河北沧州市泊头市第二中学等校2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

绝密★启用前 数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合M={xlx2-3x≤0}，N={xly=√x-I},则MnN= A.[0,3] B.[1,3] C.[0,3) D.（1,3] 2.平面内A(0,1),B(2,4),C(t,7)三点共线，则1AC1= A.2√/13 B.13 C.35 D.6⑤ 3.复数十的共轭复数为 A.1+2i B.1-2i C.1+2i D.1-2i 5 5 4.若coa=，则am受- A号 B. c D号 5.已知正项等比数列{an}满足aa1,=16,若b。=l1g2an,则数列1bn|的前19项和为 A.36 B.38 C.40 D.44 6.过抛物线C:y=4x焦点F的直线与抛物线交于A,B两点（点A在第一象限），且A京+3B京=0， 过点A作抛物线C的准线的垂线，垂足为M,则直线MF的斜率为 A.-3 D 3 B. C.-5 、② 【数学第1页（共4页）】 翻®任 7.已知函数f(x)=ln[x(a-x)]在区间(1,2)存在单调递增区间，则正数a的取值范围是 A.（4,+0) B.[4,+0) C.[2,+o) D.（2,+∞) 8.球O与棱长为2的正四面体ABCD的棱AB,AC,AD均相切，且和平面BCD相切，则正四面体 ABCD三个侧面ABC,ACD,ABD截球O的截痕长度共为 A.(45-4√2)mB.(45-2)m C.(45-32)m D.(45-4)m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若(2x-1)5=a5x3+a4x+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 A.ao=1 B.a2=--40 C.a0+a2+a4=-121 D.a1+a3+a5=122 10.袋中有质地均匀的红球3个，白球2个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后不放回，连续摸球 两次.则 A.第一次摸到红球的概率是子 B。如果第二次模到的是红球，那么第一次也摸到红球的概率是 C.事件“第一次摸到红球”与事件“第二次摸到白球”不互斥 D.事件“第一次摸到红球”与事件“第二次摸到白球”相互独立 11.已知角a,B均为锐角三角形的内角，且tana=sinB,则 A.sinB sina B.sing cosa C.sinβ>cosβ D.cosa>sinβ 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12双曲线号-子=1(m>0)的离心率为2.则新近线为 13.已知a,b为正实数，且直线y=x-a与曲线y=ln(x+b)相切，则ab的最大值为 14.已知△ABC中，应=号E克，=2F心，线段CE与线段BF交于点0，若AOi+4Oi+y0心= 0,则入：y= 【数学.第2页（共4页）】 巴生 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分) 钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在 传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取20组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循 环寿命是否达到“长寿命”标准（循环次数≥1000次为长寿命，否则为短寿命），整理得到如下 列联表： 长寿命（≥1000次） 短寿命(<1000次) 合计 传统配方 9 11 20 新型配方 15 5 20 合计 24 16 40 (1)根据小概率值α=0.025的独立性检验，能否认为“电池‘长寿命’与电解液配方有关联”？ (2)用样本估计总体，从采用新型配方的量产电池中随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组 数为X,求X的数学期望和方差 n(ad-bc)2 参考公式X=(a+b)(c+0(a+e(6+d,共中n=a+b+c+d P(x2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 ko 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16.（本题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且inB-sin4_9-a (1)求角B的大小： (2)若c=4,△ABC的面积为35，求△ABC的角平分线BD的长度 【数学第3页（共4页）】 屬®赶 17.（本题满分15分) 如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABE,CB⊥AB,AE⊥AB,AB=2BC=2,AD=√5， DC=10 (1)证明：AC⊥DE; (2)若AE=1,求平面DBE与平面CEB夹角的余弦值， 18.（本题满分17分) 已如横圆c荟 +=1(a>b>0)的长轴长为4，焦距为22，过点P(1,0)的直线1与椭圆c 交于A,B两点，过点A作AD⊥x轴，交椭圆C于另一点D(异于点A,B). (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线BD过定点M,并求点M的坐标； (3)求△ABM面积的取值范围. 19.（本题满分17分) 已知f(x)=xe-aln(x+1), (1)若对任意x>0都有f(x)>0,求实数a的取值范围； (2)当a=1时，称满足xn+1+xnen=f'(xn)的数列{xn|为函数f(x)的指数迭代数列，若x1=1. (i)证明(x)的指数迭代数列各项均为正数，且单调递增； （i)证明：名<2e-n 2xn+4 x。+1 【数学：第4页（共4页）】 霸田 数学参考答案与解析 1.B2.A3.B 4.A【解折l法-】由二倍角公式c0a=1-2m2号=2m号-1=行 得2in号=1-mm=号，2o2号=1+ma=号，所以am2 2 21 c0s2g2故选：A sin2a 2 【法二laum受 2=+心=4=之故选： 3 5.B【解析】|a.}的各项均为正数，a3a1m=16,得a1a19=a2a18=a3an=…=a1oa1o=16,a10=4, 则a1a2…ag=16×4=2.因为bn=l0g2a, 则b1+b3+…+b1g=log2a1+log2a2+…+loga19=log2(a1a2a1g）,b1+b2+…+bg=log22w=38.故选：B. 6.C 7.D【解析】由f(x)=ln[x(a-x)]有意义，且a为正数，故其定义域为(0，a), 设1=x(a-x)=-+a,对称轴为x=受，抛物线开口向下， “y=lm是1的增函数，所以x)=l[x(a-x)]在(0，受)单调递增，在（受，a)单调递减 要使x)在区间(1,2)存在单调递增区间，只需号>1，即a>2.故选：D. 8.D【解析】如图，由题意知球心O定在正四面体ABCD的高AO'上， 球O和平面BCD的切点定为地面BCD的中心O'.连接BO'并延长 定过技CD的中点R,且A0B0=2 3 作OE⊥AB,则得OE,OO'均为球O的半径，可设为R, 26-R 且易知△0-△10器-治是， 3 解得R=32-6,则A0=6-2. 3 过点0作0M⊥AF垂足为M,由△AOM-△A0'F可解得OM=6,2 3 设平面ACD截球O所得裁面圆半径为r,得 F=R-om=226y-(6;2)y16,8525山 3 3 9 3 所以正四面体ABCD三个侧面ABC,ACD,ABD裁球0的藏痕长度共为3×2r=6m×2,5-山=4(，5-1)m 3 故选：D 9.BCD 10.ABC 1l.AC【解析】【法一】由a,B为锐角，得lana>a>sina,又tana=sinB,所以sin>sina,故B>a.故A正确. 又sins<l,得tana<l,则0<a<牙，故coea>sina,故B错误。 【数学答案第1页（共8页）】 巴归全廷 a,B均为锐角三角形的内角，得a+B>号=B>号-a,得simg>sin(受-a）=c0sa故D错误。 由0<a<年，又a+B>受，得牙<B<牙，得simB>coR故C正确.故选：AC 【法二】a,B为锐角，得tana>a>sina,又tana=sinB, 所以sinB>sina,故B>a. 又sing<l,得iana<l,则0<a<平， sind cosB 又a+B>2-8>号-a,得晋<受-a<受 又B>号-a,所以B>平 得右面示意图，故D错误.故选：AC 12.y=±3x 13.}【解析】设切点为（气），y=l(x+b)的导数为y=十 x+b 由切线的方程y-a可得切线的斜率为1，金十6=1=1-6， 则y%=ln(1-b+b)=0,故切，点为(1-b,0),代入y=x-a,得a+b=1, a,6为正实数，b≤(2=子，当且仅当a=76=宁时，a6取得最大值子 14.2:1:4【解析【法一】线段CE与线段BF交于点O,可设B而=xB示， 又丽=脉=（号配+=（号C+丽）号配+受脏 因为点E,0,C共线，得号+受=1，解得x=号即B而=9成. 同理可得而=2 【法二】过点E作EM∥BF交AC于点M, 品-片-咒-号肥得而-证 同理过点F作CE的平行线可得，B而=。 【法三】设Bd=xB,Cd=yC,则Bd+O元=BC, 得x脉-y成=配，又因为酥=子配+， 成=-}屁+d=-配+子（厨-）=-配， 所以x(号B配+兮团-号厨-B)=B配。 整理得（传+）C+(停-等)=配。 +y=1 6 [x=- 7 得 解得3故得d=正，而=9成 -=0 y=7 【法四】特殊三角形法得C可=定，B而=9成 所以0丽=-号成-号，0心=-子+配 【数学答案第2页（共8页）】 霸国金 O=0丽+=-武+厨 又A(-配++(-号C-号+y-号+Bd)=0,得 r5A_2坐-2y=0 7-77 ,得A:y=2:1:4. 故答案为2：1：4.【此部分也可利用奔驰定理解决】 15.解：(1)零假设H。:电池“长寿命”与电解液配方无关联。 n(ad-be)2 40×(5x9-1×15)=3.75<5.024 X=(a+b)(c+d0(a+c)(b+d)=20x20×24×16 …(3分)》 根据小概率值α《=0.025的独立性检验，我们没有充分的证据推断H。不成立， 即认为电池“长寿命”与电解液配方无关联。… (5分) (2)由样本估计总体，从采用新型配方的量产电池中随机抽取一组，其为长寿命”电池的概率应为号- 【法-】根据二项分布，“长寿命“的组数为X-8(5,圣 ......... (7分) 所以B()=5x-D(0=5×}×- 4×4=16 则X的数学脚望是华，方差是名 (13分) 【法二】则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， Px=0)=Px宁PX=)-C(x(r点 PX=2)=c(产x(r=04PK=3)=Crx(P- 10241 Px=4)=crx('-PX=5)=Cx=2盟 4…… 1024' (7分) (0=0×+1×点+2x品+3×+4×+5×温-日 1024=4 …(10分)》 00=0-×+1-产×0点+(2-×+(3-×+4-产×+ 90 270 （6-×8-25+1815+400420+05+6075-8 16×1024 …(13分） 16 (或0=0心×+1×点+2×+×+4×+×温-（ 15+30+240:0+75-(宁2-0-瓷-8 1024 【提醒学生一定要掌握各种变形公式，以选最优】 16.解：(1)在△ABC中，满足inB-sin4_c-a sinC a+b' 正弦定理，可得2心-。化缅得+CB空00，四 (4分) 由余弦定理，可得cosB=0+c2-2-1 2ac =2 因为Be(0,m),所以B=号 (6分) (2:5=2 acsinB=-×ax4×m号=，3a=35a=3. (8分) 【数学答案第3页（共8页）】 田全 又根据SK=SA+SACD=之×BAxBDx in LABD+分×BC×BDx sin LCBD 1 -分x4xBx+号×3x40x3-子,… (12分) 而S=35-BD, 解得BD=123 71 …(15分） 17.(1)证明：在四边形ABCD中，连接AC, 0 CB⊥AB,AB=2BC=2,AC=√5， 又.AD=5,DC=10. 得AC2+AD2=DC2,AC⊥AD,…(3分) 又，AE⊥AB且平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB, .AE⊥面ABCD, :ACC面ABCD,得AE⊥AC, 又：AC⊥AD,AD∩AE=A,AD,AEC面DAE, 所以AC⊥面DAE,…(5分） 又DEC面DAE,所以AC⊥DE.… (6分) (2)解：CB⊥AB,平面ABCD⊥平面ABE,且平面ABCD∩平面ABE=AB, 0 ∴.CB⊥面ABE, 分别以AE,AB所在直线为x,y轴，以过点A且与CB平行的直线为z轴，建立 如右图所示的空间直角坐标系，得 A(0,0,0),B(0,2,0),D(0,-1,2),C(0,2,1),E(1,0,0), 则D呢=(0,3，-2)，E2=(-1,2,0),BC=(0,0,1),… (8分) 设面DEB的一个法向量n=(x,y,z), rD2·n=0n3y-2z=0 则 即 E2.n=0'1-x+2y=0 可取n=(4,2,3);… (10分) 设平面CEB的一个法向量为m=(x1y1,a), EB·m=0 -1+2y1=0 则 即 BC.m=0'a=0 可取m=(2,1,0)；… (12分) 因为cs<n,m>=n.m=29×5 n·n 10 2√145 29 (14分) 所以平面DBE与平面CEB夹角的余弦值为245 (15分) 29 18.解：(1)由题意知2a=4,a=2 又焦距为22，得a2-b2=2,得b2=2, 所以精圆C的标准方程为号+号1 (4分) (2)当过点P(1,0)的直线1斜率不存在或斜率为0时，再过A作AD⊥x轴，交椭圆C于另一点D,与异于点 A,B矛盾，故直线I斜率存在且不为0. 又由椭圆的对称性可知，直线BD过定点，该点定在x轴上可设其为M.… (6分) 【法一】可设l:y=k(x-1)(k≠0). 【数学答案第4页（共8页）】 巴全任 联立店+消去1并整理得（2+F-4+20 y=k(x-1) 设A(x1,y1),B(22),得D(x1,-1), 2k2-4 且+ (7分) 直线BDy=ht(x-1）-1,… (8分) x2-, 令y=0可得点M的横坐标为w=5,+(-）_+西 y2+y y2+y 又y1=k(x1-1),2=k(2-1), 部20-4 故xy=k(名，+x,-2) …(10分) 故点M坐标为(4,0).… (11分) 【法二】可设l:x=my+1(m≠0). 联立.法并警理得(m+2疗230 (x =my +1 设A(x11),B(22)得D(x1,-y), -2m -3 且y+h=m2+26= m2+2' (7分) 直线BDy=2t(x-x)-, x2-x1 令y=0可得点M的横坐标为w=x,+(名-）_出+西 2+y为+y1 …(8分) 又x1=my1+1,x2=my2+1, 放w-2m++l。-6m-2m=4. -2m …(10分） yi+y2 故点M坐标为(4,0)，…(11分) (3)由题意△ABM的面积可分为△APM与△BPM的面积之和， 则Sam=2x1pW1x-gl=2引，-为1 …(12分) 【法-一1抽（2)得5am=多16(-1- 2√(x+)尸-4西， m-2-4-0分 =36服+4 √2k2+1 2k2+1 6+6+-2- 23 2+ 设y= 4k+4k2+1 24k+4k2+1' 设2+号=，则e(侵，+，=2：3， 4， 得号，3 ,1=2 1 4 又函数=1+动-1在1e(弓+)单调遥增，得1+-1> 3，…(15分） +-1 【数学答案第5页（共8页）】 巴全年 所以△4BM面积的取值范围为0,6.…………门分)厂 3 【法二】由(2)得SAAw= 2m)2-4-3 30 2√+)P-4y3= =3 4m2+6 2Wm2+2 m2+2 √(m2+2),…(12分) 上4四+6设4m+6=则e(6,+0,m=二6 设y= 4 得y=,= 16 +2)21++4 ，…(13分） 4 (4 又函数h三1出+4在1e6,+如)单调递增，得1++43刃 3 所以y=26(0,》,得m(0.3).…(15分） (2+4+4 所以△ABM面积的取值范围为(0,3,6， 2 (17分) 19.解：(1)【法-】对任意x>0都有x)>0,即xc>aln(x+1)→a<n(x+ xe （x+1)eln(x+1)-e 设g()=n(x+D则g'(x)= x+1-e[(x+1)2ln(x+1)-x] ln2(x+1) (x+1)n2(x+1) 设h(x)=(x+1)2ln(x+1)-x,则h'(x)=2(x+1)ln(x+1)+x,…(2分) 又x>0,所以x+1>1=ln(x+1)>0,得h'(x)>0, 所以h(x)=(x+1)2n(x+1)-x在(0，+∞)上时单调递增，又h(0)=0, 所以h(x)>0,又e'>1,(x+1)2ln(x+1)-x>0, 得g()>0,即函数g()h)在(0，+)上时单调适增。 由洛比达法则当x0时，g(x)→1 所以得a≤L.… (4分) 【法二/(x)=xe-aln(x+1),知x>-1且f八0)=0， 所以若对任意x>0有f(x)>0,当f(x)=xe'-aln(x+1)在(0，+e)单调递增时符合条件， 需了()=(x+1)e-4≥0在(0，+)上恒成立，即(x+1e≥a在(0，+2)上恒成立， 设g(x)=(x+1)2e,得g'(x)=(x2+4x+3)e在(0，+)上恒大于0， 所以g(x)=(x+1)2e在(0，+0)上单调递增，又g(0)=1.得a≤1.…(2分) ①当a≤0时，义x>0使f()=(x+1)e-x4>0. 则f八x)=xe-aln(x+1)在(0，+o)上单调递增， 又f八0)=0，满足f八x）>0,… (3分) ②当0<a≤1时(x)=(x+1)e-x得/()=(x+2)e+n (x+1)2>0, 故了()=(x+1)e-x4在(0，+)上单调递增。 又当x=0时f(0)=(0+1)e°-04=1-a≥0， 所以当e(0,+)时()=(x+1)ex4≥0. 得f八x)=xe-aln(x+1)对任意x>0有f(x)>0, 所以若对任意x>0有f八x)>0,得实数a的取值范围为(-0,1].…(4分) 【数学答案第6页（共8页）】 霸巴全廷