正弦定理、余弦定理解三角形以及综合应用讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合应用讲义 解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合应用讲义 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正余弦定理综合应用 考点一 正弦定理解三角形 【知识点解析】 1.正弦定理：（为外接圆半径）. 2.正弦定理的证明：（证明方法不唯一，可思考其他证明方法！） 在中，角、、所对的边分别为、 、. 为边上的高. 则，. 所以，. 所以. 整理可得. 同理可得. 3.常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 4.几个非特殊角的正弦值： ；；. 5.使用条件：（1）两角一边求边角；（2）两边与对应角求角.（可以是具体的边长，也可以是边长的比例关系） 【例题分析】 例1．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】在中，，， 由正弦定理得：， 则， 因为，所以，则， 故选：C 例2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理， 所以或. 故选：A 例3．（24-25高一下·吉林延边·期中）在中，，则________． 【答案】或 【详解】在中，由正弦定理可得，又， 所以，解得， 因为，所以，所以或， 当时，，当时，， 综上所述：或. 故答案为：或. 例4．（24-25高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， ，，则______，__________. 【答案】 【详解】在 中， ， ， 所以， 在 中，由正弦定理可得 所以，. 故答案为：1；. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，所以， 由正弦定理可得，解得， 又，∴，∴，故 故选：A 变式2．（25-26高三上·重庆南岸·月考）在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 变式3．（25-26高一下·上海·月考）在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 【答案】 【详解】由正弦定理可得，则. 变式4．（24-25高一下·广东清远·期末）在中，角的对边分别为，已知，则__________. 【答案】 【详解】在中，由，得， 由正弦定理，得. 故答案为： 考点二 余弦定理解三角形 【知识点解析】 1.余弦定理：；；. 2.余弦定理的变形：；；. 3.余弦定理的证明：（证明方法不唯一，可思考其他证明方法！） 在中，角、、所对的边分别为、 、. 则. 两边平方得. 即. 整理可得. 同理可得、. 4.常见特殊角的余弦值： 角度 弧度 余弦值 5.使用条件：（1）三边求角；（2）两边一角求边. （可以是具体的边长，也可以是边长的比例关系） 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东·月考）在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得 ，故． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又， ，整理得： ， ， ， ， 当且仅当时等号成立， 又，， ，为钝角， ，， ，， ，即， ，，解得：， ， ， ． 例3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以, 故答案为：. 例4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则___________. 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以，即. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，可得，即， 整理得，解得. 故选：A. 变式3．（24-25高一下·福建厦门·月考）的内角的对边分别为，已知，，，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【详解】由余弦定理可知， 由，得， 即，所以， 故答案为：. 考点三 正余弦定理综合应用 【知识点解析】 1.正余弦定理的使用注意事项 （1）当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理； （2）当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理； （3）上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 2.内角和定理：在中， （1）, , . （2）, , . （3）, , . 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·月考）已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A： 因为，则， 由正弦定理：，所以 ， 只有当（即，不可能）时，故A错误； 选项B：因为，所以， 又因为，所以，即， 化简可得：， 若，则，即； 若，则，，，，， 此时，也成立，故B正确； 选项C：因为，则， 所以，只有当时才相等，故C错误； 选项D：因为，由正弦定理可得，D错误. 例2．（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 例3．（24-25高一下·河南郑州·月考）在中，，则_________ 【答案】 【详解】由余弦定理，得，即, 整理得，解得或(舍去)， 所以. 故答案为： 例4．（24-25高一下·湖南·月考）在中，角所对的边分别为.若，则__________. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理，得，而，则， 由余弦定理，得， 再由余弦定理，得. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理，得. 因为，所以，或. 当时，，所以； 当时，，所以. 故选：D. 方法二：由余弦定理，得 ，化简得. 所以，或. 当时，，，符合题意； 当时，，所以，，符合题意. 故选：D. 变式2．（2025·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以， 则，由余弦定理得， 因为，所以， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 由正弦定理得，故A正确. 故选：A. 变式3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）记的内角的对边分别为，若，则___________． 【答案】 【详解】由正弦定理可得， 则，即. 故答案为：. 变式4．（24-25高一下·辽宁·月考）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，且，则_____． 【答案】 【详解】由正弦定理可知，又，所以，解得， 由余弦定理得，解得或． 又因为为锐角三角形，所以， 且，即，所以． 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合应用讲义 解三角形：正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正余弦定理综合应用讲义 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正余弦定理综合应用 考点一 正弦定理解三角形 【知识点解析】 1.正弦定理：（为外接圆半径）. 2.正弦定理的证明：（证明方法不唯一，可思考其他证明方法！） 在中，角、、所对的边分别为、 、. 为边上的高. 则，. 所以，. 所以. 整理可得. 同理可得. 3.常见特殊角的正弦值： 角度 弧度 正弦值 4.几个非特殊角的正弦值： ；；. 5.使用条件：（1）两角一边求边角；（2）两边与对应角求角.（可以是具体的边长，也可以是边长的比例关系） 【例题分析】 例1．（24-25高一下·四川绵阳·期中）已知中，，，那么角等于（    ） A．或 B．或 C． D． 例2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 例3．（24-25高一下·吉林延边·期中）在中，，则________． 例4．（24-25高一下·河北邢台·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， ，，则______，__________. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·重庆南岸·月考）在中，，则边的长为（    ） A． B． C． D．1 变式3．（25-26高一下·上海·月考）在中，角、、所对的边分别为，若，则_______． 变式4．（24-25高一下·广东清远·期末）在中，角的对边分别为，已知，则__________. 考点二 余弦定理解三角形 【知识点解析】 1.余弦定理：；；. 2.余弦定理的变形：；；. 3.余弦定理的证明：（证明方法不唯一，可思考其他证明方法！） 在中，角、、所对的边分别为、 、. 则. 两边平方得. 即. 整理可得. 同理可得、. 4.常见特殊角的余弦值： 角度 弧度 余弦值 5.使用条件：（1）三边求角；（2）两边一角求边. （可以是具体的边长，也可以是边长的比例关系） 【例题分析】 例1．（25-26高一下·广东·月考）在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 例2．（2026·陕西西安·模拟预测）内角的对边分别为，满足，且，则（   ） A．为锐角 B． C． D． 例3．（24-25高一下·湖北武汉·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则__________. 例4．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知的内角的对边分别为，且，，则___________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，，，，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 变式3．（24-25高一下·福建厦门·月考）的内角的对边分别为，已知，，，则________． 变式4．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，若，则______． 考点三 正余弦定理综合应用 【知识点解析】 1.正余弦定理的使用注意事项 （1）当知道“两角与一边”或“两边与其中一边的对角”时，可考虑使用正弦定理； （2）当知道“三边”或“两边与一角（任意一角）”时，可考虑使用余弦定理； （3）上述提及的边与角可以是具体值，也可以是对应的比例关系. 2.内角和定理：在中， （1）, , . （2）, , . （3）, , . 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆·月考）已知 ，内角 的对边分别为 ， ， ，若 ，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·山东青岛·期末）记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·河南郑州·月考）在中，，则_________ 例4．（24-25高一下·湖南·月考）在中，角所对的边分别为.若，则__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·天津蓟州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D．或 变式2．（2025·陕西西安·模拟预测）中内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（   ） A． B． C． D．2 变式3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）记的内角的对边分别为，若，则___________． 变式4．（24-25高一下·辽宁·月考）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，且，则_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $