期末重难点复习01：解三角形中线角平分线，最值与范围【9大题型归纳】【原卷版】人教A版高一数学下学期

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末重难点复习01：解三角形中线角平分线，最值与范围】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：中线有关求值与范围】 【练方法】 知识结论 1.中线长公式（阿波罗尼斯定理） 在中，为边上中线，则： 设，中线 2.中线向量： 3.中线范围：结合两边之和、两边之差，搭配余弦/基本不等式求中线取值区间 方法技巧 1.已知三边求中线：直接代入中线公式计算 2.已知两边求中线范围：固定两边，第三边利用三角形三边关系，代入中线函数求值域 3.向量法快速处理中线共起点线段求值 4.最值：配方法、基本不等式求中线最大/最小值 （25-26高一下·江苏南京·期末）已知内角所对的边分别为，，，且．经典例题1例题 (1)求的面积； (2)若，求． （25-26高一下·江苏宿迁·期末）在中，，且的平分线交于点，为的中点．若，，则的长为________．小试牛刀1 （25-26高一下·广东·阶段检测）在中，，，．小试牛刀2 (1)求； (2)记D为中点，若C是钝角，求． （25-26高一下·江苏无锡·期末）记 的内角，， 的对边分别为，，，，，且满足．小试牛刀3 (1)求； (2)设 在上且 平分 ． （ⅰ）若 ，，求 的面积； （ⅱ）若，， 为线段的中点， 与 交于点，求的长． 【题型2：角平分线的求值与范围】 【练方法】 知识结论 1.角平分线长度公式 为平分线，交于： 2.角平分线分线段成比例： 3.角平分线范围：由角的范围、边长范围联动约束 方法技巧 1.边长比例类题目优先用角平分线分线段比例定理 2.求角平分线长度二选一：余弦半角公式/边长根式公式 3.结合分析范围，推出角平分线取值区间 （25-26高一下·四川泸州·阶段检测）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．经典例题1例题 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． （25-26高一下·江苏南通·期末）在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江湖州·期末）在中，，，，点在边上，且平分．小试牛刀2 (1)求； (2)求的长． （25-26高一下·山东泰安·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．小试牛刀3 (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径． （ⅰ）作角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 【题型3：三角形周长的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.周长，正弦定理 2.固定一边，，周长可化为单三角函数 3.两边定值时，第三边范围： 方法技巧 1.已知外接圆半径：统一转化为三角函数，结合角范围求值域 2.已知两边固定：利用三边关系锁定第三边区间，直接得到周长范围 3.最值：辅助角公式化简三角函数，求三角函数最大最小值 4.已知一角+对边：基本不等式求另外两边和的最值 （25-26高一下·福建厦门·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．经典例题1例题 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． （25-26高一下·江苏镇江·期末）已知向量，设函数．小试牛刀1 (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． （25-26高一下·山东青岛·阶段检测）在中，角，，的对边分别为 ， ，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. （25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.小试牛刀3 (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 【题型4：三角形面积的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.面积公式：； 2.固定角，越大，越大； 3.已知对边，由余弦定理结合基本不等式得 方法技巧 1.一角两边型：直接代入，用基本不等式求最值 2.一边对角型：余弦定理构造不等式求面积范围 3.三角函数型：统一角后利用正弦函数值域求面积区间 （25-26高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且（）．经典例题1例题 (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． （25-26高一下·山东日照·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小试牛刀1 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．小试牛刀2 (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． （25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀3 (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【题型5：三角形中的线段最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.线段类型：高、中线、角平分线、边上任意动点线段 2.动点线段：设参数，结合余弦定理构造一元二次/三角函数 3.几何结论：定点到直线垂线段最短 方法技巧 1.设边长/角度为参数，建立线段长度函数 2.几何法：垂线段最短、对称转化求折线段最小值 3.代数法：配方法、导数、三角函数值域求最值 （25-26高一下·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.经典例题1例题 (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. （25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．小试牛刀1 (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． （2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且小试牛刀2 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． （25-26高一下·河南·期末）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．小试牛刀3 (1)求C． (2)． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【题型6：三角形中线段比值最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.线段比可通过正弦定理全部转化为角的正弦比值 2.中线、角平分线比值可代入对应长度公式化简分式 3.分式型函数：分离常数、换元转化为单变量函数 方法技巧 1.正弦角化边：，统一为单一角度变量 2.分式换元：令或，转化为简单函数求值域 3.利用角范围锁定变量取值区间，再求比值最值 （2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． （25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，小试牛刀2 (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． （25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________．小试牛刀3 【题型7：三角形中角的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.三角恒等约束：，任意内角，锐角三角形三内角均 2.余弦函数在单调递减，越小，越大 3.由边长关系：大边对大角 方法技巧 1.边化角：余弦定理把边长条件转为不等式，解角范围 2.锐角三角形：三个角余弦全部大于0，列三边不等式组 3.三角函数值域约束角度上下限 （25-26高一下·江苏南通·期末）已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·河北保定·期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．小试牛刀1 （25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有.小试牛刀2 (1)求； (2)若的面积为=，求，； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. （2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ）小试牛刀3 A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【题型8：面积和差与面积周长比值的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.面积周长比：，将S、L全部用边角统一为单变量函数 2.多三角形面积和差：拆分后分别用表示再合并化简 方法技巧 1.统一变量：全部转化为同一角的三角函数，化简分式 2.分离常数、换元法处理分式函数最值 3.多图形面积：分割为基础三角形，分别计算再加减 （2023·新疆阿克苏·一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为___________.经典例题1例题    （2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，．小试牛刀1 (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． （2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且．小试牛刀2 (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． （25-26高一下·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点．小试牛刀3 (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【题型9：几何图形背景下的综合练习】 【练方法】 知识结论 1.平面图形（四边形、棱锥截面、圆内接多边形）拆分多个三角形 2.共用边、共用角可建立边角等量关系，串联中线、角平分线、面积公式 3.外接圆、内切圆半径公式联动正弦、余弦定理 方法技巧 1.分割法：复杂几何拆分为若干三角形，逐个解三角形 2.等量传递：公共边/公共角作为桥梁，联立多个等式 3.分步求解：先求基础边长、角度，再计算中线、面积、周长最值 （25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设.经典例题1例题 (1)求； (2)求的面积. （25-26高二下·浙江湖州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，．小试牛刀1 (1)若，求的面积； (2)若，求， （25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．小试牛刀2    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． （2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.小试牛刀3    (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【期末重难点复习01：解三角形中线角平分线，最值与范围】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：中线有关求值与范围】 【练方法】 知识结论 1.中线长公式（阿波罗尼斯定理） 在中，为边上中线，则： 设，中线 2.中线向量： 3.中线范围：结合两边之和、两边之差，搭配余弦/基本不等式求中线取值区间 方法技巧 1.已知三边求中线：直接代入中线公式计算 2.已知两边求中线范围：固定两边，第三边利用三角形三边关系，代入中线函数求值域 3.向量法快速处理中线共起点线段求值 4.最值：配方法、基本不等式求中线最大/最小值 （25-26高一下·江苏南京·期末）已知内角所对的边分别为，，，且．经典例题1例题 (1)求的面积； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合余弦定理与已知边的等量关系求边长，再用面积公式计算； （2）利用中线的向量性质求解长度. 【详解】（1）由，，得， 根据余弦定理，将，， 代入得： ，化简得，解得， 则，又， 故面积： ； （2）由得为中点，故， 两边平方得： ， 代入，，， 得： ， 故. （25-26高一下·江苏宿迁·期末）在中，，且的平分线交于点，为的中点．若，，则的长为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据角平分线的性质、余弦定理及向量的数量积求解即可. 【详解】因为平分，则，， 即，整理得. 令，，则. 由角平分线的性质可得，，可设，， 因为为的中点，，所以. 又，则，即， 所以，解得或. 当时，与联立，解得，. 在中，， 又，所以 ， 则，即. 当时，同理可得. 故. （25-26高一下·广东·阶段检测）在中，，，．小试牛刀2 (1)求； (2)记D为中点，若C是钝角，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）先由C是钝角，可知，得到，再利用求解. 【详解】（1）由余弦定理得，即， 整理得，解得或． （2）由余弦定理得， 于是，故， 此时， 故 ． （25-26高一下·江苏无锡·期末）记 的内角，， 的对边分别为，，，，，且满足．小试牛刀3 (1)求； (2)设 在上且 平分 ． （ⅰ）若 ，，求 的面积； （ⅱ）若，， 为线段的中点， 与 交于点，求的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用向量平行可得，结合正弦定理化简即可求解； （2）（ⅰ）利用等面积化简可得，结合余弦定理求得，利用三角形的面积公式即可求解；（ⅱ）利用角平分线的性质可得，设，，利用向量线性运算可得，对比系数得到，从而得到，两边平方化简即可求解. 【详解】（1）因为，，且满足． 所以， 由正弦定理可得：， 因为在中，， 代入化简得：， 因为在中，，所以，即， 因为，所以 （2）（ⅰ）因为 在上且 平分 ，所以， 由等面积，可得， 化简得：， 由余弦定理可得：， 即，解得：（负数值舍去）， 所以 的面积为； （ⅱ）因为 在上且 平分 ，，， 所以， 所以， 因为在上，设①， 在上，，设， 则②， 联立①与②，可得，解得， 所以， ， 所以的长. 【题型2：角平分线的求值与范围】 【练方法】 知识结论 1.角平分线长度公式 为平分线，交于： 2.角平分线分线段成比例： 3.角平分线范围：由角的范围、边长范围联动约束 方法技巧 1.边长比例类题目优先用角平分线分线段比例定理 2.求角平分线长度二选一：余弦半角公式/边长根式公式 3.结合分析范围，推出角平分线取值区间 （25-26高一下·四川泸州·阶段检测）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题．经典例题1例题 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】(1)条件①，；条件②，；条件③， (2) 【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简求解.若选②，利用正弦定理以及两角和的正弦公式化简求解即可.若选③，根据诱导公式以及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据余弦定理以及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得· 因为，所以，则，即· 即，所以 又，则，所以· 若选条件②， 由正弦定理得· 所以· · 即， 即，整理得，即．· 因为，所以，所以．· 若选条件③， 在中，因为，· 所以· 即· 化简得．· 又，则，故． 因为，所以．· （2）在中，根据余弦定理， 有· 即，解得或（舍去）. 依题意，， · 即，则 所以· （25-26高一下·江苏南通·期末）在中，已知，，M为边上一点，平分，且，则（）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先运用两次正弦定理推导出，进而得到的长度，再设，运用两次余弦定理，结合，即可得解. 【详解】 在中，由正弦定理：①，在中，由正弦定理：②， 因为是的角平分线，故有，又因为， 将①÷②，得，又因为，故. 设，则，由余弦定理可知， ，， 又因为，故， 即，整理得， 计算得，即. （25-26高一下·浙江湖州·期末）在中，，，，点在边上，且平分．小试牛刀2 (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用余弦定理即可. （2）利用和面积公式可求解. 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以． （2）解法一：因为平分，， 所以. 由于， 即， 所以， 所以． 解法二：在中，由正弦定理得， 即，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，， 由正弦定理得 又因为， 所以， 所以． （25-26高一下·山东泰安·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．小试牛刀3 (1)求角B； (2)已知的外接圆的圆心为O，半径． （ⅰ）作角的平分线交于，，求的面积； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再由余弦定理得，即可求解； （2（ⅰ）根据题意，得到，由，求得，再由余弦定理，得到，设，得到，求得，结合面积公式，即可求解； （ⅱ）由向量的数量积的运算公式和正弦定理得到，得到，又由，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理得，整理得， 又由余弦定理得， 又因为，所以. （2）解：（ⅰ）因为的外接圆的圆心为O，且半径， 所以， 又因为为角的平分线，可得， 因为，且， 可得， 所以，即， 又由余弦定理得， 即， 设，则，代入可得，即， 解得或（舍去），所以， 所以的面积为. （ⅱ）由向量的数量积的运算公式，可得， 因为，所以， 又因为的外接圆的半径，可得， 所以， 因为且，所以， 所以 ， 因为，可得，所以， 所以，即的取值范围为. 【题型3：三角形周长的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.周长，正弦定理 2.固定一边，，周长可化为单三角函数 3.两边定值时，第三边范围： 方法技巧 1.已知外接圆半径：统一转化为三角函数，结合角范围求值域 2.已知两边固定：利用三边关系锁定第三边区间，直接得到周长范围 3.最值：辅助角公式化简三角函数，求三角函数最大最小值 4.已知一角+对边：基本不等式求另外两边和的最值 （25-26高一下·福建厦门·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．经典例题1例题 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由两向量平行的坐标公式建立边和角的等量关系，再结合正弦定理、余弦定理求出角；（2）利用正弦定理，将求周长边的关系问题，转化为利用三角函数求三角函数值的问题，即可求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）（1）由题意知，，， 则， 由正弦定理得，所以， 化简整理得，由余弦定理得， 因为，所以． （2）（2）由（1）知，则由正弦定理得， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 则，，所以， 又，所以，即周长的取值范围为． （25-26高一下·江苏镇江·期末）已知向量，设函数．小试牛刀1 (1)化简并写出的最小正周期； (2)若，且，求的值； (3)在锐角中，若，求周长的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为 (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求出周期； （2）利用变换角，再由两角差正弦公式即可求值； （3）利用正弦定理化边为角，借助函数的单调性即可求值域. 【详解】（1） 函数的最小正周期为． （2），且，则， 故， 则 ； （3），又为锐角三角形， 所以，则， 由正弦定理， 可得三角形的周长， 解得，因为都在上递增， 所以在上单调递减， 所以的取值范围为． （25-26高一下·山东青岛·阶段检测）在中，角，，的对边分别为 ， ，且.小试牛刀2 (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】通过正弦定理边角互换将边长化成角度正弦值，再利用三角形内角和将角B换成A与C的关系化简即可； 通过面积公式可以将边计算出来，再利用正弦定理将周长用角度表示出来，通过角度的关系可以找出周长的范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，. （2）因为，所以， 由正弦定理有， ， ， 所以，因为，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，所以， 因为在上为单调递减，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. （25-26高一下·陕西咸阳·阶段检测）已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且.小试牛刀3 (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【详解】（1）， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以或，又，则，即， 综上，，故三角形的周长为； （2）由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 【题型4：三角形面积的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.面积公式：； 2.固定角，越大，越大； 3.已知对边，由余弦定理结合基本不等式得 方法技巧 1.一角两边型：直接代入，用基本不等式求最值 2.一边对角型：余弦定理构造不等式求面积范围 3.三角函数型：统一角后利用正弦函数值域求面积区间 （25-26高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且（）．经典例题1例题 (1)求； (2)若点是边上靠近点的三等分点，且，求的值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对给定的三角函数等式交叉相乘，利用两角和差的正弦、余弦公式化简，结合三角形内角和为的条件推导角的值； （2）先根据角和的值得出的大小，分别在和中应用面积公式，结合与的比例关系即可求出； （3）先用正弦定理将、表示为关于角的函数，代入三角形面积公式，结合的定值和锐角三角形的条件确定角的范围，进而推导面积的取值范围. 【详解】（1）对原式交叉相乘整理得： ， 由余弦差角公式得：， ，且，故， 整理得，又，故，得. （2）由题意，，故， 与同高，面积比等于底之比， 代入面积公式： ， 整理得. （3）由正弦定理，，得，，且， 面积， 由积化和差公式可得： ， 为锐角三角形，故，，解得， 所以，，故. （25-26高一下·山东日照·阶段检测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知小试牛刀1 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求解； （2）由锐角三角形得，由正弦定理求得（用表示），然后由三角形面积公式表示出面积，利用两角差的正弦公式、同角关系式变形后，结合正切函数性质、不等式的性质得结论. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； （2）由（1）得， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故. （25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足．小试牛刀2 (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. （25-26高一下·广东江门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．小试牛刀3 (1)若，的周长等于6，求a，b． (2)若为锐角三角形，且的面积满足. （ⅰ）求； （ⅱ）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）应用周长结合余弦定理及之间的关系计算求解边长.（2）（ⅰ）利用三角形面积公式以及余弦定理求解出的值，由此可求的值；（ⅱ）先根据三角形面积公式表示出，然后利用正弦定理表示出，结合三角函数的化简运算以及正切函数的单调性求解出三角形面积的取值范围，注意角度关系. 【详解】（1）因为，且的周长等于6，所以， 因为，由余弦定理得， 将代入上式解得，所以， 则. （2）（ⅰ）因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，所以， 所以，又，所以； （ⅱ）因为，所以， 又，所以， 所以. 由，解得，所以， 所以， 所以面积的取值范围是. 【题型5：三角形中的线段最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.线段类型：高、中线、角平分线、边上任意动点线段 2.动点线段：设参数，结合余弦定理构造一元二次/三角函数 3.几何结论：定点到直线垂线段最短 方法技巧 1.设边长/角度为参数，建立线段长度函数 2.几何法：垂线段最短、对称转化求折线段最小值 3.代数法：配方法、导数、三角函数值域求最值 （25-26高一下·广西百色·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.经典例题1例题 (1)求角； (2)若，的面积为，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过正弦定理将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理求解角； （2）结合三角形面积公式求出的值，再通过完全平方公式和余弦定理计算边； （3）利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，结合锐角三角形条件确定角的范围，再通过辅助角公式化简，求出的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得，展开并整理得. 结合余弦定理，可得，又，故. （2）由三角形面积公式，代入、，得，解得. 由，得. 结合余弦定理，代入得，故（负值舍去）. （3）由正弦定理，，故，. 由，得. 因为锐角三角形，故，解得. 则，展开并化简得. 由，得，故，因此. （25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且．小试牛刀1 (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． （2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且小试牛刀2 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． （25-26高一下·河南·期末）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．小试牛刀3 (1)求C． (2)． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可； （2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于 的方程并求解，再结合面积公式求解 ； （ⅱ）通过向量运算建立和 的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围. 【详解】（1） ，即 ，     由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ，     因为，所以 ， 所以 ，即， 又，所以． （2）（ⅰ）因为， 的周长为，所以， 由余弦定理可得，即 ， 即 ，得，     所以 的面积为，     则， 所以．     （ⅱ）因为，所以E是 的中点，所以， 则， 又 ，所以 ，     由正弦定理可得 ， 所以 ，， 所以 ．     因为 为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以，则 的取值范围是． 【题型6：三角形中线段比值最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.线段比可通过正弦定理全部转化为角的正弦比值 2.中线、角平分线比值可代入对应长度公式化简分式 3.分式型函数：分离常数、换元转化为单变量函数 方法技巧 1.正弦角化边：，统一为单一角度变量 2.分式换元：令或，转化为简单函数求值域 3.利用角范围锁定变量取值区间，再求比值最值 （2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对已知等式进行化简，求出角，再利用余弦定理将转化为关于角的表达式，最后根据角的范围求出的取值范围. 【详解】已知，则. 即. 所以. 由于， 所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. （25-26高一下·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．小试牛刀1 (1)求； (2)若，，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）由余弦定理得，结合三角形面积公式，即可求得； （3）利用三角形垂心的性质，可求得，，结合三角函数的性质，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知，得，即， 根据正弦定理，可得，化简得， 由余弦定理，得， 又，所以； （2）根据余弦定理，得，整理得， 又，，，代入整理得，解得， 又为边上的角平分线，所以，， 即， 化简得， 又，，所以，解得； （3）延长交于点，延长交于点， 因为点为的垂心，所以，， 设，则且， 所以，又， 在中，， 在中，，，所以， 在中，，同理可得， 所以 因为，所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. （25-26高一下·四川泸州·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，小试牛刀2 (1)若，，求； (2)若，求； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：根据向量的模的公式和向量的数量积公式计算即可；方法二：过点D作的平行线交于点H，在中，运用余弦定理计算即可；方法三：在中，运用余弦定理求出，结合勾股定理求出；方法四：利用等面积法计算即可. （2）方法一：根据与相似计算即可；方法二：在中以及在中，运用正弦定理计算即可； （3）根据向量的模公式得到，方法一：根据基本不等式的性质计算即可；方法二：令，则方程有正根，然后分情况讨论进而计算结果. 【详解】（1）法一：， 则 ． 法二：过点D作的平行线交于点H， 在中，，， 由余弦定理： 法三：在中，由余弦定理： 又，则， 则. 法四：因为，则平分角C， 由， 即. （2）法一：因为，则与相似， 则，即，所以， 则，，则． 法二：设，因为，则 在中，由正弦定理知① 在中，由正弦定理知② ，，则有 又，． （3），平方得． 即，又 令，则，. 法一： 令，则， ， ． 的取值范围为 法二：令，则方程有正根． ， ①若，方程没有正根，不符合题意； ②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去） ③若，且，得：， ⅰ  若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意； ⅱ  若方程有两个正根，则，得或， ⅲ  若方程有1个正根，一个负根，，得， 综上：， 的取值范围为. （25-26高一下·山东淄博·期中）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用正、余弦定理与三角形内角和得出与的关系，写出的表达式，利用是锐角三角形得出的范围，构造函数，得出其对称轴，利用存在最小值求出的范围，即得出存在最小值时实数的取值范围. 【详解】由题意， 在锐角中，， 由余弦定理，， ∴，即， 由正弦定理，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为锐角三角形， ∴，即， ∴ ， ，解得， ∴， ∴， 在中， ，开口向上，对称轴， 若函数存在最小值，则，解得， ∴若存在最小值，则实数的取值范围是. 【题型7：三角形中角的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.三角恒等约束：，任意内角，锐角三角形三内角均 2.余弦函数在单调递减，越小，越大 3.由边长关系：大边对大角 方法技巧 1.边化角：余弦定理把边长条件转为不等式，解角范围 2.锐角三角形：三个角余弦全部大于0，列三边不等式组 3.三角函数值域约束角度上下限 （25-26高一下·江苏南通·期末）已知点到平面的距离是2，，，且，则的最小值是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点在平面上的投影，利用投影性质及题目所给条件计算可得的最大值，再利用余弦定理计算即可得的最小值. 【详解】设点在平面上的投影为，则、， 故，则， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 故， 即的最小值是. （25-26高一下·河北保定·期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为________．小试牛刀1 【答案】 【分析】由余弦定理化角为边，结合锐角三角形得出，根据锐角三角形确定的范围，再用换元法：令，化待求式为二次函数形式，从而可得取值范围. 【详解】因为，所以，整理得， 所以或， 若，即，与是锐角三角形矛盾，所以不成立， 所以，则，，由得， ， 设，， 因为，所以，，所以， 所以 . （25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在中，角，，的对边分别为，，，ΔABC的面积为，若，且有.小试牛刀2 (1)求； (2)若的面积为=，求，； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）使用正弦定理角化边，再使用余弦定理求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可； （3）利用三角形的内角和及得到，使用二倍角公式与两角差的余弦公式得到，利用锐角三角形的条件得到角的范围，转化为三角函数的范围求解. 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）由三角形面积公式，得①， 由余弦定理知，即，得②， 由①②解得，. （3）因为，，所以，则，即， ， 又 ，所以， 因为为锐角三角形，， 所以，解得，则， 所以，所以， 即的取值范围是. （2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ）小试牛刀3 A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【分析】根据数量积的定义及余弦定理，找到三边之间的关系，进而由余弦定理和基本不等式求解最值即可. 【详解】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 【题型8：面积和差与面积周长比值的最值与范围】 【练方法】 知识结论 1.面积周长比：，将S、L全部用边角统一为单变量函数 2.多三角形面积和差：拆分后分别用表示再合并化简 方法技巧 1.统一变量：全部转化为同一角的三角函数，化简分式 2.分离常数、换元法处理分式函数最值 3.多图形面积：分割为基础三角形，分别计算再加减 （2023·新疆阿克苏·一模）在如图所示的平面四边形ABCD中，，，记△ABD，△BCD的面积分别为，则的最大值为___________.经典例题1例题    【答案】 【分析】利用余弦定理表示出，可得到，结合同角三角函数平方关系，代入三角形面积公式中，可得，由二次函数性质可求得最大值. 【详解】在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， ，整理可得：， ，， ， 则当时，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的最值问题的求解；本题求解最值的关键是能够将所求面积平方和表示为关于变量的二次函数的形式，进而利用二次函数最值的求法来求得最大值. （2026·广东汕头·三模）已知的内角的对边分别为，为的面积，且，．小试牛刀1 (1)判断的形状； (2)设点为所在平面内一动点，分别位于直线的两侧，设，若，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理和三角形的面积公式求出，再根据即可得出结论； （2）先利用余弦定理求出，再根据四边形的面积结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由余弦定理、三角形面积公式及， 得：， 所以，即. 又因为，所以， 因为，所以或， 因为，所以，所以舍去， 所以有，即， 所以是等边三角形； （2）如图，在中，由余弦定理得， 记四边形的面积为， 则 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 即四边形的面积的取值范围是． （2026·山东威海·二模）在中，角所对的边分别为，且．小试牛刀2 (1)求； (2)如图，已知为外一点，，，，求平面四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合两角差的正弦公式可得的值，进而可得结果； （2）设，通过余弦定理用表示，将四边形的面积表示为关于的函数，求出函数的最大值即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 可得， 因为，所以， 因为，所以． （2）设，平面四边形ABCD的面积为S， 在中，由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 当，即时，平面四边形ABCD面积的最大值为14． （25-26高一下·江苏·期中）如图，在半径为、圆心角为的扇形的半径上任取一点，过且平行于半径的直线与弧交于点．小试牛刀3 (1)若为的中点，证明：不是弧的中点； (2)求周长的最大值； (3)作，垂足为，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行判断；（2）利用平行线性质和正弦定理并设，用三角函数表示各边，得到周长关于的函数；（3）利用三角函数表示出各相关线段长度，进而得到四边形面积关于变量的函数，再利用函数求最值的方法求解最大值. 【详解】（1）证明：已知扇形半径，，，故. 设，则，在中由正弦定理， 代入得. 若为中点，则，得. 若是弧中点，则，此时，矛盾. 因此不是弧的中点. （2）由正弦定理得，周长， 代入得， 化简，， 故，的最大值为（当时取到）. 因此周长最大值为. （3）设，，，故，，.四边形为直角梯形， 由梯形面积公式得， 化简得， 利用三角恒等变换， 由辅助角公式得的最大值为， 因此面积最大值为. 【题型9：几何图形背景下的综合练习】 【练方法】 知识结论 1.平面图形（四边形、棱锥截面、圆内接多边形）拆分多个三角形 2.共用边、共用角可建立边角等量关系，串联中线、角平分线、面积公式 3.外接圆、内切圆半径公式联动正弦、余弦定理 方法技巧 1.分割法：复杂几何拆分为若干三角形，逐个解三角形 2.等量传递：公共边/公共角作为桥梁，联立多个等式 3.分步求解：先求基础边长、角度，再计算中线、面积、周长最值 （25-26高二下·江苏常州·期中）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设.经典例题1例题 (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先在中用余弦定理算出，再对使用正弦定理，代入与直接解出； （2）先由同角平方关系求出，再结合三角形内角和得到，利用两角差正弦公式与正弦定理求出，最后由面积公式算出面积． 【详解】（1）在中，，，， 由， 得， 由， 得． （2）由（1）知，所以， 在中，，， 由， 得， 所以． （25-26高二下·浙江湖州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，点在边上，且，．小试牛刀1 (1)若，求的面积； (2)若，求， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，进而求出的正弦值，再求面积．因为在上且，所以与同高，面积比等于底边比． （2）由和得到，再结合正弦定理和求出，最后求． 【详解】（1）因为在上，所以． 在中，，所以，从而 因为，所以 又，所以 因此 又，所以． 因为与有相同的高，所以 （2）设．因为，所以 又，即，所以 由正弦定理，得 因为，所以 于是即 因为，所以，从而 又，所以. 故． （25-26高一下·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上．小试牛刀2    (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． （2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）.小试牛刀3    (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $