第09讲 旋转（知识详解+15典例分析+习题巩固）2025-2026学年（苏科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 旋转（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】旋转的概念 旋转的定义 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转的三要素 ①旋转中心:如点𝑂 .②旋转方向:如逆时针方向.③旋转角:如∠𝐴𝑂𝐴′,∠𝐵𝑂𝐵′ ,∠𝐶𝑂𝐶′ . △ABC绕点O 按逆时针方向旋转得到△A′B′C′ . 对应 元素 对应点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′ . 对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 对应角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴与∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐶′𝐴′𝐵′ ，且∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶′𝐴′𝐵′ . 由旋转的定义可知，旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 【知识点02】旋转的基本性质 1.旋转的性质：旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. 2.确定旋转中心 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 辨析： 旋转、平移和轴对称的异同点 变换异同 旋转 平移 轴对称 不同点 运动方式 绕某一点转动. 沿某一直线方向移动. 沿某一条直线折叠. 对应点情况 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角. 平移方向和平移距离. 对称轴. 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 3.旋转作图 利用旋转的性质，可以画出一个图形绕某一点旋转一定角度之后的图形.旋转作图的基本步骤如下: 【知识点03】中心对称与中心对称图形 1.中心对称：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 注意：（1）中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系; （2）中心对称是一种特殊的旋转,旋转角的度数是180°. 示例 中心对称 _________________________________________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是它们的对称中心. 2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 敲黑板 中心对称的其他性质 （1）因为中心对称是一种特殊的旋转,所以它具有旋转的一切性质. （2）成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 辨析：中心对称和轴对称的异同 中心对称 轴对称 不同点 对称中心只有一个——点. 对称轴只有一条——直线. 一个图形绕对称中心旋转180°能够与另一个图形重合. 一个图形沿对称轴翻折能够与另一个图形重合. 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 对应点的连线被对称轴垂直平分. 相同点 都表示两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形形状、大小相同. 3.确定对称中心的方法 方法一 连接任意一组对应点,取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二 连接两组对应点,这两条线段（不在同一条直线上）的交点就是对称中心. 4.作已知图形关于某一点对称的图形 作图步骤如下： 5.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180^∘ ，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 6.中心对称图形的性质：中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个对应点是对称点. 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形边界上. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形内部或图形边界上. 联系 （1）都是根据“把图形旋转180°后能重合”定义的. （2）两者可以相互转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 辨析：中心对称图形与轴对称图形的区别和联系 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称. 关于某一条直线对称. 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合. 沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 举例 线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形. 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形等都是轴对称图形. 联系 ______________如果一个图形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，那么它也是中心对称图形，如圆、正方形……既是轴对称图形又是中心对称图形. 【题型一】判断生活中的旋转现象 例1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 变式1．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 例2．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）在下列各组图形中，其中一个图形不能经过一次平面变换得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 【题型三】找旋转中心、旋转角、对应点 例3．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________．    变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【题型四】根据旋转的性质求解 例4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第______________ 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 【题型五】根据旋转的性质说明线段或角相等 例5．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【题型六】旋转的性质及辨析 例6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 变式1．（23-24七年级·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 【题型七】画旋转图形 例7．如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图．若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组（   ） A．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，是由经过图形的变换得到的，可以看作经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是___________． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ； (2)画出将 以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 ； (3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴． 【题型八】旋转对称图形的识别 例8．下列图形为旋转对称图形（即绕一个点旋转后能与原图重合的图形）的是（　　） A． B． C． D． 变式1．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 变式2．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？ 【题型九】求旋转对称图形的旋转角度 例9．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（    ）    A． B． C． D． 变式1．如图所示的“雪花图案”，绕中心旋转后要与原图形重合，至少需要旋转___________度． 变式2．请设计出两种方案，使图中所示的正六边形绕一点旋转某个角度后，能与自身重合．再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形，验证你的设计方案． 【题型十】画已知图形关于某点对称的图形 例10．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； (2)如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 【题型十一】画两个图形的对称中心 例11．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 变式1．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过_____． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【题型十二】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例12．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，与关于点C成中心对称，则线段_______． 变式2．如图，四边形与四边形关于点O成中心对称，，，求的度数和的长度． 【题型十三】中心对称图形的识别 例13．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 【题型十四】判断中心对称图形的对称中心 例14．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 变式1．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，已知线段，用两种不同方法求作线段的中点． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ①利用轴对称作图        ②利用中心对称作图 【题型十五】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有______个． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 一、单选题 1．平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（    ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 2．图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 3．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（   ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．正六边形 5．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 6．如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 7．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 8．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 9．如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 10．将一副三角板按如图放置，三角板可绕点D旋转，C为与的交点，下列结论中正确的是（      ） ①若平分，则；②若，则； ③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是______． 12．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 13．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点在线段BC的延长线上，则的大小为__________． 14．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 15．“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 16．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 17．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 18．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．    三、解答题 19．如图，用一个等腰三角形，经过旋转，制作一个五角星图案．（提示：选择旋转中心，计算旋转角） 20．如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F．将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上． （1）若∠B＝50°，求∠DAF的度数； （2）若∠E＝∠CAD，求证：AD＝CD． 21．如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的； （2）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的． 22．（1）把如图每一个方格的边长看成，求图中四边形的面积； （2）在图中画出把四边形绕点顺时针方向旋转的图形． 23．数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 24．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内半角，则_________ ； (2)如图2，已知， 将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值． 25．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 26．如图①，与有公共顶点C，且边BC与CE重合，其中，，，将绕点C逆时针旋转． 【观察猜想】 （1）将旋转至图②所示位置时，的度数为 ． 【操作探究】 （2）将旋转至图③所示位置时，若，求的度数． 【深化拓展】 （3）当时，求旋转的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 旋转（知识详解+15典例分析+习题巩固） 【知识点01】旋转的概念 旋转的定义 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转的三要素 ①旋转中心:如点𝑂 .②旋转方向:如逆时针方向.③旋转角:如∠𝐴𝑂𝐴′,∠𝐵𝑂𝐵′ ,∠𝐶𝑂𝐶′ . △ABC绕点O 按逆时针方向旋转得到△A′B′C′ . 对应 元素 对应点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′ . 对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 对应角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴与∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐶′𝐴′𝐵′ ，且∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶′𝐴′𝐵′ . 由旋转的定义可知，旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 【知识点02】旋转的基本性质 1.旋转的性质：旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. 2.确定旋转中心 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 辨析： 旋转、平移和轴对称的异同点 变换异同 旋转 平移 轴对称 不同点 运动方式 绕某一点转动. 沿某一直线方向移动. 沿某一条直线折叠. 对应点情况 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角. 平移方向和平移距离. 对称轴. 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 3.旋转作图 利用旋转的性质，可以画出一个图形绕某一点旋转一定角度之后的图形.旋转作图的基本步骤如下: 【知识点03】中心对称与中心对称图形 1.中心对称：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 注意：（1）中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系; （2）中心对称是一种特殊的旋转,旋转角的度数是180°. 示例 中心对称 _________________________________________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是它们的对称中心. 2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 敲黑板 中心对称的其他性质 （1）因为中心对称是一种特殊的旋转,所以它具有旋转的一切性质. （2）成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 辨析：中心对称和轴对称的异同 中心对称 轴对称 不同点 对称中心只有一个——点. 对称轴只有一条——直线. 一个图形绕对称中心旋转180°能够与另一个图形重合. 一个图形沿对称轴翻折能够与另一个图形重合. 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 对应点的连线被对称轴垂直平分. 相同点 都表示两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形形状、大小相同. 3.确定对称中心的方法 方法一 连接任意一组对应点,取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二 连接两组对应点,这两条线段（不在同一条直线上）的交点就是对称中心. 4.作已知图形关于某一点对称的图形 作图步骤如下： 5.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180^∘ ，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 6.中心对称图形的性质：中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个对应点是对称点. 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形边界上. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形内部或图形边界上. 联系 （1）都是根据“把图形旋转180°后能重合”定义的. （2）两者可以相互转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 辨析：中心对称图形与轴对称图形的区别和联系 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称. 关于某一条直线对称. 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合. 沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 举例 线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形. 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形等都是轴对称图形. 联系 ______________如果一个图形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，那么它也是中心对称图形，如圆、正方形……既是轴对称图形又是中心对称图形. 【题型一】判断生活中的旋转现象 例1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 【详解】解∶A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选∶A． 变式1．有下列现象：时针的转动；摩天轮的转动；地下水位逐年下降；传送带上的机器人其中，属于旋转的是________． 【答案】 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，解决本题的关键是根据旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：时针的转动属于旋转； 摩天轮的转动属于旋转； 地下水位逐年下降属于平移，不是旋转； 传送带上的机器人属于平移，不是旋转． 故答案为： ． 【题型二】判断由一个图形旋转而成的图案 例2．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）在下列各组图形中，其中一个图形不能经过一次平面变换得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、判断由一个图形旋转而成的图案、图形的平移 【分析】本题主要考查了平面变换，掌握平面变换只改变位置，不改变大小成为解题的关键． 根据平面变换的特征逐项判断即可． 【详解】解：A选项可以通过一次轴对称变换得到，故A选项不符合题意； B选项中一个图形不能经过一次平面变换得到另一个图形，故B选项符合题意； C选项可以通过一次平移变换得到，故C选项不符合题意； D选项可以通过一次旋转变换得到，故D选项不符合题意． 故选：B． 变式1．（2023七年级上·江苏·专题练习）如图，可以由经过怎样的变换而得到？请简要说明变换过程． 【答案】把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到（答案不唯一） 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案、图形的平移 【分析】利用平移和旋转变换说明变换过程即可． 【详解】解：根据网格和图形中与的相对位置， 可知：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转可得到． 即变换过程为：把先向右平移1个单位，再绕点B逆时针旋转． 【点睛】本题考查了几何变换，掌握平移变换、旋转变换的特点是解答本题的关键． 【题型三】找旋转中心、旋转角、对应点 例3．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了找旋转中心，根据正方形的性质，旋转的性质，可得C，D以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解． 【详解】解：把正方形绕点C顺时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕点D逆时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕的中点逆时针旋转180度可使得正方形与正方形重合， ∴一共有3个旋转点， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________．    【答案】 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【答案】(1)图形见解析，14 (2)图形见解析 【知识点】平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换； （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求． 线段扫过图形的面积为． 故答案为：14． （2）解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合， 则点即为所求． 【题型四】根据旋转的性质求解 例4．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将绕点O按顺时针方向旋转至，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵将绕点O按顺时针方向旋转至， ∴，又， ∴， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏南通·月考）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第______________ 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 【答案】5.5 或 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的角度关系及直角三角形的角度计算，解题的关键是确定和的初始倾斜角，分析旋转过程中倾斜角的变化规律，再根据平行线倾斜角相等或相差的条件列方程求解旋转时间． 以为x轴建立坐标系，确定与x轴的夹角（倾斜角）为；根据初始位置得出的初始倾斜角为；分析顺时针旋转度后倾斜角为；分别按同向平行（倾斜角相等）和反向平行（倾斜角相差列方程求，结合旋转速度计算时间，筛选旋转一周内的有效解． 【详解】解：设为x轴（点O为原点）， ∵，点D在上， ∴为x轴，即与垂直． 在中，，故与轴）的夹角为，即的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为． 在中，，，点D在上，初始时的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为（由题意可知）． 设旋转时间为t秒，三角形顺时针旋转的角度为度，旋转后的倾斜角为． 当与平行时，分两种情况： 同向平行（倾斜角相等）：，解得，则秒； 反向平行（倾斜角相差：，解得（等效于顺时针旋转，因旋转一周为，则秒． 两种情况均在旋转一周秒）内，均为有效解． 故答案为：或． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，将绕C点逆时针旋转一定角度（）后得到，点恰好为的中点． (1)若，则旋转角的值为 ； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【知识点】根据旋转的性质求解、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）解：∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转角度为， 故答案为：； （2）解：由旋转得，，， ∵点恰好为的中点， ∴， ∴． 【题型五】根据旋转的性质说明线段或角相等 例5．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型六】旋转的性质及辨析 例6．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【知识点】旋转的性质及辨析、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 变式1．（23-24七年级·江苏宿迁·期末）已知是内部的一条射线，M，N分别是边，上的点，线段，分别以，的速度同时绕点O逆时针旋转． (1)如图①若，当、逆时针旋转2s时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若分别在内部旋转时，总有，求的值 (3)如图③，C是线段上一点，点M从点A出发沿线段向点C运动，同时点N从点C出发沿线段向点B运动，M，N两点的速度比是．若运动过程中始终有，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】旋转的性质及辨析、几何图形中角度计算问题、线段的和与差 【分析】本题主要考查了角的和差，线段的和差，旋转的性质， 对于（1），根据旋转可知，，再表示，然后根据的度数，可得答案； 对于（2），设旋转时间是ts，并表示，即可得出，最后代入可得结论； 对于（3），根据题意可得，再根据，可得，然后代入得出答案． 【详解】（1）∵线段分别以每秒，的速度绕点O旋转2s， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）设旋转时间是ts，则， ∵， ∴， 则， ∴； （3）∵M，N两点的速度之比是， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型七】画旋转图形 例7．如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图．若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组（   ） A．先绕点逆时针旋转，再向下平移4格 B．先绕点顺时针旋转，再向下平移4格 C．先绕点逆时针旋转，再向下平移5格 D．先绕点顺时针旋转，再向下平移5格 【答案】B 【知识点】画旋转图形、图形的平移 【分析】本题主要考查了旋转和平移变换，根据图形结合平移与旋转的特点，进行判断即可． 【详解】解：若使上方的“T”型方块组（阴影部分）落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组先绕点顺时针旋转，再向下平移4格， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，是由经过图形的变换得到的，可以看作经过怎样的图形变化得到？下列结论：①一次旋转，一次轴对称；②一次平移，一次轴对称；③2次轴对称；④3次轴对称．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【知识点】画旋转图形、画轴对称图形、图形的平移 【分析】本题考查平移，旋转，翻折等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 利用平移，旋转，翻折的性质等知识一一判断即可． 【详解】解：先将绕点旋转至如图所示的位置， 再将所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，即可得到；①正确； 先将沿方向平移，使和重合，然后将所得的三角形沿线段的垂直平分线翻折，如图所示： 即可得到；②正确； 两次轴对称不能将变换得到．③不正确； 先将沿着直一条直线翻折，得如图所示的一个三角形 再将所得的三角形沿一直线翻折，得如图所示的三角形， ④ 最后将所得的三角形沿着一直线翻折，即可得到． 故答案为：①②④． 变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A，B，C，O都在格点上．按下列要求画图： (1)画出将 向右平移8个单位长度后的 ； (2)画出将 以点O为旋转中心、顺时针旋转后的 ； (3)请利用格点用无刻度直尺画出与的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画旋转图形、画轴对称图形、平移(作图) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，成轴对称，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）将点A，B，C分别向右平移8个单位得到点，，，再顺次连接即可； （2）将点A，B，C分别以点O为旋转中心、顺时针旋转得到点，，，再顺次连接即可； （3）取格点O，D，过点O，D即可作出直线l，根据成轴对称的性质即可得到过点O，D的直线l即为所求． 【详解】（1）解∶ 如图所示，即为所作图形： ； （2）解∶如上图所示，即为所作图形； （3）解∶如上图所示，即为所作对称轴． 【题型八】旋转对称图形的识别 例8．下列图形为旋转对称图形（即绕一个点旋转后能与原图重合的图形）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】旋转对称图形的识别 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．根据旋转对称图形的概念分析即可． 【详解】解：A，B，D无法通过旋转一个小于的角度，只有选项C图形可以平分成3份，是旋转对称图形． 故选：C． 变式1．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【知识点】旋转对称图形的识别 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 【详解】解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 变式2．下列图形：线段、等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、圆，其中是旋转对称图形的有哪些？ 【答案】线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形 【知识点】旋转对称图形的识别 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可． 【详解】解：线段、等边三角形、正方形、正五边形、圆都是旋转对称图形． 【题型九】求旋转对称图形的旋转角度 例9．如图是环岛行驶的交通标志，表示在环形交叉路口中，车辆按逆时针方向绕行．将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后能够与自身重合，则旋转的角度可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据图形的对称性，用除以计算即可得解，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键． 【详解】解：， 旋转的角度是的整数倍， 旋转的角度至少是， 故选：B． 变式1．如图所示的“雪花图案”，绕中心旋转后要与原图形重合，至少需要旋转___________度． 【答案】60 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查旋转对称图形，生活中的旋转现象等知识，“雪花图案”可以看成正六边形，根据正六边形的中心角为，即可解决问题． 【详解】解：“雪花图案”可以看成正六边形， ∵正六边形的中心角为， ∴这个图案至少旋转能与原雪花图案重合． 故答案为：60． 变式2．请设计出两种方案，使图中所示的正六边形绕一点旋转某个角度后，能与自身重合．再用一张半透明的薄纸描出图中的六边形，验证你的设计方案． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．（答案不唯一，只要围绕中心旋转的倍数即可．） 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】此题主要考查旋转对称图形，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．正六边形可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，则旋转的角度即可确定． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个相同的部分，中心角为度， 如图所示： 方案1：围绕中心旋转60度，能够与本身重合； 方案2：围绕中心旋转120度，能够与本身重合．（答案不唯一，只要围绕中心旋转的倍数即可．） 【题型十】画已知图形关于某点对称的图形 例10．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； (2)如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查中心对称的性质，准确识别出正六边形的对称性是解题的关键，在作图过程做要善于利用正六边形对称中心点． （1）连接并延长，交正六边形的边于点，点即为所求； （2）取正六边形顶点，找到点关于点对称的顶点，连接并延长交正六边形的边于点，连接并延长交正六边形的边于点，连接，连接并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）如图，点即为所求． 【题型十一】画两个图形的对称中心 例11．如图，在正方形网格中，是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（   ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称，确定两个图形的对称中心，结合与关于某点对称，故连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心，即可作答． 【详解】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 变式1．关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过_____． 【答案】对称中心 【知识点】画两个图形的对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 (4)是，见解析 【知识点】画旋转图形、画两个图形的对称中心、画对称轴、画轴对称图形 【分析】本题考查了作图：轴对称变换及旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用关于直线m对称的点的坐标特征分别标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别标出、、，然后顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质进行判断即可； （4）根据轴对称的性质进行判断并求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：与成轴对称，对称轴l如图所示； （4）解：与成中心对称，对称中心O如图所示． 【题型十二】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 例12．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，与关于点C成中心对称，则线段_______． 【答案】/ 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 变式2．如图，四边形与四边形关于点O成中心对称，，，求的度数和的长度． 【答案】， 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质：对应线段相等，对应角相等；根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形关于点O成中心对称， ∴，． 【题型十三】中心对称图形的识别 例13．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查中心对称图形， 根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案是中心对称图形，故选项A符合题意； B、选项中的图案不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、选项中的图案不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、选项中的图案不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是5张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片到其它空白方格，使得到的新图案变成中心对称图形的移法有______种． 【答案】2 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：确定中心对称图形的关键是寻找对称中心；根据中心对称图形的定义，在平面内，如果把一个图形绕某点旋转能够与自身完全重合，再确定移动其中一个正方形即可． 【详解】解：如图， ∴新图案变成中心对称图形的移法有种； 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)图见详解， (4)见详解 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，旋转作图，轴对称图形与中心对称图形等，掌握中心对称作图、旋转作图的作法，理解轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． （1）按画已知图形关于某点对称的图形的作法作图，即可求解； （2）要求进行旋转作图，即可求解； （3）四边形是正方形时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，用割补法求面积，即可求解； （4）连接、交于点，作射线，截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段为所求作； （2）解：如图，线段为所求作； （3）解：如图，四边形为所求作； 四边形的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，点为所求作． 【题型十四】判断中心对称图形的对称中心 例14．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 变式1．图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是_________． 【答案】C 【知识点】判断中心对称图形的对称中心 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 变式2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，已知线段，用两种不同方法求作线段的中点． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ①利用轴对称作图        ②利用中心对称作图 【答案】见解析 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了轴对称的性质，中心对称的性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．①作的垂直平分线，与的交点即为的中点；②以和为圆心，相同长度为半径，画弧，然后再以和为圆心，与上次不同的长度为半径画弧，交于点和，连接，与的交点即为的中点． 【详解】解：依题意，①利用轴对称作图，如图所示： ②利用中心对称作图，如图所示： 【题型十五】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 例15．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在的正方形网格中有三个黑色正方形，请你在网格中再涂黑一个小正方形，使其与原有的黑色正方形构成一个中心对称图形，则可供选择的白色小正方形的个数为（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题主要考查了中心对称图形的设计，根据中心对称图形的定义进行设计即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：如图所示，一共有3种涂色方案， 故选：B．    变式1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有______个． 【答案】3 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故答案为：3． 变式2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查利用轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，并熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形 （2）如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形． 一、单选题 1．平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（    ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的概念，平移的概念，掌握旋转的概念是解题的关键。 根据旋转的概念求解即可． 【详解】解：A．乘坐电梯啊，电梯整体沿着直线上下移动，属于平移现象，故不符合题意； B．用钥匙开锁，钥匙需要绕着锁芯这个固定点转动，属于旋转现象，故符合题意； C．推拉窗户时，窗户沿着轨道做直线移动，属于平移现象，故不符合题意； D．火箭升空属于平移现象，故不符合题意； 故选：B． 2．图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【答案】C 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解． 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变； 故选C． 【点睛】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题的关键． 3．下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 4．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（   ） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查了求旋转对称图形的旋转角度，一个图形被分成大小和形状相同的等份，则需旋转的整数倍，即可与它自身重合． 【详解】A．最小旋转角度； B．最小旋转角度； C．最小旋转角度； D．最小旋转角度． 故选：C． 5．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 6．如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 7．八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 8．如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 9．如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中，角的顶点重合，与边重合，射线和分别平分和．将三角板绕点逆时针旋转，当与第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，的大小将会（    ） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，角的和差关系，根据题意表示出是解题关键．设旋转角为，即，根据，结合角平分线的性质，以及角的和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：如图所示，设旋转角为，即， 则， 射线和分别平分和， ，， ，为恒定值， 在旋转的过程中，的大小将会始终不变． 故选：A． 10．将一副三角板按如图放置，三角板可绕点D旋转，C为与的交点，下列结论中正确的是（      ） ①若平分，则；②若，则； ③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，三角板中的角度计算，由旋转的性质和平行线的性质与判定依次判断可求解． 【详解】解：由三角板可知，，，，， ①当平分， 则， ， 故①错误； ②若，且在的上方， 则， ， 故②错误； ③若，且在的下方时， 则， 故③错误； ④若，且， 则， 故④正确， 故选：A． 二、填空题 11．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出，由解题． 【详解】解：由绕点逆时针旋转一定的角度得到， ， ． 故答案为：． 12．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 13．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点在线段BC的延长线上，则的大小为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质，掌握利用旋转得到等腰三角形，结合等腰三角形内角和计算角度是解题的关键． 根据旋转的性质得到等腰三角形，结合等腰三角形的角度计算，再通过角的和求出的大小． 【详解】解：由旋转的基本性质，得，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点___________． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 15．“七巧板”被誉为“东方魔方”，如图是一个由七巧板拼成的边长为4的正方形．现从中选取5块拼成一个四边形（拼图不能有空隙和重叠），若这个四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，则这个四边形的面积是________． 【答案】8 【分析】本题考查七巧板，轴对称图形，中心对称图形．先根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断出四边形的形状为正方形，再拼出图形，即可求解． 【详解】解：七块七巧板拼成的正方形边长为4， 这个大正方形的面积为16， 如图，用2块大直角三角形之外的5块七巧板拼成正方形， 这个四边形的面积是， 故答案为：8． 16．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 17．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2025个图案与第1个至第4个中的第________个箭头方向相同．（填序号） 【答案】1 【分析】本题考查了图形的旋转规律，解题的关键是找出图案循环的周期并通过除法运算确定对应位置． 通过分析图案的旋转规律，确定循环周期为4，用总个数除以周期，根据余数判断对应图案． 【详解】观察可知，图案每4个为一个循环周期．计算，其中余数为1．这表明第2025个图案经过了506个完整周期后，处于新周期的第1个位置，与第1个图案的箭头方向相同．所以第2025个图案与第1个图案箭头方向相同． 故答案为：1． 18．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．    【答案】或 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 在旋转过程中，若与三角板的一条边恰好平行， 则有两种情况： ①当时，如图，    此时， ∴旋转角； ②当时，如图，作，    此时，， ∴旋转角． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角板拼接、旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 三、解答题 19．如图，用一个等腰三角形，经过旋转，制作一个五角星图案．（提示：选择旋转中心，计算旋转角） 【答案】选择五角星的中心为旋转中心，旋转角的度数为72° 【分析】只需要选择五角星的中心为旋转中心，五角星相邻两个顶点与五角星中心连线的夹角为旋转角即可． 【详解】解：如图所示，选择五角星的中心为旋转中心为O，然后连接五角星的中心和5个顶点，则旋转角即为∠AOE， ∴旋转角的度数． 【点睛】本题主要考查了旋转图形的设计，解题的关键在于能够确定基本图形，从而确定旋转中心和旋转角的． 20．如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F．将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上． （1）若∠B＝50°，求∠DAF的度数； （2）若∠E＝∠CAD，求证：AD＝CD． 【答案】（1）40°；（2）见解析 【分析】（1）由旋转的性质得出AD＝AB，则∠ADF＝∠B＝50°，可求出答案； （2）由旋转的性质得出∠C＝∠E，得出∠C＝∠CAD，可得出结论． 【详解】解：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE， ∴AD＝AB， ∴∠ADF＝∠B＝50°， ∵AF⊥BC， ∴在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣50°＝40°； （2）证明：∵将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上． ∴∠C＝∠E， 又∵∠E＝∠CAD， ∴∠C＝∠CAD， ∴AC＝CD． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，准确记住旋转后对应角，对应边相等是解题关键． 21．如图，在12×12的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的； （2）作出△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到的． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）根据图形的对称性直接在图上作图即可， （2）根据图形旋转的作图方法直接作图即可． 【详解】(1)△A1B1C1如图所示， (2)△AB2C2如图所示． 【点睛】本题重点考查学生对图形的对称和旋转的理解，掌握对称图形、图形旋转的作图方法是解题的关键． 22．（1）把如图每一个方格的边长看成，求图中四边形的面积； （2）在图中画出把四边形绕点顺时针方向旋转的图形． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换、四边形面积等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）利用割补法计算即可． （2）先根据旋转的性质确定各点的对应点，然后顺次连接即可作图． 【详解】解：（1）图中四边形的面积是． （2）如图，图①即为所求． 23．数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)不存在， 【分析】（1）当旋转角时，则，，，根据角平分线定义得，由此可得的度数； （2）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，则，由此可得的值； （3）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，，由此可得与之间的关系． 此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】（1）解：当旋转角时，则， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， 即， ， ． 24．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角． 如图1，若射线，在的内部，且，则是的内半角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，，若是的内半角，则_________ ； (2)如图2，已知， 将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置．使边与边重合，边与边重合．如图4，将三角板绕顶点以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线、、、构成内半角时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或30或90或 【分析】本题主要考查角的相关计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， ∴α的值为； （3）解：①如图4所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ③如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ④如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30或90或． 25．实践与探究 【问题提出】已知三条射线、、，若其中一条射线平分另两条射线所组成的角时（如下图中），我们称、、组成的图形为“角分图形”． 【问题探究】在一次数学活动课上，小明和小亮同学用一个含角的直角三角板做分角实验.如图1，在直线上取一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． 小明同学将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使一边在的内部，如图2．小明发现此时、、组成的图形为“角分图形”，请说明理由． 【类比探究】 小亮同学将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，发现射线、、恰好构成“角分图形”，请求出的值． 【问题拓展】 小明同学将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，问题：在旋转过程中，与的差是否发生变化?若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围． 【答案】问题探究：见详解 类比探究：秒或秒或秒 问题拓展：不变， 【分析】本题考查了角分线的定义、旋转的性质、角度的加减等知识，由图和正确分类讨论是解题的关键． 问题探究：利用已知条件，旋转的性质和角平分线定义即可得出答案； 类比探究：由分类讨论和旋转的性质，结合题意即可得出答案； 问题拓展：通过设未知数，并根据角的和与差的运算消去未知数即可得出答案． 【详解】解： 问题探究：由题意可知， 、、组成的图形为“角分图形”； 类比探究： 当射线在中间时 此时位于上方，且 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 当射线在中间时 此时转过的角度为 （秒） 综上所述，秒或秒或秒； 问题拓展： 不变，差值为 设， ． 26．如图①，与有公共顶点C，且边BC与CE重合，其中，，，将绕点C逆时针旋转． 【观察猜想】 （1）将旋转至图②所示位置时，的度数为 ． 【操作探究】 （2）将旋转至图③所示位置时，若，求的度数． 【深化拓展】 （3）当时，求旋转的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，旋转的度数为或 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； （1）（2）通过已知的角度关系，结合旋转性质和角度的和差关系来求解； （3）分析满足平行的情况，分情况进行讨论． 【详解】解：（1）根据旋转的性质，可知 由题可知， ∴ （2）由题可知，，，． 由旋转的性质可知，， ， ． （3）由题可知，． 当时，分两种情况讨论： ①如图①，当时，， ， 即旋转的度数为； ②如图②，当时，， ， 旋转的度数为． 综上所述，当时，旋转的度数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $