18.1等腰三角形的性质 同步练习 2025--2026学年沪教版（五四学制）七年级数学下册

**基本信息** 聚焦等腰三角形性质，通过基础辨析、综合应用、拓展探究三层设计，构建"概念理解-运算推理-问题解决"的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形定义、边长/周长计算|单选考性质辨析（如中线分周长），填空考基本计算（如第7题周长）| |中档|性质综合应用（全等、旋转）|填空考多解问题（如第8题角度分类），解答题考简单证明（如第19题全等）| |拔高|动态与跨知识整合|解答题考旋转综合（如第24题构造全等），探究题考运动不变性（如第17题动点问题）|

2026年上海市七下新教材同步培优练习11 —18.1等腰三角形的性质 一、单选题 1．已知下列命题中，正确的是（   ） A．有一个锐角相等的两个直角三角形全等 B．在中，若是边的中线，且，则是直角三角形 C．在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点 D．有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等 2．等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．4厘米或8厘米 D．不确定 3．用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线是的平分线的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若三角形的三条边长分别为a，b，c且，则这个三角形一定是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．4 B．5 C．4或6 D．6 二、填空题 7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为 ． 8．已知是等腰三角形，，点D在腰上，如果将分割成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 9．已知等腰三角形的三边长分别为13，，则该等腰三角形的底边长为 ． 10．如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 11．如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 12．如图，已知中，，．绕点顺时针旋转，使点落在边上，点的对应点记为点，点的对应点记为点，连接，那么的度数是 ． 13．如图，在中，高线和角平分线相交于点已知，求的度数 ． 14．如图，中，，则 15．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了和两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 16．在中，，于点D，E在上，，，则 ． 17．如图所示，线段，射线于点A，点C是射线上一动点，分别以、为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点M，则的长为 ． 18．“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 三、解答题 19．如图，点D，E在的边上，，，求证：． 20．如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 21．已知，如图：中为的中线，是的中线． (1)如果，求证． (2)如果，求证：． 22．如图，在四边形中，，点E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)求证：． 23．如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 24．（1）如图1，在中，已知． 如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明； 如图1，若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：． 25．（1）如图1，在中，已知． ①求证：； ②若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，，求证：． 26．如图，已知在中，，点D、E在边上，且．请说明的理由． 解：因为． 所以　　　　．（等边对等角） 因为　　　　． 所以． 在与中， ， 所以．（　　　　） 所以　　　　．（全等三角形对应边相等） 所以．（等式性质） 试卷第2页，共7页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．解：、一个锐角相等的两个直角三角形，角度对应相等，但边不一定相等，故不一定全等，原选项错误，不符合题意； 、如图， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，即是直角三角形，原选项正确，符合题意； 、在直角中，，是斜边上一点，且，但不一定是的中点，例如，如图， 当到的距离小于时，上存在两个点使，原选项错误，不符合题意； 、有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形，边角位置不确定，不一定全等，原选项错误，不符合题意； 故选：B 2．解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为a厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个三角形的周长为：厘米，另一个三角形的周长为：厘米， 由题意得 即 ∴或 解得或， 当时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 当时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米， ∵， ∴此时能构成三角形； 综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米， 故选：C 3．解：第一个图：连接， ∴由作图可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴射线是的平分线； 第二个图：连接， 同（第一个图）理可得，， ∴， ∴射线是的平分线； 第三个图：通过作图无法证明， ∴射线不是的平分线； 第四个图：由作图可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴射线是的平分线， 综上所述，射线是的平分线的有3个， 故选：C 4．解：， 或或（舍去）， 或， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选：A 5．解：绕点A顺时针旋转得到 根据旋转的性质可知：，旋转角， 故A，B不符合题意； 如图，记，的交点为， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转可得：，则， 而， ∴， ∴ 故C不符合题意； ∵，， 当时， ∴，与题干信息不符， 故D符合题意． 故选：D 6．解：在中，， ，即， 当时，为等腰三角形，可以构成三角形； 若时，为等腰三角形，不可以组成三角形， 故选：A 7．解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15 8．解：当时， ， ， 和是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， ； 当时， 设，则，，， 在中，， 解得：， ， 故答案为：或 9．解：分以下三种情况： ①当， 解得， ，， 三角形的三边分别为8、8、13，， ∴此时能组成三角形； ∴底边长为13； ②， 解得， ， 三角形的三边分别为13、13、3，， ∴此时能组成三角形，底边为3； ③， 解得， 综上所述，该三角形的底边等于3或13． 故答案为：3或13 10．解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或 11．解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为： 12．解：由旋转性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13．解：， ， 是的高， ， 是等腰直角三角形， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 14．解：∵， ∴，， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 即， 故答案为： 15．解：等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成和两部分． 又， 等腰三角形的腰与底边相差， 下面分两类讨论： ①腰比底边大， 设腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，可以构成三角形．    ②底边比腰大， 若腰长为，则底边长为． 由题意得，解得， 当时，等腰三角形腰长，底边长为，三角形三边分别为，满足三角形三边关系，能构成三角形． 综上所述，这个等腰三角形的底边长为或． 故答案为：或 16．解：过点作，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：10 17．解：过点E作于点H， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：5 18．解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：29 19．解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 20．解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 21．解：（1）证明：， ； ， ； ， ， 即， . （2）证明：延长至，使，连接． 是的中线， ； 在和中， ， ， ，； 由，得；, ∴, ，， ； 在和中，， ， ． 22．解：（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 23．解：（1）连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 24．解：（1）证明：如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明，定理证明如下： 如图，作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 由题意，画出图形如下： 延长至点，使得，连接， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． （2）如图，在右侧作，且，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∴． 25．解：（1）证明：①如图所示，作的平分线交于点D，在上截取， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵在中， ∴； 证明：②延长到点，使，连接， 是边的中点， ， 又∵， ， ，， ∵， ， ， ； （2）证明：在右侧作，连接交于点O， ， ， ， ， ， ， ， ． 26．解：因为 所以（等边对等角） 因为 所以 在与中， ， 所以（） 所以（全等三角形对应边相等） 所以．（等式性质） 答案第16页，共17页 第17页 学科网（北京）股份有限公司 $