里，AC＝5海里，∠BAC＝θ，cos θ＝， 由余弦定理得BC ＝＝5(海里). 所以船的行驶速度为＝6(海里/时). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若该船不改变行驶方向继续行驶，试判断它有没有触礁的危险，并说明理由. 解：有触礁的危险，理由如下：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝. 从而sin B＝＝＝， 所以sin ∠AQB＝sin (45°－B)＝(cos B－sin B)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△ABQ中，由正弦定理得AQ＝＝＝10. 由于AE＝20＞10＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE ＝AE－AQ＝10. 过点E作EP⊥BC，交BC的延长线于点P，则EP为点E到直线 BC的距离. 在Rt△QPE中，PE＝QE·sin ∠PQE＝QE·sin ∠AQB＝10×＝＜6. 所以该船有触礁的危险. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $