第09讲 分式及其基本性质（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 分式及其基本性质（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 1.分式 一般地，如果 A， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中 A叫作分式的分子， B 叫作分式的分母 . 分式的“三要素”：(1)形如的式子；(2) A， B为整式；(3)分母B中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 (1)分式中分母含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. (2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母. 3.有理式 整式和分式统称为有理式， 【知识点02】分式有意义和无意义的条件 1. 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 2. 分式无意义的条件 分式的分母为0，即当B=0 时，分式无意义. 【知识点03】分式的值为0的条件 1. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即对于分式，当A=0 且B≠ 0 时，=0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则或 (2)若的值为负数，则 或 (3)若的值为1，则A= B ，且B ≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A =－ B ，且B ≠ 0. 【知识点04】分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变， 即 ，(A，B， M是整式 ，且M=0).分式的基本性质是分式变形的理论依据. 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为 (1) (2) 【知识点05】分式的约分 1. 分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式. 【题型一】分式的判断 例1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的定义进行判断．根据分式的定义分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：是分式；、、是整式； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）代数式，，，，中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中是否含有字母来判断即可． 【详解】解：代数式，，，，中， 分式有，； 故选：A． 【题型二】分式的规律性问题 例2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的规律性问题 【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可． 【详解】解：， ， ， …… 由此看出，，，，……（为正整数）的值是按照n，，每3个一循环，依次循环下去， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 变式1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝_____（请用含x的代数式表示）． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】通过计算发现运算结果，，循环出现，则y2020＝y1＝． 【详解】解：∵y1＝， ∴y2＝＝＝，y3＝＝＝，y4＝＝＝，……， ∴运算结果，，循环出现， ∵， ∴y2020＝y1＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键． 变式2．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【答案】(1) (2)猜想第个等式为，理由见解析 【知识点】分式的规律性问题、数字类规律探索 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律即可写出第个等式，再根据分式的混合运算法则即可证明等式成立． 【详解】（1）解：按照以上规律，可写出第6个等式为：． 故答案为：； （2）猜想第个等式为． 理由：左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查数字类规律探索、分式的混合运算．熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 【题型三】分式无意义的条件 例3．（22-23七年级下·安徽六安·月考）若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【知识点】分式无意义的条件 【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案． 【详解】解：若分式无意义，则， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）当时，分式无意义，求的值为___________． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件．（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．分式无意义是分母等于零，所以，由此可以求得． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，分母，即， 所以． 故答案为：． 【题型四】分式有意义的条件 例4．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零列出式子求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， ． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若要使分式有意义，则x的取值范围是________ ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义即分母不为0，由此列式计算即可． 【详解】解：若要使分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 【题型五】分式值为零的条件 例5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）已知分式的值是零，那么的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值，根据分式的值为零的条件即可求出答案． 【详解】解：已知分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分式的值等于0，则________． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键，根据题意可得，且，解得即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∴，且， 解得：， 故答案为：1． 【题型六】分式的求值 例6．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查求分式的值，将分别代入各个选项，进行运算，即可求解；理解分式无意义的条件，正确计算是解题的关键． 【详解】解：A.当时，分式无意义，不符合题意； B.当时，，不符合题意； C.当时，，不符合题意； D.当时，，符合题意； 故选：D． 变式1．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知非零实数a，b满足，则的值等于________． 【答案】3 【知识点】分式的求值 【分析】由可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴； 故答案为：3 【点睛】本题考查的是分式的求值，熟练利用整体代入法求解分式的值是解本题的关键． 变式2．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 【题型七】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例7．若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】根据题意列出不等式即可求出答案； 【详解】解：由题意得，，所以， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的值，解题关键是列出正确的不等式． 变式1．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】分式值为零的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 【分析】本题考查了分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件，熟练掌握分式的值为0、分式的值为正数或负数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． （1）根据分式值为0的条件解答即可； （2）分式的值为正即分子分母同号，由，得，从而得出，解答即可； （3）分式的值为负即分子分母异号，由，得，从而得出，解答即可． 【详解】解：（1）由，得， 当时，； ∴当时，分式的值为0； （2）由分式的值为正，得与同号， ∵， ∴， ∴， 解得： （3）由分式的值为负，得与异号， ∵， ∴， ∴， 解得：， 【题型八】求使分式值为整数时未知数的整数值 例8．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】表示一个整数，则是6的因数，即可求解． 【详解】解：∵表示一个整数， ∴是6的因数 ∴的值为-6，-3，-2，-1，1，2，3，6， 相应的，x=，-3，，-2，，，0，，共8个． ∴满足x是整数的只有4个， 故选C． 【点睛】本题首先要根据分式值是整数的条件，求出的值，再求出x的值是解题的关键． 变式1．已知一个分式可以进行这样的变形：，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为________． 【答案】0或2/2或0 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】利用题目给出例子的解题思路，化简分式，分情况讨论出x的值即可． 【详解】解：， 若原式的值为整数， 则x-1=±1， 即x=0或x=2． 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查对新定义的理解以及分式的基本性质，关键要读懂新定义，能灵活运用分式的基本性质． 变式2．（22-23七年级·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 【答案】(1)0 (2)​或​或​或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】（1）​若使该式的值为正整数，则​能够被​整除，所以​可以为​，​，​；即​，​，；由​为整数得，​即可； （2）​分式​进行变形，化为​，若要使​值为整数，则​的值一定是整数，则​一定是​的约数，从而求得​的值． 【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则​能够被​整除， ​可以为​，​，​， ​，​，​， ​为整数， ​； （2）解：​， ​的值为整数，且​为整数； ​为​的约数， ​的值为​或​或​或​； ​的值为​或​或​或​． 【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则． 【题型九】判断分式变形是否正确 例9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质和化简方法． 逐一验证各选项是否恒成立即可． 【详解】解：选项A：通分得左边为，右边为，显然不相等，故A不成立； 选项B：拆分分式得左边为，与右边不符，故B不成立； 选项C：左边平方后等于右边，但原式仅在或且不为0时成立，故C不恒成立； 选项D：分子因式分解为，约分后为（当时分式有意义），故D在分式有意义时恒成立； 故选：D． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式中分子与分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变是解题的关键． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． ①；②；③；④． 【答案】①；②；③；④ 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案. 【详解】解：①； ②； ③； ④ 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的三个符号问题是解题的关键. 【题型十】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例10．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化、约分 【分析】本题考查了分式的基本性质，约分，解题关键是掌握分式的基本性质． 将分式中的x和y都分别换为与，再约分，然后与原分式的值比较． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍， 将分式中的x和y都分别换为与， 得， 所以分式的值扩大到原来的3倍， 故选：A． 【题型十一】将分式的分子分母各项系数化为整数 例11．（22-23七年级·安徽宣城·期中）下列判断错误的是（  ） A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​ C．当​时，分式​有意义 D．​ 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数、分式有意义的条件、分式的判断、分式值为零的条件 【分析】根据分式的基本性质，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．代数式​是分式，正确，不符合题意； B．当​时，分式​没有意义，错误，符合题意； C．当​时，分式​有意义，正确，不符合题意； D．​，正确，不符合题意．     故选B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，熟练掌握分式的性质是解本题的关键． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为_____． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握其性质． 根据分式的基本性质把分子分母都乘以2即可； 【详解】解：， 故答案为：． 变式2．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十二】约分 例12．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分 【分析】此题主要考查了约分的方法，熟练掌握约分的方法是解决此题的关键． 约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，直到公约数为1为止，据此判断即可． 【详解】解：A、，故A选项不符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、已经为最简形式，故D选项不符合题意． 故选：C． 变式1．已知a﹣b＝0（b≠0），则分式的值为 _____． 【答案】-3 【知识点】约分 【分析】根据a﹣b＝0（b≠0）求得a＝b，然后代入求值． 【详解】解：∵a﹣b＝0（b≠0）， ∴a＝b， ∴原式 ， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是确定 与 的数量关系，并熟练掌握化简的法则． 变式2．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式的求值、约分 【分析】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ， 当时， ∴原式=． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 【题型十三】最简分式 例13．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式．利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、，不是最简分式，本选项不符合题意； D、，为最简分式，本选项符合题意； 故选：D． 变式1．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】最简分式 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【知识点】最简分式、列代数式 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 一、单选题 1．把分式中的正数，都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，判断即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴分式的值缩小为原来的． 故选：C 2．若分式的值为零，则等于（     ） A． B．4 C．1和 D．0和4 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的值为零，根据分式的值为零的条件可进行求解，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：， 故选：A． 3．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解及最简分式的判断，掌握因式分解的方法以及最简分式的判断依据是解题的关键，把每个分式分子分母分解因式，再根据最简分式的定义“分子分母中不含有公因式，不能再约分”，进行判断即可． 【详解】解：A. ，能约分，不是最简分式； B. ，能约分，不是最简分式； C. ，能约分，不是最简分式； D. ，不能约分，是最简分式； 故选：D． 4．下列化简中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质一一判断即可． 【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意； B、，原式化简错误，不符合题意； C、，原式化简错误，不符合题意； D、，原式化简正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握基础知识是解本题的关键． 5．下列分式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的分母不能为零去判断即可 【详解】∵当x=1时，|1-x|=0, ∴A不符合题意； ∵当x=0时，分母为0， ∴B不符合题意； ∵当x=1或-1时，=0, ∴C不符合题意； ∵ ∴D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟记分母的值不能为零是解题的关键． 6．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算、数字的变化类，根据题意，可以写出前几项的值，即可发现数字的变化特点，从而可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， …， 由上可得，上面的数据，每三个为一个循环， ∵， ∴． 故选：C． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题关键是把多项式因式分解，然后熟练运用分式基本性质进行约分． 8．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 【答案】B 【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】∵ ， ∵x为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 9．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据3的约数有±1，±3，分别建立等式计算即可． 【详解】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3， ∴a＝0或2或﹣2或4， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，整数的性质，整数的约数，熟练掌握一个数的约数是解题的关键． 10．设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 二、填空题 11．分式的值为零，则x值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为0的条件进行解答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 12．若，则的值为___． 【答案】 【分析】设b=5k，a=3k，代入求值即可； 【详解】解：设b=5k，a=3k，则 ==， 故答案为：； 【点睛】本题考查了分式的求值，掌握分式的性质是解题关键． 13．若分式的值为0，则的值为______. 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 14．约分： ______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分． 通过对分子和分母进行因式分解，然后约去公因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．已知，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据分式等于0的条件可得，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴， ∴ = = = =， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出是关键． 三、解答题 16．当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 17．已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】首先由得到，，然后将变形代入求解即可． 【详解】， ，， ． 【点睛】此题考查了分式的求值，解题的关键是正确将分式变形． 18．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 19．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．已知分式，解答下列问题： (1)分式的值可以是0吗？说明理由； (2)若分式的值是负数，求x的取值范围． 【答案】(1)不可以为0，见解析 (2)＞2 【分析】（1）根据分式的意义即可求解； （2）根据两数相除异号得负，即可求解． 【详解】（1）解：不可以为0． 由于2除以任何数均不为0，因此分式的值不为0； （2）解：由题意得，， 解得： 所以当＞2时，分式值是负数． 【点睛】此题考查了分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． 21．观察下列各式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)第4个等式为：______． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式； （2）结合（1）即可写出第个等式，然后计算证明即可． 【详解】（1）解：第4个等式为：， 故答案为：． （2）解：． 证明：右边左边， 所以等式成立， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 分式及其基本性质（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】分式的概念 1.分式 一般地，如果 A， B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式，其中 A叫作分式的分子， B 叫作分式的分母 . 分式的“三要素”：(1)形如的式子；(2) A， B为整式；(3)分母B中含有字母. 2. 分式与分数、整式的关系 (1)分式中分母含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. (2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母. 3.有理式 整式和分式统称为有理式， 【知识点02】分式有意义和无意义的条件 1. 分式有意义的条件 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠ 0 时，分式才有意义. 2. 分式无意义的条件 分式的分母为0，即当B=0 时，分式无意义. 【知识点03】分式的值为0的条件 1. 分式的值为0 的条件 当分式的分子等于0 且分母不等于0 时，分式的值为0. 即对于分式，当A=0 且B≠ 0 时，=0. 2. 对常见的几种特殊分式值的讨论 (1)若的值为正数，则或 (2)若的值为负数，则 或 (3)若的值为1，则A= B ，且B ≠ 0. (4)若的值为－ 1，则A =－ B ，且B ≠ 0. 【知识点04】分式的基本性质 1. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变， 即 ，(A，B， M是整式 ，且M=0).分式的基本性质是分式变形的理论依据. 2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示为 (1) (2) 【知识点05】分式的约分 1. 分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫作分式的约分. 2. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公因数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式. 【题型一】分式的判断 例1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）下列式子中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）代数式，，，，中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型二】分式的规律性问题 例2．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽安庆·期末）已知y1＝，y2＝，y3＝，y4＝，…，yn＝，请计算y2020＝_____（请用含x的代数式表示）． 变式2．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示，为正整数），并说明等式成立的理由． 【题型三】分式无意义的条件 例3．（22-23七年级下·安徽六安·月考）若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）当时，分式无意义，求的值为___________． 【题型四】分式有意义的条件 例4．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若要使分式有意义，则x的取值范围是________ ． 【题型五】分式值为零的条件 例5．（24-25七年级下·安徽六安·期末）已知分式的值是零，那么的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 变式1．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）分式的值等于0，则________． 【题型六】分式的求值 例6．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）当时，下列分式中，值为的是（  ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽马鞍山·期末）已知非零实数a，b满足，则的值等于________． 变式2．阅读理解： 著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：， ， ． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为______，分式的值为______； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，则分式的值为______． 【题型七】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 例7．若分式值为正数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．（1）当x取什么值时，分式的值为0； （2）当x取什么值时，分式的值为正； （3）当x取什么值时，分式的值为负． 【题型八】求使分式值为整数时未知数的整数值 例8．若表示一个整数，则整数x可取值的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 变式1．已知一个分式可以进行这样的变形：，运用上述方法，解决问题：若代数式的值为整数，则满足条件的整数x的值为________． 变式2．（22-23七年级·安徽宣城·期中）当​为何整数时， (1)​分式​的值为正整数； (2)​分式​的值是整数． 【题型九】判断分式变形是否正确 例9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）下列各式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 变式2．不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号． ①；②；③；④． 【题型十】利用分式的基本性质判断分式值的变化 例10．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 变式1．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）如果把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的3倍 B．不变 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【题型十一】将分式的分子分母各项系数化为整数 例11．（22-23七年级·安徽宣城·期中）下列判断错误的是（  ） A．代数式​是分式 B．当​时，分式​的值为​ C．当​时，分式​有意义 D．​ 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，使的分子与分母中各项系数都为整数，化简的结果为_____． 变式2．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【题型十二】约分 例12．（2024七年级下·安徽·专题练习）下面的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．已知a﹣b＝0（b≠0），则分式的值为 _____． 变式2．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型十三】最简分式 例13．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 变式1．从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 变式2．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 一、单选题 1．把分式中的正数，都扩大2倍，那么分式的值（    ） A．扩大2倍 B．扩大4倍 C．缩小为原来的 D．不变 2．若分式的值为零，则等于（     ） A． B．4 C．1和 D．0和4 3．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列化简中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列分式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 6．已知 ， ， ，…，（n为正整数，且，），则用含t的式子表示的结果为（   ） A．1 B．t C． D． 7．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（　 ） A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处 9．若表示一个整数，则整数a可取的值共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 二、填空题 11．分式的值为零，则x值为_________． 12．若，则的值为___． 13．若分式的值为0，则的值为______. 14．约分： ______． 15．已知，则的值是___________． 三、解答题 16．当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 17．已知实数满足，求的值． 18．（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 19．不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 20．已知分式，解答下列问题： (1)分式的值可以是0吗？说明理由； (2)若分式的值是负数，求x的取值范围． 21．观察下列各式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 根据你发现的规律解答下列问题： (1)第4个等式为：______． (2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $