第2章 相交线与平行线单元复习（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版七年级数学下学期培优讲义

该初中数学单元复习讲义通过表格系统梳理相交线与平行线的核心知识，将对顶角、垂线、三线八角等概念按“定义-符号语言-图示”呈现，用知识框架图串联判定与性质的逻辑关系，突出平行线判定与性质的转化等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如对顶角计算强化概念应用，培优题型如平行线判定与性质综合培养推理意识，压轴题型如折叠与拐点问题发展几何直观。易错点总结与方法技巧指导助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第2章 相交线与平行线 知识点1：相交线与对顶角 核心概念 定义 符号语言 图示 相交线 同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线 直线a与b 对顶角 两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角 ∠1与∠3 邻补角 两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 ∠1与∠2 知识点2：垂线与垂线段 核心概念 定义 图示 垂线 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直（记作），其中一条直线是另一条直线的垂线，交点为垂足 垂线段 直线外一点到这条直线的垂线上的线段（即从点向直线作垂线，垂足与该点之间的线段） 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 角的类型 位置特征 图形识别 同位角 在两条被截直线的同一侧，且在截线的同一方 ∠1与∠2 内错角 在两条被截直线之间，且在截线的两侧 ∠1与∠3 同旁内角 在两条被截直线之间，且在截线的同一侧 ∠1与∠4 1.定义：两条直线被第三条直线所截，形成的八种角中，具有上述位置关系的角分别称为同位角、内错角、同旁内角。 2.核心：准确识别“两条被截直线”和“截线”，是判断三类角的关键。 知识点4：平行线的定义与判定 平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作。 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即，，则）。 4.平行线判定方法： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 知识点5：平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补； 4.平行线的传递性：若，，则； 5.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离，且平行线间的距离处处相等。 【基础必考题型】 【题型1】对顶角与邻补角的计算 1.核心知识点: 对顶角相等的性质 邻补角之和为的性质 相交线中角的数量关系 2.解题方法技巧: 先识别对顶角和邻补角，明确已知角与所求角的位置关系； 利用对顶角相等直接转化角度，或通过邻补角互补列算式计算； 复杂图形可先标注已知角，再逐步推导未知角，避免混淆。 【例题1】.（25-26六年级上·上海·期末）下列说法错误的是（    ） A．角与角互为余角 B．如果，那么和互补 C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大90° 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于余角和补角的定义，能够正确理解互余是指两角之和为90度，互补是指两角之和为180度的性质． 分别根据互余和互补的性质进行解答即可． 【详解】解：角与角互为余角，说法正确，故本选项不符合题意； B． 如果，那么和互余，原说法错误，故本选项符合题意． C． 两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角，说法正确，故本选项不符合题意； D．一个角的补角比这个角的余角大，说法正确，故本选项不符合题意； 故选B 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义．对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．结合对顶角的定义，逐项分析四个图形中的与是否满足“两边互为反向延长线且有公共顶点”的条件，即可确定哪一组角是对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有选项中的与是对顶角，其他都不是， 故选：． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 【答案】/112度 【分析】观察图形可知、与共同组成一个平角，由此求出的度数，再根据对顶角相等的性质，直接得出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ． 【变式题1-3】.（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对顶角的性质确定的度数，再根据角平分线的定义，得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】解：直线与相交于点， ． 平分， ． ， 【题型2】垂线的性质应用与点到直线的距离 1.核心知识点: 垂线的定义与性质 垂线段最短定理 点到直线的距离的定义 2.解题方法技巧: 遇“最短路径”问题，优先考虑垂线段最短，如引水管道、路线规划等实际场景； 判断点到直线的距离时，需确认线段是否与直线垂直，只有垂线段的长度才是点到直线的距离； 利用垂线的性质证明直角，或通过直角推导线段垂直关系。 【例题2】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 【答案】不同意，过程见解析． 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离为点到直线垂线段的长度作图，即可求解． 【详解】解：不同意． 正确做法：延长，过点作，交的延长线于点， 则的长即为点到直线的距离． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角的识别 1.核心知识点: 三类角的位置特征 被截直线与截线的识别方法 2.解题方法技巧: 先确定截线（连接两个角的公共边所在直线），再区分两条被截直线； 借助“F”“Z”“U”型图形特征快速识别，同时注意图形的变式（如截线倾斜、被截直线不水平等）； 标注角的序号，清晰区分不同位置关系的角，避免误判。 【例题3】.（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，与是______．（填同位角内错角或同旁内角） 【答案】内错角 【详解】解：∵与在截线的两侧，且在被截直线和之间， ∴与是内错角． 【变式题3-1】.（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义． 根据内错角的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项与是同位角，不符合题意； B. 该选项与是内错角，符合题意； C. 该选项与是同旁内角，不符合题意； D. 该选项与不是内错角，不符合题意； 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是内错角，故此选项不符合题意； C、和是内错角，故此选项符合题意； D、和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【题型4】平行线的基础判定 1.核心知识点: 平行线的三个判定定理 同位角、内错角、同旁内角的数量关系 2.解题方法技巧: 观察图形，找到与判定定理对应的角（同位角、内错角、同旁内角）； 通过角度计算（如对顶角相等、邻补角互补）转化角度，满足判定条件； 书写时明确判定依据，如“∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）”。 【例题4】.（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，故本选项符合题意； C、可以得到，不能判定，故本选项不符合题意； D、不能判定，故本选项不符合题意． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】C 【详解】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 解：和是直线和被第三条线所截形成的同位角，且淇淇是利用了得到平行的， ∴他的证明中判断平行的依据是“同位角相等，两直线平行”． 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由角平分线的定义得出，再由同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明： 平分， ． ， ． ， ． ∴． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南周口·期末）已知，直线平行吗？为什么？ 解：∵，（    ），又（已知）， ∴（    ）， ∴（    ）． (1)把上面的空填上； (2)关于本题的解答你还有没有其他的办法，请把它写出来． 【答案】(1)对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 (2)见详解 【分析】（1）数形结合即可确定依据； （2）由同位角相等，两直线平行即可得到． 【详解】（1）解：∵，（对顶角相等）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． （2）解：， 又， ， ∴． 【题型5】平行线的基础性质应用 1.核心知识点: 平行线的三个性质定理 角度的等量代换与互补关系 2.解题方法技巧: 由平行线的位置关系，确定角的数量关系（相等或互补）； 结合对顶角、邻补角等知识，推导未知角的度数； 注意“判定”与“性质”的区别：判定是由角推线，性质是由线推角。 【例题5】.（2026·河南商丘·一模）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出，的度数，再根据角的和差即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）将一副三角板按如图放置，点A，C，B共线，直线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点G，根据题意可得，进而可得，进而根据平行线的性质以及三角板中的角度计算即可求解． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题5-2】.（2026·陕西·模拟预测）小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再对求差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点、、在同一直线上），点在上，其中，，，，则的度数为___________． 【答案】/15度 【分析】先利用三角板固定角度得到和，再通过两直线平行同位角相等将转化为，最后用角的差算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ． 【培优高频题型】 【题型6】平行线的判定与性质综合计算 1.核心知识点: 平行线的判定与性质的灵活转换 多角之间的等量代换与方程思想 2.解题方法技巧: 明确解题方向：若需证明平行，则用判定；若需求角度，则用性质； 遇多个未知角时，设未知数（如设∠x=α），根据角度关系列方程求解； 标注图形中相等或互补的角，建立已知与未知的联系。 【例题6】.（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线性质将转化为，再结合得到同旁内角互补，从而判定； （2）先由求出，再利用角平分线的性质得到，最后根据平行线同位角相等求出； （3）利用邻补角或平行线性质推导其他相关角的度数． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ． （2）解： ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可知， ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：； 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，，． （1）证明： （2）若，求的度数． 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由． 解：（1）∵，（已知） ∴∠1= ．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴ ．（等量代换） ∴．（   ） （2）由（1）已证， ∴ ，（   ） ∵， ∴ °．（等式的性质） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴  ____ 【答案】（1）；；同位角相等，两直线平行 （2）；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】（1）根据平行的判定进行证明即可；（2）根据平行的性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵，（已知） ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴．（等量代换） ∴．（同位角相等，两直线平行） （2）由（1）已证， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴ ．（等式的性质） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴． 【题型7】尺规作图与几何推理结合 1.核心知识点: 尺规作图的规范步骤 平行线、垂线的判定与性质 2.解题方法技巧: 按要求规范作图，保留作图痕迹（弧痕），标注垂足、平行符号等； 结合作图过程推导几何关系，如作垂线后可得直角，作平行线后可得同位角相等； 验证作图正确性，确保符合题目要求（如距离、角度关系）。 【例题7】.（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：如图，过点P画直线即可； （2）如图，连接；过B画的垂线，垂足为C、D； （3）如图，过点P画的垂线段，垂足为E 【点睛】本题考查了平行以及垂线的定义，需要图形结合． 【变式题7-1】.（2026七年级下·广西南宁·专题练习）如图，用三角尺和直尺画图： (1)过点画交于点，过点画交的延长线于点； (2)过点画交于点，过点画，垂足为； (3)点到直线的距离是_________，线段的长度是点C到直线_________的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形结论； （3）根据点到直线的距离的定义判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：、即为所求． （2）解：如（1）中图，、即为所求． （3）解：∵， ∴点到直线的距离是， ∵， ∴线段的长度是点C到直线的距离． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·广西河池·开学考试）画一画． (1)过点画射线的平行线．再过点画射线的垂线． (2)画出平行四边形底边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-基本作图、垂线、平行线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角板和直尺可过点画射线的平行线，利用三角板的两条直角边可过点画射线的垂线． （2）利用三角板的两条直角边可画出平行四边形底边上的高． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）按下列要求在方框中画图并测量： (1)画． (2)画的平分线． (3)在上取一点，使． (4)过点画的平行线交于点，测量的长度是______． (5)过点画，垂足为，测量的长度是______，______． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析； (4)画图见解析； (5)画图见解析；， 【分析】本题考查了画角平分线，平行线，垂线，线段． （1）用量角器或三角板画出； （2）用量角器或三角板画出的平分线； （3）用带刻度的直尺在上取一点，使； （4）画，并测量的长度； （5）过点画，垂足为，并测量，，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，射线即为所求 （3）解：如图所示，线段即为所求 （4）解：如图所示， 故答案为：． （5）解：如图所示，测量的长度是 ， 故答案为：，． 【题型8】生活情境中的平行线应用 1.核心知识点: 平行线的判定与性质 数学建模思想（将生活情境转化为几何图形） 2.解题方法技巧: 从生活场景（如折叠道闸、晾衣架、台球反弹、灯光照射）中提取几何元素，构建平行线模型； 明确已知条件（如角度、平行关系），转化为几何问题求解； 结合实际情境验证结果合理性，如角度范围、距离长短等。 【例题8】.（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 【变式题8-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 【压轴素养题型】 【题型9】几何图形的折叠与平行线综合 1.核心知识点: 折叠的性质（对应角相等、对应边相等） 平行线的判定与性质 2.解题方法技巧: 折叠后重合的角相等，利用这一性质转化角度； 结合平行线的性质，推导未知角的度数； 标注折叠前后的对应角，明确角度之间的等量关系。 【例题9】.（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于______． 【答案】76 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，先由折叠的性质和平角的定义得到，再由折叠的性质和平行线的性质推出，据此可得答案． 【详解】解：如图：    ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵彩带对边平行， ∴， ∵折叠，彩带对边平行， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形形沿折叠形成四边形， ∴， ∴， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的度数为． 故选：B． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 【答案】或 【分析】根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果即可． 【详解】解：由折叠得，, ∵， ∴， ∵恰好是的三等分线， ∴分两种情况： 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或 【变式题9-3】.（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】〖任务1〗  〖任务2〗  〖任务3〗 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线是解题的关键． （1）根据折叠的性质和平行线的性质解题即可； （2）根据平行线的性质得到，然后根据角的和差得到，然后根据解题即可； （3）根据任务的结论计算，然后过点作，则，然后根据平行线的性质得到，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：〖任务1〗如图1，则， 又∵ ∴， ∴； 〖任务2〗解：由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； 〖任务3〗由折叠可得， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【题型10】含“拐点”的平行线问题 1.核心知识点: 平行线的性质 辅助线的添加方法（过拐点作平行线） 2.解题方法技巧: 常见拐点模型（“Z”型、“U”型、“M”型），均通过“过拐点作平行线”转化为基本图形； 作辅助线后，利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”推导角度关系； 书写时注明辅助线的作法 【例题10】.（25-26七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质探究角的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先根据平行线的性质得出，再结合，得出，从而可得，于是可证得． （2）先根据平行线的性质得出再结合，，，得出，从而可得，于是可证得. （3）先根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的性质得出，从而可得，结合，得出． （4）先得出，再根据平行线的性质得出，得出，结合，从而可得． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． （2）解：如图1，∵， ∴. ∵，，， ∴， ∴， ∴. （3）解：过E作. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：过点F作，如图4所示，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 【变式题10-3】.（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 易错点 1.混淆“对顶角”与“邻补角”，误认为邻补角相等，或对顶角互补。 2.点到直线的距离概念理解错误，将斜线段的长度当作点到直线的距离。 3.识别三类角时，误判“被截直线”与“截线”，导致角的类型判断错误。 4.混淆平行线的“判定”与“性质”，如由“a∥b”推出“∠1=∠2”时，错误标注依据为“同位角相等，两直线平行”。 5.解决含拐点的平行线问题时，未添加辅助线或辅助线作法错误，导致无法推导角度关系。 6.尺规作图不规范，未保留弧痕，或作图后未标注相关符号（如垂直符号、平行符号）。 7.遇多个角度关系时，未利用方程思想，导致计算混乱或漏解。 重点 1.掌握对顶角、邻补角的性质，能准确计算相关角度。 2.理解垂线、垂线段的性质，会判断点到直线的距离，解决最短路径问题。 3.能准确识别同位角、内错角、同旁内角，为平行线的判定与性质奠定基础。 4.熟练运用平行线的判定与性质，进行角度计算与平行关系证明。 5.掌握过拐点作辅助线的方法，解决复杂平行线问题。 6.规范完成尺规作图，并能结合作图进行简单的几何推理。 难点 1.平行线的判定与性质的灵活转换，尤其是在复杂图形中多步推理。 2.含拐点、多拐点的平行线问题，辅助线的添加与角度关系的转化。 3.方程思想、分类讨论思想在角度计算中的应用，如含参数的平行线问题。 4.将生活情境、跨学科知识转化为几何模型，运用平行线知识解决实际问题。 5.几何证明过程的规范书写，确保逻辑清晰、依据充分。 【对应练习题】 一、单选题 1．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：该女生获得满分但未加分， ， 选项A、B不符合题目要求，选项D符合题目要求， 又， 选项C错误，不符合题目要求． 故选：D． 2．如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据计算，再根据垂直的定义得到，再利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4．如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和平角定义即得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】逐个判断五个说法的正误，统计正确说法的个数，用到对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、垂线性质等初中几何知识点． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则其补角为，余角为， ∵， ∴一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内过一点有无数条直线与已知直线垂直，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 二、填空题 6．如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 7．如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 【答案】 /60度 【分析】根据对顶角相等可得的度数，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 8．如图，直线，，，则____． 【答案】/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 9．如图，直线，交于点，平分，,，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】先求出，，再根据角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，计算即可得到答案． 【详解】解： ，， , ， 平分， ， ， , ． 10．如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 三、解答题 11．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 13．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴ 故答案为：，． （2）解：由题意可得：， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 14．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，垂线段最短 (3)4 【分析】本题考查平行线，垂线段最短： （1）先确定 的方向（从 B 到 A 是向右 3格、向下3格），再从点 E 出发，按相同方向（向右 3格、向下 3 格）找到格点，连接成直线即可； （2）过点E作的垂线，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上，即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求， （2）如图所示，点 P 是过 E 作的垂线的垂足，此时最短，依据是：垂线段最短； （3）要使，则点 Q 必须在与 平行且到的距离等于点 E 到 距离的两条直线上．在图中，这样的格点 Q（不与 E 重合）共有、 、、共4 个． 故答案为：4． 15．如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，以及，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 相交线与平行线 知识点1：相交线与对顶角 核心概念 定义 符号语言 图示 相交线 同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线 直线a与b 对顶角 两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角 ∠1与∠3 邻补角 两条直线相交形成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 ∠1与∠2 知识点2：垂线与垂线段 核心概念 定义 图示 垂线 两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直（记作），其中一条直线是另一条直线的垂线，交点为垂足 垂线段 直线外一点到这条直线的垂线上的线段（即从点向直线作垂线，垂足与该点之间的线段） 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度 知识点3：同位角、内错角、同旁内角 角的类型 位置特征 图形识别 同位角 在两条被截直线的同一侧，且在截线的同一方 ∠1与∠2 内错角 在两条被截直线之间，且在截线的两侧 ∠1与∠3 同旁内角 在两条被截直线之间，且在截线的同一侧 ∠1与∠4 1.定义：两条直线被第三条直线所截，形成的八种角中，具有上述位置关系的角分别称为同位角、内错角、同旁内角。 2.核心：准确识别“两条被截直线”和“截线”，是判断三类角的关键。 知识点4：平行线的定义与判定 平行线定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作。 2.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即，，则）。 4.平行线判定方法： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 知识点5：平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等； 2.两直线平行，内错角相等； 3.两直线平行，同旁内角互补； 4.平行线的传递性：若，，则； 5.平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离，且平行线间的距离处处相等。 【基础必考题型】 【题型1】对顶角与邻补角的计算 1.核心知识点: 对顶角相等的性质 邻补角之和为的性质 相交线中角的数量关系 2.解题方法技巧: 先识别对顶角和邻补角，明确已知角与所求角的位置关系； 利用对顶角相等直接转化角度，或通过邻补角互补列算式计算； 复杂图形可先标注已知角，再逐步推导未知角，避免混淆。 【例题1】.（25-26六年级上·上海·期末）下列说法错误的是（    ） A．角与角互为余角 B．如果，那么和互补 C．两个角互补，如果其中一个角是锐角，那么另一个角一定是钝角 D．一个角的补角比这个角的余角大90° 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南信阳·开学考试）下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 【变式题1-3】.（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2】垂线的性质应用与点到直线的距离 1.核心知识点: 垂线的定义与性质 垂线段最短定理 点到直线的距离的定义 2.解题方法技巧: 遇“最短路径”问题，优先考虑垂线段最短，如引水管道、路线规划等实际场景； 判断点到直线的距离时，需确认线段是否与直线垂直，只有垂线段的长度才是点到直线的距离； 利用垂线的性质证明直角，或通过直角推导线段垂直关系。 【例题2】.（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式题2-1】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【变式题2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角的识别 1.核心知识点: 三类角的位置特征 被截直线与截线的识别方法 2.解题方法技巧: 先确定截线（连接两个角的公共边所在直线），再区分两条被截直线； 借助“F”“Z”“U”型图形特征快速识别，同时注意图形的变式（如截线倾斜、被截直线不水平等）； 标注角的序号，清晰区分不同位置关系的角，避免误判。 【例题3】.（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，与是______．（填同位角内错角或同旁内角） 【变式题3-1】.（2026七年级下·广东深圳·专题练习）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【变式题3-2】.（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【题型4】平行线的基础判定 1.核心知识点: 平行线的三个判定定理 同位角、内错角、同旁内角的数量关系 2.解题方法技巧: 观察图形，找到与判定定理对应的角（同位角、内错角、同旁内角）； 通过角度计算（如对顶角相等、邻补角互补）转化角度，满足判定条件； 书写时明确判定依据，如“∵∠1=∠2（已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）”。 【例题4】.（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）下列图中，由能直接得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，已知：，求证：．淇淇的证明过程为：“，，，∴．”他的证明中判断平行的依据为（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式题4-2】.（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南周口·期末）已知，直线平行吗？为什么？ 解：∵，（    ），又（已知）， ∴（    ）， ∴（    ）． (1)把上面的空填上； (2)关于本题的解答你还有没有其他的办法，请把它写出来． 【题型5】平行线的基础性质应用 1.核心知识点: 平行线的三个性质定理 角度的等量代换与互补关系 2.解题方法技巧: 由平行线的位置关系，确定角的数量关系（相等或互补）； 结合对顶角、邻补角等知识，推导未知角的度数； 注意“判定”与“性质”的区别：判定是由角推线，性质是由线推角。 【例题5】.（2026·河南商丘·一模）图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河南南阳·开学考试）将一副三角板按如图放置，点A，C，B共线，直线，则（　　） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·陕西·模拟预测）小晨将一副三角板和按如图所示的位置放置，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，将一副直角三角板如图所示放置（点、、在同一直线上），点在上，其中，，，，则的度数为___________． 【培优高频题型】 【题型6】平行线的判定与性质综合计算 1.核心知识点: 平行线的判定与性质的灵活转换 多角之间的等量代换与方程思想 2.解题方法技巧: 明确解题方向：若需证明平行，则用判定；若需求角度，则用性质； 遇多个未知角时，设未知数（如设∠x=α），根据角度关系列方程求解； 标注图形中相等或互补的角，建立已知与未知的联系。 【例题6】.（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，，． （1）证明： （2）若，求的度数． 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由． 解：（1）∵，（已知） ∴∠1= ．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴ ．（等量代换） ∴．（   ） （2）由（1）已证， ∴ ，（   ） ∵， ∴ °．（等式的性质） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴  ____ 【题型7】尺规作图与几何推理结合 1.核心知识点: 尺规作图的规范步骤 平行线、垂线的判定与性质 2.解题方法技巧: 按要求规范作图，保留作图痕迹（弧痕），标注垂足、平行符号等； 结合作图过程推导几何关系，如作垂线后可得直角，作平行线后可得同位角相等； 验证作图正确性，确保符合题目要求（如距离、角度关系）。 【例题7】.（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，按要求画图． (1)过点P画直线； (2)连接；过B画的垂线，垂足为C、D； (3)过点P画的垂线段，垂足为E． 【变式题7-1】.（2026七年级下·广西南宁·专题练习）如图，用三角尺和直尺画图： (1)过点画交于点，过点画交的延长线于点； (2)过点画交于点，过点画，垂足为； (3)点到直线的距离是_________，线段的长度是点C到直线_________的距离． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·广西河池·开学考试）画一画． (1)过点画射线的平行线．再过点画射线的垂线． (2)画出平行四边形底边上的高． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）按下列要求在方框中画图并测量： (1)画． (2)画的平分线． (3)在上取一点，使． (4)过点画的平行线交于点，测量的长度是______． (5)过点画，垂足为，测量的长度是______，______． 【题型8】生活情境中的平行线应用 1.核心知识点: 平行线的判定与性质 数学建模思想（将生活情境转化为几何图形） 2.解题方法技巧: 从生活场景（如折叠道闸、晾衣架、台球反弹、灯光照射）中提取几何元素，构建平行线模型； 明确已知条件（如角度、平行关系），转化为几何问题求解； 结合实际情境验证结果合理性，如角度范围、距离长短等。 【例题8】.（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【变式题8-1】.（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为_______． 【变式题8-2】.（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【压轴素养题型】 【题型9】几何图形的折叠与平行线综合 1.核心知识点: 折叠的性质（对应角相等、对应边相等） 平行线的判定与性质 2.解题方法技巧: 折叠后重合的角相等，利用这一性质转化角度； 结合平行线的性质，推导未知角的度数； 标注折叠前后的对应角，明确角度之间的等量关系。 【例题9】.（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，将一条长方形彩带进行两次折叠，先沿折痕向上折叠，再沿折痕向背面折叠，若要使两次折叠后彩带的夹角，则第一次折叠时应等于______． 【变式题9-1】.（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期中）把长方形纸片进行三次折叠． 第一次：如图1，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点，设； 第二次：如图2，继续折叠纸片，使落在边上，折痕为，点，的对应点分别为点，； 第三次：沿继续折叠纸片，若的对应线段恰好是的三等分线，则的大小是________________． 【变式题9-3】.（23-24七年级下·湖北武汉·期末）数学活动课上，老师带领学生们进行了折纸的系列综合实践活动： 〖活动素材〗如图，长方形纸片． 〖活动1〗如图1，将长方形纸片 进行折叠，第1次折叠，折叠后与交于点G，在探究过程中，同学们通过测量发现与的度数总是相等的； 〖活动2〗如图2，在活动1的基础上，将长方形纸片进一步折叠，第 2次沿折叠，且，同学们通过研究发现与之间也存在一定的数量关系； 〖活动3〗如图3，在活动2的基础上，作的平分线，并反向延长与的平分线交于点Q，与之间是否也存在确定的数量关系呢? 〖任务1〗求证：； 〖任务2〗若，求的度数； 〖任务3〗请画出点 Q，并直接写出与之间的数量关系． 【题型10】含“拐点”的平行线问题 1.核心知识点: 平行线的性质 辅助线的添加方法（过拐点作平行线） 2.解题方法技巧: 常见拐点模型（“Z”型、“U”型、“M”型），均通过“过拐点作平行线”转化为基本图形； 作辅助线后，利用“两直线平行，内错角相等”或“同旁内角互补”推导角度关系； 书写时注明辅助线的作法 【例题10】.（25-26七年级上·江西南昌·期末）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（ ） ∵．（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∵．（角的和差定义） ∴ ．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则 ； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则 ． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题10-3】.（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 易错点 1.混淆“对顶角”与“邻补角”，误认为邻补角相等，或对顶角互补。 2.点到直线的距离概念理解错误，将斜线段的长度当作点到直线的距离。 3.识别三类角时，误判“被截直线”与“截线”，导致角的类型判断错误。 4.混淆平行线的“判定”与“性质”，如由“a∥b”推出“∠1=∠2”时，错误标注依据为“同位角相等，两直线平行”。 5.解决含拐点的平行线问题时，未添加辅助线或辅助线作法错误，导致无法推导角度关系。 6.尺规作图不规范，未保留弧痕，或作图后未标注相关符号（如垂直符号、平行符号）。 7.遇多个角度关系时，未利用方程思想，导致计算混乱或漏解。 重点 1.掌握对顶角、邻补角的性质，能准确计算相关角度。 2.理解垂线、垂线段的性质，会判断点到直线的距离，解决最短路径问题。 3.能准确识别同位角、内错角、同旁内角，为平行线的判定与性质奠定基础。 4.熟练运用平行线的判定与性质，进行角度计算与平行关系证明。 5.掌握过拐点作辅助线的方法，解决复杂平行线问题。 6.规范完成尺规作图，并能结合作图进行简单的几何推理。 难点 1.平行线的判定与性质的灵活转换，尤其是在复杂图形中多步推理。 2.含拐点、多拐点的平行线问题，辅助线的添加与角度关系的转化。 3.方程思想、分类讨论思想在角度计算中的应用，如含参数的平行线问题。 4.将生活情境、跨学科知识转化为几何模型，运用平行线知识解决实际问题。 5.几何证明过程的规范书写，确保逻辑清晰、依据充分。 【对应练习题】 一、单选题 1．立定跳远是某市体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，在点处落下，过点作，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 2．如图，点A，O，B在一条直线上，，且，垂足为点O，，那么的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线分别与直线交于点A、B，点C在直线n上，且在点B的右侧，连接．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 5．下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．如图，，交于点，于点．若，则_____°． 7．如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 8．如图，直线，，，则____． 9．如图，直线，交于点，平分，,，则的度数为___________． 10．如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 三、解答题 11．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 13．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图1，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则______， ______； (2)一种路灯的示意图如图2所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成的锐角的度数． 14．在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，为格点．（利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑） (1)过点画直线； (2)在线段上找一点，使得点与点距离最短，在图中作出点，此时最短蕴含的数学道理是__________； (3)点为图中的格点，点与点不重合，则满足的点有__________个． 15．如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $