精品解析：湖北楚天协作体2026届高三下学期二模数学试题

高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果集合只有一个元素，则实数的值是（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 2. 已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】若，，三点共线， 则存在实数 满足，即， 又因为向量，不共线，所以， 因此. 3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 时的预测值， 时的真实为值 ， 样本点的残差为. 4. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，，则两直线可以平行，可以垂直，可以异面，因此A错误； 对于B，若 ，，则，因此B正确； 对于C，当时，若，可以满足，但不成立，即C错误； 对于D，若，，也可能满足，所以D错误. 5. 已知、均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式求出，，再由和两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，为锐角，所以，， 所以，所以. 因为，所以，， 因为，所以， 则 ， 所以，， . 6. 在平面直角坐标系 中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为. 【详解】如图，设，则. 根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点， 即线段为两圆的公共弦. 而以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以其方程为，即. 与圆的方程作差得直线的方程为， 将代入得，即. 因为上式对 恒成立，令，解得， 所以直线恒过定点，所以点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为. 7. 已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项，下列说法正确的个数是（ ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】对于①选项，设的前项和为，， 所以数据，，，…，的平均数是，故①选项正确： 对于②选项，当 时，取为2，4，8，平均数为，故②选项错误； 对于③选项，，，，…，的中位数是，，，，…，的中位数是， ，故③选项正确； 对于④选项，易知点在直线上，点在曲线上， 因为，所以如下图所示： 由图可知，当时，， 所以数列的前 项和大于数列的前 项和， 所以数列的前 项的平均数比的前 项的平均数大，④选项正确． 8. 关于的方程有实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的实根为，根据条件得，令，从而得点在直线上，先求出点原点到直线的最小值，即可求解. 【详解】由关于的方程有实根，得关于的方程有实根， 设方程的实根为，则， 得到，即， 设点，则点在直线上， 点到直线的距离， 设，函数，，则， 当时，；当时，， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，，则， 当时，，由，解得，此时； 由，解得，此时， 所以的取值范围为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，其中 ， ，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是 为纯虚数的充要条件 C. 若 ，则 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的运算，得到，对A，利用复数相等的条件，即可求解；对B和C，利用复数的定义即可求解；对D，根据选项条件得，令，利用辅助角公式及三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 对于A，若，则，所以，故A正确， 对于B，若 为纯虚数，则 且，所以 是 为纯虚数的必要不充分条件，故B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，若 ，则，即，令， 则，当， 即时，取等号，所以D正确. 10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据乘法公式以及全概率公式判断AB；由条件概率结合全概率公式求解CD. 【详解】记小张第次去洗车店为，第次去洗车店为， 则，，，，，. 选项A：，故A错误. 选项B：， ， 所以小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小，故B正确. 选项C：，故C正确. 选项D：，故D正确. 11. 已知抛物线的准线方程为 ．过点且斜率为 的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线 于点．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 线段的中点在一条定直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据准线方程求出可判断A；直线与抛物线联立，根据直线与抛物线的关系令可判断B；利用向量数量积的坐标公式结合韦达定理表示出，然后再利用二次函数的性质判断C；设线段的中点为，利用韦达定理得到可判断D. 【详解】根据题意可知准线方程为 ，即的准线方程为，所以，即 ，所以， 则抛物线的方程为： ，故A正确； 依题意得直线的方程为 ， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入 ，得， 则且，解得且， 所以 的取值范围是，故B错误； 设，，根据韦达定理可得：，， 所以， 代入可得：； 若，即 ，则， 所以， 即的取值范围是，故C正确； 因为直线 的方程为，所以点的坐标为， 设线段的中点为，则，， 则， 所以点在直线上，故线段的中点在一条定直线上．故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 【答案】150 【解析】 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合余弦定理可得，方法一：设，则可得，继而可求出关于t的表达式，利用为锐角三角形，确定的取值范围，即可构造函数，利用导数求解的取值范围；方法二，利用正弦定理与和角公式推得 ，，再由正弦定理与二倍角公式将化成关于角的三角函数式，借助于函数的单调性即可求得其范围. 【详解】在中，由余弦定理， ，结合， 可得，即（*）， 方法一：由（*）得，设，则， 为锐角三角形，则， 即 ， 而， 代入中， 得 恒成立， 同理可得 ， 需满足，即，解得， 结合 ，可得； 由 ，， 可得 ， 即，故， 令，则， 即在上单调递增，则， 故的取值范围是. 方法二：由（*）和正弦定理，可得， 因， 代入整理得，，即， 因，则或（舍去）， 即 ，则 ，则， 则 ， 于是，由正弦定理，， 因为锐角三角形，则有，解得， 设，则，且 ，因该函数在上单调递增， 故可得，即， 故的取值范围是. 14. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个轨迹方程，可设，，则，由辅助角公式，结合二次函数的性质可求解. 【详解】因和是互相垂直的单位向量，则可建立分别以和为轴的单位方向向量的平面直角坐标系. 则，，设， 由可得， 此式表示动点到两点和的距离之和为4， 又， 所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且 ，， . 所以点的轨迹方程为 . 设，由可得， 表示动点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 所以动点的轨迹方程为. 故可设，，， 则，其中. 因为，所以. 又, 因，则当时，取得最大值4， 所以，等号成立时，，， 由可得，故 . 所以，，即当，时取等号. 所以的最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）认为使用者的满意度与区域无关 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）提出零假设，计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即得结果. （2）求出抽样比，确定所抽取的9名使用者中，甲地与乙地使用者的人数，依题意确定的可能值，利用超几何分布概率公式求出相应的概率，列出分布列，计算数学期望即可. 【小问1详解】 零假设为：使用者的满意度与区域无关，代入列联表中的数据可得： 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 故可认为使用者的满意度与区域无关. 【小问2详解】 从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法，得到甲地使用者与乙地使用者的抽样比为 ， 则9名使用者中甲地6人､乙地3人. 因为4人中乙地人数为，所以的可能取值为，其对应的概率分别为： ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 故数学期望为 16. 如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． （1）证明：平面平面； （2）若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 【答案】（1）证明：连接交于点，则四点共面，且为的中点， 所以四边形都是平行四边形，所以， ， 又平面，平面，所以平面， 平面， 平面，所以 平面， 平面，平面，又在平面内相交于点， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证， ，根据面面平行的判定定理证明； （2）以点为原点，为 轴，求出平面的法向量，根据线面角的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据正八面体结构，以点为原点，为 轴，如图建立空间直角坐标系 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，， 所以，即，令，则 ， 所以平面的一个法向量为， 因为点为棱上的动点， 所以设， 则， 设直线与平面所成的角为， ， 又， 当时，，当或0时，， 故直线与平面所成角的正弦值的范围. 17. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【小问1详解】 因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当 时，有最小值，所以； 当为奇数时， 为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 18. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； （3）已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得 ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：设点的坐标为，则 ，即 ． 双曲线的两条渐近线，的方程分别为 ， ， 则点到两条渐近线的距离分别为，， 则． 所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值． （3）存在 【解析】 【分析】（1）由渐近线倾斜角得到 ，再把点代入，建立方程求解； （2）设出点M的坐标为， ，利用点到直线距离公式得到点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值； （3）先考虑 时，再考虑 ，当M在x轴上方时，设出点的坐标，表达出，结合正切二倍角公式得到 ，故 ，当M在x轴下方时，同理可得结论. 【小问1详解】 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得 ， 又由点在双曲线上，有 ， 代入 ，有 ，可得，， 故双曲线的标准方程为 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在 ． ①当 时， ，又是的中点， 所以，所以 ，此时 ． ②当 时． ⅰ）当在轴上方时，由，，可得， 所以直线的方程为， 把代入得． 所以，则． 由二倍角公式可得． 因为直线的斜率及， 所以，则 ． 因为，， 所以 ． ⅱ）当在轴下方时，同理可得 ． 故存在 ，使得 ． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的图象与直线 的交点个数； （2）对任意的，恒成立，求的值； （3）证明：，． 【答案】（1）当时， 的图象与直线 的交点个数为0； 当或时， 的图象与直线 的交点个数为1； 当时， 的图象与直线 的交点个数为2． （2） （3）由（2）得，当 时，有 ，当且仅当时等号成立， 时， ， ，即， ， ， ， ，，，……， ，即， ， 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导得函数的单调区间，由函数的单调区间求出函数的最大值，画出函数的大致图像即可得出交点个数. （2）构造函数，原不等式等价于 ，求，对分类讨论即可. （3）由（2）得， 时， ，化简，再利用累加法计算即可. 【小问1详解】 当 时，定义域为 ， ， 令 ，解得： ， 当时， ， 在上单调递增， 当时， ， 在上单调递减， 当 时，， 当时， ；当时， ；当时， ；当 时， ， 的大致图象如图所示， 当时， 的图象与直线 的交点个数为0； 当或时， 的图象与直线 的交点个数为1； 当时， 的图象与直线 的交点个数为2． 【小问2详解】 ，恒成立， ，即 ， 令 ，则不等式等价于 ， ， 当，则 ， 在 上单调递减， ， 时 不合题意； 当 ，令 得； 令 得， 的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当 时， ，不合题意； 若 ， ，符合题意； 若， ，则当 时， ，不合题意； 综上， . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如果集合只有一个元素，则实数的值是（ ） A. 0或4 B. 4 C. 0或 D. 0 2. 已知向量，不共线，若，（其中），且，，三点共线，则值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，则 D. 若，，则 5. 已知、均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项，下列说法正确的个数是（ ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 关于的方程有实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，其中 ， ，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是 为纯虚数的充要条件 C. 若 ，则 D. 若，则的最大值为 10. 春节假期过后，车主小张选择去该市新开的，两家共享自助洗车店洗车．已知小张第一次去，两家洗车店洗车的概率分别为和，如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为；如果小张第一次去洗车店，那么第二次去洗车店的概率为，则下列结论正确的是（ ） A. 小张第一次去洗车店，第二次也去洗车店的概率为 B. 小张第二次去洗车店的概率比第二次去洗车店的概率小 C. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 D. 若小张第二次去了洗车店，则他第一次去洗车店的概率为 11. 已知抛物线的准线方程为 ．过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点．过点作轴的垂线，交直线于点．则下列说法正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 线段的中点在一条定直线上 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 2025年泡泡玛特旗下的IP“LABUBU”突然爆火．现有5个不同造型的“LABUBU”．把这5个“LABUBU”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有_______种不同的装法． 13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______． 14. 在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某工厂推出一款新产品，为了调查顾客对该新产品的满意程度，厂家分别对甲地的300名使用者和乙地的200名使用者进行问卷调查，统计并得到如下列联表： 甲地使用者 乙地使用者 合计 不满意 100 50 150 满意 200 150 350 合计 300 200 500 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用者的满意度是否与区域有关； （2）从使用该产品不满意的顾客中，采用分层抽样的方法随机抽取9名使用者，再从这9名使用者中随机抽取4人进一步调研，记4人中乙地人数为，求的分布列和数学期望. 附录：. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 如图：正八面体可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体． （1）证明：平面平面； （2）若，点为棱上的动点，则直线与平面所成的角的正弦值的范围． 17. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点． （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； （3）已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得 ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，讨论的图象与直线 的交点个数； （2）对任意的，恒成立，求的值； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $