模拟卷01 -备战2026年广东省中考数学仿真模拟预测试卷（广东专用）

2026年中考模拟测试卷（广东专用） 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行次空翻记作，则人形机器人向后进行次空翻记作（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，用正负数可以表示一对相反意义的量，已知一个方向记为正，相反方向就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向前进行次空翻记作，即规定向前为正方向，向后与向前是相反意义的量， ∴向后进行次空翻记作． 2．某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为米． 3．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算．根据“先乘除、后加减”的运算顺序，利用二次根式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ， 故选：C． 4．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从正上方观察立体图形，根据下方长方体和上方梯形榫头的结构，判断俯视图的轮廓与线条虚实．注意被遮挡的内部轮廓线应画成虚线　． 【详解】解：该几何体的俯视图呈现为一个长方形，榫头顶端表现为两条实线，榫头底端表现为两条虚线． 故选． 5．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质． 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 故选：C. 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 【答案】A 【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以这组数据的中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 7．某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键． 根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程． 【详解】解：∵七月份的营业额为万元，月均增长率为， ∴八月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元， ∴方程为． 故选：C． 8．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．当时， B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的平移、一次函数图象与性质，求出平移后的解析式是解题的关键． 根据一次函数图象平移规则“上加下减”，向下平移4个单位，b值减少4，得出新函数解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：∵函数向下平移4个单位， ∴新函数为， A：当时， 解得， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，，该选项错误，不符合题意； B：∵， ∴y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意； C：当时，， ∴图象与y轴交于点，该选项正确，符合题意； D：∵，， ∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，该选项错误，不符合题意． 故选C． 9．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，根据概率公式计算概率． 通过列表法不重不漏地列出两次有放回抽取的所有等可能结果，再筛选出数字之积为偶数的结果，最终根据概率公式计算概率． 【详解】解：本题为有放回的抽取试验，通过列表法列出所有等可能的结果： 1 2 3 4 1 2 3 4 由列表可得，所有等可能的结果共有种，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果有种． 根据概率公式，可得两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率为． 故选：C． 10．如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 12．，、相交于点，如果，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，先利用等高三角形的面积比等于对应底的比得出线段与的比，再根据平行线的性质证明，最后依据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 14．计算 ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 15．若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 【答案】 【分析】根据二次项系数小于，抛物线开口向下，最高点为二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的引爆时间求解即可． 【详解】解：对函数解析式配方得． ∴抛物线开口向下，当时，取得最大值，即礼炮到达最高处引爆， ∴礼炮引爆的时间为． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17．（7分）如图，已知，点是劣弧上任一点，过点作，交的延长线于点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形性质和圆周角定理，先由得，根据，推得，再根据，经过等量代换可得结论． 【详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（7分）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能抛到观众区，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不能抛到观众区，理由如下： 令，则， 解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】见解析 【分析】此题考查真命题，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】解：命题1、命题2、命题3都是真命题，具体证明如下： 命题1： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 命题2：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 命题3：连接， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 20．（9分）2025年5月31日是第38个世界无烟日，其主题是“拒绝烟草诱惑，对第一支烟说不”．某市教育局要求各学校加强控烟科普宣传，倡导健康生活方式，积极动员青少年加入到控烟队伍中来，成为控烟行动的践行者、倡导者，共同营造无烟健康成长环境．某校七年级（1）班数学兴趣小组设计了如图所示的调查问卷，在中心广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 吸烟有害——你打算怎样减少吸烟的危害？（单选） A．无所谓 B．少吸烟，以减轻对身体的危害 C．不在公众场所吸烟，减少他人被动吸烟的危害 D．决定戒烟，远离烟草的危害E．希望相关部门进一步加大控烟力度 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的总人数为_________，补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，选项D的人数所占百分比是________，选项C所在扇形的圆心角的度数为________； (3)若某社区对吸烟有害持“无所谓”态度的人数约为1万人，请对这部分人群提出一条建议． 【答案】(1)300，图见解析 (2)， (3)建议：加强吸烟有害健康的宣传，号召广大市民戒烟 【分析】（1）B组人数除以所占的比例求出总人数，再求出D组人数，补全条形图即可； （2）D组人数除以总人数求出百分比，360度乘以C组人数所占的比例，求出圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的思想进行求解，结合统计图给出合理建议即可． 【详解】（1）解：（人）， D组人数为：，补全条形图如图： （2）解：，； （3）解：社区对吸烟有害持“无所谓”态度的人数约为1万人， 建议：加强吸烟有害健康的宣传，号召广大市民戒烟． 21．（9分）光的折射． 物理常识光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比（，均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号表示，即 【概念理解】 （1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角的度数． （2）如图②，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，直线上有一个位置固定的遮光板，且是的中点；在直线下方有一个圆形区域，且与相切于点．点光源在直线的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部，已知的半径为，．（假设入射光线在端点，处能够发生折射），求点光源到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）． 【分析】本题考查尺规作图、三角函数的应用以及直线与圆的位置关系，关键是理解光的折射定律，并结合三角函数、圆的切线性质、对称性分析求解． （1）直接应用折射定律公式，将已知的入射角、折射率代入公式，通过计算得到；再结合“为锐角”的条件，利用特殊角三角函数值确定折射角． （2）由折射率可知，即折射角的正弦值为入射角正弦值的．作图时，以入射点为圆心画弧确定入射光线与法线的交点，通过作垂直平分线等操作，截取符合比例的线段，从而确定折射光线的方向，最终作出满足折射定律的折射光线． （3）要使点光源到直线的距离最大，光源需位于遮光板正上方，此时折射光线为圆的切线．先由，结合圆的切线性质，通过推出折射角，再代入折射定律，结合，求入射角的正弦值得．最后在中计算得，即点光源到直线的最大距离． 【详解】（1）解：根据光的折射定律， 已知，，代入得． ∵为锐角， ∴， 即折射角的度数为； （2）解：作图步骤如下： ①在上任取一点，作法线于，则； ②以为圆心，长为半径画； ③作的垂直平分线，交于，则点到法线的距离为； ④作射线，交于，则 根据对称性，点到法线的距离与点到法线的距离相等，为， 所以，则， 则就是求作的图形，如图所示： （3）要求光源到直线的距离的最大值，则光源应位于遮光板的正上方． 如图，分别过点和点作的切线，交于点，过点作的平行线，则，根据题意，点应该在线段上，设入射角为，折射角为，此时的值是点光源到直线的距离的最大值． ∵，是的中点， ∴． ∵⊙与相切于，⊙的半径为，即， ∴， ∴． ∵是⊙的切线，是⊙的切线， ∴， ∵． ∴折射角． 根据折射定律，代入，得． ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得， 即点光源到直线的距离的最大值为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①，②；（2）的最小值为，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据矩形的性质证明即可； ②连接，由勾股定理求得，结合①的结论得，则当点，，共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，当点，，共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，则当点，，三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∵， ∴当点，，共线时，取得最小值为， 故答案为：； （2）解：的最小值为． 理由：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3）解：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 23．（14分）【材料阅读】“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为9，点C是线段的中点． （1）点C表示的数是______； （2）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M、N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中满足时，请求出t的值； 【方法迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，内部有一射线，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋(即在与之间来回摆动)，当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒． ①在第一次从旋转到的过程中，当t为何值时，恰好是的平分线； ②在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，请直接写出的度数及对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 ；（2）①；；②当或时， ；（3） ①当t为3时，恰好是的平分线；②综上所述，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变， 【分析】（1）根据点C是线段的中点，即可确定点C表示的数； （2）①结合数轴用t表示出M、N表示的数即可； ②先根据题意表示出，，根据列绝对值方程求解即可； （3）①，与的度数比为，知，，故从旋转到（或从旋转到）需要（秒），从旋转到需要（秒），当时，，解方程可得答案； ②当时，；当时，；当时，，即可得到答案． 【详解】解：（1）点C是线段的中点， 点C表示的数是 （2）①设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； ②点M表示的数为：；点N表示的数为：； ， ， ， ， 解得：或； 综上，当或时，； （3）①，与的度数比为， ，， 从旋转到或从旋转到需要秒，从旋转到需要（秒） 在第一次从旋转到的过程中，即当时，，， 恰好是的平分线， ，解得； 当t为3时，恰好是的平分线； ②存在某个时间段，使得的度数保持不变，理由如下： 当时，，， 平分， ， ， 时，的度数保持不变， 当时，，， 平分， ， ， 时，的度数随t的改变而改变； 当时，， 平分， ， 时，的度数保持不变， 综上所述，时，的度数保持不变，； 时，的度数保持不变， / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟测试卷（广东专用） 数学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行次空翻记作，则人形机器人向后进行次空翻记作（） A． B． C． D． 2．某种新型流感病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．计算的结果是（    ） A．1 B．0 C． D． 4．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（   ） A． B． C． D． 6．为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（    ） A．236，235 B．236，239 C．235，236 D．235，235 7．某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 8．已知一次函数（k、b为常数，且）的图象由一次函数的图象向下平移4个单位长度得到，则下列关于一次函数的说法正确的是（   ） A．当时， B．y随x的增大而增大 C．它的图象与y轴交于点 D．它的图象经过第一、二、四象限 9．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式：_____． 12．，、相交于点，如果，那么的值是__________． 13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 14．计算 ________． 15．若某种礼炮的升空高度（）与飞行时间（）之间的函数关系式为，且礼炮升高到最高处时引爆，则礼炮引爆的时间为________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．（7分）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 17．（7分）如图，已知，点是劣弧上任一点，过点作，交的延长线于点，连接，．求证：． 18．（7分）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．（9分）如图，在中，相交于点O，E，F分别是的中点． 命题1：． 命题2：连接，若，则四边形是矩形． 命题3：连接，若，则四边形是菱形． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20．（9分）2025年5月31日是第38个世界无烟日，其主题是“拒绝烟草诱惑，对第一支烟说不”．某市教育局要求各学校加强控烟科普宣传，倡导健康生活方式，积极动员青少年加入到控烟队伍中来，成为控烟行动的践行者、倡导者，共同营造无烟健康成长环境．某校七年级（1）班数学兴趣小组设计了如图所示的调查问卷，在中心广场随机调查了部分吸烟人群，并将调查结果绘制成如下尚不完整的统计图． 吸烟有害——你打算怎样减少吸烟的危害？（单选） A．无所谓 B．少吸烟，以减轻对身体的危害 C．不在公众场所吸烟，减少他人被动吸烟的危害 D．决定戒烟，远离烟草的危害E．希望相关部门进一步加大控烟力度 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的总人数为_________，补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，选项D的人数所占百分比是________，选项C所在扇形的圆心角的度数为________； (3)若某社区对吸烟有害持“无所谓”态度的人数约为1万人，请对这部分人群提出一条建议． 21．（9分）光的折射． 物理常识光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角的正弦与折射角的正弦之比（，均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号表示，即 【概念理解】 （1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角的度数． （2）如图②，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入思考】 （3）如图③，直线是真空与某种介质的分界线，折射率，直线上有一个位置固定的遮光板，且是的中点；在直线下方有一个圆形区域，且与相切于点．点光源在直线的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部，已知的半径为，．（假设入射光线在端点，处能够发生折射），求点光源到直线的距离的最大值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．（13分）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 23．（14分）【材料阅读】“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图1，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为9，点C是线段的中点． （1）点C表示的数是______； （2）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M、N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中满足时，请求出t的值； 【方法迁移】 （3）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，内部有一射线，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋(即在与之间来回摆动)，当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒． ①在第一次从旋转到的过程中，当t为何值时，恰好是的平分线； ②在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，请直接写出的度数及对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $