2.4.1-2.4.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的四则运算法则，涵盖加减、乘除法则及应用。通过复习基本初等函数求导公式引入，以“导数能否进行四则运算”设问，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到新知识探究。 其亮点在于融合数学运算与逻辑推理核心素养，设置课前预习（知识梳理、自测）、课堂互动（求导、切线方程题型）、当堂达标模块。如通过函数求导实例及切线方程求解，培养学生运算能力与推理意识，既帮助学生巩固知识提升素养，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

§4 导数的四则运算法则 4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 02 课时 素养提升 03 课前 预习学案 01 第二章 导数及其应用 数学（BS）·选择性必修二 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 数学（BS）·选择性必修二 第二章 导数及其应用 课程标准 素养解读 1.能利用导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用. 1.通过运用导数四则运算法则求解简单的导数问题，培养数学运算的核心素养． 2．通过导数的综合应用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 上节课学习了基本初等函数求导公式和它们的应用．那么导数可以进行四则运算吗？这是我们这节课要研究的问题． [知识梳理] [知识点一]　导数的加法与减法法则　 两个函数和(或差)的导数等于　这两个函数导数　的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝　f′(x)＋g′(x)　，[f(x)－g(x)]′＝　f′(x)－g′(x)　. [知识点二]　导数的乘法与除法法则　 一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0)． 特别地，当g(x)＝k时，有[kf(x)]′＝　kf′(x)　. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．(　　) (2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商．(　　) (3)(x2cos x)′＝－2xsin x．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数y＝x3·2x的导函数是(　　) A．y′＝3x2·2x B．y′＝2x3·2x C．y′＝3x2·2x＋2xln 2 D．y′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2 解析：D　[y′＝(x3·2x)′＝(x3)′·2x＋x3·(2x)′＝3x2·2x＋2x·x3ln 2.] 3．某人拉着一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－6t2＋16t，则W′(1)，W′(2)分别为　________　 J/s，　________　 J/s. 解析：W′(t)＝3t2－12t＋16，W′(1)＝7(J/s)，W′(2)＝4(J/s)． 答案：7　4 4．(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2x)))′＝　________　；(2)(xex)′＝　________　. 解析：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2x)))′＝eq \f(2x－x2xln 2,2x2)＝eq \f(1－xln 2,2x)； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. 答案：(1)eq \f(1－xln 2,2x)　(2)(1＋x)ex 导数四则运算法则的应用 [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝eq \f(1,5)x5－eq \f(4,3)x3＋3x＋eq \r(2)；(2)y＝(3x5－4x3)·(4x5＋3x3)；(3)y＝3eq \r(3,x4)＋4eq \r(x3). [解]　(1)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x5－\f(4,3)x3＋3x＋\r(2)))′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)x5))′－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)x3))′＋(3x)′＋(eq \r(2))′ ＝x4－4x2＋3. (2)法一∶y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5. 法二：∵y＝12x10－7x8－12x6，∴y′＝120x9－56x7－72x5. (3)y′＝(3eq \r(3,x4)＋4eq \r(x3))′＝(3xeq \f(4,3))′＋(4xeq \f(3,2))′＝4xeq \f(1,3)＋6xeq \f(1,2)＝4eq \r(3,x)＋6eq \r(x). 1．多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导． [变式训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝eq \f(ln x,x2＋1)；(4)y＝x2－sin eq \f(x,2)coseq \f(x,2). 解：(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝eq \f(x2＋1－2x2·ln x,xx2＋12). (4)∵y＝x2－sineq \f(x,2)coseq \f(x,2)＝x2－eq \f(1,2)sin x，∴y′＝2x－eq \f(1,2)cos x. 利用导数求曲线的切线方程 [例2]　(1)函数y＝3sin x在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为　________　. (2)已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． ①求f(1)＋f′(1)； ②若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． [解析]　(1)由函数y＝3sin x，得y′＝3cos x， 所以函数在x＝eq \f(π,3)处的切线斜率为3×coseq \f(π,3)＝eq \f(3,2). [答案]　eq \f(3,2) (2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x, 得f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1. ②因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋eq \f(1,x)存在零点，即f′(x)＝0，所以2ax＋eq \f(1,x)＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． 求切线的注意点 1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程． 2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点． [变式训练] 2．(1)(2021·全国甲卷)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为　________　. (2)求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程． 解：(1)由题可知，当x＝－1时，y＝－3，故点在曲线上．求导得： y′＝eq \f(2x＋2－2x－1,x＋22)＝eq \f(5,x＋22)，所以当x＝－1时得切线斜率k＝5.故切线方程为5x－y＋2＝0. 答案：5x－y＋2＝0 (2)解：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝ f′(x)＝3xeq \o\al(2,0)－2， 故切线方程为y－y0＝(3xeq \o\al(2,0)－2)(x－x0)．　① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝xeq \o\al(3,0)－2x0.　② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(xeq \o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq \o\al(2,0)－2)(1－x0)． 解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2).∴k＝1或k＝－eq \f(5,4). 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－eq \f(5,4)(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 导数运算法则的综合应用 [例3]　若点P是曲线y＝x2－ln x－1上任意一点，则点P到直线y＝x－3的最小距离为(　　) A．1　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2 [解析]　因为点P是曲线y＝x2－ln x－1上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－3平行时，点P到直线y＝x－3的距离最小，因为直线y＝x－3的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x－1的导数y′＝2x－eq \f(1,x)，令y′＝1，可得x＝1或x＝－eq \f(1,2)(舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x－1与直线y＝x－3平行的切线经过的切点坐标为(1,0)，所以点P到直线y＝x－3的最小距离为d＝eq \f(|1－3|,\r(2))＝eq \r(2). [答案]　C 解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系． 3. (2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　________　. 解析：∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex， 设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0，切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0， 切线方程为：y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0)， ∵切线过原点，∴－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(－x0)， 整理得：xeq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0， ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a<－4或a>0， ∴a取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) [当堂达标] 1．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－4　　　　 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 解析：B　[∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.] 2．已知f(x)＝x2＋2f′(1)x，则f′(0)等于(　　) A．2 B．－2 C．－4 D．0 解析：C　[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.] 3．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝　________　. 解析：因为y′＝α·xα－1，所以在点(1,2)处的切线斜率k＝α，切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 答案：2 4．求下列函数的导数 (1)y＝x3ex；(2)y＝eq \f(2sin x,x2). 解：(1)y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex. (2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 sin x,x2)))′＝eq \f(2 sin x′x2－2sin x·x2′,x22)＝eq \f(2x2cos x－4x sin x,x4)＝eq \f(2xcos x－4 sin x,x3). $