第09讲 等腰三角形的性质和判定 （知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年（沪教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 等腰三角形的性质和判定 （知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点02】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【知识点03】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【题型一】等腰三角形的定义 例1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则___________ 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 【题型二】找出图中的等腰三角形 例2．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 变式1．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 变式2．如图，A、B、C、D、E 为正方形网格中的“格点”（格线的交点）． （1）以 A、B、C、D、E 这 5 个点中的 3 个点为顶点画三角形，一共可以画 个，其中等腰三角形有 个； （2）请画出△ABD先向右平移4格，再向下平移2格所得的△A′B′D′； （3）请直接写出（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形： ． 【题型三】等边对等角 例3．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式1．（2023七年级下·上海宝山·月考）在中，是顶角的平分线，，则_______°． 变式2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，，那么______度． 【题型四】三线合一 例4．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 变式1．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    变式2．如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：． 【题型五】大（小）边对大（小）角定理 例5．（24-25七年级下·上海·月考）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 变式1．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 变式2．已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长． 【题型六】根据等角对等边证明等腰三角形 例6．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期中）图1是一张扇形纸片，，，现将该纸片按图2方式折叠，则图2中图形阴影部分面积为______（取）． 变式3．（2022七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D＝90°+∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1＝　 　（角平分线定义）． 同理：∠2＝　 　． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（　 　）， 所以　 　（等式性质）． 即：∠D＝90°+∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： ①如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． ②如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． （3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由． 【题型七】根据等角对等边证明边相等 例7．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 变式1．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于_____． 变式2．（2023七年级下·上海·月考）在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，EF 过点 O 且 EF∥BC，如果 AB=6，AC=5，求△AEF 的周长． 【题型八】根据等角对等边求边长 例8．已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是（　　） A． B． C．或 D． 变式1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 变式2．（22-23七年级下·上海闵行·月考）如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到灯塔C的距离． 【题型九】等腰三角形的性质和判定 例9．（24-25七年级·上海·期末）已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 变式2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 一、单选题 1．若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 2．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（　　） A． B． C．或 D．或 3．中三边a、b、c满足，则这个三角形一定为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 5．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．16 B．17 C．18 D．16或17 6．在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．等腰三角形的周长为16，底边长为6，则腰长为______． 8．如果等腰三角形的两条边分别为5厘米和10厘米，那么这个等腰三角形的周长是 _______． 9．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 10．如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 11．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 12．如图，在中，，，点E，F是中线上的两点，则图中阴影部分的面积是_____． 13．在中，分别是和的平分线，且交于D，交于E，则的周长是___． 14．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，直线交的平分线于点，交的外角平分线于点，设的长为的长为．那么关于的函数关系式是______． 15．一个等腰三角形的周长是13厘米，其中有一条边长为4厘米，该三角形另外两条边长分别为_____． 16．如图，在中，点在边上，，于点，若的面积为6，则的面积为______． 17．如图，一条船从海岛A处出发，向正北方向航行8海里到达海岛B处．从C望海岛A，A在C的南偏东42°方向上；从B望灯塔C，C在B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是__海里． 18．如图，和都是等腰直角三角形，，，将绕点B逆时针旋转后得到，当点恰好落在直线上时，，，则的面积为______． 三、解答题 19．在中，，，若是等腰三角形，求的长． 20．如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，求证：． 21．如图，上午9时，一艘船从海岛出发，以18海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛处，分别从海岛，望灯塔，测得，．求海岛到灯塔的距离． 22．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？为什么？ 23．某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米． (1)求花坛各边的长度； (2)若在花坛三边等距离安装路灯（顶点处也安装），每两盏灯间距不超过2米，至少需要多少盏灯？ 24．已知为的三边长． (1)化简：； (2)若，，为偶数，判断的形状． 25．（1）如图1，已知，是的中线，请你用无刻度的直尺作出边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边上中线． 26．如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． (1)猜想：与、之间有怎样的关系． (2)如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． (3)如图3，若中，的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于，这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 等腰三角形的性质和判定 （知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【知识点02】等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 【知识点03】等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【题型一】等腰三角形的定义 例1．（24-25七年级下·上海虹口·期末）等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【答案】C 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17， 此时，满足三角形的三边关系， 所以它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为42， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·上海·月考）在等腰三角形中，若，，则___________ 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识，根据等腰三角形的性质，三角形的三边关系分情况讨论即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴不能组成三角形， 当时， ∵， ∴能组成三角形， 综上所述，， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）等腰中，，边上的中线把的周长分成和两部分．求边的长． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形三边关系定理，合理进行分类讨论并检验结果是否符合三角形三边关系定理是解题关键．分为两类：或，求出三边后验证是否符合三角形三边关系定理即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴设，则 ∵边上的中线把的周长分成和两部分， 或， 当AB+AD=15cm时， ， ， ，， 此时， , 检验满足三角形两边之和大于第三边， ； 当时， ， ，， 此时， , ，所以舍去； 综上所述，． 【题型二】找出图中的等腰三角形 例2．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（  ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】逐个画出图形，即可得到答案． 【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°， 以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴△ABD是等腰三角形， 而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°， ∴∠ACB=∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， 故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意； 图③中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°， 过A作AE⊥BC于E，如图： 则△ABE和△ACE是等腰直角三角形， 故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意； 图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°， 以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图： 则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意； 图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形， 故②不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形． 变式1．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【知识点】找出图中的等腰三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 变式2．如图，A、B、C、D、E 为正方形网格中的“格点”（格线的交点）． （1）以 A、B、C、D、E 这 5 个点中的 3 个点为顶点画三角形，一共可以画 个，其中等腰三角形有 个； （2）请画出△ABD先向右平移4格，再向下平移2格所得的△A′B′D′； （3）请直接写出（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形： ． 【答案】（1）9、2；（2）见解析；（3） 【知识点】平移(作图)、找出图中的等腰三角形 【分析】（1）根据三角形的定义以及等腰三角形的定义解决问题即可． （2）利用平移变换的性质分别作出A，B，D 对应点A′，B′，D′即可． （3）利用三角形的面积公式判断即可． 【详解】解：（1）可以画△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE，△BDE，△CDE，∴一共可以画9个，其中等腰三角形有△ACE，△CDE共2个． 故答案为：9，2． （2）如图，△A′B′D′即为所求． （3）∵△A′B′D′面积=，△ABD面积=，△BCD面积=， ∴（1）中所有与△A′B′D′面积相等的三角形有△BCD，△ABD， 故答案为：△BCD，△ABD． 【点睛】本题考查作图-平移变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型三】等边对等角 例3．在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 变式1．（2023七年级下·上海宝山·月考）在中，是顶角的平分线，，则_______°． 【答案】 【知识点】等边对等角 【分析】根据是顶角的平分线可求出，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵是顶角的平分线，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 变式2．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，，那么______度． 【答案】 【知识点】等边对等角 【分析】由可知，由三角形外角性质得，再由可知，为等腰三角形，由内角和定理求． 【详解】解：， ， ， 又， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据“等边对等角”，外角性质，内角和定理求解． 【题型四】三线合一 例4．（24-25七年级下·上海普陀·月考）真如寺作为江南著名的佛教寺院，寺内大雄宝殿为元代建筑，承载着深厚的历史与艺术价值．大殿采用抬梁式结构，粗壮的梁枋构件与古朴的斗拱形制，尽显元代建筑风格，稳固的建筑结构历经岁月修缮，依然保留着原有的韵味，是上海地区现存最古老的木结构建筑之一．其顶端飞檐造型优美，可抽象为如图的等腰三角形，，是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一“的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故A选项不符合题意； 若，不能说明是的角平分线，故B选项符合题意； ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故C选项不符合题意； ， ∴， ∴是的角平分线，故D选项不符合题意； 故选：B． 变式1．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是______．    【答案】 【知识点】三线合一 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长即可得到结论． 【详解】解：，是的平分线， ， 的周长为， ， 的周长为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 变式2．如图，在中，，是边上的中线，于点．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形三线合一的性质可得，在结合互余关系证明即可． 【详解】解：因为，是边上的中线， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【题型五】大（小）边对大（小）角定理 例5．（24-25七年级下·上海·月考）对于以下两个命题，判断正确的是（   ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】C 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、判断命题真假 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 变式1．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为______． 【答案】8，8 【知识点】大（小）边对大（小）角定理、三角形三边关系的应用、构成三角形的条件 【分析】从等腰三角形的腰为长为4与等腰三角形的底边为4两种情况去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若等腰三角形的腰为长为4，设底边长为x， 则有x+4×2=20， 解得：x=12， 此时，三角形的三边长为4，4，12， ∵4+4＜12， ∴不可以组成三角形； 若等腰三角形的底边为4，设腰长为x， 则有2x+4=20， 解得：x=8， ∵4+8＞8， ∴可以组成三角形； ∴三角形的另两边的长分别为8，8． 故答案为：8，8． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义和性质，利用分类讨论思想解题是关键． 变式2．已知等腰三角形的一边长等于5，一边长等于6，求它的周长． 【答案】周长为16或17. 【知识点】等腰三角形的定义、大（小）边对大（小）角定理 【分析】由于没有明确腰以及底边，所以从若底边长为5，腰长为6与若底边长为6，腰长为5，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当底边为5，两腰为6时； 周长为：5+6+6＝17 ②当底边为6，两腰为5时； 周长为：5+5+6＝16 故答案为16或17. 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键． 【题型六】根据等角对等边证明等腰三角形 例6．（24-25七年级下·上海·月考）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、根据等角对等边证明等腰三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·上海虹口·期中）图1是一张扇形纸片，，，现将该纸片按图2方式折叠，则图2中图形阴影部分面积为______（取）． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的判定，掌握扇形面积的计算是关键． 根据题意，如图所示，过点作于点，，，由代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，沿折叠得到， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，则， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为： ． 变式3．（2022七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线． 试说明∠D＝90°+∠A的理由． 解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以∠1＝　 　（角平分线定义）． 同理：∠2＝　 　． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（　 　）， 所以　 　（等式性质）． 即：∠D＝90°+∠A． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： ①如图②，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． ②如图③，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系． 答：∠D与∠A之间的等量关系是　 　． （3）如图④，△ABC中，∠A＝90°，BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线．试说明DC＝CF的理由． 【答案】（1），，三角形的内角和等于180°；；（2）①；②；（3）见解析 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和，三角形的内角和等于180°，表示角度的数量关系，根据等式的性质求解即可； （2）求解方法同（1）； （3）根据角平分线的定义，三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和，三角形的内角和等于180°，求解∠D＝∠DFC，根据等角对等边说明DC＝FC即可． 【详解】（1）解：因为BD平分∠ABC（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（三角形的内角和等于180°）， 所以（等式性质）． 即：． 故答案为：，，三角形的内角和等于180°，． （2）①解：∠D与∠A之间的等量关系是：． ∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF， ∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ②解：∠D与∠A之间的等量关系是：． ∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，， ∵∠DCE＝∠DBC+∠D， 2∠DCE＝∠A+2∠DBC， ∴2∠DBC+2∠D＝∠A+2∠DBC， ∴∠A＝2∠D， ∴∠D＝， 故答案为：∠D＝． （3）解：因为  BF平分∠ABC（已知）， 所以∠DBC＝∠ABC（角平分线定义）． 同理：∠ACF＝∠ACB，∠DCA＝∠DCE＝∠ACE． ∵∠ACE＝∠ABC+∠A，∠DCE＝∠DBC+∠D（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ∴． 又∵∠A＝90°（已知）， ∴∠D＝45°（等式性质）． ∵∠ACB+∠ACE＝180°（平角的定义）， ∴∠FCD＝∠FCA+∠ACD＝（∠ACB+∠ACE）＝90°． ∵∠D+∠DFC+∠FCD＝180°（三角形的内角和等于180°）， ∴∠DFC＝45°（等式性质）． ∴∠D＝∠DFC（等量代换）． ∴DC＝FC．（等角对等边）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质的应用，三角形内角和定理，角平分线，等角对等边等知识．熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【题型七】根据等角对等边证明边相等 例7．在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【详解】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 变式1．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于_____． 【答案】10 【知识点】根据等角对等边证明边相等 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【详解】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键． 变式2．（2023七年级下·上海·月考）在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，EF 过点 O 且 EF∥BC，如果 AB=6，AC=5，求△AEF 的周长． 【答案】11 【知识点】三角形角平分线的定义、根据等角对等边证明边相等 【分析】由△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC，易证得EO＝EB，FO＝FC，易得△AEF的周长等于AB＋AC，则可求得答案． 【详解】解：∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB， ∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB， ∴∠EOB＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO， ∴EO＝EB，FO＝FC， ∵AB＝6，AC＝5， ∴AE＋EF＋AF＝AE＋EO＋FO＋AF＝AE＋EB＋FC＋AF＝AB＋AC＝6＋5＝11． ∴△AEF的周长为11． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BOE与△COF是等腰三角形是解此题的关键． 【题型八】根据等角对等边求边长 例8．已知等腰三角形的两边长分别为，，则该等腰三角形的周长是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义、根据等角对等边求边长、三角形三边关系的应用 【分析】题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析． 【详解】解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为时，符合三边关系，其周长为． 故该三角形的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为_____ ． 【答案】7 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得，进而得到． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 变式2．（22-23七年级下·上海闵行·月考）如图，上午10时，一艘船从A出发以20海里/时的速度向正北方向航行，11时45分到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西26°方向，从B处测得灯塔C在北偏西52°方向，求B处到灯塔C的距离． 【答案】35海里 【知识点】根据等角对等边求边长、三角形的外角的定义及性质、与方向角有关的计算题 【分析】求得AB长为35海里，利用三角形的外角知识可得△ABC为等腰三角形，那么BC=AB，即可求解． 【详解】解：1时45分=（小时） 由题意得：AB=×20=35（海里）， ∵∠C=52°-∠A=26°=∠A， ∴BC=AB=35（海里）． 答：从B到灯塔C的距离为35海里． 【点睛】本题考查方向角，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，利用外角知识判断出△ABC的形状是解决本题的关键． 【题型九】等腰三角形的性质和判定 例9．（24-25七年级·上海·期末）已知为等腰三角形纸片的底边，．将此三角形纸片沿剪开，得到两个三角形．若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义及等腰三角形的性质，平行四边形的性质，熟练掌握中心对称图形的定义及平行四边形的性质是解题的关键．先证剪得的两个小三角形全等，再进行拼接，得到相应的中心对称图形即可得解． 【详解】∵是等腰三角形的底边，， ∴， ∴剪得的两个小三角形全等． ∵这两个三角形可以组成的中心对称图形是平行四边形， ∴分别让它们的一组对应边重合，另外两组对应边分别平行，能拼出3个平行四边形， 如图所示：即满足题意的中心对称图形有3个． 故选：C 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，这两个相等的角是底角，另外一个角是顶角．如果一个等腰三角形，其一腰上的高与另一腰的夹角是度，那么这个等腰三角形的顶角等于______度． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 本题需要分两种情况，并画图分析，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，然后进行计算，即可求解． 【详解】解：当等腰三角形的高在三角形的内部时， 如图：，是的高，， ， ∵是的高， ∴， ； 当等腰三角形的高在三角形的外部时， 如图：，是△ABC的高，， ， ∵是的高， ∴， ∴， 综上所述，这个等腰三角形的顶角等于或． 故答案为：或． 分两种情况，等腰三角形的高可能在三角形的内部或外部，即可求解． 本题考查等腰三角形的性质，关键是分两种情况讨论． 变式2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再证明，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：作于点， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴即． 一、单选题 1．若等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长是（    ） A．17 B．22 C．17或22 D．13 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．由题意分该等腰三角形的腰长分别为4和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行讨论，然后再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况进行讨论： （1）当该等腰三角形的腰长为4时，因为，不组成三角形，所以这种情况不成立； （2）当该等腰三角形的腰长为9时，因为，组成三角形，此时该等腰三角形的周长． 综上所述，该等腰三角形的周长为22． 故选：B． 2．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解本题的关键是用三角形的三边关系判断能否构成三角形．根据题意分两种情况：第一种是腰长为时，第二种情况是腰长为，判断能否组成三角形，然后再将三边长相加即可求得答案． 【详解】解：等腰三角形的两条边长分别是、 当此三角形的腰长为时，，能构成三角形， 周长， 当此三角形的腰长为时，，能构成三角形， 周长， 故选：D． 3．中三边a、b、c满足，则这个三角形一定为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】三项相乘得0，那么至少有一项为0，从而判断至少有两条边相等，所以一定为等腰三角形． 【详解】∵ 则相乘的三项中至少有一项为0． ∴ ∴ 综上所述，三条边中至少有两条相等，所以△ABC一定为等腰三角形． 故选B． 【点睛】本题考查多项式乘法与三角形的结合，理解多项式相乘为0的性质和等腰等边三角形的性质是解题关键． 4．如图，已知四边形的边长分别为3，4，2，2，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据等腰三角形的定义可得或，然后根据三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴可有或， 当时，的三边长分别为2，2，3，符合题意； 当时，的三边长分别为2，2，4， ∵， ∴不能构成三角形，不符合题意． 综上所述，对角线的长为3． 故选：B． 5．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（    ） A．16 B．17 C．18 D．16或17 【答案】D 【分析】先根据非负数性质求出a，b值，再分两种情况：当a为腰，b为底时；当a为底，b为腰时；分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 当等腰三角形腰为5，底为6时， 等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形腰为6，底为5时， 等腰三角形的周长为：， ∴等腰三角形的周长为16或17． 故选：D． 【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形分类讨论，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性是解题的关键． 6．在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由得出，根据旋转的性质可得为等腰三角形，再利用三角形的内角和定理得到，最后利用旋转角即可得出结论． 【详解】解：， ， 又、为对应点，点A为旋转中心， ，即为等腰三角形， ， 又、为旋转角， ． 故选：A． 二、填空题 7．等腰三角形的周长为16，底边长为6，则腰长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先计算两腰的长度之和，再除以2得到腰长． 【详解】解：∵等腰三角形的底边长为6，周长为16， ∴腰长为：． 故答案为：5． 8．如果等腰三角形的两条边分别为5厘米和10厘米，那么这个等腰三角形的周长是 _______． 【答案】25cm 【分析】分两种情况讨论：当5厘米是腰时或当10厘米是腰时．根据三角形的三边关系，知5，5，10不能组成三角形，应舍去． 【详解】解：当5厘米是腰时，则5+5＝10，不能组成三角形，应舍去； 当10厘米是腰时，则三角形的周长是5+10×2＝25（厘米）． 故答案为：25cm． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的三边关系． 9．如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 【答案】21 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 10．如图，在等腰三角形中，平分，且，若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质．过点A作于点H，根据题意求得，得到是等腰三角形的中线，得到，根据，当共线时，有最小值，得到，根据等面积法求出的长． 【详解】解：过点A作于点H， ∵，平分， ∴， ∴， ∵是等腰三角形的中线， ∴点C关于的对称为点A， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 11．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称、三角形的边角关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．先利用轴对称的性质、三角形的边角关系可得点与点重合，再根据轴对称的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点， ∴点关于直线的对称点在上， 设点关于直线的对称点为点， 如图1，假设点在（不含点）上，连接， 由轴对称的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴在中，， ∴，这与不符， ∴假设不成立，即点不在（不含点）上； 如图2，假设点在（不含点）上，连接， 同理可得：点不在（不含点）上； ∴点与点重合， ∴与关于直线对称，点的对应点是点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 12．如图，在中，，，点E，F是中线上的两点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，然后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴，， ∴与关于轴对称， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 13．在中，分别是和的平分线，且交于D，交于E，则的周长是___． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得和为等腰三角形，由等腰三角形的性质得，，那么的周长就转化为边的长，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将的周长就转化为边的长． 【详解】解：、分别是和的角平分线， ，， ， ，， ，， ，， 的周长， 故答案为：． 14．如图，中，点是边上的一个动点，过点作直线，直线交的平分线于点，交的外角平分线于点，设的长为的长为．那么关于的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定，由平行线的性质和角平分线的定义得出，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵的长为的长为， ∴， 故答案为：． 15．一个等腰三角形的周长是13厘米，其中有一条边长为4厘米，该三角形另外两条边长分别为_____． 【答案】4厘米，5厘米或4.5厘米，4.5厘米 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，由于4厘米长的边可能是腰，也可能是底边，因此分类讨论，求出另一边后根据三角形的三边关系再进行判断． 【详解】当4厘米长的边为腰时，它的底长为：（厘米）， ∵，这能构成等腰三角形， ∴另外两条边长为4厘米，5厘米； 当4厘米长的边为底时，它的腰长为：（厘米）， ∵，这能构成等腰三角形， ∴另外两条边长为4.5厘米，4.5厘米； 综上，它另外两边长分别为4厘米，5厘米或4.5厘米，4.5厘米． 故答案为：4厘米，5厘米或4.5厘米，4.5厘米 16．如图，在中，点在边上，，于点，若的面积为6，则的面积为______． 【答案】10 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据中线的性质可得将相应三角形分成面积相等的两部分，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，三角形的面积，中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用中线的性质是解题关键． 17．如图，一条船从海岛A处出发，向正北方向航行8海里到达海岛B处．从C望海岛A，A在C的南偏东42°方向上；从B望灯塔C，C在B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是__海里． 【答案】8 【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠ACD＝42°，再利用三角形外角性质可求出∠ACB＝42°，得到∠ACB＝∠A，继而根据等腰三角形的判定得到BC＝BA＝8． 【详解】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ACD＝42°， ∵∠NBC＝∠A+∠ACB， ∴∠ACB＝84°﹣42°＝42°， ∴∠ACB＝∠A， ∴BC＝BA＝8， 即船距离灯塔C有8海里， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握方向角的概念是解题的关键． 18．如图，和都是等腰直角三角形，，，将绕点B逆时针旋转后得到，当点恰好落在直线上时，，，则的面积为______． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．分两种情况讨论：如图，当点恰好落在线段上时，连接，，当点恰好落在线段的延长线上时，连接，，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当点恰好落在线段上时，连接， ， ∵、都是等腰直角三角形，，，，， ∵将绕点逆时针方向旋转后得到， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴的面积为， 如图，当点恰好落在线段的延长线上时，连接，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：或． 三、解答题 19．在中，，，若是等腰三角形，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形三边关系判断每种情况是否成立． 分两种情况讨论，结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）排除不成立的情况，得出符合条件的长度． 【详解】根据等腰三角形的定义，有两条边长度相等的三角形为等腰三角形，分两种情况讨论： 若，则，三边为5，5，2，满足，成立． 若，则，三边为5，2，2，，不满足三边关系，不成立． ∴． 20．如图，在中，，若点E是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点E的对应点为点D，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求证． 【详解】证明：∵是由旋转得到 ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 21．如图，上午9时，一艘船从海岛出发，以18海里/时的速度向正北航行，11时到达海岛处，分别从海岛，望灯塔，测得，．求海岛到灯塔的距离． 【答案】海岛到灯塔的距离是36海里． 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的判定及性质；由三角形外角性质得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得（海里）． ，， ， ， 海里， 即海岛到灯塔的距离是36海里． 22．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边长为的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为，理由见解析． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解一元一次方程等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长为，则，求解即可； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，则 解得： ∴各边长为； （2）解：①当为底时，腰长为； ②当为腰时，底边为， 故不能构成三角形，舍去， ∴能构成有一边长为的等腰三角形，另两边长为． 23．某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米． (1)求花坛各边的长度； (2)若在花坛三边等距离安装路灯（顶点处也安装），每两盏灯间距不超过2米，至少需要多少盏灯？ 【答案】(1)腰为11米，底边为8米． (2)至少需要30盏灯． 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，等腰三角形，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设腰为x米，则底边为．根据题意列出方程求解即可； （2）要使路灯数量最少，需让相邻两盏灯的间距最大（但不超过 2 米），核心是先找到三边长度的最大公因数，确定最大间距即可． 【详解】（1）解：设腰为x米，则底边为米， ∴， 解得：， ∴腰为11米， ∴底边米； ，符合三边关系， 答：花坛各边的长度为11米，11米，8米． （2）分析间距条件：路灯需在三边等距离安装，且间距≤2 米．要使路灯最少，应取最大允许间距，即三边长度的最大公因数． 求三边的最大公因数：三边长度分别为 11 米、11 米、8 米． 11 是质数，因数为 1、11； 8 的因数为 1、2、4、8； 两者共同的因数只有 1，因此最大间距为 1 米． 计算路灯总数： 封闭图形（三角形）的路灯数量 = 总周长 ÷ 间距； 总周长为 30 米，间距为 1 米， 因此路灯数量 = 30÷1=30盏． 答：至少需要30盏灯． 24．已知为的三边长． (1)化简：； (2)若，，为偶数，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【分析】（1）根据三角形三边关系得到，，，再根据绝对值的性质化简即可得到答案； （2）由三角形的三边关系可得，再根据为偶数可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：为的三边长， ∴，，， ∴，，， ∴ ； （2）解：由三角形的三边关系可得， ∴， 为偶数， ∴， ∴的三边长分别为2，6，6，即是等腰三角形． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值、等腰三角形的定义，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解此题的关键． 25．（1）如图1，已知，是的中线，请你用无刻度的直尺作出边上的中线； （2）如图2，在中，，，在中，，，请你用无刻度直尺作出边上中线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了三角形的中线，等腰三角形三角形的性质等知识，截图的关键是： （1）设，相交于O，连接并延长交于点F即可； （2）根据三线合一的性质知：M为中点，N为中点，连接、相交于O，连接并延长交于点G即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求， ； （2）如图，即为所求， ． 26．如图1，中，，、的平分线交于点，过点作交、于、． (1)猜想：与、之间有怎样的关系． (2)如图2，若，其他条件不变，在第（1）问中与、间的关系还存在吗？并说明理由． (3)如图3，若中，的平分线与三角形外角平分线交于，过点作交于，交于，这时图中还有等腰三角形吗？与、关系又如何？说明你的理由． 【答案】(1) (2)还成立，理由见解析 (3)有等腰三角形：、，；理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义． （1）根据平行线的性质，等边对等角即可得出，再根据，即可得出； （2）由，可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，可得为等腰三角形，在中，同理可证； （3）由于，可得，再根据角平分线的定义得出，进而得出，可得是等腰三角形，同理可证是等腰三角形，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，的平分线交于O点， ∴，； ∵， ∴，， ∴，； ∵， ∴； （2）解：如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， 同理可证是等腰三角形． ∵，是等腰三角形， ∴，， ∴； （3）解：有等腰三角形：、，此时， 如下图所示： ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等腰三角形， 同理可证是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $