6.3.3 空间角的计算课件-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

6.3.3 空间角的计算 两条相交直线所成的角如何定义？ 两条相交直线成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角) 异面直线所成的角如何定义？ 已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). α a b a' b' θ 讨论：空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角一定相等吗？ 不一定相等. 若两条直线的方向向量的夹角〈v1，v2〉∈[0，]，则两条直线所成的角等于它们的方向向量的夹角. θ =〈v1，v2〉 v1 v2 〈v1，v2〉 θ θ =π-〈v1，v2〉 v1 v2 〈v1，v2〉 θ 若〈v1，v2〉∈]， 则两条直线所成的角为π-〈v1，v2〉. 空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为 . ②θ＝ 或θ＝ . ③sin θ＝ 或cos θ＝ . ④l1⊥l2⇔ ＝⇔ . 〈v1，v2〉 π－〈v1，v2〉 sin〈v1，v2〉 |cos〈v1，v2〉| v1·v2＝0 知识梳理 A B C D N M 直线AM和CN夹角的余弦值 直线和夹角的余弦值 例1 如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别是BC,AD的中点,求直线AM和CN夹角的余弦值. 第1步：化为向量问题 第2步：进行向量运算 第3步：回到图形问题 所以，直线AM和CN夹角的余弦值为. 设向量与的夹角为，则直线AM和C N夹角的余弦值等于 . 用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法： 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求两直线，的方向向量 的夹角 ③两条直线，夹角的余弦值 归纳总结 握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度.怎样来刻画直线与平面所成的角呢？ α l α l1 l2 知识梳理 探究“直线AB与平面α的夹角θ”和“该直线的方向向量v与该平面的法向量n的夹角<v，n>”有什么关系？ 特别地，cos θ =sin〈v，n〉，sinθ=|cos〈v，n〉|. 例2 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=，BC=1，AD=AA1=3. (1)证明:AC⊥B1D; (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值. 归纳总结 探究：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则这两个平面的法向量的夹角与两平面所成的角有什么样的关系？ 相等或互补 θ＝〈n1，n2〉 θ＝π－〈n1，n2〉 提醒 例3 如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形，SA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=，SA=BC=AB=1，AD=，求平面SAB与平面SCD所成二面角的平面角的余弦值. x y z 解:以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∵AD⊥平面SAB， x y z 根据今天所学，回答下列问题： 1.两直线的夹角与其方向向量夹角有怎样的关系？ 2.利用向量求直线与平面的夹角的基本步骤是什么？ 3.两平面的平面角与其法向量夹角有怎样的关系？ 1.已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝____________. 2.若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于________. 3.若平面α的一个法向量为n＝(－，1，1)，直线l的一个方向向量为a ＝(，1，1)，则l与α所成角的正弦值为_____. 60°或120° 4.平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β所成角的余弦值为( ) B 5.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成角的余弦值为_____. 〈v1，v2〉＝ 则A(0，0，0)，C(，1，0)，B1(，0，3)， D(0，3，0)，C1(，1，3)，D1(0，3，3). ∴=0，∴AC⊥B1D. 易知=(，1，0)，=(-，3，-3)， (1)证明:以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， =(，1，0)，=(0，3，3)， 令x=1，则y=-，z=， ∴平面ACD1的一个法向量为m=(1，-). ∵=(0，1，0)，∴sin θ=， ∴直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为. (2)解:设平面ACD1的法向量为m=(x，y，z)，设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ， 则 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线PA的方向向量eq \o(PA,\s\up14(→))； (3)求平面的法向量n； (4)设线面角为θ，则sin θ＝eq \f(|\o(PA,\s\up14(→))·n|,|\o(PA,\s\up14(→))|·|n|). (1)若求两相交平面的所成的角，直接利用公式 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|). (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. ∴可取-(0,0,0)=为平面SAB的一个法向量. 设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z). ∵-(0,0,1)==(1,1,0)-, ∴ 取x=1,则n=(1,-2,-1)，∴cos<n,>==-. ∴平面SAB与平面SCD夹角的余弦值为. A.－ B. C. D.以上都不对 $