6.4.3.正弦定理与余弦定理解三角形讲义（基础篇+提升篇）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的内容，以文字描述呈现定理表示、深刻解读与变形形式，清晰呈现边角互化、多解判断等重难点，构建从基础到提升的知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础篇涵盖已知两角一边、两边一角等题型，提升篇涉及最值问题与平面几何载体问题，如“已知两边和一边的对角”题型培养推理能力，“三角形面积最值”问题提升运算能力，答案解析详细，助力不同层次学生掌握方法，支持教师精准教学。

正弦定理和余弦定理解三角形（基础篇） 正弦定理 【知识梳理】 1.正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. (2)符号语言：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆的半径). 2正弦定理的深刻解读： （1）.正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. （2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.例如 3.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝ ，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)＝＝＝＝2R； (5) 题型一 已知两角和任意一边求其他边和角利用正弦定理解三角形 1．在中,设角的对边分别为,若,则(      ) A. B.3 C. D. 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则(      ) A.1 B. C. D. 题型二：已知两边和一边的对角利用正弦定理解三角形 3．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,,则(      ) A. B. C. D.或 4．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知，，，则B的大小为(      ) A. B. C.或 D.或 5．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,,则(      ) A. B. C. D. 注意：已知两边和一边的对角利用正弦定理解三角形时该三角形往往具有不唯一性，主要利用大角对大边，小角对小边或者三角形内角和进行判断。 题型三：利用正弦定理进行边角转化求解三角形 6．设的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,,则A=(      ) A. B. C. D. 7．设的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若,则(      ) A. B. C. D.或 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则的形状是(      ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【思维升华】　利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两个思路： (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 【小结】：利用正弦定理可以解决以下3类常见问题： 1 已知两边和一边的对角求其他边和角。该三角形往往具有不唯一性，主要利用大角对大边进行判断。 2 已知两角和任意一边求其他边和角。 3 利用正弦定理进行边角互化，以减少未知量的个数。 余弦定理 【知识梳理】 1余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 2.余弦定理的推论：在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A= ，cos B＝ ，cos C＝ 温馨提示　(1)适用范围：任意三角形.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一”. 题型一 已知三边用余弦定理解三角形 9．记的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,,则(      ) A. B. C. D. 10．边长分别为1，，的三角形的最大角与最小角的和是(      ) A. B. C. D. 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则此三角形的最大角与最小角之和为(      ) A. B. C. D. 题型二：已知两边及一角用余弦定理解三角形 12．在中,,,,则(      ) A. B. C. D. 13．在中，已知，，，则(      ) A.1 B. C.2 D. 14．已知中，，，，则(      ) A. B. C.或 D.或 15．在中，，，，则(      ) A. B. C. D. 总结：边多较少优先考虑余弦定理，角多边少优先考虑正弦定理。 题型三 余弦定理的灵活应用 16．在中，满足，则(      ) A. B.或 C. D.或 17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则(      ) A. B. C. D. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，且，则(      ) A. B. C. D.2 19．在中，若，，则一定是(      ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 三角形面积问题 【知识梳理】 三角形的面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)． (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 20．在中，，，，则(      ) A. B.4 C. D. 21．已知中，，，，则的面积是(      ) A. B. C.或 D.或 22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为(      ) A. B. C. D. 23．已知中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若，，，则的面积为(      ) A. B. C. D. 24．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,且边b上的高为1,则(      ) A. B.1 C. D. 25．在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，的面积为，则( ) A. B. C. D. 正弦定理和余弦定理解三角形（提升篇） 题型一：利用正余弦定理解三角形 26．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知. (1)求角A的大小；(2)若的面积为,求a的值； 27．在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且. （1）求A的大小; （2）若,,试判断的形状,并求的面积. 28．记的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知,B为锐角.（1）求角B的大小;（2）若,的面积为,求的周长. 29．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. （1）求a的值；（2）求的值. 总结：分析题目所给条件合理选择正余弦定理，逐一求出所求量。 题型二： 三角形中的最值问题 30．在中,角所对的边分别为,. （1）求角A的大小;（2）若,求面积的最大值. 31．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A的大小；(2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围. 32．已知a、b、c分别为内角的对边,已知且. (1)求角A的大小；(2)若的面积为,求的值；(3)求周长的取值范围. 33．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且。 （1）求C；（2）若C的平分线与交于点D，且，求的最小值。 34．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围. 35．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)证明：；(2)求的取值范围. 总结：三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法： 1.利用基本不等式求得最大值或最小值； 2.将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围． 题型三： 以平面几何为载体的解三角形问题 36．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,. （1）求b的值;（2）若D是边的中点,求的值. 37．如图,在中,D是边上一点,,,. （1）求的值;（2）若,求的值. 38．在平面四边形ABCD中,,,. (1)若的面积为,求AC；(2)若,,求. 总结：解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面： 1.充分利用平面几何图形的性质；2.出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解； 答案 1．答案：A解析：,由正弦定理可得即,故, 2．答案：B解析：依题意得，由，得，解得. 3．答案：A解析：在中,由,有,所以.又,故,所以. 4．答案：D解析：由正弦定理得，即，解得， 又B为的内角，所以或，经检验，均满足题意. 5．答案：D解析：由正弦定理得,,即,解得,因为,所以. 6．答案：B解析：因为,由正弦定理可得, 因为,解得,则,又,所以. 7．答案：B解析：, 由正弦定理可得:,可得:, ,,,可得. 8．答案：A解析：在中，，，而函数在上单调递减，所以.由正弦定理及，得，而，即，所以.显然A为锐角，所以，则，所以，所以是等边三角形.故选A. 9．答案：B解析：因为,所以. 10．答案：C解析：由三角形中大边对大角知长为的边所对的角不是最大角，也不是最小角， 设长为的边所对的角为，则由余弦定理可得，， 故三角形的最大角与最小角的和是. 11．答案：A：由题可知C角最大，A角最小， 因为，所以设，，， 则由余弦定理得， 又因为，所以.因为， 所以，所以此三角形的最大角与最小角之和为 12．答案：B解析：由题意可得：, 结合余弦定理有：,则. 13． 答案：C解析：在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去）. 14． 答案：D解析：由余弦定理，得，所以，即，解得或. 15．答案：C解析：由余弦定理可得，因为，，，所以，故，故，故选C. 16．答案：A解析：因为，即， 所以，且，所以. 17．答案：A解析：因为，所以，即，所以，由余弦定理得.因为，所以，故选A. 18．答案：D解析：因为，，，所以由余弦定理知，，解得 19．答案：A解析：由及余弦定理，得，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，即，所以.因为，所以，所以，从而.所以为等边三角形 20．答案：C解析：由余弦定理得，又，，所以，所以，所以，又因为，所以. 21．答案：C解析：由正弦定理，得.又，或. 当时，，；当时，，.的面积为或. 22．答案：D解析：，，， ，， ，. 23．答案：D解析：由余弦定理，得，又，消b得，，则.，，. 24．答案：D解析：由及正弦定理得, 又,所以,则, 由得,由得,则, 根据余弦定理得,则, 整理得,解得（负值舍去）. 25．答案：A解析：， 由余弦定理，，所以， 由正弦定理，. 26解析：(1)由可得,故, 由于,故, (2)由,故, 又得,故,故, 27．解析：（1）在中,由正弦定理得, 整理得, 因为,故,又,故. （2）已知,则,故, ,即, 则,, 因为.则.故,所以,是等边三角形. 因此. 28．解析：（1）因为, 所以,即. 因为,所以,,又已知,所以. （2）因为的面积为,所以,解得, 由余弦定理,得,所以, 所以, 所以的周长为. 29解析：（1）在中，因为，所以，由，， 及余弦定理得：，解得. （2）解法1：由，得.由正弦定理得，，即. 因为，则，所以C是锐角，，则， 所以. 解法2：由，得.由余弦定理得， 所以，又由，得， 所以. 30解析：（1）因为,由正弦定理可得,由余弦定理可得,即,可得, 又因为,所以. （2）因为,,由余弦定理可得, 即,可得,又因为,即,可得, 当且仅当时,等号成立,所以面积的最大值为. 31解析：（1）由正弦定理得，，所以， 即， 化简得：，即，又，所以. （2）由正弦定理得：，所以，， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以. 32解析：(1)因为, 由正弦定理可得, 所以, ,则,所以,即, ,则,故,因此,. (2)由三角形的面积公式可得,, 由余弦定理可得：, 即,因此. (3)由正弦定理可得,故,所以, 所以 , ,所以,则,所以, 所以,因此,的周长的取值范围是. 33解析：（1）解法一由得， 由余弦定理得，所以。由正弦定理得， 所以，得。 因为，所以，所以，又，所以。 解法二由得，由余弦定理得， 整理得，所以。 （2）因为，所以，又， 所以，整理得，所以， 故， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为。 34解析：（1）由，则根据正弦定理有，即， 又由余弦定理有，得，所以在中，得； （2）由为锐角三角形，且， 则有，得，即，即， 所以根据正弦定理有. 35解析：（1），，由余弦定理得：， 即：，由正弦定理得：， ， 整理得：，即：，又， ，即：. （2），，又， ，， 由正弦定理得： ， 又，， 令，则，，对称轴为， 在上单调递增，当时，；当时，， ，即：的范围为. 36解析：（1）已知,由正弦定理,得,显然, 得,由,得,所以,因为,由余弦定理, 则,,解得(舍去). （2）因为D是边的中点,所以, 所以,,所以. 37解析：（1）设,,,, 在中,,, 在中,由正弦定理得,即, ,, ,,或（舍去）,. （2）由（1）得,,,,, 在中,由余弦定理得: , . 38解析：(1)在中,,,∴,可得, 在中,由余弦定理得, . (2)设,则, 在中,,易知：, 在中,由正弦定理得,即, ,可得,即. 学科网（北京）股份有限公司 $